第18卷第5期
2009年10月
数 学 教 育 学 报
JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION
Vol.18, No.5Oct., 2009
中学数学教师的学科知识
韩继伟1，黄毅英2，马云鹏3
（1．东北师范大学 数学与统计学院，吉林 长春 130024；
2．香港中文大学 教育学院，香港；3．东北师范大学 教育科学学院，吉林 长春 130024）
摘要：教师的学科知识是目前教育研究中一个非常重要的领域．在数学方面，以往的探讨主要有两个方向：一类研究教师对数学概念的理解；另一类则研究教师对数学法则的理解．然而，数学的概念与法则只是数学学科知识的一个方面，数学问题解决的实践知识是数学学科知识中更重要的一个方面．通过研究我们发现，在数学教师的学科知识中有几种不同类型的问题解决的实践知识：使用命题知识解决问题的实践经验、策略知识和问题图式．这些知识在问题解决中的作用至关重要，是教师学科知识的重要组成部分．
关键词：教师知识；学科知识；问题解决的实践知识
中图分类号：G625 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2009）05–0042–04
1 问题提出
众所周知，教学质量高低的关键在于教师．我们需要通过教师来达成各种教学目标，我们需要通过教师去推行新的教育理念．可以说，好教师是优质教学的重要保证．但我们不能只空泛地说需要“好”教师．Shulman 就把教师教学所需要的专业知识分成学科知识、教学内容知识、课程知识等7大类[1]．在这7类知识中，教师的学科知识占着重要的位置．事实上，教师的学科知识是目前教育研究中一个非常重要的领域．在数学方面，以往的探讨主要有两个方向：一类研究教师对数学概念的理解．如教师对斜率、面积、极限、函数等数学概念的理解，见文[2~5]．另一类则研究教师对数学法则的理解．如研究教师对整数减法、乘法，分数除法法则的理解，见文[6~8]．然而，数学的概念与法则只是数学学科知识的一部分，让学生理解数学的概念、法则也只是教师数学教学工作的一部分，教会学生解决数学问题是学校数学教学更为重要的内容之一．因此在教师学科知识的研究中，我们不仅要研究教师对概念法则的理解，也要探讨数学教师在问题解决中所形成的实践知识．不少研究（如文[9~11]）已经指出，在解决数学问题的过程中，不仅需要数学的概念、定理、法则等明确的命题知识，也需要策略知识、问题图式等问题解决的实践知识．以往研究所关注的是数学概念、法则等的理解，这是明确的命题知识，也就是能够公开陈述的“知道是什么”（knowing that）的知识，而问题解决中所形成的实践知识是一种“知道怎样做”（knowing how ）的知识．这是学科知识中一个新的维度．那么，中学数学教师具有哪些类型的问题解决的实践知识呢？
校、区较好学校、普通学校；b 代表教师，用1、2、3分别代表第一位教师、第二位教师、第三位教师．例如，T-3-2就是表示普通学校的第3位教师．
2.2 研究材料
我们利用一道几何题去引发研究对象的学科知识．试题如下：如图1所示，P A 是⊙O 的切线，A 为切点，割线PBC 交⊙O 于B 、C 两点，D 为AB 的中点，连PD 并延长交AC 于E ，请用几种不同的方法证明AE :EC =P A 2:PC 2．在读过题目之后，还未开始解题之前，研究者会问：看过这个题目之后，您有哪些想法？会考虑从哪些方面入手解决这个问题？在研究对象解决了这个问题之后，研究者会问：您以前是否见过和
这道题类似的问题？这道题目中有哪些您熟悉的东西？通过这些访谈，进一步引发研究对象头脑中已有的和解题有关的知识．此外研究者还通过访谈了解了教师与问题解决教学有关的经验．例如，在提高学生数学问题解决能力上您有哪些个人经验？您是怎样选择习题的？等等．
3 研究结果
通过访谈和分析，我们发现了不同类型的数学学科知识，这其中不仅有明确的命题知识，也有使用命题知识解决问题的实践经验、策略知识和问题图式．以图2加以描述．
2 研究方法
2.1 研究对象
我们选择了吉林省长春市3所不同水平的学校，每所学校都选择数学教师3名，共9名进行了访谈．用T-a-b 表示不同教师，其中a 代表学校，用1、2、3分别代表市较好学
图2 由试题所引发的教师的学科知识框图
收稿日期：2009–03–19
基金项目：全国教育科学“十一五”规划教育部重点课题——适应素质教育需要的中小学学科教学改革研究成果（DHA070154）
第5期 韩继伟等 ：中学数学教师的学科知识 43
3.1 明确的命题知识及相关实践经验
数学概念、定理等明确的命题知识是理解数学问题的基础，也是问题解决过程中的基本工具．以本研究中的问题为例，教师要理解所要解决的这个问题，首先要理解切线、割线、延长线等数学概念，这是解决这个题目所必须具备的基础知识．除此之外，也要掌握解题所需的相关定理．在本研究中，在看到所要证明的比例式有平方项以后，被试教师都很自然地首先想到利用切割线定理，将P A =PB ﹒PC 代进欲证的等式
AE :EC =P A 2:PC 2中，将其化简为
AE :EC =PB :PC ．这样就简化了所要证明的等式，将其转化成了证明4条线段成比例的问题．在解决这个问题的过程中，切割线定理是解决这个问题所必须使用的基本工具，无论解题者最终使用什么方法，都必须首先利用切割线定理将欲证的等式化简，这是解决这个问题的第一个必要环节．本研究中的所有教师都具备这些明确的命题知识．特别的是，除了切割线定理，有教师（T-1-1）还知道另一个与这个题目有密切关系的命题知识——梅内劳斯定理，而这是本研究中的其它教师所没有的．在进一步的与教师T-1-1的访谈中发现，它与该定理有关的知识是丰富的．教师T-1-1知道与梅内劳斯定理有联系的变式题，从梅内劳斯定理的角度来看，教材中的这道习题及其变式与本研究中的问题本质上是相同的，都是梅内劳斯定理的一种特例，从这个角度可以更深入地了解这些题目间的本质的联系． 3.2 策略知识
前面提到，利用切割线定理进行化简后，原来的问题简化为4条线段成比例的问题．在初中数学中，证明4条线段成比例是一类比较常见的题目．解题者在解决过与比例线段有关的问题之后，就会积累一些如何处理这类问题的知识与经验，归纳总结出解决这类题目的一些常用方法，为解决新问题奠定一定的基础，从解题思路与解题方向上来看，不同的教师有不同的解题计划，也就是策略知识．
例如，受访教师T-1-3说：“遇到线段成比例有两种方法：一种是相似，三角形相似能出现比例的情况．还有平行线，利用平行线等分线段定理能够出现比例的情况．”除教师T-1-3之外，其它的教师都想到要通过证明平行或两个三角形相似两种方式来达到证明4条线段成比例的目的，也就是说证明平行或两个三角形相似是这些教师证明这个问题的两个主要的策略与努力方向．此外，教师T-1-1还有利用面积法解决4条线段成比例问题的经验，因此，在初步确定这道题目的解题思路时，除了相似和平行，教师T-1-1还考虑到使用面积方法，反映出教师T-1-1具有更丰富的解题策略，这为问题的解决积累了更为广阔的知识基础．在访谈之后的正式的问题解决过程中，也只有教师T-1-1尝试使用面积方法．另外，在证相似或平行这种宏观解题策略的指引下，由于通过平行不能直接得到比例线段，所以教师T-2-1、教师T-3-1、教师T-1-2、教师T-2-2和教师T-2-3都考虑通过证明两个三角形相似来达到目的，在问题解决过程中尝试着将所要求证的4条线段放在两个可能相似的三角形中．
总之，无论是通过面积，还是通过平行或相似，这些解题策略对解题过程都具有直接的指导作用，是解题者解决问
2
题过程中思考的方向，策略知识是数学教师所具有的一种重要的学科知识． 3.3 问题图式
在尝试用平行或两个三角形相似来直接证明4条线段成比例失败后，大部分教师的解题一度陷入了困境，很多被试教师们开始了长时间的思考．在这个过程中，被试教师大都重新回顾题目中的已知条件，慢慢将注意力集中在了“D 为AB 的中点”这个条件上．对于这个条件有的教师产生了疑惑．教师T-3-2说：“不知道怎样才能利用上D 是中点这个条件”．而有的教师则由“D 为AB 的中点”这个条件得到启发，从中发现了自己熟悉的基本图形，并通过构造这个基本图形而获得了继续前进的新线索．有5位教师（教师T-1-1、教师T-2-1、教师T-2-2、教师T-3-2和教师T-1-3）由D 是AB 的中点想到要构造X 型的基本图形来达到线段的等量代换（如图3）．还有2位教师（教师T-3-1和教师T-3-3）也能够解决这个问题，在他们的解法中也有A 型或X 型的基本图形，但这两位教师并没有关注过这种基本图形，他们不是从要利用A 型或X 型的基本图形的性质这一
图3
A 型与X 型的基本图形
以下便是教师T-2-2的思考过程．
教师：欲证AE :EC =PB :PC ，首先要充分利用D 是AB 中点这个条件，要得到AE :EC =PB :PC 要有平行或者相似，但平行或者相似现在都得不到，那么想到用转移的思想，是否AE 能转移和其它线段相等？因为给出D 是中点这个条件，利用这个条件做一个过B 点和AC 平行的直线交PD 于F 点．
研究者：怎么想到要这样做呢？
教师：过B 点做和AC 平行的这条直线（所形成的这个图形）非常常用．在证明中这象一个大写的英文字母X ，在相似中专门有这种类型题，叫X 型．
上面的思路和解法是很多教师所采用的方法，对这些教师而言这是最自然的一种方法．不过，还可以通过构造A 型的基本图形来达到换项的目的．
总结起来，本研究中的被试教师有如下的构造基本图形的方法：这些证法主要是过A 点或B 点作平行线构造A 型或X 型的基本图形，利用A 型或X 型中的中位线或全等产生相等线段，由等量代换来证明4条线段成比例．复杂的几何图形也都是由一些简单的基本图形构成的，因此，掌握了解一些基本图形的性质与特征对于解决复杂的几何问题是有帮助的．在本研究中我们发现，在解决几何问题的过程中，当教师面对一个复杂的几何图形的时候，往往会从这个复杂图形中发现某些自己所熟悉的基本图形，从而将一个复杂的几何图形变成了几个基本图形的组合．这些基本图形就是一
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种问题图式．教师头脑中的这些问题图式对他们的问题解决有很大的影响．解题者往往从这些问题图式出发，将自己所熟悉的这些基本图形的性质作为另一种已知，将它与题目中原来的已知条件直接结合起来使用，对于这些问题图式的熟悉与掌握使解题者能很快了解题目中所蕴涵的中间结论，有助于解题者寻找解题的途径．
总之，通过分析该研究中的被试教师的解题过程，我们发现教师具有各种不同的与解题有关的学科知识．在这个过程中，教师不仅使用切割线定理、梅内劳斯定理这样明确的数学知识，而且也使用与解决4条线段成比例问题有关的策略知识，如通过证相似、平行或者面积方法可以达到证明4条线段成比例的目的．除此之外，在寻找解题思路的过程中，解题者所熟悉的A 型和X 型基本图形的问题图式也起了重要的作用．总的来讲，本研究中的数学教师有着丰富的学科知识．
没有太大差别，但教师所拥有的问题解决实践知识却有很大差别．在研究的访谈中我们了解到，在实际的教学中，教师并不是让学生盲目地大量解题搞题海战术，教师往往通过精心选择布置彼此联系的题组、彼此有区别的系列变式题目来突显某类问题的特点与方法，使学生在实际的问题情境中通过问题解决的过程亲身体会、总结题目的这些特点和方法，从而促进自身的实践知识的形成．这就要求教师必须具备一定的问题解决的实践知识，教师的问题解决的实践知识的丰富与否直接影响学生所练习的数学问题的质量，进而影响教学的成效．另外，在教学中教师不仅要让学生亲自参与问题解决的活动，而且教师要指导学生的解题活动．正如访谈中的教师所指出的，教师需要在与学生共同的解题活动中明确指出这道题目具有指导意义的典型特征，从而提高问题解决的实践活动的效率，促进学生问题解决的实践知识的形成．这同样要求教师首先具备一定的问题解决的实践知识．
因此，作为一名数学教师，不仅要拥有以往教师知识研究中所关注的概念、定理、算法等明确的数学知识，而且也要拥有一定的数学问题解决的实践知识．我们的研究充分验证了这一点．
在未来的研究中我们需要在代数、三角等不同领域里继续探讨教师的这种问题解决的实践知识．除了运用事实性知识的相关经验、问题图式、策略知识外，是否还有其它类型的实践知识？实践知识是怎样形成的？对这些问题的回答都会进一步增进我们对问题解决的实践知识的了解．
4 讨 论
教师学科知识的研究由来已久，从20世纪60年代至今始终是人们所关注的一个问题，但这些研究并不全面，特别是对于数学教师的学科知识的研究，很少有人探讨教师的问题解决的实践知识这一重要维度．在数学教育中，让学生学会解决问题是一个非常具有数学学科特色的教学目的与任务，正如Polya 所说“数学中知道怎样解题更重要，比只拥有知识重要得多”[12]．而要达到这个目的，教师自身问题解决的实践知识是至关重要的．
我们的研究发现，在某些情况下教师所拥有的命题知识
［参 考 文 献］
[1] Shulman L S. Knowledge and Teaching: Foundations of the New Reform [J]. Harvard Educational Review, 1987, 57(1):
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[2] Even R, Tirosh D. Subject-matter Knowledge and Knowledge about Students as Sources of Teacher Presentations of the
Subject-matter [J]. Educational Studies in Mathematics, 1995, 29: 1-20.
[3] Stump S L. Secondary Mathematics Teachers’ Knowledge of Slope [J]. Mathematics Education Research Journal, 1999,
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[4] Baturo A, Nason R. Student Teachers’ Subject Matter Knowledge within the Domain of Area Measurement [J].
Educational Studies in Mathematics, 1996, 31: 235-268.
[5] Lee B S. An Investigation of Prospective Secondary Mathematics Teachers’ Understanding of the Mathematical Limit
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[6] Ball D L. Knowledge and Reasoning in Mathematical Pedagogy: Examining What Prospective Teachers Bring to
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[7] Ma L. Knowing and Teaching Elementary Mathematics [M]. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, 1999.
[8] Leung F, Park K. Competent Students, Competent Teachers? [J]. International Journal of Educational Research, 2002,
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[9] Mayer R E. Educational Psychology: A Cognitive Approach [M]. Boston: Little, Brown and Company, 1987.
[10] Riley M, Greeno J, Heller J. Development of Children’s Problem-solving Ability in Arithmetic [A]. In: H Ginsburg. The
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[11] Schoenfeld A H. Learning to Think Mathematically: Problem Solving, Metacognition, and Sense Making in Mathematics
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University Press, 1962.
Subject Matter Knowledge of Middle School Mathematics Teachers
HAN Ji-wei 1, HUANG Yi-ying 2, MA Yun-peng 3
(1. School of Mathematics and Statistics, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China;
第5期 韩继伟等 ：中学数学教师的学科知识
2. Faculty of Education, Chinese University of Hong Kong, China;
3. Faculty of Education, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China)
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Abstract: Subject matter knowledge is an important field in education research. In the past, researchers focused on two directions: mathematics teachers’ conceptual and procedural understandings. Not much was done in the investigation of teachers’ practical knowledge on mathematics problem solving. The present study reviews that there are three kinds of practical knowledge on problem solving within subject matter knowledge, which are practical experiential knowledge in using propositions, knowledge on problem solving strategies and problem schema. All three kinds are knowledge is very important in mathematics problem solving. Key words: teacher knowledge; subject matter knowledge; practical knowledge of problem solving
[
责任编校：陈隽]
全国高等师范院校数学教育研究会2009年常务理事会
数学教育人才培养与中国数学教育传统 具体研究专题包括：
（1）数学教育专业各类研究生培养与课程建设； （2）数学教师知识及其发展研究； （3）我国数学教育传统的研究；
（4）数学史与数学文化在数学教育中的地位和作用； （5）中小学数学课堂教学研究； （6）其他数学教育理论与实践研究．
4．2010年第七届全国年会将按研究会章程（2006）进行理事会换届改选．为做好理事会换届改选工作，请各省（市、自治区）推荐理事候选人7~10名，其中包括常务理事候选人2~3名，具体名单于2010年3月30日前报送理事会秘书长北京师范大学数学科学学院曹一鸣教授．
5．常务理事会强调：要进一步提高年会学术性，会议报告、论文的内容须严格围绕会议主题．会议期间将组织论文评比活动．
6．为提高年会的国际影响力，进一步加强中国数学教育与国际数学教育的平等交流，增设国际数学教育沙龙，境外数学教育代表将参加沙龙活动．为给研究生提供更多的交流机会，年会期间还将举办研究生论坛，希望各分会组织数学教育研究生踊跃参加论坛活动．
7．常务理事会决定创建研究会的独立网站 www. camedu.org.cn ．网站将在近日开通，研究会成员可以通过网站查询信息，进行学术交流、会议注册和工作联系．
按原计划于2009年7月20日至7月26日在新疆如期举行，来自全国16个省市自治区近30名常务理事或代表出席了会议．
本次会议能够在当时新疆的特殊形势下顺利举行，完全得益于新疆师范大学田宏根教授积极努力和卓越贡献，全体与会人员对此表示衷心的感谢．
会议期间，与会代表围绕会议主题对进行认真讨论和交流．理事长、南京师范大学数学科学学院涂荣豹教授向会议通报了常务理事会过去3年中所做的主要工作，着重介绍了研究会成员参加各种国际会议，进行国际数学教育交流和创办国际数学教育学术刊物的具体情况；各省(市、自治区) 的常务理事分别介绍了各省数学教育研究的进展，分会的发展和工作的情况；与会人员对即将于2010年召开的我会第七届全国年会的各项事宜进行了充分讨论．
本次会议对常务理事会近年来所开展工作给予了充分的肯定．会议认为：目前国际数学教育研究繁荣，中国数学教育受到了高度关注，本届理事会抓住机遇，以积极进取的态度，务实的工作作风，团结协作，广泛开展了国际间平等合作交流活动，提升了本研究会以及中国数学教育在国际上的整体影响力．
本次常务理事会会议就下述具体事宜达成一致意见： 1．鉴于目前参加研究会活动的单位和人员已不局限于高等师范院校，提议“全国高等师范院校数学教育研究会”更名为“全国数学教育研究会”．这样可吸收更多优秀数学教师和教研人员共同开展数学教育研究，加强理论与实践的联系，推动数学教育研究的发展．同时希望尚未成立分会的各省市、自治区应创造条件积极筹建，常务理事会可以给予必要的协助．
2．研究会第七届年会定于2010年6月下旬在杭州召 开，由杭州师范大学承办，会议注册和论文提交等具体事宜将在近期另行通知．
3．2010年第七届学术年会会议主题为：
全国高等师范院校数学教育研究会
2009-8-10
第18卷第5期
2009年10月
数 学 教 育 学 报
JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION
Vol.18, No.5Oct., 2009
中学数学教师的学科知识
韩继伟1，黄毅英2，马云鹏3
（1．东北师范大学 数学与统计学院，吉林 长春 130024；
2．香港中文大学 教育学院，香港；3．东北师范大学 教育科学学院，吉林 长春 130024）
摘要：教师的学科知识是目前教育研究中一个非常重要的领域．在数学方面，以往的探讨主要有两个方向：一类研究教师对数学概念的理解；另一类则研究教师对数学法则的理解．然而，数学的概念与法则只是数学学科知识的一个方面，数学问题解决的实践知识是数学学科知识中更重要的一个方面．通过研究我们发现，在数学教师的学科知识中有几种不同类型的问题解决的实践知识：使用命题知识解决问题的实践经验、策略知识和问题图式．这些知识在问题解决中的作用至关重要，是教师学科知识的重要组成部分．
关键词：教师知识；学科知识；问题解决的实践知识
中图分类号：G625 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2009）05–0042–04
1 问题提出
众所周知，教学质量高低的关键在于教师．我们需要通过教师来达成各种教学目标，我们需要通过教师去推行新的教育理念．可以说，好教师是优质教学的重要保证．但我们不能只空泛地说需要“好”教师．Shulman 就把教师教学所需要的专业知识分成学科知识、教学内容知识、课程知识等7大类[1]．在这7类知识中，教师的学科知识占着重要的位置．事实上，教师的学科知识是目前教育研究中一个非常重要的领域．在数学方面，以往的探讨主要有两个方向：一类研究教师对数学概念的理解．如教师对斜率、面积、极限、函数等数学概念的理解，见文[2~5]．另一类则研究教师对数学法则的理解．如研究教师对整数减法、乘法，分数除法法则的理解，见文[6~8]．然而，数学的概念与法则只是数学学科知识的一部分，让学生理解数学的概念、法则也只是教师数学教学工作的一部分，教会学生解决数学问题是学校数学教学更为重要的内容之一．因此在教师学科知识的研究中，我们不仅要研究教师对概念法则的理解，也要探讨数学教师在问题解决中所形成的实践知识．不少研究（如文[9~11]）已经指出，在解决数学问题的过程中，不仅需要数学的概念、定理、法则等明确的命题知识，也需要策略知识、问题图式等问题解决的实践知识．以往研究所关注的是数学概念、法则等的理解，这是明确的命题知识，也就是能够公开陈述的“知道是什么”（knowing that）的知识，而问题解决中所形成的实践知识是一种“知道怎样做”（knowing how ）的知识．这是学科知识中一个新的维度．那么，中学数学教师具有哪些类型的问题解决的实践知识呢？
校、区较好学校、普通学校；b 代表教师，用1、2、3分别代表第一位教师、第二位教师、第三位教师．例如，T-3-2就是表示普通学校的第3位教师．
2.2 研究材料
我们利用一道几何题去引发研究对象的学科知识．试题如下：如图1所示，P A 是⊙O 的切线，A 为切点，割线PBC 交⊙O 于B 、C 两点，D 为AB 的中点，连PD 并延长交AC 于E ，请用几种不同的方法证明AE :EC =P A 2:PC 2．在读过题目之后，还未开始解题之前，研究者会问：看过这个题目之后，您有哪些想法？会考虑从哪些方面入手解决这个问题？在研究对象解决了这个问题之后，研究者会问：您以前是否见过和
这道题类似的问题？这道题目中有哪些您熟悉的东西？通过这些访谈，进一步引发研究对象头脑中已有的和解题有关的知识．此外研究者还通过访谈了解了教师与问题解决教学有关的经验．例如，在提高学生数学问题解决能力上您有哪些个人经验？您是怎样选择习题的？等等．
3 研究结果
通过访谈和分析，我们发现了不同类型的数学学科知识，这其中不仅有明确的命题知识，也有使用命题知识解决问题的实践经验、策略知识和问题图式．以图2加以描述．
2 研究方法
2.1 研究对象
我们选择了吉林省长春市3所不同水平的学校，每所学校都选择数学教师3名，共9名进行了访谈．用T-a-b 表示不同教师，其中a 代表学校，用1、2、3分别代表市较好学
图2 由试题所引发的教师的学科知识框图
收稿日期：2009–03–19
基金项目：全国教育科学“十一五”规划教育部重点课题——适应素质教育需要的中小学学科教学改革研究成果（DHA070154）
第5期 韩继伟等 ：中学数学教师的学科知识 43
3.1 明确的命题知识及相关实践经验
数学概念、定理等明确的命题知识是理解数学问题的基础，也是问题解决过程中的基本工具．以本研究中的问题为例，教师要理解所要解决的这个问题，首先要理解切线、割线、延长线等数学概念，这是解决这个题目所必须具备的基础知识．除此之外，也要掌握解题所需的相关定理．在本研究中，在看到所要证明的比例式有平方项以后，被试教师都很自然地首先想到利用切割线定理，将P A =PB ﹒PC 代进欲证的等式
AE :EC =P A 2:PC 2中，将其化简为
AE :EC =PB :PC ．这样就简化了所要证明的等式，将其转化成了证明4条线段成比例的问题．在解决这个问题的过程中，切割线定理是解决这个问题所必须使用的基本工具，无论解题者最终使用什么方法，都必须首先利用切割线定理将欲证的等式化简，这是解决这个问题的第一个必要环节．本研究中的所有教师都具备这些明确的命题知识．特别的是，除了切割线定理，有教师（T-1-1）还知道另一个与这个题目有密切关系的命题知识——梅内劳斯定理，而这是本研究中的其它教师所没有的．在进一步的与教师T-1-1的访谈中发现，它与该定理有关的知识是丰富的．教师T-1-1知道与梅内劳斯定理有联系的变式题，从梅内劳斯定理的角度来看，教材中的这道习题及其变式与本研究中的问题本质上是相同的，都是梅内劳斯定理的一种特例，从这个角度可以更深入地了解这些题目间的本质的联系． 3.2 策略知识
前面提到，利用切割线定理进行化简后，原来的问题简化为4条线段成比例的问题．在初中数学中，证明4条线段成比例是一类比较常见的题目．解题者在解决过与比例线段有关的问题之后，就会积累一些如何处理这类问题的知识与经验，归纳总结出解决这类题目的一些常用方法，为解决新问题奠定一定的基础，从解题思路与解题方向上来看，不同的教师有不同的解题计划，也就是策略知识．
例如，受访教师T-1-3说：“遇到线段成比例有两种方法：一种是相似，三角形相似能出现比例的情况．还有平行线，利用平行线等分线段定理能够出现比例的情况．”除教师T-1-3之外，其它的教师都想到要通过证明平行或两个三角形相似两种方式来达到证明4条线段成比例的目的，也就是说证明平行或两个三角形相似是这些教师证明这个问题的两个主要的策略与努力方向．此外，教师T-1-1还有利用面积法解决4条线段成比例问题的经验，因此，在初步确定这道题目的解题思路时，除了相似和平行，教师T-1-1还考虑到使用面积方法，反映出教师T-1-1具有更丰富的解题策略，这为问题的解决积累了更为广阔的知识基础．在访谈之后的正式的问题解决过程中，也只有教师T-1-1尝试使用面积方法．另外，在证相似或平行这种宏观解题策略的指引下，由于通过平行不能直接得到比例线段，所以教师T-2-1、教师T-3-1、教师T-1-2、教师T-2-2和教师T-2-3都考虑通过证明两个三角形相似来达到目的，在问题解决过程中尝试着将所要求证的4条线段放在两个可能相似的三角形中．
总之，无论是通过面积，还是通过平行或相似，这些解题策略对解题过程都具有直接的指导作用，是解题者解决问
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题过程中思考的方向，策略知识是数学教师所具有的一种重要的学科知识． 3.3 问题图式
在尝试用平行或两个三角形相似来直接证明4条线段成比例失败后，大部分教师的解题一度陷入了困境，很多被试教师们开始了长时间的思考．在这个过程中，被试教师大都重新回顾题目中的已知条件，慢慢将注意力集中在了“D 为AB 的中点”这个条件上．对于这个条件有的教师产生了疑惑．教师T-3-2说：“不知道怎样才能利用上D 是中点这个条件”．而有的教师则由“D 为AB 的中点”这个条件得到启发，从中发现了自己熟悉的基本图形，并通过构造这个基本图形而获得了继续前进的新线索．有5位教师（教师T-1-1、教师T-2-1、教师T-2-2、教师T-3-2和教师T-1-3）由D 是AB 的中点想到要构造X 型的基本图形来达到线段的等量代换（如图3）．还有2位教师（教师T-3-1和教师T-3-3）也能够解决这个问题，在他们的解法中也有A 型或X 型的基本图形，但这两位教师并没有关注过这种基本图形，他们不是从要利用A 型或X 型的基本图形的性质这一
图3
A 型与X 型的基本图形
以下便是教师T-2-2的思考过程．
教师：欲证AE :EC =PB :PC ，首先要充分利用D 是AB 中点这个条件，要得到AE :EC =PB :PC 要有平行或者相似，但平行或者相似现在都得不到，那么想到用转移的思想，是否AE 能转移和其它线段相等？因为给出D 是中点这个条件，利用这个条件做一个过B 点和AC 平行的直线交PD 于F 点．
研究者：怎么想到要这样做呢？
教师：过B 点做和AC 平行的这条直线（所形成的这个图形）非常常用．在证明中这象一个大写的英文字母X ，在相似中专门有这种类型题，叫X 型．
上面的思路和解法是很多教师所采用的方法，对这些教师而言这是最自然的一种方法．不过，还可以通过构造A 型的基本图形来达到换项的目的．
总结起来，本研究中的被试教师有如下的构造基本图形的方法：这些证法主要是过A 点或B 点作平行线构造A 型或X 型的基本图形，利用A 型或X 型中的中位线或全等产生相等线段，由等量代换来证明4条线段成比例．复杂的几何图形也都是由一些简单的基本图形构成的，因此，掌握了解一些基本图形的性质与特征对于解决复杂的几何问题是有帮助的．在本研究中我们发现，在解决几何问题的过程中，当教师面对一个复杂的几何图形的时候，往往会从这个复杂图形中发现某些自己所熟悉的基本图形，从而将一个复杂的几何图形变成了几个基本图形的组合．这些基本图形就是一
44 数 学 教 育 学 报 第18卷
种问题图式．教师头脑中的这些问题图式对他们的问题解决有很大的影响．解题者往往从这些问题图式出发，将自己所熟悉的这些基本图形的性质作为另一种已知，将它与题目中原来的已知条件直接结合起来使用，对于这些问题图式的熟悉与掌握使解题者能很快了解题目中所蕴涵的中间结论，有助于解题者寻找解题的途径．
总之，通过分析该研究中的被试教师的解题过程，我们发现教师具有各种不同的与解题有关的学科知识．在这个过程中，教师不仅使用切割线定理、梅内劳斯定理这样明确的数学知识，而且也使用与解决4条线段成比例问题有关的策略知识，如通过证相似、平行或者面积方法可以达到证明4条线段成比例的目的．除此之外，在寻找解题思路的过程中，解题者所熟悉的A 型和X 型基本图形的问题图式也起了重要的作用．总的来讲，本研究中的数学教师有着丰富的学科知识．
没有太大差别，但教师所拥有的问题解决实践知识却有很大差别．在研究的访谈中我们了解到，在实际的教学中，教师并不是让学生盲目地大量解题搞题海战术，教师往往通过精心选择布置彼此联系的题组、彼此有区别的系列变式题目来突显某类问题的特点与方法，使学生在实际的问题情境中通过问题解决的过程亲身体会、总结题目的这些特点和方法，从而促进自身的实践知识的形成．这就要求教师必须具备一定的问题解决的实践知识，教师的问题解决的实践知识的丰富与否直接影响学生所练习的数学问题的质量，进而影响教学的成效．另外，在教学中教师不仅要让学生亲自参与问题解决的活动，而且教师要指导学生的解题活动．正如访谈中的教师所指出的，教师需要在与学生共同的解题活动中明确指出这道题目具有指导意义的典型特征，从而提高问题解决的实践活动的效率，促进学生问题解决的实践知识的形成．这同样要求教师首先具备一定的问题解决的实践知识．
因此，作为一名数学教师，不仅要拥有以往教师知识研究中所关注的概念、定理、算法等明确的数学知识，而且也要拥有一定的数学问题解决的实践知识．我们的研究充分验证了这一点．
在未来的研究中我们需要在代数、三角等不同领域里继续探讨教师的这种问题解决的实践知识．除了运用事实性知识的相关经验、问题图式、策略知识外，是否还有其它类型的实践知识？实践知识是怎样形成的？对这些问题的回答都会进一步增进我们对问题解决的实践知识的了解．
4 讨 论
教师学科知识的研究由来已久，从20世纪60年代至今始终是人们所关注的一个问题，但这些研究并不全面，特别是对于数学教师的学科知识的研究，很少有人探讨教师的问题解决的实践知识这一重要维度．在数学教育中，让学生学会解决问题是一个非常具有数学学科特色的教学目的与任务，正如Polya 所说“数学中知道怎样解题更重要，比只拥有知识重要得多”[12]．而要达到这个目的，教师自身问题解决的实践知识是至关重要的．
我们的研究发现，在某些情况下教师所拥有的命题知识
［参 考 文 献］
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Subject Matter Knowledge of Middle School Mathematics Teachers
HAN Ji-wei 1, HUANG Yi-ying 2, MA Yun-peng 3
(1. School of Mathematics and Statistics, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China;
第5期 韩继伟等 ：中学数学教师的学科知识
2. Faculty of Education, Chinese University of Hong Kong, China;
3. Faculty of Education, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China)
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Abstract: Subject matter knowledge is an important field in education research. In the past, researchers focused on two directions: mathematics teachers’ conceptual and procedural understandings. Not much was done in the investigation of teachers’ practical knowledge on mathematics problem solving. The present study reviews that there are three kinds of practical knowledge on problem solving within subject matter knowledge, which are practical experiential knowledge in using propositions, knowledge on problem solving strategies and problem schema. All three kinds are knowledge is very important in mathematics problem solving. Key words: teacher knowledge; subject matter knowledge; practical knowledge of problem solving
[
责任编校：陈隽]
全国高等师范院校数学教育研究会2009年常务理事会
数学教育人才培养与中国数学教育传统 具体研究专题包括：
（1）数学教育专业各类研究生培养与课程建设； （2）数学教师知识及其发展研究； （3）我国数学教育传统的研究；
（4）数学史与数学文化在数学教育中的地位和作用； （5）中小学数学课堂教学研究； （6）其他数学教育理论与实践研究．
4．2010年第七届全国年会将按研究会章程（2006）进行理事会换届改选．为做好理事会换届改选工作，请各省（市、自治区）推荐理事候选人7~10名，其中包括常务理事候选人2~3名，具体名单于2010年3月30日前报送理事会秘书长北京师范大学数学科学学院曹一鸣教授．
5．常务理事会强调：要进一步提高年会学术性，会议报告、论文的内容须严格围绕会议主题．会议期间将组织论文评比活动．
6．为提高年会的国际影响力，进一步加强中国数学教育与国际数学教育的平等交流，增设国际数学教育沙龙，境外数学教育代表将参加沙龙活动．为给研究生提供更多的交流机会，年会期间还将举办研究生论坛，希望各分会组织数学教育研究生踊跃参加论坛活动．
7．常务理事会决定创建研究会的独立网站 www. camedu.org.cn ．网站将在近日开通，研究会成员可以通过网站查询信息，进行学术交流、会议注册和工作联系．
按原计划于2009年7月20日至7月26日在新疆如期举行，来自全国16个省市自治区近30名常务理事或代表出席了会议．
本次会议能够在当时新疆的特殊形势下顺利举行，完全得益于新疆师范大学田宏根教授积极努力和卓越贡献，全体与会人员对此表示衷心的感谢．
会议期间，与会代表围绕会议主题对进行认真讨论和交流．理事长、南京师范大学数学科学学院涂荣豹教授向会议通报了常务理事会过去3年中所做的主要工作，着重介绍了研究会成员参加各种国际会议，进行国际数学教育交流和创办国际数学教育学术刊物的具体情况；各省(市、自治区) 的常务理事分别介绍了各省数学教育研究的进展，分会的发展和工作的情况；与会人员对即将于2010年召开的我会第七届全国年会的各项事宜进行了充分讨论．
本次会议对常务理事会近年来所开展工作给予了充分的肯定．会议认为：目前国际数学教育研究繁荣，中国数学教育受到了高度关注，本届理事会抓住机遇，以积极进取的态度，务实的工作作风，团结协作，广泛开展了国际间平等合作交流活动，提升了本研究会以及中国数学教育在国际上的整体影响力．
本次常务理事会会议就下述具体事宜达成一致意见： 1．鉴于目前参加研究会活动的单位和人员已不局限于高等师范院校，提议“全国高等师范院校数学教育研究会”更名为“全国数学教育研究会”．这样可吸收更多优秀数学教师和教研人员共同开展数学教育研究，加强理论与实践的联系，推动数学教育研究的发展．同时希望尚未成立分会的各省市、自治区应创造条件积极筹建，常务理事会可以给予必要的协助．
2．研究会第七届年会定于2010年6月下旬在杭州召 开，由杭州师范大学承办，会议注册和论文提交等具体事宜将在近期另行通知．
3．2010年第七届学术年会会议主题为：
全国高等师范院校数学教育研究会
2009-8-10