求逆矩阵的方法

求逆矩阵的方法

一、矩阵的初等行变换

（由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A的行列式A值和它的伴随矩阵A*.当A的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.）

定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： (1) 将矩阵中某两行对换位置； (2) 将某一行遍乘一个非零常数k；

(3) 将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至另一行. 并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换. 矩阵A经过初等行变换后变为B，用

AB

表示，并称矩阵B与A是等价的.

，

”；把第i

行遍 （下面我们把）第i行和第j

乘k k”；第j行的k倍加至第i为“ + k”.

a1a2a3b1b2b3

①，② a1a2a3 例如，矩阵 A = b1b2 c1c2c3c1c2c3

a1a2a3a1a2a3

b1b2③k b1b2b3

c1c2c3kc1kc2kc3

a2a3a1a2a3a1

+①k bbb ②bkabkabka 231223311

c2c3c1c2c3c1

（关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材）

二、运用初等行变换求逆矩阵

由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n阶可逆矩阵A，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I，那么用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I上，就可以把I化成A1.因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A的右边写上一个同阶的单位矩阵I，构成一个n2n矩阵 ( A , I )，用初等行变换将左半部分的A化成单位矩阵I，与此同时，右半部分的I就被化成了A1.即

( A , I )( I , A1 )

111

例1 设矩阵 A = 113

232

初等行变换

求逆矩阵A1 . 解 因为

111100

②+①(-1)

[A , I ] =113010 ③ + ① ( -2) 232001

111100

022110 010201



111100①+③(-1)

②(1/2)

11②+③(-1)

③ + ② 0110 22

00151122

111 100222 ①+②

01 0102

510011

221112221

01 所以 A= 2

51

1

22

7

110201025001

2



1

2012

11 1

所求逆矩阵A1是否正确，可以通过计算乘积矩阵AA1进行验证.如果AA1=I成立，则A1正确，否则不正确.

对给定的n阶矩阵A，用上述方法也可以判断A是否可逆.即在对矩阵[ A , I ] 进行初等行变换的过程中，如果[ A , I ]中的左边的方阵出现零行，说明矩阵A是奇异的，即0，可以判定A不可逆；如果[ A , I ]中的左边的方阵被化成了单位阵I，说明A是非奇异的，可以判定A是可逆的，而且这个单位矩阵I右边的方阵就是A的逆矩阵A1，它是由单位矩阵I经过同样的初等行变换得到的.

216

05，问A是否可逆？ 例2 设矩阵 A = 4611 解 因为

610021216100

050100217210 [ A , I ] =4

2173010611001

216100

0217210



001110

[ A , I ]中的左边的矩阵A经过初等行变换后出现零行，所以矩阵A是奇异的，A不可逆.

求逆矩阵的方法

一、矩阵的初等行变换

（由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A的行列式A值和它的伴随矩阵A*.当A的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.）

定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： (1) 将矩阵中某两行对换位置； (2) 将某一行遍乘一个非零常数k；

(3) 将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至另一行. 并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换. 矩阵A经过初等行变换后变为B，用

AB

表示，并称矩阵B与A是等价的.

，

”；把第i

行遍 （下面我们把）第i行和第j

乘k k”；第j行的k倍加至第i为“ + k”.

a1a2a3b1b2b3

①，② a1a2a3 例如，矩阵 A = b1b2 c1c2c3c1c2c3

a1a2a3a1a2a3

b1b2③k b1b2b3

c1c2c3kc1kc2kc3

a2a3a1a2a3a1

+①k bbb ②bkabkabka 231223311

c2c3c1c2c3c1

（关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材）

二、运用初等行变换求逆矩阵

由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n阶可逆矩阵A，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I，那么用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I上，就可以把I化成A1.因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A的右边写上一个同阶的单位矩阵I，构成一个n2n矩阵 ( A , I )，用初等行变换将左半部分的A化成单位矩阵I，与此同时，右半部分的I就被化成了A1.即

( A , I )( I , A1 )

111

例1 设矩阵 A = 113

232

初等行变换

求逆矩阵A1 . 解 因为

111100

②+①(-1)

[A , I ] =113010 ③ + ① ( -2) 232001

111100

022110 010201



111100①+③(-1)

②(1/2)

11②+③(-1)

③ + ② 0110 22

00151122

111 100222 ①+②

01 0102

510011

221112221

01 所以 A= 2

51

1

22

7

110201025001

2



1

2012

11 1

所求逆矩阵A1是否正确，可以通过计算乘积矩阵AA1进行验证.如果AA1=I成立，则A1正确，否则不正确.

对给定的n阶矩阵A，用上述方法也可以判断A是否可逆.即在对矩阵[ A , I ] 进行初等行变换的过程中，如果[ A , I ]中的左边的方阵出现零行，说明矩阵A是奇异的，即0，可以判定A不可逆；如果[ A , I ]中的左边的方阵被化成了单位阵I，说明A是非奇异的，可以判定A是可逆的，而且这个单位矩阵I右边的方阵就是A的逆矩阵A1，它是由单位矩阵I经过同样的初等行变换得到的.

216

05，问A是否可逆？ 例2 设矩阵 A = 4611 解 因为

610021216100

050100217210 [ A , I ] =4

2173010611001

216100

0217210



001110

[ A , I ]中的左边的矩阵A经过初等行变换后出现零行，所以矩阵A是奇异的，A不可逆.