分析法典型例题

分析法典型例题

1．已知a＞b＞0ab＜a－b． a－b＜a－b ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ (a－b)2＜a－b ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ a－2ab＋b＜a－b ＜ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝ b＜ab ＜ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝ b＜a ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ b＜a＜0(已知条件)．

11

2．设x，y∈R+，且x＋y＝1，求证：1＋1≥9．

xy11

证明： 1＋1＋≥9 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

xy11 1＋1＋＝＝＝＝＝＝＝＝＝

x1－x≥9 ＜

x＋12－x

·9 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ x1－x

2＋x－x2

9 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

x－x2＋x－x2≥9x－9x2＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

8x2－8x＋2≥0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ (2x－1)2≥0 此式明显成立．

11

3．已知0＜x＜，求证：y－y2

yx＋111y

证明： ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

x＋11y＋1

＋1y

y

y－y2 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ y＋1

1

1－y ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ y＋1

1＞1－y2 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ y2＞0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ y＞0 (已知条件)．

4．已知a，b，c是不全相等的正数，求证：lg 证明：lg

a＋bc＋bc＋a

＋lg＞lga＋lgb＋lgc． 222

a＋bc＋bc＋a

lg＋lglga＋lgb＋lgc ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 222a＋bc＋bc＋b＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2 22＞lg(abc) ＜a＋bc＋bc＋b

· ＞abc ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 222

lg

a＋ba＋cb＋cab，ac，bc (三式等号不能同时成立) ＜ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 222a，b，c为不全相等的正数 (已知) ．

4

5．已知实数a，b，c满足c＜b＜a，a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求证：1＜a＋b＜．

3

证明：∵ a＋b＋c＝1，

14

∴ 1＜a＋b＜⇔－＜c＜0． 33又∵ a2＋b2＋c2＝1，

(a＋b)2－(a2＋b2)(1－c)2－(1－c2)2 ∴ ab＝c－c

22而 a＋b＝1－c，

∴ a，b是二次方程x2－(1－c)x＋c2－c＝0的两个不等实根， 1

从而，△＝(1－c)2－4(c2－c)＞0，解得 －＜c＜1．

3 又∵ c＜b＜a，

∴ (c－a)(c－b)＞0，即c2－c(a＋b)＋ab＝c2－c(1－c)＋c2－c＝3c2－2c＞0， 2

∴ c＜0或c＞(舍去)．

3

14

∴ －c＜0，即1＜a＋b＜

33

xyxy

6．是否存在常数c,使得不等式c≤对任意正数x，y恒成立？

2x＋yx＋2yx＋2y2x＋y

222

解：令x＝y＝1，得 ≤c≤，∴ c＝ ．

333

下面给出证明：

xy2

＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2x＋yx＋2y3

3x(x＋2y)＋3y(2x＋y)≤2(x＋2y)(2x＋y) ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ x2＋y2≥2xy (这个明显成立)．

xy

2 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 3x＋2y2x＋y

2(x＋2y)(2x＋y)≤ 3x(2x＋y)＋3y(x＋2y) ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2xy≤x2＋y2 (这个明显成立)． 2 综上所述，c＝．

3

7．已知a，b，c∈R+，且a＋b＋c＝1，求证：3a＋2＋3b＋23c＋2≤3．

证明：3a＋23b＋2＋3c＋2≤33 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

(

223a＋2＋3b＋23c＋2) ≤(3) ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

3a＋2＋3b＋2＋3c＋2＋23a＋2 3b＋23b＋3c＋23a＋3c＋2≤27 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

3a＋2 3b＋2＋3b＋3c＋2＋3a＋3c＋2≤18． ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 3a＋2 3b＋2＋3b＋3c＋2＋3a＋3c＋2≤6(a＋b＋c)＋12，且a＋b＋c＝1 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

3a＋23b＋2≤(3a＋2)＋(3b＋2) ，且 3a＋23c＋2≤(3a＋2)＋(3c＋2) ，且

3b＋23c＋2≤(3b＋2)＋(3c＋2)． ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ a，b，c∈R+．

8．已知a＞0，b＞0，2c＞a＋b，求证：c－c－ab＜a＜cc－ab． 证明 ：cc－ab＜a＜c＋c－ab ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

c－ab＜a－cc－ab ＜ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝

|a－c|＜

c－ab ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

(a－c)2＜c2－ab ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ a2－2ac＋c2＜c2－ab ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

2ac＞a2＋ab ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2c＞a＋b(已知)．

9．已知a，b，c∈R+，且ab＋bc＋ca＝1，(1)求证：a＋b＋c3；

证明 a＋b＋c≥3＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ (a＋b＋c)2≥3，且a，b，c∈R+＜＝＝＝＝＝＝ ＝＝＝ a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)≥3

＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ a2＋b2＋c2≥1＝ab＋bc＋ca ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac．

(2) 证明 ∵

bcbc

acac

3(＋b＋c)． ab

a＋b＋c≥ ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ababcabc

1

≥abc ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ abc

abc＋ac＋ab≤1＝ab＋bc＋ca ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ab＋acab＋bccb＋ac a＝·≤·≤且·≤．

222

10．已知a，b，c，d都大于1，且loga(bcd)≤9，求证：logba＋logca＋logda≥1． 证明 logba＋logca＋logda≥1 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

3

111

＋≥1 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ logablogaclogad

3

≥1 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ logab·logac·logad≤27 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ logab·logac·logad

logab＋logac＋logad3log(bcd)393

＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 3 ＝3 ≤3 ＝27 ＜

logab·logac·logad≤

a，b，c，d都大于1，且loga(bcd)≤9．

x1＋x2ππ1

11．已知函数f(x)＝tanx，x∈0，，若x1，x2∈0，，且x1≠x2，求证：[f(x1)＋f(x2)]＞f2222． x1＋x2x1＋x211 证明：f(x1)＋f(x2)]＞f ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ tanx1＋tanx2)＞tan＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2222 ＜

x1＋x2x1＋x2x1＋x2

2sin·cos2221sinxsinx1sinxcosx＋sinxcosx＞ ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ＞ ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2cosx1cosx22cosx2cosx2x1＋x22x1＋x2coscos

22

sin

sin(x1＋x2)1sin(x1＋x2)π

·＞ ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 1＋cos(x1＋x2)＞2cosx1cosx2 ，且x1，x2∈0， ＜＝＝＝＝＝＝＝ 2cosx2cosx21＋cos(x1＋x2)2＝1＋cosx1cosx2－sinx1sinx2＞2cosx1cosx2 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 1＞cosx1cosx2＋sinx1sinx2 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 1＞cos(x1－x2) ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ x1≠x2．

12．求证：对任意实数x，不等式 证明 

x≤1恒成立．

2＋cosx

223sinx≤1 ＜

＝＝＝＝＝＝＝＝＝ |3sinx|≤|2＋cosx| ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ |3sinx| ≤|2＋cosx| ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2＋cosx

3sin2x≤4＋4cosx＋cos2x ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 4cos2x＋4cosx＋1≥0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ (2cosx＋1)2≥0 恒成立．

13．已知三角形三边长为a，b，c，面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥3S． 1

证明 a2＋b2＋c2≥43S ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ a2＋b2＋c2≥3sinC ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2

1

a2＋b2＋c2≥431－cosC ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ a4＋b4＋c4＋2a2b2＋2a2c2＋2b2c2≥12a2b2(1－cos2C) 2 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ a4＋b4＋c4－10a2b2＋2a2c2＋2b2c2≥－12a2b2cos2C ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ a＋b－c2 a＋b＋c－10ab＋2ac＋2bc≥－12ab＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2ab ＜

4

4

4

22

22

22

22

2

2

2

a＋b－c2 a＋b＋c－10ab＋2ac＋2bc≥－12ab＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2ab ＜

4

4

4

22

22

22

22

222

a4＋b4＋c4－10a2b2＋2a2c2＋2b2c2≥－3(a4＋b4＋c4＋2a2b2－2a2c2－2b2c2) ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2a2c2－2b2c2≥0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ (a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(a2－c2)≥0．

(a－b)2a＋b(a－b)214．已知a＞b＞0，求证：＜ab＜

8a28b

(a－b)2a＋b(a－b)2(a－b)2a＋b－2ab(a－b)2

证明 ab ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 8a＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 8a28b28b

2

2(a－b)22

(a－b)(a－b)2 (a－b)2(a－b)

＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 4a＜(a－b) ＜4b ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 8a28b

a－ba－ba＋bab

－＜ ＜＝＝＝＝＝＝＝＝ 1ab＞0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 22b2ab

b1

1＜a2

11

＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ b22

b11

a22

a ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ b

b

＜1＜a

a ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ b

11

22

b＜a ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ a＞b＞0．

a4＋b4＋c4abacbc15．已知a，b，c∈R，求证：

abcc ba

a4＋b4＋c4abacbca4＋b4＋c4a2b2＋a2c2＋b2c2

证明 ＋＋ ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ abc ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ abcc baabc

+

2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2a2c2－2b2c2≥0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ (a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(a2－c2)≥0．

16．已知|a|＜1，|b|＜1，求证：

a＋b＜1．

1＋ab

a＋b 证明 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝ |a＋b|＜|1＋ab| ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ |a＋b|2＜|1＋ab|2 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 1＋ab＜1 ＜



a2＋2ab＋b2＜1＋2ab＋a2b2 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ a2b2－a2－b2＋1＞0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ (1－a2)(1－b2)＞0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 1－a2＞0且1－b2＞0 (或1－a2＜0且1－b2＜0) ＜＝＝＝＝＝＝＝＝ |a|＜1，|b|＜1．

17．已知p，q∈(0，＋∞)，且p3＋q3＝2，求证：p＋q≤2．

证明 p＋q≤2 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ (p＋q)3≤23＝8＝2×4 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ (p＋q)3≤(p3＋q3)×4 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ p3＋3p2q＋3pq2＋q3≤4p3＋4q3 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ p3＋q3－pq(p＋q)≥0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

(p＋q)(p2－pq＋q2)－pq(p＋q) ≥0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ (p＋q)(p－q)2≥0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ p，q∈(0，＋∞)．

18．已知x∈(0，＋∞)，求证：x＋ 证明

1

x

1x

x＋1≤23． x

＋

1x

1

x1≤2＜＝＝＝＝＝＝＝＝ ＝ x

＋12－1≤2－＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

x 

22

t－t－1≤23， ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ t＋≤2＋t－1 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝ (t＋3)≤(2t－1) ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

3t2≤4(t2－1) ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ t2≥4 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ t≥2 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ t＝x＋

19．已知a，b，c∈R+，求证：log3(a2＋b2＋c2)－2log3(a＋b＋c)≥－1

证明 log3(a2＋b2＋c2)－2log3(a＋b＋c)≥－1 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ log3(a2＋b2＋c2)＋1≥2log3(a＋b＋c) ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ log33(a2＋b2＋c2)≥log3(a＋b＋c)2 且a，b，c∈R+＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ac ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ a2－2ab＋b2＋a2－2ac＋c2＋b2－2bc＋c2≥0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ (a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0．

20．在锐角三角形ABC中，求证： 证明

11tanAtanB

＋＜

1＋tanA1＋tanB1＋tanA1＋tanB

1

≥2 (x∈(0，＋∞) )． 11tanAtanB

＋＋ ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 1＋tanA1＋tanB1＋tanA1＋tanB

1＋tanA－11＋tanB－111

＋＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 1＋tanA1＋tanB1＋tanA1＋tanB1111

＋1－1 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 1＋tanA1＋tanB1＋tanA1＋tanB

2211

＋2 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ＜1 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 1＋tanA1＋tanB1＋tanA1＋tanB

2＋tanA＋tanB ＜1＋tanAtanB＋tanA＋tanB ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

π 1＜tanAtanB ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ cotA＜tanB ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ tan＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2A＜tanB ＜

2A＜B ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 锐角三角形ABC中，A＋B2

ππ

abc

21．已知a，b，c为三角形的三边长，求证：＋≥3．

b＋c－aa＋c－ba＋b－c 证明

abc

≥3 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

b＋c－aa＋c－ba＋b－c

2a2b2c

＋≥6 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

b＋c－aa＋c－ba＋b－c

2a2b2c

＋1＋1＋1≥9 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

b＋c－aa＋c－ba＋b－ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c

＋9 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

b＋c－aa＋c－ba＋b－c

111 (a＋b＋c)≥9 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

b＋c－aa＋c－ba＋b－c

111

[(b＋c－a)＋(a＋c－b)＋(a＋b－c)]＋≥9 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

b＋c－aa＋c－ba＋b－c3

(b＋c－a)＋(a＋c－b)＋(a＋b－c)≥3 (b＋c－a)·(a＋c－b)·(a＋b－c) 且 3111111

≥3 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

b＋c－aa＋c－ba＋b－cb＋c－aa＋c－ba＋b－c

b＋c－a＞0，a＋c－b＞0，a＋b－c＞0＜＝ ＝＝＝＝＝＝＝＝ 已知a，b，c为三角形的三边长．

117

22．已知a，b，∈R+，且a＋b＝1，求证：ab＋．

ab4

1

证明 由a，b，∈R+，且a＋b＝1知 0＜ab

4

4(ab)2－17ab＋4117117

ab＋≥＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ab＋0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝ 4(ab)2－17ab＋4≥0

ab4ab44ab

1＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ (4ab－1)(ab－4)≥0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 0＜ab44 (已证)．

23．(2011年高考全国卷理科压轴题)

(1)设函数f(x)＝ln(1＋x)－－

2x

，证明：当x＞0时，f(x)＞0； x＋2

(2)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽91

得的20个号码互不相同的概率为p，证明：p＜ ＜．

10e

19

证明 (1)∵ f(x)＝ln(1＋x)－

2(x＋2)－42x4

＝ln(1＋x)ln(1＋x)－2＋ x＋2x＋2x＋2

(x＋2)2－4(1＋x)14x2

∴ f′(x)＝－＝＝＞0 (x＞0)，

1＋x(x＋2)(1＋x)(x＋2)(1＋x)(x＋2) ∴ f(x)在(0，＋∞)单调递增，∴f(x)＞f(0)＝0．

100·99·98·…·8199·98·…·81

(2)易知 p＝

100100

919

先证左端不等式 p＜ ：

10

99·98·…·[1**********]

p＜ ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ＜ ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 99·98·97·…·81＜90 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 10010100

19

99·98·97·…·81＜90 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

19

19

99＋98＋97＋…＋81

99·98·97·…·81＜＝90． 19

91

再证右端不等式  ＜：

10e

91 ＜9＜ln1 ＜9 ＜－lne2 ＜10 ＞2 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ln＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 19ln＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ln＝＝＝＝＝＝＝＝ e10 e10 10919＝

1

29122x1

ln1＋ ＞＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 由(1)知ln(1＋x)＞，令x＝

99191x＋2

＋29

24．(福建省2008年高考理科压轴题)

1919

已知函数f(x)＝ln(1+x)－x．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)记f(x)在区间[0，n]（n∈N*）上的a1a3…a2n－1aaa最小值为bn令an＝ln(1＋n)－bn，求证：aaa＋…＋2an＋1－1

a2a4…a2n224

解(Ⅰ) 由f(x)＝ln(1+x)－x得f′(x)＝

－x1

1，易知当x∈(－1，0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；1＋x1＋x

当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递减．

证明(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，f(x)在区间[0，n] (n∈N*)上单调递减，∴f(x)的最小值为f(n)＝ln(1+n)－n．

于是，an＝ln(1＋n)－bn＝n．

a1a3…a2n－1aaa1·3·…·(2n－1)11·3

2a＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ＋…＋2n＋1－1 n＋1－1＜22·4a2a2a42·4·…·2na2a4…a2n

＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

1·3·…·(2n－1)

＜2n＋1－2n－1 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

2·4·…·2n

1·3·…·(2n－1)12211

＜2n＋1－2n－1 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ，

22·4·…·2n32n＋122n＋12n＋1＋2n－12n－12n－12n－12n－12n－133551

，，…， ＜＝＝＝＝＝＝＝＝ ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 42n2n2n5672n＋12n＋12n＋1(2n＋1)(2n－1)＜2n ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ (2n)－1＜2n 显然成立．

分析法典型例题

1．已知a＞b＞0ab＜a－b． a－b＜a－b ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ (a－b)2＜a－b ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ a－2ab＋b＜a－b ＜ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝ b＜ab ＜ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝ b＜a ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ b＜a＜0(已知条件)．

11

2．设x，y∈R+，且x＋y＝1，求证：1＋1≥9．

xy11

证明： 1＋1＋≥9 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

xy11 1＋1＋＝＝＝＝＝＝＝＝＝

x1－x≥9 ＜

x＋12－x

·9 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ x1－x

2＋x－x2

9 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

x－x2＋x－x2≥9x－9x2＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

8x2－8x＋2≥0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ (2x－1)2≥0 此式明显成立．

11

3．已知0＜x＜，求证：y－y2

yx＋111y

证明： ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

x＋11y＋1

＋1y

y

y－y2 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ y＋1

1

1－y ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ y＋1

1＞1－y2 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ y2＞0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ y＞0 (已知条件)．

4．已知a，b，c是不全相等的正数，求证：lg 证明：lg

a＋bc＋bc＋a

＋lg＞lga＋lgb＋lgc． 222

a＋bc＋bc＋a

lg＋lglga＋lgb＋lgc ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 222a＋bc＋bc＋b＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2 22＞lg(abc) ＜a＋bc＋bc＋b

· ＞abc ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 222

lg

a＋ba＋cb＋cab，ac，bc (三式等号不能同时成立) ＜ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 222a，b，c为不全相等的正数 (已知) ．

4

5．已知实数a，b，c满足c＜b＜a，a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求证：1＜a＋b＜．

3

证明：∵ a＋b＋c＝1，

14

∴ 1＜a＋b＜⇔－＜c＜0． 33又∵ a2＋b2＋c2＝1，

(a＋b)2－(a2＋b2)(1－c)2－(1－c2)2 ∴ ab＝c－c

22而 a＋b＝1－c，

∴ a，b是二次方程x2－(1－c)x＋c2－c＝0的两个不等实根， 1

从而，△＝(1－c)2－4(c2－c)＞0，解得 －＜c＜1．

3 又∵ c＜b＜a，

∴ (c－a)(c－b)＞0，即c2－c(a＋b)＋ab＝c2－c(1－c)＋c2－c＝3c2－2c＞0， 2

∴ c＜0或c＞(舍去)．

3

14

∴ －c＜0，即1＜a＋b＜

33

xyxy

6．是否存在常数c,使得不等式c≤对任意正数x，y恒成立？

2x＋yx＋2yx＋2y2x＋y

222

解：令x＝y＝1，得 ≤c≤，∴ c＝ ．

333

下面给出证明：

xy2

＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2x＋yx＋2y3

3x(x＋2y)＋3y(2x＋y)≤2(x＋2y)(2x＋y) ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ x2＋y2≥2xy (这个明显成立)．

xy

2 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 3x＋2y2x＋y

2(x＋2y)(2x＋y)≤ 3x(2x＋y)＋3y(x＋2y) ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2xy≤x2＋y2 (这个明显成立)． 2 综上所述，c＝．

3

7．已知a，b，c∈R+，且a＋b＋c＝1，求证：3a＋2＋3b＋23c＋2≤3．

证明：3a＋23b＋2＋3c＋2≤33 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

(

223a＋2＋3b＋23c＋2) ≤(3) ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

3a＋2＋3b＋2＋3c＋2＋23a＋2 3b＋23b＋3c＋23a＋3c＋2≤27 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

3a＋2 3b＋2＋3b＋3c＋2＋3a＋3c＋2≤18． ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 3a＋2 3b＋2＋3b＋3c＋2＋3a＋3c＋2≤6(a＋b＋c)＋12，且a＋b＋c＝1 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

3a＋23b＋2≤(3a＋2)＋(3b＋2) ，且 3a＋23c＋2≤(3a＋2)＋(3c＋2) ，且

3b＋23c＋2≤(3b＋2)＋(3c＋2)． ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ a，b，c∈R+．

8．已知a＞0，b＞0，2c＞a＋b，求证：c－c－ab＜a＜cc－ab． 证明 ：cc－ab＜a＜c＋c－ab ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

c－ab＜a－cc－ab ＜ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝

|a－c|＜

c－ab ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

(a－c)2＜c2－ab ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ a2－2ac＋c2＜c2－ab ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

2ac＞a2＋ab ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2c＞a＋b(已知)．

9．已知a，b，c∈R+，且ab＋bc＋ca＝1，(1)求证：a＋b＋c3；

证明 a＋b＋c≥3＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ (a＋b＋c)2≥3，且a，b，c∈R+＜＝＝＝＝＝＝ ＝＝＝ a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)≥3

＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ a2＋b2＋c2≥1＝ab＋bc＋ca ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac．

(2) 证明 ∵

bcbc

acac

3(＋b＋c)． ab

a＋b＋c≥ ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ababcabc

1

≥abc ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ abc

abc＋ac＋ab≤1＝ab＋bc＋ca ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ab＋acab＋bccb＋ac a＝·≤·≤且·≤．

222

10．已知a，b，c，d都大于1，且loga(bcd)≤9，求证：logba＋logca＋logda≥1． 证明 logba＋logca＋logda≥1 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

3

111

＋≥1 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ logablogaclogad

3

≥1 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ logab·logac·logad≤27 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ logab·logac·logad

logab＋logac＋logad3log(bcd)393

＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 3 ＝3 ≤3 ＝27 ＜

logab·logac·logad≤

a，b，c，d都大于1，且loga(bcd)≤9．

x1＋x2ππ1

11．已知函数f(x)＝tanx，x∈0，，若x1，x2∈0，，且x1≠x2，求证：[f(x1)＋f(x2)]＞f2222． x1＋x2x1＋x211 证明：f(x1)＋f(x2)]＞f ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ tanx1＋tanx2)＞tan＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2222 ＜

x1＋x2x1＋x2x1＋x2

2sin·cos2221sinxsinx1sinxcosx＋sinxcosx＞ ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ＞ ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2cosx1cosx22cosx2cosx2x1＋x22x1＋x2coscos

22

sin

sin(x1＋x2)1sin(x1＋x2)π

·＞ ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 1＋cos(x1＋x2)＞2cosx1cosx2 ，且x1，x2∈0， ＜＝＝＝＝＝＝＝ 2cosx2cosx21＋cos(x1＋x2)2＝1＋cosx1cosx2－sinx1sinx2＞2cosx1cosx2 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 1＞cosx1cosx2＋sinx1sinx2 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 1＞cos(x1－x2) ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ x1≠x2．

12．求证：对任意实数x，不等式 证明 

x≤1恒成立．

2＋cosx

223sinx≤1 ＜

＝＝＝＝＝＝＝＝＝ |3sinx|≤|2＋cosx| ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ |3sinx| ≤|2＋cosx| ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2＋cosx

3sin2x≤4＋4cosx＋cos2x ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 4cos2x＋4cosx＋1≥0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ (2cosx＋1)2≥0 恒成立．

13．已知三角形三边长为a，b，c，面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥3S． 1

证明 a2＋b2＋c2≥43S ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ a2＋b2＋c2≥3sinC ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2

1

a2＋b2＋c2≥431－cosC ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ a4＋b4＋c4＋2a2b2＋2a2c2＋2b2c2≥12a2b2(1－cos2C) 2 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ a4＋b4＋c4－10a2b2＋2a2c2＋2b2c2≥－12a2b2cos2C ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ a＋b－c2 a＋b＋c－10ab＋2ac＋2bc≥－12ab＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2ab ＜

4

4

4

22

22

22

22

2

2

2

a＋b－c2 a＋b＋c－10ab＋2ac＋2bc≥－12ab＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2ab ＜

4

4

4

22

22

22

22

222

a4＋b4＋c4－10a2b2＋2a2c2＋2b2c2≥－3(a4＋b4＋c4＋2a2b2－2a2c2－2b2c2) ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2a2c2－2b2c2≥0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ (a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(a2－c2)≥0．

(a－b)2a＋b(a－b)214．已知a＞b＞0，求证：＜ab＜

8a28b

(a－b)2a＋b(a－b)2(a－b)2a＋b－2ab(a－b)2

证明 ab ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 8a＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 8a28b28b

2

2(a－b)22

(a－b)(a－b)2 (a－b)2(a－b)

＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 4a＜(a－b) ＜4b ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 8a28b

a－ba－ba＋bab

－＜ ＜＝＝＝＝＝＝＝＝ 1ab＞0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 22b2ab

b1

1＜a2

11

＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ b22

b11

a22

a ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ b

b

＜1＜a

a ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ b

11

22

b＜a ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ a＞b＞0．

a4＋b4＋c4abacbc15．已知a，b，c∈R，求证：

abcc ba

a4＋b4＋c4abacbca4＋b4＋c4a2b2＋a2c2＋b2c2

证明 ＋＋ ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ abc ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ abcc baabc

+

2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2a2c2－2b2c2≥0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ (a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(a2－c2)≥0．

16．已知|a|＜1，|b|＜1，求证：

a＋b＜1．

1＋ab

a＋b 证明 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝ |a＋b|＜|1＋ab| ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ |a＋b|2＜|1＋ab|2 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 1＋ab＜1 ＜



a2＋2ab＋b2＜1＋2ab＋a2b2 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ a2b2－a2－b2＋1＞0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ (1－a2)(1－b2)＞0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 1－a2＞0且1－b2＞0 (或1－a2＜0且1－b2＜0) ＜＝＝＝＝＝＝＝＝ |a|＜1，|b|＜1．

17．已知p，q∈(0，＋∞)，且p3＋q3＝2，求证：p＋q≤2．

证明 p＋q≤2 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ (p＋q)3≤23＝8＝2×4 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ (p＋q)3≤(p3＋q3)×4 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ p3＋3p2q＋3pq2＋q3≤4p3＋4q3 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ p3＋q3－pq(p＋q)≥0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

(p＋q)(p2－pq＋q2)－pq(p＋q) ≥0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ (p＋q)(p－q)2≥0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ p，q∈(0，＋∞)．

18．已知x∈(0，＋∞)，求证：x＋ 证明

1

x

1x

x＋1≤23． x

＋

1x

1

x1≤2＜＝＝＝＝＝＝＝＝ ＝ x

＋12－1≤2－＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

x 

22

t－t－1≤23， ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ t＋≤2＋t－1 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝ (t＋3)≤(2t－1) ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

3t2≤4(t2－1) ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ t2≥4 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ t≥2 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ t＝x＋

19．已知a，b，c∈R+，求证：log3(a2＋b2＋c2)－2log3(a＋b＋c)≥－1

证明 log3(a2＋b2＋c2)－2log3(a＋b＋c)≥－1 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ log3(a2＋b2＋c2)＋1≥2log3(a＋b＋c) ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ log33(a2＋b2＋c2)≥log3(a＋b＋c)2 且a，b，c∈R+＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ac ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ a2－2ab＋b2＋a2－2ac＋c2＋b2－2bc＋c2≥0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ (a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0．

20．在锐角三角形ABC中，求证： 证明

11tanAtanB

＋＜

1＋tanA1＋tanB1＋tanA1＋tanB

1

≥2 (x∈(0，＋∞) )． 11tanAtanB

＋＋ ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 1＋tanA1＋tanB1＋tanA1＋tanB

1＋tanA－11＋tanB－111

＋＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 1＋tanA1＋tanB1＋tanA1＋tanB1111

＋1－1 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 1＋tanA1＋tanB1＋tanA1＋tanB

2211

＋2 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ＜1 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 1＋tanA1＋tanB1＋tanA1＋tanB

2＋tanA＋tanB ＜1＋tanAtanB＋tanA＋tanB ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

π 1＜tanAtanB ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ cotA＜tanB ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ tan＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2A＜tanB ＜

2A＜B ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 锐角三角形ABC中，A＋B2

ππ

abc

21．已知a，b，c为三角形的三边长，求证：＋≥3．

b＋c－aa＋c－ba＋b－c 证明

abc

≥3 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

b＋c－aa＋c－ba＋b－c

2a2b2c

＋≥6 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

b＋c－aa＋c－ba＋b－c

2a2b2c

＋1＋1＋1≥9 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

b＋c－aa＋c－ba＋b－ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c

＋9 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

b＋c－aa＋c－ba＋b－c

111 (a＋b＋c)≥9 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

b＋c－aa＋c－ba＋b－c

111

[(b＋c－a)＋(a＋c－b)＋(a＋b－c)]＋≥9 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

b＋c－aa＋c－ba＋b－c3

(b＋c－a)＋(a＋c－b)＋(a＋b－c)≥3 (b＋c－a)·(a＋c－b)·(a＋b－c) 且 3111111

≥3 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

b＋c－aa＋c－ba＋b－cb＋c－aa＋c－ba＋b－c

b＋c－a＞0，a＋c－b＞0，a＋b－c＞0＜＝ ＝＝＝＝＝＝＝＝ 已知a，b，c为三角形的三边长．

117

22．已知a，b，∈R+，且a＋b＝1，求证：ab＋．

ab4

1

证明 由a，b，∈R+，且a＋b＝1知 0＜ab

4

4(ab)2－17ab＋4117117

ab＋≥＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ab＋0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝ 4(ab)2－17ab＋4≥0

ab4ab44ab

1＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ (4ab－1)(ab－4)≥0 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 0＜ab44 (已证)．

23．(2011年高考全国卷理科压轴题)

(1)设函数f(x)＝ln(1＋x)－－

2x

，证明：当x＞0时，f(x)＞0； x＋2

(2)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽91

得的20个号码互不相同的概率为p，证明：p＜ ＜．

10e

19

证明 (1)∵ f(x)＝ln(1＋x)－

2(x＋2)－42x4

＝ln(1＋x)ln(1＋x)－2＋ x＋2x＋2x＋2

(x＋2)2－4(1＋x)14x2

∴ f′(x)＝－＝＝＞0 (x＞0)，

1＋x(x＋2)(1＋x)(x＋2)(1＋x)(x＋2) ∴ f(x)在(0，＋∞)单调递增，∴f(x)＞f(0)＝0．

100·99·98·…·8199·98·…·81

(2)易知 p＝

100100

919

先证左端不等式 p＜ ：

10

99·98·…·[1**********]

p＜ ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ＜ ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 99·98·97·…·81＜90 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 10010100

19

99·98·97·…·81＜90 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

19

19

99＋98＋97＋…＋81

99·98·97·…·81＜＝90． 19

91

再证右端不等式  ＜：

10e

91 ＜9＜ln1 ＜9 ＜－lne2 ＜10 ＞2 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ln＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 19ln＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ln＝＝＝＝＝＝＝＝ e10 e10 10919＝

1

29122x1

ln1＋ ＞＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 由(1)知ln(1＋x)＞，令x＝

99191x＋2

＋29

24．(福建省2008年高考理科压轴题)

1919

已知函数f(x)＝ln(1+x)－x．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)记f(x)在区间[0，n]（n∈N*）上的a1a3…a2n－1aaa最小值为bn令an＝ln(1＋n)－bn，求证：aaa＋…＋2an＋1－1

a2a4…a2n224

解(Ⅰ) 由f(x)＝ln(1+x)－x得f′(x)＝

－x1

1，易知当x∈(－1，0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；1＋x1＋x

当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递减．

证明(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，f(x)在区间[0，n] (n∈N*)上单调递减，∴f(x)的最小值为f(n)＝ln(1+n)－n．

于是，an＝ln(1＋n)－bn＝n．

a1a3…a2n－1aaa1·3·…·(2n－1)11·3

2a＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ＋…＋2n＋1－1 n＋1－1＜22·4a2a2a42·4·…·2na2a4…a2n

＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

1·3·…·(2n－1)

＜2n＋1－2n－1 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝

2·4·…·2n

1·3·…·(2n－1)12211

＜2n＋1－2n－1 ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ，

22·4·…·2n32n＋122n＋12n＋1＋2n－12n－12n－12n－12n－12n－133551

，，…， ＜＝＝＝＝＝＝＝＝ ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 42n2n2n5672n＋12n＋12n＋1(2n＋1)(2n－1)＜2n ＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝ (2n)－1＜2n 显然成立．