海淀区高一年级第二学期期中练习
数 学
2013.04
学校 班级 姓名 成绩
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）sin 45cos15-cos 45sin15= ( )
（A ）
1 （B
） （C
） （D ）1 222
（2）数列{a n }中，a 1=1，a n +1=a n +2(n ∈N *)，那么a 8的值是 （ ） （A ）-14 （B ）15 （C ）-15
（D ）17
（3）等比数列{a n }中，a 3=-1，那么a 1a 2a 3a 4a 5的值是 （ ）
（A ）-4 （B ）-5 （C ）-1 （D ）1
a 2-(b -c ) 2
=1，则ÐA （4）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若
bc
的大小是 （ ）
πππ2π
（B ） （C ） （D ） 6433
（5）在△ABC 中，若sin A cos B =sin C ，则△ABC 的形状是 （ ）
（A ）
（A ）等腰三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）直角三角形 （6）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 90，那么下列结论正确的是（ ）
（A ）S 9+S 100
（C ）数列{a n }是递增数列，且前9项的和最小 （D ）数列{a n }是递增数列，且前5项的和最小
（7）如图，为了测量河对岸A , B 两点间的距离，某课外小组的同学在岸边选取C , D 两点，测得CD =200m ，? ADC
105 ，? BDC
15 ，? BCD 120 ，? ACD 30 , 则
A , B 两点间的距离是（ ）
A
（A
） （B
） （C ）
（D ）
100(1m
B
C
D
B ，C 所对的边分别为a
，b ，c =6，（8）在∆ABC 中，角A ， ∠B =30︒，记b =f (a ) ，c ，
若
函数g (a ) =f (a ) -k （k 是常数）只有一个零点，则实数k 的取值范围是 （ ）
（A ）{k 0
6} （B ）{k 3＃k 6}
3}
（C ）{k k ³6} （D ）{k k ? 6或k
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上. （9）已知sin θ=
1
，则cos 2θ＝______________． 2
，此数列的第7项是______________．
（10）已知等比数列1, a , b , -8,
（11）公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4=a 4，则
a 5
= a 4
B ，C 所对的边分别为a ，A =30 ，b ，（12）在△ABC 中，角A ，如果a =2, c =c ，
那么△ABC 的面积等于 .
（13）数列{a n }的前n 项和是S n . 若2S n =na n +2(n 澄2, n
N *)，a 2=2，则
a 1=a n =
（14）将如图所示的三角形数阵中所有的数按从上至下、从左至右的顺序排列成数列
a 11, a 21, a 22, a 31, a 32, . 若所得数列构成一个等差数列，且a 11=2，a 33=12，则
①数阵中的数a ii 可用i 表示为_____________；
②若a mn +a (m +1)(n +1) =a (m +2)(n +2) ，则m +n 的值为____________．
a 11a 21a 22a 31a 32a 33a 41a 42a 43a 44
三、解答题：本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共11分）
已知函数f (x ) =
x cos x +cos 2x -
1
. 2
（Ⅰ）求f (x ) 的单调区间； ．．（Ⅱ）求f (x ) 在区间[-
(16)（本小题共11分）
已知等差数列{a n }的前10项和S 10=-40，a 5=-3. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =a n +2
(17)（本小题共11分）
a n
51
π, π]上的最大值和最小值. 1224
(n
N *) ，求数列{b n }的前n 项和T n .
C 所对应的边分别为a ，b ，c ，在∆ABC 中，角A ，B ，且(2a -c ) c o s B =b c o s C ．
（Ⅰ）求角B 的大小；B =
π 3
π
, CD =1，求c 的值. 6
（Ⅱ）若点D 为BC 边的中点，∠CAD =
(18)（本小题共11分）
数列{a n }的前n 项和为S n . 已知a n +1+(-1) n a n =2n -1(n Ν*) . （Ⅰ）若a 1=1，求a 2，a 3，a 4；
（Ⅱ）若a 1=a （a 为常数），求数列{a n }的通项公式； （Ⅲ）设T n =
S 4n -55
(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项. 52
(n -)
2
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参考答案及评分标准 2013．04
一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.
二. 填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （9）
13
（10）64 （11
） 22
（12）（13）1，ïí
ìï1, n =1,
（14）i 2 i ，5
ïïî2n -2, n 2.
注：（12）题给出一个正确答案给3分，共4分；（13），（14）题每空2分.
三. 解答题：本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分11分） 解：（Ⅰ）f (x ) =
x cos x +cos 2x -
1
2
=
1
2x +cos 2x …………………………………2分 2
π
) …………………………………3分 6
πππ? 2x ? 2k π由2k π-(k ÎZ ) 得 262ππ
k π-＃x k π+(k ÎZ ) .
36
ππ3π
? 2k π 由2k π+? 2x (k ÎZ ) 得
262π2πk π+＃x k π+(k ÎZ ) . …………………………………6分
63
ππ
, k π+](k Z ) ；单调递减区间为所以 f (x ) 的单调递增区间为[k π-36
π2π[k π+, k π+](k Z ) .
63
51π＃x π， （Ⅱ）因为 -1224
=sin(2x +
所以 -
2
π? 2x 3ππ . …………………………………8分 64
所以 当2x +
πππππ=，即x =时，f (x
) ；当2x +=-，即642462x =-
π
时，f (x ) 取得最小值-1. …………………………………11分 3
（16）（本小题满分11分）
解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d . 因为 a 5=-3，S 10=-40，
ìa 1+4d =-3, ïï所以ï …………………………………3分 í10´9ï10a 1+d =-40. ïï2î
解得：a 1=5, d =-2.
所以 a n =7-2n . …………………………………6分 另解：因为 a 5=-3，S 10=-40， 所以 S 10=
(a 1+a 10)
? 102
5(a 5+a 6) =5(-3+a 6) =-40.
…………………………………3分 所以 a 6=-5.
所以 a n =a 5+(n -5) ? (2) =7-2n . …………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，等差数列{a n }的首项是5，公差是-2. 所以T n =b 1+b 2+
+b n =a 1+a 2+
+
25(1-2-2n ) 1-2
-2
+a n +25+23+
+27-2n
=
(5+7-2n ) n
2
2
…………………………………10分
128-27-2n
=6n -n +. …………………………………11分
3
（17）（本小题满分11分） 解：（Ⅰ） 因为
a b c
==， sin A sin B sin C
所以
a sin A c sin C =, =. …………………………………1分 b sin B b sin B
因为 (2a -c ) cos B =b cos C ，
sin A sin C
-)cos B =cos C .
sin B sin B
所以 2sin A cos B -sin C cos B =sin B cos C .
所以 (2
所以 2sin A cos B =sin(B +C ) =sin A . …………………………………3分 因为 A Î(0,π) ， 所以 sin A ¹0. 所以 cos B =
1
. …………………………………4分 2
因为 B Î(0,π) ， 所以 B =
方法二：
因为 (2a -c ) cos B =b cos C ，
π
. …………………………………5分 3
a 2+c 2-b 2a 2+b 2-c 2
=b 所以 (2a -c ) . …………………………………2分
2ac 2ab
所以 a +c -b =ca . …………………………………3分
2
2
2
a 2+c 2-b 21
=. …………………………………4分 所以 cos B =
2ac 2
因为 B Î(0,π) ，
π
. …………………………………5分 3
CD AD BD AD
=, =（Ⅱ）在∆ACD , ∆ABD 中，.
sin 行CAD sin C sin BAD sin B
所以 B =
…………………………………6分
由（Ⅰ）知：B =
π. 3
π
， 6
因为 点D 为BC 边的中点，∠CAD =
所以
1sin 6
=
AD 1AD
. , =
sin C sin(-C ) sin 23
. …………………………………8分 2
所以
sin 2C =
因为 C Î(0,) ， 所以 C =当C =
π2
ππ
或C =. …………………………………9分 36
π
时，∆ABC 为等边三角形，由CD =1可得：AB =2CD =2； 3
…………………………………10分
ππππ
-=，所以∆ABD 为等边三角形，由CD =1可得：时，? BAD
6263AB =BD =C D =1. …………………………………11分 所以 c =2或c =1.
当C =
（18）（本小题满分11分）
解：（Ⅰ）因为 a n +1+(-1) n a n =2n -1(n Ν*) ，a 1=1，
所以 a 2=2，a 3=1，a 4=6. …………………………………2分 （Ⅱ）因为 a n +1+(-1) n a n =2n -1,
所以 a 2n +1+a 2n =4n -1，a 2n -a 2n -1=4n -3. 两式相减得a 2n +1+a 2n -1=2.
所以 a 3=2-a 1，a 2n +3+a 2n +1=2 ， 所以 a 2n +3=a 2n -1 (n ÎΝ*) . 当n =2k (k Ν*) 时，a 4k +3=a 4k -1=当n =2k -1(k Ν*) 时，a 4k +1=a 4k -3=
=a 3=2-a 1； =a 1.
由已知可得 a 4k -1+a 4k -2=8k -5, a 4k -a 4k -1=8k -3(k ÎΝ*) . 所以 a 4k -2=8k -5-a 4k -1=8k -7+a 1，
a 4k =8k -3+a 4k -1=8k -1-a 1.
因为 a 1=a ，
ìa , n =ïïïï2n -3+a , n =
所以 a n =ïí
ï2-a , n =ïïïïî2n -1-a , n =
4k -3,
4k -2,
(k Ν*). …………………………………7分
4k -1, 4k
+b n .
（Ⅲ）设b n =a 4n -3+a 4n -2+a 4n -1+a 4n (n ∈Ν*) ，则S 4n =b 1+b 2+
类似（Ⅱ）可得 b n =a 4n -3+a 4n -2+a 4n -1+a 4n =16n -6 . 所以 {b n }为首项为10，公差为16的等差数列. 所以 S 4n =8n 2+2n . 因为 T n =
S 4n -55
(n ∈N *)， 2
(n -)
2
8n 2+2n -5542
=+8. 所以 T n =
2(n -) n -
22
所以 T 1=-20, T 3=92. 因为 函数f (x ) =
5542
+8的单调递减区间是(-? , ),(, ) ， 522x -2
所以 数列{T n }的最大项是92. …………………………………11分
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学校 班级 姓名 成绩
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）sin 45cos15-cos 45sin15= ( )
（A ）
1 （B
） （C
） （D ）1 222
（2）数列{a n }中，a 1=1，a n +1=a n +2(n ∈N *)，那么a 8的值是 （ ） （A ）-14 （B ）15 （C ）-15
（D ）17
（3）等比数列{a n }中，a 3=-1，那么a 1a 2a 3a 4a 5的值是 （ ）
（A ）-4 （B ）-5 （C ）-1 （D ）1
a 2-(b -c ) 2
=1，则ÐA （4）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若
bc
的大小是 （ ）
πππ2π
（B ） （C ） （D ） 6433
（5）在△ABC 中，若sin A cos B =sin C ，则△ABC 的形状是 （ ）
（A ）
（A ）等腰三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）直角三角形 （6）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 90，那么下列结论正确的是（ ）
（A ）S 9+S 100
（C ）数列{a n }是递增数列，且前9项的和最小 （D ）数列{a n }是递增数列，且前5项的和最小
（7）如图，为了测量河对岸A , B 两点间的距离，某课外小组的同学在岸边选取C , D 两点，测得CD =200m ，? ADC
105 ，? BDC
15 ，? BCD 120 ，? ACD 30 , 则
A , B 两点间的距离是（ ）
A
（A
） （B
） （C ）
（D ）
100(1m
B
C
D
B ，C 所对的边分别为a
，b ，c =6，（8）在∆ABC 中，角A ， ∠B =30︒，记b =f (a ) ，c ，
若
函数g (a ) =f (a ) -k （k 是常数）只有一个零点，则实数k 的取值范围是 （ ）
（A ）{k 0
6} （B ）{k 3＃k 6}
3}
（C ）{k k ³6} （D ）{k k ? 6或k
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上. （9）已知sin θ=
1
，则cos 2θ＝______________． 2
，此数列的第7项是______________．
（10）已知等比数列1, a , b , -8,
（11）公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4=a 4，则
a 5
= a 4
B ，C 所对的边分别为a ，A =30 ，b ，（12）在△ABC 中，角A ，如果a =2, c =c ，
那么△ABC 的面积等于 .
（13）数列{a n }的前n 项和是S n . 若2S n =na n +2(n 澄2, n
N *)，a 2=2，则
a 1=a n =
（14）将如图所示的三角形数阵中所有的数按从上至下、从左至右的顺序排列成数列
a 11, a 21, a 22, a 31, a 32, . 若所得数列构成一个等差数列，且a 11=2，a 33=12，则
①数阵中的数a ii 可用i 表示为_____________；
②若a mn +a (m +1)(n +1) =a (m +2)(n +2) ，则m +n 的值为____________．
a 11a 21a 22a 31a 32a 33a 41a 42a 43a 44
三、解答题：本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共11分）
已知函数f (x ) =
x cos x +cos 2x -
1
. 2
（Ⅰ）求f (x ) 的单调区间； ．．（Ⅱ）求f (x ) 在区间[-
(16)（本小题共11分）
已知等差数列{a n }的前10项和S 10=-40，a 5=-3. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =a n +2
(17)（本小题共11分）
a n
51
π, π]上的最大值和最小值. 1224
(n
N *) ，求数列{b n }的前n 项和T n .
C 所对应的边分别为a ，b ，c ，在∆ABC 中，角A ，B ，且(2a -c ) c o s B =b c o s C ．
（Ⅰ）求角B 的大小；B =
π 3
π
, CD =1，求c 的值. 6
（Ⅱ）若点D 为BC 边的中点，∠CAD =
(18)（本小题共11分）
数列{a n }的前n 项和为S n . 已知a n +1+(-1) n a n =2n -1(n Ν*) . （Ⅰ）若a 1=1，求a 2，a 3，a 4；
（Ⅱ）若a 1=a （a 为常数），求数列{a n }的通项公式； （Ⅲ）设T n =
S 4n -55
(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项. 52
(n -)
2
海淀区高一年级第二学期期中练习
数 学
参考答案及评分标准 2013．04
一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.
二. 填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （9）
13
（10）64 （11
） 22
（12）（13）1，ïí
ìï1, n =1,
（14）i 2 i ，5
ïïî2n -2, n 2.
注：（12）题给出一个正确答案给3分，共4分；（13），（14）题每空2分.
三. 解答题：本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分11分） 解：（Ⅰ）f (x ) =
x cos x +cos 2x -
1
2
=
1
2x +cos 2x …………………………………2分 2
π
) …………………………………3分 6
πππ? 2x ? 2k π由2k π-(k ÎZ ) 得 262ππ
k π-＃x k π+(k ÎZ ) .
36
ππ3π
? 2k π 由2k π+? 2x (k ÎZ ) 得
262π2πk π+＃x k π+(k ÎZ ) . …………………………………6分
63
ππ
, k π+](k Z ) ；单调递减区间为所以 f (x ) 的单调递增区间为[k π-36
π2π[k π+, k π+](k Z ) .
63
51π＃x π， （Ⅱ）因为 -1224
=sin(2x +
所以 -
2
π? 2x 3ππ . …………………………………8分 64
所以 当2x +
πππππ=，即x =时，f (x
) ；当2x +=-，即642462x =-
π
时，f (x ) 取得最小值-1. …………………………………11分 3
（16）（本小题满分11分）
解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d . 因为 a 5=-3，S 10=-40，
ìa 1+4d =-3, ïï所以ï …………………………………3分 í10´9ï10a 1+d =-40. ïï2î
解得：a 1=5, d =-2.
所以 a n =7-2n . …………………………………6分 另解：因为 a 5=-3，S 10=-40， 所以 S 10=
(a 1+a 10)
? 102
5(a 5+a 6) =5(-3+a 6) =-40.
…………………………………3分 所以 a 6=-5.
所以 a n =a 5+(n -5) ? (2) =7-2n . …………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，等差数列{a n }的首项是5，公差是-2. 所以T n =b 1+b 2+
+b n =a 1+a 2+
+
25(1-2-2n ) 1-2
-2
+a n +25+23+
+27-2n
=
(5+7-2n ) n
2
2
…………………………………10分
128-27-2n
=6n -n +. …………………………………11分
3
（17）（本小题满分11分） 解：（Ⅰ） 因为
a b c
==， sin A sin B sin C
所以
a sin A c sin C =, =. …………………………………1分 b sin B b sin B
因为 (2a -c ) cos B =b cos C ，
sin A sin C
-)cos B =cos C .
sin B sin B
所以 2sin A cos B -sin C cos B =sin B cos C .
所以 (2
所以 2sin A cos B =sin(B +C ) =sin A . …………………………………3分 因为 A Î(0,π) ， 所以 sin A ¹0. 所以 cos B =
1
. …………………………………4分 2
因为 B Î(0,π) ， 所以 B =
方法二：
因为 (2a -c ) cos B =b cos C ，
π
. …………………………………5分 3
a 2+c 2-b 2a 2+b 2-c 2
=b 所以 (2a -c ) . …………………………………2分
2ac 2ab
所以 a +c -b =ca . …………………………………3分
2
2
2
a 2+c 2-b 21
=. …………………………………4分 所以 cos B =
2ac 2
因为 B Î(0,π) ，
π
. …………………………………5分 3
CD AD BD AD
=, =（Ⅱ）在∆ACD , ∆ABD 中，.
sin 行CAD sin C sin BAD sin B
所以 B =
…………………………………6分
由（Ⅰ）知：B =
π. 3
π
， 6
因为 点D 为BC 边的中点，∠CAD =
所以
1sin 6
=
AD 1AD
. , =
sin C sin(-C ) sin 23
. …………………………………8分 2
所以
sin 2C =
因为 C Î(0,) ， 所以 C =当C =
π2
ππ
或C =. …………………………………9分 36
π
时，∆ABC 为等边三角形，由CD =1可得：AB =2CD =2； 3
…………………………………10分
ππππ
-=，所以∆ABD 为等边三角形，由CD =1可得：时，? BAD
6263AB =BD =C D =1. …………………………………11分 所以 c =2或c =1.
当C =
（18）（本小题满分11分）
解：（Ⅰ）因为 a n +1+(-1) n a n =2n -1(n Ν*) ，a 1=1，
所以 a 2=2，a 3=1，a 4=6. …………………………………2分 （Ⅱ）因为 a n +1+(-1) n a n =2n -1,
所以 a 2n +1+a 2n =4n -1，a 2n -a 2n -1=4n -3. 两式相减得a 2n +1+a 2n -1=2.
所以 a 3=2-a 1，a 2n +3+a 2n +1=2 ， 所以 a 2n +3=a 2n -1 (n ÎΝ*) . 当n =2k (k Ν*) 时，a 4k +3=a 4k -1=当n =2k -1(k Ν*) 时，a 4k +1=a 4k -3=
=a 3=2-a 1； =a 1.
由已知可得 a 4k -1+a 4k -2=8k -5, a 4k -a 4k -1=8k -3(k ÎΝ*) . 所以 a 4k -2=8k -5-a 4k -1=8k -7+a 1，
a 4k =8k -3+a 4k -1=8k -1-a 1.
因为 a 1=a ，
ìa , n =ïïïï2n -3+a , n =
所以 a n =ïí
ï2-a , n =ïïïïî2n -1-a , n =
4k -3,
4k -2,
(k Ν*). …………………………………7分
4k -1, 4k
+b n .
（Ⅲ）设b n =a 4n -3+a 4n -2+a 4n -1+a 4n (n ∈Ν*) ，则S 4n =b 1+b 2+
类似（Ⅱ）可得 b n =a 4n -3+a 4n -2+a 4n -1+a 4n =16n -6 . 所以 {b n }为首项为10，公差为16的等差数列. 所以 S 4n =8n 2+2n . 因为 T n =
S 4n -55
(n ∈N *)， 2
(n -)
2
8n 2+2n -5542
=+8. 所以 T n =
2(n -) n -
22
所以 T 1=-20, T 3=92. 因为 函数f (x ) =
5542
+8的单调递减区间是(-? , ),(, ) ， 522x -2
所以 数列{T n }的最大项是92. …………………………………11分