人教实验版数学
八年级
§14．1 轴对称
课时安排
3课时
轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，通过对形形色色的轴对称
图形的观察、分析，逐步掌握轴对称的基本性质．同时，轴对称也是探索
一些图形的性质，认识、描述图形形状和位置的必要手段之一．
本节立足于学生已有的生活经验和初步的数学活动经历，从观察生活
中的轴对称现象开始，从整体的角度直观认识并概括出轴对称的特征，并
在此基础上给出线段垂直平分线的概念，从而得到两个图形对称轴．
教学时，要让学生体会到本节内容并不是简单的对称现象的欣赏．引
导学生逐步了解和领略轴对称现象的共同规律，形成有关轴对称的基本性
质．注重使学生经历探索轴对称性质的实践活动，有意识地满足学生多样
化的学习需求，为学生提供个性化学习的时间和空间．
§14．1．1 轴对称（一）
第一课时
教学目标
（一）教学知识点
1．在生活实例中认识轴对称图．
2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．
（二）能力训练要求
1．通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其
对称轴．
2．经历观察、分析的过程，训练学生观察、分析的能力．
（三）情感与价值观要求
通过对丰富的轴对称现象的认识，进一步培养学生积极的情感、态度，
促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美能力的提高．
教学重点:轴对称图形的概念．
教学难点: 能够识别轴对称图形并找出它的对称轴．
教学方法:启发诱导法．
教学过程
Ⅰ．创设情境，引入新课
[师]我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，
艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形
生长，中国的方块字中些也具有对称性„„对称给我们带来多少美的感受！
初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使
我们感受到自然界的美与和谐．
轴对称是对称中重要的一种，让我们一起走进轴对称世界，探索它的
秘密吧！
从这节课开始，我们来学习第十四章：轴对称．今天我们来研究第一
节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴．
Ⅱ．导入新课
[师]我们先来看几幅图片（出示图片），观察它们都有些什么共同特征．
[生甲]这些图形都是对称的．
[生乙]这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合．
[师]对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作
品，•甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我
们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子．
[生丙]我们的黑板、课桌、椅子等．
[生丁]我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的．
[师]同学们回答得真好，大家举了这么多对称的例子，现在我们来看
一下下面的问题，我们来研究一下什么是轴对称图形．
观察
如图14．1．2，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），
•再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．
观察得到的窗花和图14．1．1中的图形，你能发现它们有什么共同的
特点吗？
总结:如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这
个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这
个图形关于这条直线（成轴）•对称．
[师]了解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做一做．
（屏幕显示）
取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个
图案，•将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？与同伴进行交
流．
（学生操作、讨论，教师指导）
[生]我们经过操作、讨论、交流得知：位于折痕两侧的图案是对称的，
它们可以互相重合．
[师]很好，由此我们进一步了解了轴对称图形的特征：一个图形沿一
条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合．
接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题．有些轴对称图形的对称轴
只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对
称轴甚至有无数条，•大家请看屏幕．
（点击课件）
你能找出它们的对称轴吗？分小组讨论．
学生讨论得出结果：图（1）有四条对称轴；图（2）有四条对称轴；
图（3）有无数条对称轴；图（4）有两条对称轴；图（5）有七条对称轴．
[师]大家回答得很好，看屏幕．
（演示折叠过程）
(1) (2) (3) (4)
(5)
接下来，大家想一想，你发现了什么？
（屏幕显示）
[生甲]这些图形都是轴对称图形．
[生乙]可是轴对称图形指的是一个图形，而这些图形每组都是两个图
形，能不能说两个图形成轴对称呢？
[师]乙同学的观察能力很强，提的问题非常好．像这样，•把一个图形
沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图
形关于这条直线对称，•这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，
叫做对称点．
（屏幕显示上图中的两个成轴对称图形的对称点）
好，接下来我们做练习来巩固所学内容．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P117练习
Ⅳ．课时小结
这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，
进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称．
Ⅴ．课后作业
（一）课本习题14．1─1、2、6、7、8题．
（二）预习课本P118～P120内容．
板书设计
§14．1．1 轴对称（一）
一、轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．
二、两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称．
三、随堂练习
四、小结
14.1.2轴对称（二）
授课教师：陈剑颖
授课班级：福州十一中 八年（12）班
一．【教学目标】
（一）教学知识点
1．了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质．
2．了解线段垂直平分线的概念．
（二）能力训练要求
1．经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察．
2．能利用轴对称性质，准确画出轴对称图形的对称轴。
3．能运用性质作出某图形关于某条直线对称的图形。
（三）情感与价值观要求
（1）通过对轴对称图形性质的探索，促使学生对轴对称有了更进一步的认识，活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，•并使学生具有一些初步研究问题的能力．
（2）经历实际操作、认真体验的过程，发展学生的思维空间。
(3)在与他人的合作过程中，增强互相帮助、团结协作的精神。
二．【教学设计】
（一）学情分析
本课时是在第一课时－轴对称的认识后对轴对称图形的进一步研究，较符合学生的认知特征，通过对轴对称图形性质的探索，让学生对图形轴对称有了更深入的了解，从本质上理解两个图形成轴对称所具有的特征，丰富了学生对轴对称的直观体验与理解，更贴近学生的学习生活实际。
（二）教学思路
1．“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验“这是新课程所倡导的一种理念，更应是我们在教学中努力去追求和实践的一种目标．在这种理念的指导下，本课设计了如实践探究、合作探究、折一折、说一说、想一想等活动，鼓励学生在探索活动中获取新知识。
2．学生的数学学习都是建立在一定的基础和经验之上的，这些新的知识和经验又是进一步学习的知识和经验，因此在复习轴对称概念的基础上探究轴对称的性质，注意知识的前后联系。
3．“学生通过自主探究所获得的知识远比教师直接传授有意义得多，体验深刻得多．”因此，本节课的设计重视动手操作，实践探究，但如果只有
操作，而没有数学体验，数学课又很容易上成劳技课，所以，本节课的设计在重视活动的同时，又重视知识的获取，因为动手操作的目的本身就在于更直观地发现新知识．
三．【教学策略与方法】
（一）教学策略
课堂组织策略：创设贴近学生生活，生动有趣的问题情境，开展活泼、主动、有效的数学活动，组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握图形轴对称的性质。 学生学习策略：明确学习目标，了解所需掌握的知识，在教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，从而真正有效地理解和掌握知识。
辅助策略：借助实物模型、实物投影仪及多媒体课件，使学生直观形象地观察、实验。（
二）教学方法
演示法：多媒体课件演示，使学生直观、具体、形象地感知图形。 实验法：让学生动手操作，在画图操作过程中体会轴对称的性质。 讨论法：在学生进行了自主探索之后，让他们进行合作交流，使他们互相促进、共同学习。
引导发现法：引导学生由浅入深，从最简单的图形（点）开始探索轴对称的性质。
四．【教学重难点】
（一）教学重点
1．轴对称的性质．
2．线段垂直平分线的性质．
（二） 教学难点
体验轴对称的特征．
画轴对称图形的对称轴
五．【课前准备】
白纸、多媒体课件、投影仪．
六．【教学流程】
一．复习引入
师：上节课我们欣赏了许多生活中具有轴对称特征的图片，对轴对称图形已经有了初步的认识，今天我们要进一步深入学习轴对称的知识。
板书课题：14.1轴对称（二）
问：这几组图片中，直线两旁的图案分别有什么关系？
；
学生观察比较后总结：只有第一组中直线两旁的图形是关于中间的直线对称；
师：通过以上4组图形的比较，我们对图形的轴对称已经有了一个整体的认识：折叠后能够完全重合。今天我们要更加深入、更加细致地研究轴对称图形的性质，那么应该从什么地方入手？
引导：图形由点组成，从点开始入手研究。
（设计意图：复习轴对称的概念，为探究一的提出做好准备，同时让学生体会在看到事物表面规律的同时，应更加深入了解问题的本质，可从由浅入深，由一般到特殊进行研究）
二．探究一――――探索轴对称的性质
（一）折一折
问：在纸上任意画出一条直线，那么如何作出两个点关于直线对称？ 学生活动：小组讨论、交流，小组代表发言
教师活动：充分肯定学生的想法，并引导学生通过折纸得到两个点关于直线对称。
做法：先将纸张沿着直线对折，
用笔尖在纸上穿一个孔，然后再把纸展开，
就得到两个点对称。
学生活动：按照以上做法操作，并按照多媒体演示
给相应的点标上字母。
（设计意图：这里采用让学生动手折一折，
目的是让学生在折纸中体验对称性。）
（二）说一说
（1）问：在上面的扎孔过程中，点A与点A'
重合，
设折痕为MN，连接点A与点A'的线段与MN有
什么关系？
• 设AA'交MN与点O，
因为折叠时点A 与点A'重合，所以OA与OA'重合，
即O是AA'的中点。又因为∠1＝∠2，∠1＋∠2＝180，
所以∠1＝∠2＝90，
所以MN垂直AA'
（设计意图：先选取一个点进行实验，一是解决一个点，就解决了其他的点，二是从简单入手分析问题本身是我们推理和解决问题的一种手段。） 给出垂直平分线的概念：经过某条线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
（2） 类似地，再取点B与点B'，点C与点C'是
否也有同样的关系?你能用语言归纳上述发现的规律
吗?
(对称轴所在的直线经过对称点所连线段的中点，并且
垂直于这条线段)
师：在刚才的探究过程中，我们从两点对称开始研究，
到线段对称，到三角形（图形）的对称，在整个探究
过程中，你发现了什么规律？
学生总结：
两个图形成轴对称，任何一对对称点连线，被对称轴垂直平分。
（三）想一想
上述性质是对两个成轴对称的图形来说的，如果是一个轴对称图形，那么它的对应点的连线与对称轴之间是否也与同样的关系呢?
00
从而得出：类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一
对对应点连线的垂直平分线．
通过以上探究过程，引导学生总结归纳图形轴对称的
性质：
如果两个图形关于某条直线对称，•任何一对对称点
A
连线被对称轴垂直平分。
类似地，一个轴对称图形的任何一对对称点连线被对
称轴垂直平分。
（设计意图：从折一折到说一说、想一想，其意图是把这
个教学过程设计成让学生主动地参与进来，转变以往的学习方式。）
三．探究二――画对称轴
例1、 如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出
这条对称轴吗？
学生板演并总结做法：
1.连接AB 2.取AB中点D 3.过D做DE垂直于AB
1．师：以上给出了两点对称找对称轴的做法，那么对于
两个图形该怎样找到它们的对称轴呢？请
同学们动手画一画。
学生活动：画出下列图形的对称轴：
教师活动：投影仪显示学生作品，并对学
生的画法给予讲评。
归纳： A
B
如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线，因此， 我们只要找到一对对应点，做出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴。
2．对于两个图形成轴对称我们可以找到它们的对称轴，那么对于一个轴对称图形又该杂那么办呢？
问：看看你能作下图的对称轴吗？能作多少条？
教师活动：多媒体显示结果，请学生进行自我对比和比
较。
归纳：
对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直
平分线，就得到图形的对称轴
四．探究三－作一个图形经轴对称变换后的图形（寻找我的另一半）
师：刚才我们根据图形轴对称的性质，了解了如何画两个轴对称图形的对
称轴。如果现在只给出轴对称图形的一部分，我们能不能也根据这个性质，
画出它的另一半呢？
例2、 如图，已知△ABC 和直线 l ，作出与△ABC
图形
（1）过点A作直线 l 的垂线，垂足为O，
在垂线上截取O A' ＝OA，
点A ‘就是点A关于直线 l 的对称点；
（2）类似地，可以作出B、C关于
l 的对称B ' 、 C ' ；
（3）连接A ' B ' 、 B ' C ' 、 C ' A ' ，
△ A ' B ' C '为所求。
让学生归纳画图要点，学生回答后，教师总结：一个平面图形都是由
一些线组成，而点动成线，所以，要画一个图形经轴对称后的图形，只
要找到一些特殊点，作出这些特殊点的对称点即可．
五．随堂练习
请你把下列图形补成关于直线 l 对称的图形。 B ' l
l
教师活动：投影仪显示学生作品，并加以点评。
（设计意图：通过练习，使学生学会运用轴对称性质画图，培养学生
思维的流畅性，体验变换思想。）
六．小结提高：
1．本节课你学到了什么?
(1)从知识上：一个概念(线段的垂直平分线)，四条性质(轴对称图
形的性质、垂直平分线的性质)，
(2)从方法上：合作探究是数学学习的一种重要方法，数学与实际
问题的联系．
（设计意图：让学生进行小结有利于培养学生良好的学习品质和学习
习惯，当然教师应该加以引导．）
七．布置作业：
1．必做题：教科书第125页第3题，第126页第5、9题．
2．选做题；教科书弟126页第11题，第127页第12题．
§14．1．3 轴对称（三）
§14．2 轴对称变换
课时安排
3课时
从容说课
这部分内容与学生的实际生活联系比较紧密．学生通过实际操作去体
会轴对称图形的性质，并且可以利用轴对称变换来设计美丽的图案．
在本节的教学中有两个重点，一个是作出图形关于一条直线的对称图
形，另一个重点是用坐标表示轴对称．在教学过程中应注意：（1）•注重学
生的合作和交流活动，在活动中促进知识的学习，并进一步发展学生的合
作交流意识和能力．（2）•注意学生运手能力的培养，在动手的过程中体会
轴对称变换，并且对上一节的知识作进一步的理解．（3）关注学生对知识
技能的理解和应用，•发展学生在实际应用中体会数学思想的能力．
另外，在本节的探究中，也提出了一个应用较广泛的实际问题，要引
导启发学生，初步培养学生运用数学知识解决实际问题的能力．
§14．2．1．1 轴对称变换（一）
（一）教学知识点
1．通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换．
2．如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形．
（二）能力训练要求
经历实际操作、认真体验的过程，发展学生的思维空间，并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用．
（三）情感与价值观要求
1．鼓励学生积极参与数学活动，培养学生的数学兴趣．
2．初步认识数学和人类生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的应用意识．
3．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点
1．轴对称变换的定义．
2．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．
教学难点
1．作出简单平面图形关于直线的轴对称图形．
2．利用轴对称进行一些图案设计．
教学方法: 讲练结合法．
教学过程
Ⅰ．设置情境，引入新课
在前一个章节，我们学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质问题．在上节课的作业中，我们有个要求，让同学们自己思考一种作轴对称图形的方法，现在来看一下同学们完成的怎么样．
[生甲]将一张纸对折后，用针尖在纸上扎出一个图案，将纸打开后铺平，•得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形．
[生乙]准备一张质地较软，吸水性能好的纸或报纸，在纸的一侧上滴上一滴墨水，将纸迅速对折，压平，并且手指压出清晰的折痕．再将纸打开后铺平，•位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的．
[师]大家回答得太好了，•这节课我们就是来作简单平面图形经过轴对称后的图形．
Ⅱ．导入新课
[师]刚才同学们说出了几种得到轴对称图形的方法，•由我们已经学过的知识知道，连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
类似地，我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重
复这个过程，可以得到美丽的图案．（电脑演示下面图案的变化过程）大家看大屏幕．
对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也会发生变化．大家看大屏幕，从电脑演示的图案变化中找出对称轴的方向和位置，体会对称轴方向和位置的变化在图案设计中的奇妙用途．
[师]下面，同学们自己动手在一张纸上画一个图形，将这张纸折叠描图，•再打开看看，得到了什么？改变折痕的位置并重复几次，又得到了什么？同学们互相交流一下．
（学生动手做）
结论：由一个平面图形呆以得到它关于一条直线L对称的图形，•这个图形与原图形的形状、大小完全相同；
新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点； 连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
[师]我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．
成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到．一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的．
动手做一做．
（课件演示）
取一张长30厘米，宽6厘米的纸条，将它每3厘米一段，•一正一反像“手风琴”那样折叠起来，并在折叠好的纸上画上字母E，用小刀把画
出的字母E挖去，拉开“手风琴”，你就可以得到以字母E为图案的花边．回答下列问题．
（1）在你所得的花边中，相邻两个图案有什么关系？•相间的两个图案又有什么关系？说说你的理由．
（2）如果以相邻两个图案为一组，每一组图案之间有什么关系？•三个图案为一组呢？为什么？
（3）在上面的活动中，如果先将纸条纵向对折，再折成“手风琴”，•然后继续上面的步骤，此时会得到怎样的花边？它是轴对称图形吗？先猜一猜，再做一做．
注：为了保证剪开后的纸条保持连结，画出的图案应与折叠线稍远一些．
[生甲]相邻两个图案成轴对称图形，相间的两个图案之间大小和方向
完全一样．
[生乙]都成轴对称关系．
[生丙]得到与上面类似的两层花边，它仍然是轴对称图形．
[师]下面我们做练习．
Ⅲ．随堂练习
（课件演示）
（一）如图（1），将一张正六边形纸沿虚线对折折3次，得到一个多层的60°角形纸，用剪刀在折叠好的纸上随意剪出一条线，如图（2）．
（1）猜一猜，将纸打开后，你会得到怎样的图形？
（2）这个图形有几条对称轴？
（3）如果想得到一个含有5条对称轴的图形，你应取什么形状的纸？应如何折叠？
（二）回顾本节课内容，然后小结．
Ⅳ．课时小结
本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形，•并且利用轴对称变换来设计一些美丽的图案．在利用轴对称变换设
计图案时，要注意运用对称轴位置和方向的变化，使我们设计出更新疑独特的美丽图案．
Ⅴ．课后作业
（一）自己设计并制作一个花边．
（二）收集并欣赏1～2个对称的中国民间剪纸图案，你能找出它的对称轴吗？
板书设计
§14．2．1．1 轴对称变换（一）
一、轴对称变换
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．
二、利用轴对称变换设计图案
三、随堂练习
四、课时小结
五、课后作业
§14．2 .2 用坐标表示轴对称
教学要求：在平面直角坐标系中，确定轴对称变换前后两个图形中特殊点
的位置关系，再利用轴对称的性质作出成轴对称的图形
教学重点：用坐标表示轴对称
教学难点：利用转化的思想，确定能代表轴对称图形的关键点
教学过程：
一、复习轴对称图形的有关性质
二、新授：
1．学生探索：
点(x,y)关于x轴对称的点的坐标(x,－y)；点(x,y)关于y轴对称的点的坐标(－x,y)；点(x,y)关于原点对称的点的坐标(－x,－y)
2．师生共同解答例3 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5,1)、B(－2,1)、C(－2,5)、D(－5,4)，分别作出与四边形ABCD关于x轴和y轴对称的图形．
（1）学生归纳：与已知点关于y 轴或x轴对称的点的坐标的规律；
（2）学生画图
（3）对于这类问题，只要先求出已知图形中的一些特殊点的对应点的坐标，描出并顺次连接这些特殊点，就可以得到这个图形的轴对称图形． 3探究例子
分别作出△PQR关于直线x=1(记为m)和直线y=－1(记为n)对称的图形，你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗？
（1）学生画图，由具体的数据，发现它们的对应点的坐标之间的关系
（2）若△P1Q1R1中P1(x1,y1)关于x=1(记为m)轴对称的点的坐标P2 (x2,y2) ， 则x1x2m，y1= y2． 2
若△P1Q1R1中P1(x1,y1)关于y=－1(记为n)轴对称的点的坐标P2 (x2,y2) ，
则x1= x2，y1y2=n． 2
三、小结本节内容
四、训练：课本135页的第1～3题
五、作业：课本136页的第5～7题
§14．3 等腰三角形
课时安排
4课时
从容说课
前面两节中，通过对生活中的轴对称现象的认识，进一步对轴对称的性质作了研究，还探讨了轴对称变换，能够作出一些简单的平面图形关于一条直线的对称图形，所以学生对这些结论已经有所了解．
本节在我们已学过的知识的基础上，进一步认识特殊的轴对称图形──等腰三角形，并探究等腰三角形的性质及等腰三角形的判定．在探究等腰三角形的相关问题时，再对等边三角形的相关内容进行深入探讨．
本节的重点是探索等腰三角形和等边三角形的性质及判定，并利用这些性质和判定求解相关的问题，进一步发展学生的数学思维．本节的重点同时也是本节的难点．教师在教学中，不可操之过急，应逐步引导，让学生去发现去探索这些性质，学生对它的理解要有一个过程，对它的应用也要慢慢去认识，并且在教学中要注意对学生数学思想的渗透以及分析问题、解决问题能力的培养．
§14．3．1．1 等腰三角形（一）
教学目标
（一）教学知识点
1．等腰三角形的概念．
2．等腰三角形的性质．
3．等腰三角形的概念及性质的应用．
（二）能力训练要求
1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．
2．探索并掌握等腰三角形的性质．
（三）情感与价值观要求
通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．
教学重点
1．等腰三角形的概念及性质．
2．等腰三角形性质的应用．
教学难点:等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．
教学方法:探究归纳法．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？
[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．
[师]那什么样的三角形是轴对称图形？
[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．
[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．
Ⅱ．导入新课
[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．
A
BC
I
作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．
[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．
[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本P138探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．
„„
[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．
[师]有了上述概念，同学们来想一想．
1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
2．等腰三角形的两底角有什么关系？
3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？
总结:
等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．
例题讲解:
[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求：△ABC各角的度数．
A
[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．
[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到
∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，•
再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC的三个内角．
[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．
（课件演示）
[例]因为AB=AC，BD=BC=AD，
所以∠ABC=∠C=∠BDC．
∠A=∠ABD（等边对等角）．
设∠A=x，则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°．
在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．
[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P141练习 1、2、3．
（二）阅读课本P138～P140，然后小结．
Ⅳ．课时小结
这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．
我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．
Ⅴ．课后作业
（一）课本P147─1、3、4、8题．
（二）1．预习课本P141～P143．
2．预习提纲：等腰三角形的判定．
板书设计
§14．3．1．1 等腰三角形（一）
§14．3．1．1 等腰三角形（二）
教学要求：理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论，并能利用其性质与
判定证明线段或角的相等关系.
教学重点：等腰三角形的判定定理及推论的运用
教学难点：正确区分等腰三角形的判定与性质.能够利用等腰三
角形的判定定理证明线段的相等关系.
教学过程：
一、复习等腰三角形的性质
二、新授：
提出问题，创设情境
出示投影片．某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(B点)为B标，然后在这棵树的正南方(南岸A点抽一小旗作标志)沿南偏东60°方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30°，这时，地质专家测得AC的长度就可知河流宽度．
学生们很想知道，这样估测河流宽度的根据是什么？带着这个问题，引导学生学习“等腰三角形的判定”．(板书课题)
动手实验，发现新知
1．由性质定理的题设和结论的变化，引出研究的内容——在△ABC中，苦∠B=∠C，则AB= AC吗？
师生共同操作：作一个两个角相等的三角形(教师在黑板上做，学生在一张白纸上做)，然后观察两等角所对的边有什么关系？
2．学生回答发现的结果，引出命题(板书命题)
3．教师引导学生根据图形，写出已知、求证．
学生思考证明思路，由学生说出一种证法(教师扳书)，教师进一步鼓励学生讨论证明此题的其他方法，形成对定理的深刻印象．(教师对学生的回答给予评价)
4．教师对定理进行小结，通过论证，这个命题是真命题，即“等腰三角形的判定定理”(板书定理名称)．
强调此定理是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据，类似于性质定理可简称“等角对等边”．
5．引导学生说出引例中地质专家的测量方法的根据．
三、变式练习、巩固新知
1．如图
2
其中△ABC是等腰三角形的是 [ ]
2．①如图3，已知△ABC中，AB=AC．∠A=36°，则∠C______(根据什么？)．
②如图4，已知△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，△ABC是______三角形(根据什么？)．
③若已知∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC交AC于D，判断图5中等腰三角形有______．
④若已知 AD＝4cm，则BC______cm．
3．以问题形式引出推论l______．
4．以问题形式引出推论2______．
例题教学，运用新知
1．投影 如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，求证这个三角形是等腰三角形．
2．引导学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明． 强化训练，掌握新知
5．(l)如图6，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE//BC，交AB于点D，交AC于E．问图中哪些三角形是等腰三角形？
(2)上题中，若去掉条件AB=AC，其他条件不变，图6中还有等腰三角形吗？
六、课堂小结
1．判定一个三角形是等腰三角形有几种方法？
2．判定一个三角形是等边三角形有几种方法？
3．等腰三角形的性质定理与判定定理有何关系？
4．现在证明线段相等问题，一般应从几方面考虑？
思考题：如图7，利用今天学到的知识，思考怎样测出旗杆高？
七、布置作业
1．阅读教材
2．书面作业：教材第150页第12题
教学设计说明
1．精心设计引课方式，通过设疑，引起悬念，激发学生的求知欲望，创设教学情境，提高学生的学习兴趣，既体现数学的实用性，又很自然地引入本节课题．
2．把等腰三角形判定定理做为知识主线，训练学生思维，以设疑——感知——概括——证明——运用为教学程序，充分遵循学生认识事物的规律，使学生能顺利地掌握重点，突破难点，提高能力．
3．在课堂教学中，引导学生体会知识的发生发展过程，坚持启发式，鼓励学生充分地动脑、动口、动手，积极地参与到教学中来．
4．在充分尊重教材的前提之下，融教材练习、习题于教学过程中，增设了由浅入深、各不相同却又紧密相关的训练题目，为学生顺利掌握等腰三角形的判定定理创造了有利条件．在训练学生思维上下功夫，不仅使学生了解这道题怎么做，还要使学生知道这一类题通常怎么做，更要使学生明白为什么要这样做，从而使学生由“学会”发展为“会学”．
§14．3．2.1 等边三角形（一） 教学要求：①了解等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形是轴对称
图形．
②会阐述、推证等边三角形的性质和判定方法．
③经历应用等边三角形性质的过程培养分析问题、解决
问题的能力．
教学重点：等边三角形的判定定理及其运用．
教学难点：等边三角形性质的应用．
教学过程：
一、复习等腰三角形的判定与性质
二、新授：
1．等边三角形的性质：三边相等；三角都是60°；三边上的中线、高、角平分线相等
2．等边三角形的判定：
三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
注意：推论1是判定一个三角形为等边三角形的一个重要方法.推论2说明在等腰三角形中，只要有一个角是600，不论这个角是顶角还是底角，就可以判定这个三角形是等边三角形。推论3反映的是直角三角形中边与角之间的关系.
3．由学生解答课本148页的例子；
4．补充：已知如图所示, 在△ABC中, BD是AC边上的中线, DB⊥BC于B,
∠ABC=120o, 求证: AB=2BC
分析 由已知条件可得∠ABD=30o, 如能构造有一个锐角是30o的直角三角形, 斜边是AB,30o角所对的边是与BC相等的线段,问题就得到解决了.
证明: 过A作AE∥BC交BD的延长线于E ∵DB⊥BC(已知)
∴∠AED=90o (两直线平行内错角相等)
在△ADE和△CDB中
ECBD(已证)ADEBDC(对顶角相等)
ADCD(已知)
∴△ADE≌△CDB(AAS)
∴AE=CB(全等三角形的对应边相等)
∵∠ABC=120o,DB⊥BC(已知)
∴∠ABD=30o
在Rt△ABE中,∠ABD=30o
∴AE=A D C E 1
2
角等于30,
那么它所对的直角边等于斜边的一半)
∴BC= B D AB(在直角三角形中,如果一个锐 o1AB 即AB=2BC 2 A C E
点评 本题还可过C作CE∥AB
5、训练：如图所示,在等边△ABC的边的延长线上取一点E,以CE为边作
等边△CDE,使它与△ABC位于直线AE的同一侧,点M为线段AD的中点,点N为线段BE的中点,求证:△CNM是等边三角形.
分析 由已知易证明△ADC≌△BEC,得BE=AD,∠EBC=∠DAE,而M、N分别为BE、AD的中点，于是有BN=AM，要证明△CNM是等边三角形，只须证MC=CN，∠MCN=60o，所以要证△NBC≌△MAC，由上述已推出的结论，根据边角边公里，可证得△NBC≌△MAC
证明：∵等边△ABC和等边△DCE，
∴BC=AC，CD=CE，（等边三角形的边相等）
∠BCA=∠DCE=60o（等边三角形的每个角都是60）
∴∠BCE=∠DCA
∴△BCE≌△ACD（SAS）
∴∠EBC=∠DAC（全等三角形的对应角相等）
BE=AD（全等三角形的对应边相等）
又∵BN=11BE，AM=AD（中点定义） 22
∴BN=AM
∴△NBC≌△MAC（SAS）
∴CM=CN（全等三角形的对应边相等）
∠ACM=∠BCN（全等三角形的对应角相等）
∴∠MCN=∠ACB=60o
∴△MCN为等边三角形（有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形）
点评 1.本题通过将分析法和综合法并用进行分析,得到了本题的证题思路,较复杂的几何问题经常用这种方法进行分析
2.本题反复利用等边三角形的性质,证得了两对三角形全等,从而证得△MCN是一个含60o角的等腰三角形,在较复杂的图形中,如何准确地找到所需要的全等三角形是证题的关键.
三、小结本节知识
四、作业：课本151页第13，14题
§14．3．2.2 等边三角形（二）
§15．1 整式的加减
课时安排 2课时
本节包括整式与整式的加减，分两课时完成．整式属于概念课，教学时要力图概念形成的过程，可以首先给学生感性材料，让他们观察、分析、比较，找出材料中个体的共同点，最后进行抽象、概括．对单项式与多项式概念的处理采取逐步引入，层层加深的方法，这符合学生的认知规律，使学生能顺利接受，同时也培养了学生良好的思维习惯．整式的加减是在理解整式概念的基础上进行的初步运算，它的实质就是去括号、合并同类项，在理解算理的前提下，通过适当的训练，让学生掌握整式加减的一般步骤．
概念课，需要由特殊到一般，由具体到抽象，教学中力求向学生渗透数学知识来源于生活，又服务于生活的辩证关系．通过初步的符号表示与字母运算，进一步培养学生的数学推理能力．
§15．1．1 整式的加减(一)
教学目标
（一）教学知识点
1．单项式、单项式的次数． 2．多项式、多项式的次数． （二）能力训练要求
1．能从具体情景中抽象出数量关系和变化规律，•让学生经历具体问题的探索过程，培养符号感．
2．理解单项式、多项式及其次数概念，进而理解整式概念． （三）情感与价值观要求 通过丰富多彩的现实情景，让学生经历从具体问题中抽象出数量关系，在解决问题中了解数学的价值，发展“用数学”的信心． 教学重点: 单项式及多项式的有关概念． 教学方法
讲授与自主探索相结合的方法．
在学生自主探索现实情景中用字母表示数的问题，认识代数式作用的基础上，教师进行启发式讲解，使学生掌握整式的有关概念．
[师]代数式可以简明地表示数量和数量的关系．今天我们就来学习和代数式有关的整式．
一．明确和巩固单项式的有关概念
（出示投影） ．与a+b+cch、
2这三个代数式比较有没有特别之处呢？请分组讨论． t
学生活动:发现这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a+b+c、
1S
ch、中还有和与商的运算符号． 2t
还可以发现这五个代数式中字母指数各不相同，字母的个数也不尽相同．
它是不是一个特殊的代数式呢？
[师]请同学们阅读课本P160～P161单项式有关概念．
总结:
根据这些定义判断4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、
ch、这些代数2t
式中，哪些是单项式？是单项式的，写出它的系数和次数．
二．明确和巩固多项式的有关概念
师：生活中不仅仅有单项式，像a+b+c，它不是单项式，和单项式有什么联系呢？ [生]（1）t-5．（2）3x+5y+2z．
（3）三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积，即
1
ab-3.14r2． 2
（4）建筑面积等于四个矩形的面积之和．而右边两个已知矩形面积分别为3³2、4³3，所以它们的面积和是18．于是得这所住宅的建筑面积是x2+2x+18．
我们可以观察下列代数式：
a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.14r2、x2+2x+18．发现它们都是由单项式的和组成的式子．给出概念：
12
根据定义，我们不难得出a+b+c、t-5、3x+5y+2z、
ab-3.14r2、x2+2x+18都是多项式．请分别指出它们的项和次数． 这节课，通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念，它们可以反映变化的世界．同时，我们也体会到符号的魅力所在．我们把单项式与多项式统称为整式． 三．随堂练习
1．课本P162练习 Ⅳ．课时小结
通过探究，我们了解了整式的概念．理解并掌握单项式、多项式的有关概念是本节的重点，特别是它们的次数．在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义，•发展符号感． Ⅴ．课后作业
1．课本P165～P166习题15．1─1、5、8、9题． 2．预习“整式的加减”．
板书设计
2
§15．1．2 整式的加减(二)
§15．2 整式的乘法
课时安排 4课时
整式的乘法包括四大块内容：一是同底数幂的乘法；二是幂的乘方；三是积的乘方；四是整式的乘方，它包括单项式与单项式的乘积、单项式与多项式的乘积、多项式与多项式的乘积．其中四是一、二、三的综合应用．整式乘法是学生在掌握数的乘法、数乘运算法则的基础上进行字母、整式运算，它是思维的进一步深化，是对特殊──一般──特殊的认知规律的进一步理解．
本节内容按4课时完成，探究呈步步深入状态，学法有类似之处，•所以教学时，以问题形式，引导学生先独立地进行思考、探索，再通过交流、讨论，发现法则，使学生的学习过程成为再发现、再创造的过程，体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，使学生在学习过程中掌握学习与研究的方法，养成良好的学习习惯，从而学会学习，学会思考，学会合作，体验创新的乐趣．
本节教学的重点应放在正确理解“运算法则”上，教学中应给学生足够的时间，进行探索、归纳、发现、总结，从而理解运算法则，以至灵活运用法则解决问题，而不是包办代替，直接给出运算法则，让学生死记硬背，机械应用．通过本节学习，要使学生在对知识的再创造和再发现的活动中培养创新精神和探索能力．
§15．2．1 同底数幂的乘法
教学目标
（一）教学知识点
1．理解同底数幂的乘法法则．
2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题． （二）能力训练要求
1．在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力． 2．通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，•使学生初步理解特殊──一般──特殊的认知规律． （三）情感与价值观要求
体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新的精神．
教学重点:正确理解同底数幂的乘法法则．
教学难点:正确理解和应用同底数幂的乘法法则． 教学方法
透思探究教学法：利用学生已有的知识、经验对所学内容进行自主探究、发现，在对新知识的再创造和再发现的活动中培养学生的探索创新精神与创新能力．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境 复习an的意义： an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a叫做底数，•n是指数．
（出示投影片） 提出问题： （出示投影片）
问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？ [师]1012×103如何计算呢？ [生]根据乘方的意义可知
1012×103=(1010)=1015． 10)×（10×10×10）=(1010
12个10
15个10
[师]很好，通过观察大家可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法．
根据实际需要，
我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法． Ⅱ．导入新课 1．做一做 出示投影片：
（让学生自主探索，在启发性设问的引导下发现规律，并用自己的语言叙述）．
[生]我们可以发现下列规律：
（一）这三个式子都是底数相同的幂相乘．
（二）相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．
2．议一议 出示投影片
[师生共析] am·an表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得： am·an=(aaa)·(aaa)=aaa=am+n
m个a
mnm+n
n个a
(m+n)个a
于是有a·a=a（m、n都是正整数），用语言来描述此法则即为：
“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”． 3．例题讲解 出示投影片
学生活动:板演 Ⅲ．随堂练习
1．课本P166练习：计算 Ⅳ．课时小结
[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，•请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？ Ⅴ．课后作业
1．课本P175习题15．2─1．（1）、（2），2．（1）、8． 板书设计
§15．2．3 单项式与单项式相乘,
单项式与多项式相乘
§15．2．4 多项式与多项式相乘
15．3．1 平方差公式
人教实验版数学
八年级
§14．1 轴对称
课时安排
3课时
轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，通过对形形色色的轴对称
图形的观察、分析，逐步掌握轴对称的基本性质．同时，轴对称也是探索
一些图形的性质，认识、描述图形形状和位置的必要手段之一．
本节立足于学生已有的生活经验和初步的数学活动经历，从观察生活
中的轴对称现象开始，从整体的角度直观认识并概括出轴对称的特征，并
在此基础上给出线段垂直平分线的概念，从而得到两个图形对称轴．
教学时，要让学生体会到本节内容并不是简单的对称现象的欣赏．引
导学生逐步了解和领略轴对称现象的共同规律，形成有关轴对称的基本性
质．注重使学生经历探索轴对称性质的实践活动，有意识地满足学生多样
化的学习需求，为学生提供个性化学习的时间和空间．
§14．1．1 轴对称（一）
第一课时
教学目标
（一）教学知识点
1．在生活实例中认识轴对称图．
2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．
（二）能力训练要求
1．通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其
对称轴．
2．经历观察、分析的过程，训练学生观察、分析的能力．
（三）情感与价值观要求
通过对丰富的轴对称现象的认识，进一步培养学生积极的情感、态度，
促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美能力的提高．
教学重点:轴对称图形的概念．
教学难点: 能够识别轴对称图形并找出它的对称轴．
教学方法:启发诱导法．
教学过程
Ⅰ．创设情境，引入新课
[师]我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，
艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形
生长，中国的方块字中些也具有对称性„„对称给我们带来多少美的感受！
初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使
我们感受到自然界的美与和谐．
轴对称是对称中重要的一种，让我们一起走进轴对称世界，探索它的
秘密吧！
从这节课开始，我们来学习第十四章：轴对称．今天我们来研究第一
节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴．
Ⅱ．导入新课
[师]我们先来看几幅图片（出示图片），观察它们都有些什么共同特征．
[生甲]这些图形都是对称的．
[生乙]这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合．
[师]对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作
品，•甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我
们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子．
[生丙]我们的黑板、课桌、椅子等．
[生丁]我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的．
[师]同学们回答得真好，大家举了这么多对称的例子，现在我们来看
一下下面的问题，我们来研究一下什么是轴对称图形．
观察
如图14．1．2，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），
•再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．
观察得到的窗花和图14．1．1中的图形，你能发现它们有什么共同的
特点吗？
总结:如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这
个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这
个图形关于这条直线（成轴）•对称．
[师]了解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做一做．
（屏幕显示）
取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个
图案，•将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？与同伴进行交
流．
（学生操作、讨论，教师指导）
[生]我们经过操作、讨论、交流得知：位于折痕两侧的图案是对称的，
它们可以互相重合．
[师]很好，由此我们进一步了解了轴对称图形的特征：一个图形沿一
条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合．
接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题．有些轴对称图形的对称轴
只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对
称轴甚至有无数条，•大家请看屏幕．
（点击课件）
你能找出它们的对称轴吗？分小组讨论．
学生讨论得出结果：图（1）有四条对称轴；图（2）有四条对称轴；
图（3）有无数条对称轴；图（4）有两条对称轴；图（5）有七条对称轴．
[师]大家回答得很好，看屏幕．
（演示折叠过程）
(1) (2) (3) (4)
(5)
接下来，大家想一想，你发现了什么？
（屏幕显示）
[生甲]这些图形都是轴对称图形．
[生乙]可是轴对称图形指的是一个图形，而这些图形每组都是两个图
形，能不能说两个图形成轴对称呢？
[师]乙同学的观察能力很强，提的问题非常好．像这样，•把一个图形
沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图
形关于这条直线对称，•这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，
叫做对称点．
（屏幕显示上图中的两个成轴对称图形的对称点）
好，接下来我们做练习来巩固所学内容．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P117练习
Ⅳ．课时小结
这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，
进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称．
Ⅴ．课后作业
（一）课本习题14．1─1、2、6、7、8题．
（二）预习课本P118～P120内容．
板书设计
§14．1．1 轴对称（一）
一、轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．
二、两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称．
三、随堂练习
四、小结
14.1.2轴对称（二）
授课教师：陈剑颖
授课班级：福州十一中 八年（12）班
一．【教学目标】
（一）教学知识点
1．了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质．
2．了解线段垂直平分线的概念．
（二）能力训练要求
1．经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察．
2．能利用轴对称性质，准确画出轴对称图形的对称轴。
3．能运用性质作出某图形关于某条直线对称的图形。
（三）情感与价值观要求
（1）通过对轴对称图形性质的探索，促使学生对轴对称有了更进一步的认识，活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，•并使学生具有一些初步研究问题的能力．
（2）经历实际操作、认真体验的过程，发展学生的思维空间。
(3)在与他人的合作过程中，增强互相帮助、团结协作的精神。
二．【教学设计】
（一）学情分析
本课时是在第一课时－轴对称的认识后对轴对称图形的进一步研究，较符合学生的认知特征，通过对轴对称图形性质的探索，让学生对图形轴对称有了更深入的了解，从本质上理解两个图形成轴对称所具有的特征，丰富了学生对轴对称的直观体验与理解，更贴近学生的学习生活实际。
（二）教学思路
1．“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验“这是新课程所倡导的一种理念，更应是我们在教学中努力去追求和实践的一种目标．在这种理念的指导下，本课设计了如实践探究、合作探究、折一折、说一说、想一想等活动，鼓励学生在探索活动中获取新知识。
2．学生的数学学习都是建立在一定的基础和经验之上的，这些新的知识和经验又是进一步学习的知识和经验，因此在复习轴对称概念的基础上探究轴对称的性质，注意知识的前后联系。
3．“学生通过自主探究所获得的知识远比教师直接传授有意义得多，体验深刻得多．”因此，本节课的设计重视动手操作，实践探究，但如果只有
操作，而没有数学体验，数学课又很容易上成劳技课，所以，本节课的设计在重视活动的同时，又重视知识的获取，因为动手操作的目的本身就在于更直观地发现新知识．
三．【教学策略与方法】
（一）教学策略
课堂组织策略：创设贴近学生生活，生动有趣的问题情境，开展活泼、主动、有效的数学活动，组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握图形轴对称的性质。 学生学习策略：明确学习目标，了解所需掌握的知识，在教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，从而真正有效地理解和掌握知识。
辅助策略：借助实物模型、实物投影仪及多媒体课件，使学生直观形象地观察、实验。（
二）教学方法
演示法：多媒体课件演示，使学生直观、具体、形象地感知图形。 实验法：让学生动手操作，在画图操作过程中体会轴对称的性质。 讨论法：在学生进行了自主探索之后，让他们进行合作交流，使他们互相促进、共同学习。
引导发现法：引导学生由浅入深，从最简单的图形（点）开始探索轴对称的性质。
四．【教学重难点】
（一）教学重点
1．轴对称的性质．
2．线段垂直平分线的性质．
（二） 教学难点
体验轴对称的特征．
画轴对称图形的对称轴
五．【课前准备】
白纸、多媒体课件、投影仪．
六．【教学流程】
一．复习引入
师：上节课我们欣赏了许多生活中具有轴对称特征的图片，对轴对称图形已经有了初步的认识，今天我们要进一步深入学习轴对称的知识。
板书课题：14.1轴对称（二）
问：这几组图片中，直线两旁的图案分别有什么关系？
；
学生观察比较后总结：只有第一组中直线两旁的图形是关于中间的直线对称；
师：通过以上4组图形的比较，我们对图形的轴对称已经有了一个整体的认识：折叠后能够完全重合。今天我们要更加深入、更加细致地研究轴对称图形的性质，那么应该从什么地方入手？
引导：图形由点组成，从点开始入手研究。
（设计意图：复习轴对称的概念，为探究一的提出做好准备，同时让学生体会在看到事物表面规律的同时，应更加深入了解问题的本质，可从由浅入深，由一般到特殊进行研究）
二．探究一――――探索轴对称的性质
（一）折一折
问：在纸上任意画出一条直线，那么如何作出两个点关于直线对称？ 学生活动：小组讨论、交流，小组代表发言
教师活动：充分肯定学生的想法，并引导学生通过折纸得到两个点关于直线对称。
做法：先将纸张沿着直线对折，
用笔尖在纸上穿一个孔，然后再把纸展开，
就得到两个点对称。
学生活动：按照以上做法操作，并按照多媒体演示
给相应的点标上字母。
（设计意图：这里采用让学生动手折一折，
目的是让学生在折纸中体验对称性。）
（二）说一说
（1）问：在上面的扎孔过程中，点A与点A'
重合，
设折痕为MN，连接点A与点A'的线段与MN有
什么关系？
• 设AA'交MN与点O，
因为折叠时点A 与点A'重合，所以OA与OA'重合，
即O是AA'的中点。又因为∠1＝∠2，∠1＋∠2＝180，
所以∠1＝∠2＝90，
所以MN垂直AA'
（设计意图：先选取一个点进行实验，一是解决一个点，就解决了其他的点，二是从简单入手分析问题本身是我们推理和解决问题的一种手段。） 给出垂直平分线的概念：经过某条线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
（2） 类似地，再取点B与点B'，点C与点C'是
否也有同样的关系?你能用语言归纳上述发现的规律
吗?
(对称轴所在的直线经过对称点所连线段的中点，并且
垂直于这条线段)
师：在刚才的探究过程中，我们从两点对称开始研究，
到线段对称，到三角形（图形）的对称，在整个探究
过程中，你发现了什么规律？
学生总结：
两个图形成轴对称，任何一对对称点连线，被对称轴垂直平分。
（三）想一想
上述性质是对两个成轴对称的图形来说的，如果是一个轴对称图形，那么它的对应点的连线与对称轴之间是否也与同样的关系呢?
00
从而得出：类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一
对对应点连线的垂直平分线．
通过以上探究过程，引导学生总结归纳图形轴对称的
性质：
如果两个图形关于某条直线对称，•任何一对对称点
A
连线被对称轴垂直平分。
类似地，一个轴对称图形的任何一对对称点连线被对
称轴垂直平分。
（设计意图：从折一折到说一说、想一想，其意图是把这
个教学过程设计成让学生主动地参与进来，转变以往的学习方式。）
三．探究二――画对称轴
例1、 如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出
这条对称轴吗？
学生板演并总结做法：
1.连接AB 2.取AB中点D 3.过D做DE垂直于AB
1．师：以上给出了两点对称找对称轴的做法，那么对于
两个图形该怎样找到它们的对称轴呢？请
同学们动手画一画。
学生活动：画出下列图形的对称轴：
教师活动：投影仪显示学生作品，并对学
生的画法给予讲评。
归纳： A
B
如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线，因此， 我们只要找到一对对应点，做出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴。
2．对于两个图形成轴对称我们可以找到它们的对称轴，那么对于一个轴对称图形又该杂那么办呢？
问：看看你能作下图的对称轴吗？能作多少条？
教师活动：多媒体显示结果，请学生进行自我对比和比
较。
归纳：
对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直
平分线，就得到图形的对称轴
四．探究三－作一个图形经轴对称变换后的图形（寻找我的另一半）
师：刚才我们根据图形轴对称的性质，了解了如何画两个轴对称图形的对
称轴。如果现在只给出轴对称图形的一部分，我们能不能也根据这个性质，
画出它的另一半呢？
例2、 如图，已知△ABC 和直线 l ，作出与△ABC
图形
（1）过点A作直线 l 的垂线，垂足为O，
在垂线上截取O A' ＝OA，
点A ‘就是点A关于直线 l 的对称点；
（2）类似地，可以作出B、C关于
l 的对称B ' 、 C ' ；
（3）连接A ' B ' 、 B ' C ' 、 C ' A ' ，
△ A ' B ' C '为所求。
让学生归纳画图要点，学生回答后，教师总结：一个平面图形都是由
一些线组成，而点动成线，所以，要画一个图形经轴对称后的图形，只
要找到一些特殊点，作出这些特殊点的对称点即可．
五．随堂练习
请你把下列图形补成关于直线 l 对称的图形。 B ' l
l
教师活动：投影仪显示学生作品，并加以点评。
（设计意图：通过练习，使学生学会运用轴对称性质画图，培养学生
思维的流畅性，体验变换思想。）
六．小结提高：
1．本节课你学到了什么?
(1)从知识上：一个概念(线段的垂直平分线)，四条性质(轴对称图
形的性质、垂直平分线的性质)，
(2)从方法上：合作探究是数学学习的一种重要方法，数学与实际
问题的联系．
（设计意图：让学生进行小结有利于培养学生良好的学习品质和学习
习惯，当然教师应该加以引导．）
七．布置作业：
1．必做题：教科书第125页第3题，第126页第5、9题．
2．选做题；教科书弟126页第11题，第127页第12题．
§14．1．3 轴对称（三）
§14．2 轴对称变换
课时安排
3课时
从容说课
这部分内容与学生的实际生活联系比较紧密．学生通过实际操作去体
会轴对称图形的性质，并且可以利用轴对称变换来设计美丽的图案．
在本节的教学中有两个重点，一个是作出图形关于一条直线的对称图
形，另一个重点是用坐标表示轴对称．在教学过程中应注意：（1）•注重学
生的合作和交流活动，在活动中促进知识的学习，并进一步发展学生的合
作交流意识和能力．（2）•注意学生运手能力的培养，在动手的过程中体会
轴对称变换，并且对上一节的知识作进一步的理解．（3）关注学生对知识
技能的理解和应用，•发展学生在实际应用中体会数学思想的能力．
另外，在本节的探究中，也提出了一个应用较广泛的实际问题，要引
导启发学生，初步培养学生运用数学知识解决实际问题的能力．
§14．2．1．1 轴对称变换（一）
（一）教学知识点
1．通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换．
2．如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形．
（二）能力训练要求
经历实际操作、认真体验的过程，发展学生的思维空间，并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用．
（三）情感与价值观要求
1．鼓励学生积极参与数学活动，培养学生的数学兴趣．
2．初步认识数学和人类生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的应用意识．
3．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点
1．轴对称变换的定义．
2．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．
教学难点
1．作出简单平面图形关于直线的轴对称图形．
2．利用轴对称进行一些图案设计．
教学方法: 讲练结合法．
教学过程
Ⅰ．设置情境，引入新课
在前一个章节，我们学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质问题．在上节课的作业中，我们有个要求，让同学们自己思考一种作轴对称图形的方法，现在来看一下同学们完成的怎么样．
[生甲]将一张纸对折后，用针尖在纸上扎出一个图案，将纸打开后铺平，•得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形．
[生乙]准备一张质地较软，吸水性能好的纸或报纸，在纸的一侧上滴上一滴墨水，将纸迅速对折，压平，并且手指压出清晰的折痕．再将纸打开后铺平，•位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的．
[师]大家回答得太好了，•这节课我们就是来作简单平面图形经过轴对称后的图形．
Ⅱ．导入新课
[师]刚才同学们说出了几种得到轴对称图形的方法，•由我们已经学过的知识知道，连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
类似地，我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重
复这个过程，可以得到美丽的图案．（电脑演示下面图案的变化过程）大家看大屏幕．
对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也会发生变化．大家看大屏幕，从电脑演示的图案变化中找出对称轴的方向和位置，体会对称轴方向和位置的变化在图案设计中的奇妙用途．
[师]下面，同学们自己动手在一张纸上画一个图形，将这张纸折叠描图，•再打开看看，得到了什么？改变折痕的位置并重复几次，又得到了什么？同学们互相交流一下．
（学生动手做）
结论：由一个平面图形呆以得到它关于一条直线L对称的图形，•这个图形与原图形的形状、大小完全相同；
新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点； 连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
[师]我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．
成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到．一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的．
动手做一做．
（课件演示）
取一张长30厘米，宽6厘米的纸条，将它每3厘米一段，•一正一反像“手风琴”那样折叠起来，并在折叠好的纸上画上字母E，用小刀把画
出的字母E挖去，拉开“手风琴”，你就可以得到以字母E为图案的花边．回答下列问题．
（1）在你所得的花边中，相邻两个图案有什么关系？•相间的两个图案又有什么关系？说说你的理由．
（2）如果以相邻两个图案为一组，每一组图案之间有什么关系？•三个图案为一组呢？为什么？
（3）在上面的活动中，如果先将纸条纵向对折，再折成“手风琴”，•然后继续上面的步骤，此时会得到怎样的花边？它是轴对称图形吗？先猜一猜，再做一做．
注：为了保证剪开后的纸条保持连结，画出的图案应与折叠线稍远一些．
[生甲]相邻两个图案成轴对称图形，相间的两个图案之间大小和方向
完全一样．
[生乙]都成轴对称关系．
[生丙]得到与上面类似的两层花边，它仍然是轴对称图形．
[师]下面我们做练习．
Ⅲ．随堂练习
（课件演示）
（一）如图（1），将一张正六边形纸沿虚线对折折3次，得到一个多层的60°角形纸，用剪刀在折叠好的纸上随意剪出一条线，如图（2）．
（1）猜一猜，将纸打开后，你会得到怎样的图形？
（2）这个图形有几条对称轴？
（3）如果想得到一个含有5条对称轴的图形，你应取什么形状的纸？应如何折叠？
（二）回顾本节课内容，然后小结．
Ⅳ．课时小结
本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形，•并且利用轴对称变换来设计一些美丽的图案．在利用轴对称变换设
计图案时，要注意运用对称轴位置和方向的变化，使我们设计出更新疑独特的美丽图案．
Ⅴ．课后作业
（一）自己设计并制作一个花边．
（二）收集并欣赏1～2个对称的中国民间剪纸图案，你能找出它的对称轴吗？
板书设计
§14．2．1．1 轴对称变换（一）
一、轴对称变换
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．
二、利用轴对称变换设计图案
三、随堂练习
四、课时小结
五、课后作业
§14．2 .2 用坐标表示轴对称
教学要求：在平面直角坐标系中，确定轴对称变换前后两个图形中特殊点
的位置关系，再利用轴对称的性质作出成轴对称的图形
教学重点：用坐标表示轴对称
教学难点：利用转化的思想，确定能代表轴对称图形的关键点
教学过程：
一、复习轴对称图形的有关性质
二、新授：
1．学生探索：
点(x,y)关于x轴对称的点的坐标(x,－y)；点(x,y)关于y轴对称的点的坐标(－x,y)；点(x,y)关于原点对称的点的坐标(－x,－y)
2．师生共同解答例3 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5,1)、B(－2,1)、C(－2,5)、D(－5,4)，分别作出与四边形ABCD关于x轴和y轴对称的图形．
（1）学生归纳：与已知点关于y 轴或x轴对称的点的坐标的规律；
（2）学生画图
（3）对于这类问题，只要先求出已知图形中的一些特殊点的对应点的坐标，描出并顺次连接这些特殊点，就可以得到这个图形的轴对称图形． 3探究例子
分别作出△PQR关于直线x=1(记为m)和直线y=－1(记为n)对称的图形，你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗？
（1）学生画图，由具体的数据，发现它们的对应点的坐标之间的关系
（2）若△P1Q1R1中P1(x1,y1)关于x=1(记为m)轴对称的点的坐标P2 (x2,y2) ， 则x1x2m，y1= y2． 2
若△P1Q1R1中P1(x1,y1)关于y=－1(记为n)轴对称的点的坐标P2 (x2,y2) ，
则x1= x2，y1y2=n． 2
三、小结本节内容
四、训练：课本135页的第1～3题
五、作业：课本136页的第5～7题
§14．3 等腰三角形
课时安排
4课时
从容说课
前面两节中，通过对生活中的轴对称现象的认识，进一步对轴对称的性质作了研究，还探讨了轴对称变换，能够作出一些简单的平面图形关于一条直线的对称图形，所以学生对这些结论已经有所了解．
本节在我们已学过的知识的基础上，进一步认识特殊的轴对称图形──等腰三角形，并探究等腰三角形的性质及等腰三角形的判定．在探究等腰三角形的相关问题时，再对等边三角形的相关内容进行深入探讨．
本节的重点是探索等腰三角形和等边三角形的性质及判定，并利用这些性质和判定求解相关的问题，进一步发展学生的数学思维．本节的重点同时也是本节的难点．教师在教学中，不可操之过急，应逐步引导，让学生去发现去探索这些性质，学生对它的理解要有一个过程，对它的应用也要慢慢去认识，并且在教学中要注意对学生数学思想的渗透以及分析问题、解决问题能力的培养．
§14．3．1．1 等腰三角形（一）
教学目标
（一）教学知识点
1．等腰三角形的概念．
2．等腰三角形的性质．
3．等腰三角形的概念及性质的应用．
（二）能力训练要求
1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．
2．探索并掌握等腰三角形的性质．
（三）情感与价值观要求
通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．
教学重点
1．等腰三角形的概念及性质．
2．等腰三角形性质的应用．
教学难点:等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．
教学方法:探究归纳法．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？
[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．
[师]那什么样的三角形是轴对称图形？
[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．
[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．
Ⅱ．导入新课
[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．
A
BC
I
作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．
[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．
[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本P138探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．
„„
[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．
[师]有了上述概念，同学们来想一想．
1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
2．等腰三角形的两底角有什么关系？
3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？
总结:
等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．
例题讲解:
[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求：△ABC各角的度数．
A
[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．
[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到
∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，•
再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC的三个内角．
[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．
（课件演示）
[例]因为AB=AC，BD=BC=AD，
所以∠ABC=∠C=∠BDC．
∠A=∠ABD（等边对等角）．
设∠A=x，则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°．
在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．
[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P141练习 1、2、3．
（二）阅读课本P138～P140，然后小结．
Ⅳ．课时小结
这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．
我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．
Ⅴ．课后作业
（一）课本P147─1、3、4、8题．
（二）1．预习课本P141～P143．
2．预习提纲：等腰三角形的判定．
板书设计
§14．3．1．1 等腰三角形（一）
§14．3．1．1 等腰三角形（二）
教学要求：理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论，并能利用其性质与
判定证明线段或角的相等关系.
教学重点：等腰三角形的判定定理及推论的运用
教学难点：正确区分等腰三角形的判定与性质.能够利用等腰三
角形的判定定理证明线段的相等关系.
教学过程：
一、复习等腰三角形的性质
二、新授：
提出问题，创设情境
出示投影片．某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(B点)为B标，然后在这棵树的正南方(南岸A点抽一小旗作标志)沿南偏东60°方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30°，这时，地质专家测得AC的长度就可知河流宽度．
学生们很想知道，这样估测河流宽度的根据是什么？带着这个问题，引导学生学习“等腰三角形的判定”．(板书课题)
动手实验，发现新知
1．由性质定理的题设和结论的变化，引出研究的内容——在△ABC中，苦∠B=∠C，则AB= AC吗？
师生共同操作：作一个两个角相等的三角形(教师在黑板上做，学生在一张白纸上做)，然后观察两等角所对的边有什么关系？
2．学生回答发现的结果，引出命题(板书命题)
3．教师引导学生根据图形，写出已知、求证．
学生思考证明思路，由学生说出一种证法(教师扳书)，教师进一步鼓励学生讨论证明此题的其他方法，形成对定理的深刻印象．(教师对学生的回答给予评价)
4．教师对定理进行小结，通过论证，这个命题是真命题，即“等腰三角形的判定定理”(板书定理名称)．
强调此定理是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据，类似于性质定理可简称“等角对等边”．
5．引导学生说出引例中地质专家的测量方法的根据．
三、变式练习、巩固新知
1．如图
2
其中△ABC是等腰三角形的是 [ ]
2．①如图3，已知△ABC中，AB=AC．∠A=36°，则∠C______(根据什么？)．
②如图4，已知△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，△ABC是______三角形(根据什么？)．
③若已知∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC交AC于D，判断图5中等腰三角形有______．
④若已知 AD＝4cm，则BC______cm．
3．以问题形式引出推论l______．
4．以问题形式引出推论2______．
例题教学，运用新知
1．投影 如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，求证这个三角形是等腰三角形．
2．引导学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明． 强化训练，掌握新知
5．(l)如图6，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE//BC，交AB于点D，交AC于E．问图中哪些三角形是等腰三角形？
(2)上题中，若去掉条件AB=AC，其他条件不变，图6中还有等腰三角形吗？
六、课堂小结
1．判定一个三角形是等腰三角形有几种方法？
2．判定一个三角形是等边三角形有几种方法？
3．等腰三角形的性质定理与判定定理有何关系？
4．现在证明线段相等问题，一般应从几方面考虑？
思考题：如图7，利用今天学到的知识，思考怎样测出旗杆高？
七、布置作业
1．阅读教材
2．书面作业：教材第150页第12题
教学设计说明
1．精心设计引课方式，通过设疑，引起悬念，激发学生的求知欲望，创设教学情境，提高学生的学习兴趣，既体现数学的实用性，又很自然地引入本节课题．
2．把等腰三角形判定定理做为知识主线，训练学生思维，以设疑——感知——概括——证明——运用为教学程序，充分遵循学生认识事物的规律，使学生能顺利地掌握重点，突破难点，提高能力．
3．在课堂教学中，引导学生体会知识的发生发展过程，坚持启发式，鼓励学生充分地动脑、动口、动手，积极地参与到教学中来．
4．在充分尊重教材的前提之下，融教材练习、习题于教学过程中，增设了由浅入深、各不相同却又紧密相关的训练题目，为学生顺利掌握等腰三角形的判定定理创造了有利条件．在训练学生思维上下功夫，不仅使学生了解这道题怎么做，还要使学生知道这一类题通常怎么做，更要使学生明白为什么要这样做，从而使学生由“学会”发展为“会学”．
§14．3．2.1 等边三角形（一） 教学要求：①了解等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形是轴对称
图形．
②会阐述、推证等边三角形的性质和判定方法．
③经历应用等边三角形性质的过程培养分析问题、解决
问题的能力．
教学重点：等边三角形的判定定理及其运用．
教学难点：等边三角形性质的应用．
教学过程：
一、复习等腰三角形的判定与性质
二、新授：
1．等边三角形的性质：三边相等；三角都是60°；三边上的中线、高、角平分线相等
2．等边三角形的判定：
三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
注意：推论1是判定一个三角形为等边三角形的一个重要方法.推论2说明在等腰三角形中，只要有一个角是600，不论这个角是顶角还是底角，就可以判定这个三角形是等边三角形。推论3反映的是直角三角形中边与角之间的关系.
3．由学生解答课本148页的例子；
4．补充：已知如图所示, 在△ABC中, BD是AC边上的中线, DB⊥BC于B,
∠ABC=120o, 求证: AB=2BC
分析 由已知条件可得∠ABD=30o, 如能构造有一个锐角是30o的直角三角形, 斜边是AB,30o角所对的边是与BC相等的线段,问题就得到解决了.
证明: 过A作AE∥BC交BD的延长线于E ∵DB⊥BC(已知)
∴∠AED=90o (两直线平行内错角相等)
在△ADE和△CDB中
ECBD(已证)ADEBDC(对顶角相等)
ADCD(已知)
∴△ADE≌△CDB(AAS)
∴AE=CB(全等三角形的对应边相等)
∵∠ABC=120o,DB⊥BC(已知)
∴∠ABD=30o
在Rt△ABE中,∠ABD=30o
∴AE=A D C E 1
2
角等于30,
那么它所对的直角边等于斜边的一半)
∴BC= B D AB(在直角三角形中,如果一个锐 o1AB 即AB=2BC 2 A C E
点评 本题还可过C作CE∥AB
5、训练：如图所示,在等边△ABC的边的延长线上取一点E,以CE为边作
等边△CDE,使它与△ABC位于直线AE的同一侧,点M为线段AD的中点,点N为线段BE的中点,求证:△CNM是等边三角形.
分析 由已知易证明△ADC≌△BEC,得BE=AD,∠EBC=∠DAE,而M、N分别为BE、AD的中点，于是有BN=AM，要证明△CNM是等边三角形，只须证MC=CN，∠MCN=60o，所以要证△NBC≌△MAC，由上述已推出的结论，根据边角边公里，可证得△NBC≌△MAC
证明：∵等边△ABC和等边△DCE，
∴BC=AC，CD=CE，（等边三角形的边相等）
∠BCA=∠DCE=60o（等边三角形的每个角都是60）
∴∠BCE=∠DCA
∴△BCE≌△ACD（SAS）
∴∠EBC=∠DAC（全等三角形的对应角相等）
BE=AD（全等三角形的对应边相等）
又∵BN=11BE，AM=AD（中点定义） 22
∴BN=AM
∴△NBC≌△MAC（SAS）
∴CM=CN（全等三角形的对应边相等）
∠ACM=∠BCN（全等三角形的对应角相等）
∴∠MCN=∠ACB=60o
∴△MCN为等边三角形（有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形）
点评 1.本题通过将分析法和综合法并用进行分析,得到了本题的证题思路,较复杂的几何问题经常用这种方法进行分析
2.本题反复利用等边三角形的性质,证得了两对三角形全等,从而证得△MCN是一个含60o角的等腰三角形,在较复杂的图形中,如何准确地找到所需要的全等三角形是证题的关键.
三、小结本节知识
四、作业：课本151页第13，14题
§14．3．2.2 等边三角形（二）
§15．1 整式的加减
课时安排 2课时
本节包括整式与整式的加减，分两课时完成．整式属于概念课，教学时要力图概念形成的过程，可以首先给学生感性材料，让他们观察、分析、比较，找出材料中个体的共同点，最后进行抽象、概括．对单项式与多项式概念的处理采取逐步引入，层层加深的方法，这符合学生的认知规律，使学生能顺利接受，同时也培养了学生良好的思维习惯．整式的加减是在理解整式概念的基础上进行的初步运算，它的实质就是去括号、合并同类项，在理解算理的前提下，通过适当的训练，让学生掌握整式加减的一般步骤．
概念课，需要由特殊到一般，由具体到抽象，教学中力求向学生渗透数学知识来源于生活，又服务于生活的辩证关系．通过初步的符号表示与字母运算，进一步培养学生的数学推理能力．
§15．1．1 整式的加减(一)
教学目标
（一）教学知识点
1．单项式、单项式的次数． 2．多项式、多项式的次数． （二）能力训练要求
1．能从具体情景中抽象出数量关系和变化规律，•让学生经历具体问题的探索过程，培养符号感．
2．理解单项式、多项式及其次数概念，进而理解整式概念． （三）情感与价值观要求 通过丰富多彩的现实情景，让学生经历从具体问题中抽象出数量关系，在解决问题中了解数学的价值，发展“用数学”的信心． 教学重点: 单项式及多项式的有关概念． 教学方法
讲授与自主探索相结合的方法．
在学生自主探索现实情景中用字母表示数的问题，认识代数式作用的基础上，教师进行启发式讲解，使学生掌握整式的有关概念．
[师]代数式可以简明地表示数量和数量的关系．今天我们就来学习和代数式有关的整式．
一．明确和巩固单项式的有关概念
（出示投影） ．与a+b+cch、
2这三个代数式比较有没有特别之处呢？请分组讨论． t
学生活动:发现这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a+b+c、
1S
ch、中还有和与商的运算符号． 2t
还可以发现这五个代数式中字母指数各不相同，字母的个数也不尽相同．
它是不是一个特殊的代数式呢？
[师]请同学们阅读课本P160～P161单项式有关概念．
总结:
根据这些定义判断4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、
ch、这些代数2t
式中，哪些是单项式？是单项式的，写出它的系数和次数．
二．明确和巩固多项式的有关概念
师：生活中不仅仅有单项式，像a+b+c，它不是单项式，和单项式有什么联系呢？ [生]（1）t-5．（2）3x+5y+2z．
（3）三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积，即
1
ab-3.14r2． 2
（4）建筑面积等于四个矩形的面积之和．而右边两个已知矩形面积分别为3³2、4³3，所以它们的面积和是18．于是得这所住宅的建筑面积是x2+2x+18．
我们可以观察下列代数式：
a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.14r2、x2+2x+18．发现它们都是由单项式的和组成的式子．给出概念：
12
根据定义，我们不难得出a+b+c、t-5、3x+5y+2z、
ab-3.14r2、x2+2x+18都是多项式．请分别指出它们的项和次数． 这节课，通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念，它们可以反映变化的世界．同时，我们也体会到符号的魅力所在．我们把单项式与多项式统称为整式． 三．随堂练习
1．课本P162练习 Ⅳ．课时小结
通过探究，我们了解了整式的概念．理解并掌握单项式、多项式的有关概念是本节的重点，特别是它们的次数．在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义，•发展符号感． Ⅴ．课后作业
1．课本P165～P166习题15．1─1、5、8、9题． 2．预习“整式的加减”．
板书设计
2
§15．1．2 整式的加减(二)
§15．2 整式的乘法
课时安排 4课时
整式的乘法包括四大块内容：一是同底数幂的乘法；二是幂的乘方；三是积的乘方；四是整式的乘方，它包括单项式与单项式的乘积、单项式与多项式的乘积、多项式与多项式的乘积．其中四是一、二、三的综合应用．整式乘法是学生在掌握数的乘法、数乘运算法则的基础上进行字母、整式运算，它是思维的进一步深化，是对特殊──一般──特殊的认知规律的进一步理解．
本节内容按4课时完成，探究呈步步深入状态，学法有类似之处，•所以教学时，以问题形式，引导学生先独立地进行思考、探索，再通过交流、讨论，发现法则，使学生的学习过程成为再发现、再创造的过程，体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，使学生在学习过程中掌握学习与研究的方法，养成良好的学习习惯，从而学会学习，学会思考，学会合作，体验创新的乐趣．
本节教学的重点应放在正确理解“运算法则”上，教学中应给学生足够的时间，进行探索、归纳、发现、总结，从而理解运算法则，以至灵活运用法则解决问题，而不是包办代替，直接给出运算法则，让学生死记硬背，机械应用．通过本节学习，要使学生在对知识的再创造和再发现的活动中培养创新精神和探索能力．
§15．2．1 同底数幂的乘法
教学目标
（一）教学知识点
1．理解同底数幂的乘法法则．
2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题． （二）能力训练要求
1．在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力． 2．通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，•使学生初步理解特殊──一般──特殊的认知规律． （三）情感与价值观要求
体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新的精神．
教学重点:正确理解同底数幂的乘法法则．
教学难点:正确理解和应用同底数幂的乘法法则． 教学方法
透思探究教学法：利用学生已有的知识、经验对所学内容进行自主探究、发现，在对新知识的再创造和再发现的活动中培养学生的探索创新精神与创新能力．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境 复习an的意义： an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a叫做底数，•n是指数．
（出示投影片） 提出问题： （出示投影片）
问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？ [师]1012×103如何计算呢？ [生]根据乘方的意义可知
1012×103=(1010)=1015． 10)×（10×10×10）=(1010
12个10
15个10
[师]很好，通过观察大家可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法．
根据实际需要，
我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法． Ⅱ．导入新课 1．做一做 出示投影片：
（让学生自主探索，在启发性设问的引导下发现规律，并用自己的语言叙述）．
[生]我们可以发现下列规律：
（一）这三个式子都是底数相同的幂相乘．
（二）相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．
2．议一议 出示投影片
[师生共析] am·an表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得： am·an=(aaa)·(aaa)=aaa=am+n
m个a
mnm+n
n个a
(m+n)个a
于是有a·a=a（m、n都是正整数），用语言来描述此法则即为：
“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”． 3．例题讲解 出示投影片
学生活动:板演 Ⅲ．随堂练习
1．课本P166练习：计算 Ⅳ．课时小结
[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，•请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？ Ⅴ．课后作业
1．课本P175习题15．2─1．（1）、（2），2．（1）、8． 板书设计
§15．2．3 单项式与单项式相乘,
单项式与多项式相乘
§15．2．4 多项式与多项式相乘
15．3．1 平方差公式