典型例题一
例1 椭圆的一个顶点为A(2，0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当A(2，0)为长轴端点时，a=2，b=1，
x2y2
+=1； 椭圆的标准方程为：41
（2）当A(2，0)为短轴端点时，b=2，a=4，
x2y2
+=1； 椭圆的标准方程为：
416
说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．
典型例题二
例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
a21
⨯2⨯ ∴3c2=a2， 解： 2c=c3
∴e=
． -3说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比．二是列
含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可．
典型例题三
例3 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
x22
解：由题意，设椭圆方程为2+y=1，
a
⎧x+y-1=0⎪222由⎨x2，得()1+ax-2ax=0， 2
⎪2+y=1⎩a
1x1+x21+a2
=2，yM=1-xM=∴xM=， 2
1+a2a
kOM=
yM11
=2=，∴a2=4， xMa4
x2
+y2=1为所求． ∴4
说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．
典型例题四
x2y⎛9⎫
例4椭圆+=1上不同三点A(x1，y1)，B 4⎪，C(x2，y2)与焦点F(4，0)的
259⎝5⎭
距离成等差数列．
（1）求证x1+x2=8；
（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．
证明：（1）由椭圆方程知a=5，b=3，c=4． 由圆锥曲线的统一定义知：
2
AFa2
-x1c
=
c， a
∴ AF=a-ex1=5-同理 CF=5-
4
x1． 5
4
x2． 5
9， 5
∵ AF+CF=2BF，且BF=∴ 5-
⎛⎝4⎫⎛4⎫18x1⎪+ 5-x2⎪=， 5⎭⎝5⎭5
即 x1+x2=8．
（2）因为线段AC的中点为 41
⎛
⎝y+y2⎫
⎪，所以它的垂直平分线方程为 2⎭
y-
y1+y2x1-x2
(x-4)． =
2y1-y2
又∵点T在x轴上，设其坐标为(x0，0)，代入上式，得
2y12-y2
x0-4=
2x1-x2又∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在椭圆上，
9
25-x12 25922
25-x2 y2= 25
922
(x1+x2)(x1-x2)． ∴ y1-y2=-25
∴ y1=
2
((
))
将此式代入①，并利用x1+x2=8的结论得 x0-4=-
36 25
∴ kBT
9-0
5
==． 4-x04
典型例题五
x2y+=1，F1、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到例5 已知椭圆
43
左准线l的距离MN是MF1与MF2的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：假设M存在，设M(x1，y1)，由已知条件得
2
a=2，b=，∴c=1，e=
∵左准线l的方程是x=-4， ∴MN=4+x1． 又由焦半径公式知：
1． 2
1
x1， 21
MF2=a+ex1=2+x1．
2MF1=a-ex1=2-
∵MN
2
=MF1⋅MF2，
2
∴(x1+4)= 2-
⎛⎝1⎫⎛1⎫x1⎪ 2+x1⎪． 2⎭⎝2⎭
2
整理得5x1+32x1+48=0．
解之得x1=-4或x1=-
12
． ① 5
另一方面-2≤x1≤2． ②
则①与②矛盾，所以满足条件的点M不存在． 说明：
（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．
（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．
（3）本例也可设M2cosθsinθ存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．
()
典型例题六
x2⎛11⎫
+y2=1，求过点P ⎪且被P平分的弦所在的直线方程． 例6 已知椭圆2⎝22⎭
分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k． 解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为y-整理得
11⎫⎛
=k x-⎪．代入椭圆方程，并22⎭⎝
(1+2k)x-(2k
2
2
2
13
-2kx+k2-k+=0．
22
)
2k2-2k
由韦达定理得x1+x2=． 2
1+2k
∵P是弦中点，∴x1+x2=1．故得k=-所以所求直线方程为2x+4y-3=0．
1． 2
分析二：设弦两端坐标为(x1，y1)、(x2，y2)，列关于x1、x2、y1、y2的方程组，从而求斜率：
y1-y2
．
x1-x2
⎛11⎫⎝22⎭
解法二：设过P ⎪的直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由题意得
⎧x122
⎪+y1=1，⎪22⎪x22
⎨+y2=1，⎪2
⎪x1+x2=1，⎪
⎩y1+y2=1.
①② ③④
2
x12-x22
+y12-y2=0． ⑤ ①－②得
2
将③、④代入⑤得
1y1-y21
=-，即直线的斜率为-．
2x1-x22
所求直线方程为2x+4y-3=0．
说明：
（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．
（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．
典型例题七
例7 求适合条件的椭圆的标准方程．
-6)； （1）长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，
（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．
x2y22
分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由2+2=1求出a=148，
abx2y2y2x2
+=1后，不能依此写出另一方程+=1． b=37，在得方程
1483714837
2
x2y2y2x2
解：（1）设椭圆的标准方程为2+2=1或2+2=1．
abab
由已知a=2b． ① 又过点(2，-6)，因此有
(22(-6)-6)22
+2=1或2+2=1． ② 2abab
2
2
由①、②，得a=148，b=37或a=52，b=13．故所求的方程为
2222
x2y2y2x2
+=1或+=1． 148375213
x2y22
（2）设方程为2+2=1．由已知，c=3，b=c=3，所以a=18．故所求方程
abx2y2
+=1． 为
189
说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置
x2y2y2x2
是否确定，若不能确定，应设方程2+2=1或2+2=1．
abab
典型例题八
x2y2
+=1的右焦点为F，例8 椭圆过点A1点M在椭圆上，当AM+2MF，1612
()
为最小值时，求点M的坐标．
分析：本题的关键是求出离心率e=最小值．一般地，求AM+
1
，把2MF转化为M到右准线的距离，从而得2
1
MF均可用此法． e
1
解：由已知：a=4，c=2．所以e=，右准线
2
l：x=8．
过A作AQ⊥l，垂足为Q，交椭圆于M，故显然AM+2MF的最小值为AQ，即
MMQ=2MF．
为所求点，因此yM=，且M在椭圆上．故xM=23．所以M23．
说明：本题关键在于未知式AM+2MF中的“2”的处理．事实上，如图，e=
()
1，2
即MF是M到右准线的距离的一半，即图中的MQ，问题转化为求椭圆上一点M，使M到A的距离与到右准线距离之和取最小值．
典型例题九
x2
+y2=1上的点到直线x-y+6=0的距离的最小值． 例9 求椭圆3
分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．
⎧x=cosθ，
解：椭圆的参数方程为⎨设椭圆上的点的坐标为
⎩y=sinθ.
直线的距离为
3cosθ，sinθ)，则点到
d=
⎛π⎫
2sin-θ ⎪+6cosθ-sinθ+6⎝3⎭
． =
22
⎛π⎫
-θ⎪=-1时，d最小值=22． ⎝3⎭
当sin
说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．
典型例题十
例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=
3⎛3⎫，已知点P 0⎪到2⎝2⎭
这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P的距离等于7的点的坐标．
分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d的最大值时，要注意讨论b的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．
x2y2
解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是2+2=1，其中a>b>0待定．
abc2a2-b2b2
=1-2可得 由e=2=2
aaa
2
b31
=-e2=-=，即a=2b． a42
设椭圆上的点(x，y)到点P的距离是d，则
3⎫y2⎫9⎛222⎛2
⎪d=x+ y-⎪=a 1-+y-3y+ b2⎪24⎝⎭⎝⎭
2
91⎫⎛
=4b2-3y2-3y+=-3 y+⎪+4b2+3
42⎭⎝
其中-b≤y≤b． 如果b
2
12
，则当y=-b时，d（从而d）有最大值． 2
由题设得
)
7)
3113⎫⎛
7= b+⎪，由此得b=->，与b
2222⎭⎝
2
2
因此必有b≥由题设得
112
成立，于是当y=-时，d（从而d）有最大值． 22
2
=4b2+3，可得b=1，a=2．
x2y2
+=1． ∴所求椭圆方程是41
由y=-
11⎫1⎫⎛⎛
及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点 -，-⎪，点 ，-⎪到点22⎭2⎭⎝⎝
⎛3⎫
P 0⎪的距离是7． ⎝2⎭
解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是⎨
⎧x=acosθ
，其中a>b>0，待定，
y=bsinθ⎩
0≤θ≤2π，θ为参数．
c2a2-b2⎛b⎫2
由e=2==1- ⎪可得
aa2⎝a⎭
2
b31
=-e2=-=，即a=2b． a42
设椭圆上的点(x，y)到点P 0⎪的距离为d，则
2
2
⎛
⎝3⎫2⎭
3⎫3⎫⎛⎛
d=x+ y-⎪=a2cos2θ+ bsinθ-⎪
2⎭2⎭⎝⎝
2
2
θ+ =4b-3bsinθ-3bsin
2
2
222
9
4
1⎫⎛
=-3b sinθ+⎪+4b2+3
2b⎭⎝
如果
11
>1，即b
由题设得成立．
)
31113⎫⎛
7= b+⎪，由此得b=7->，与b
2222b2⎭⎝
2
2
于是当sinθ=-由题设知
12
时d（从而d）有最大值． 2b
7)
2
=4b2+3，∴b=1，a=2．
∴所求椭圆的参数方程是⎨
⎧x=2cosθ
．
y=sinθ⎩
由sinθ=-
131⎫⎛1⎫⎛
，cosθ=±，可得椭圆上的是 -3，-⎪， 3，-⎪． 222⎭⎝2⎭⎝
典型例题十一
例11 设x，y∈R，2x+3y=6x，求x+y+2x的最大值和最小值． 分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程2x+3y=6x与椭圆方程的结构一致．设x+y+2x=m，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．
解：由2x+3y=6x，得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3⎫⎛
x-⎪y2⎪+=1 93 ⎪ ⎪
2⎝4⎭
可见它表示一个椭圆，其中心在 ，0⎪点，焦点在x轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．
设x2+y2+2x=m，则 (x+1)+y2=m+1
2
2
⎛3⎫
⎝2⎭
它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为m+1(m>-1)．
在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即m+1=1，此时m=0；当圆过（3，0）点时，半径最大，即m+1=4，∴m=15．
∴x2+y2+2x的最小值为0，最大值为15．
典型例题十二
x2y2
例12 已知椭圆C2+2=1(a>b>0)，A、B是其长轴的两个端点．
ab
b如何变化，∠APB≠120．（1）过一个焦点F作垂直于长轴的弦PP'，求证：不论a、
（2）如果椭圆上存在一个点Q，使∠AQB=120，求C的离心率e的取值范围． 分析：本题从已知条件出发，两问都应从∠APB和∠AQB的正切值出发做出估计，因
此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e满足
的不等式，只能是椭圆的固有性质：x≤a，y≤b，根据∠AQB得到=120
a222ay22
b、=-3，将x=a-2y代入，消去x，用a、以便利用y≤bc表示y，222
bx+y-a
列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．
解：（1）设F(c，0)，A(-a，0)，B(a，0)．
⎧x=c⎛b2⎫
⎨22 ⇒P c⎪2222 ⎪
⎝a⎭⎩bx+ay=ab
于是kAP
b2b2
，kBP=． =
ac+aac-a∵∠APB是AP到BP的角．
b2b2
-
2a2ac-aac+a∴tan∠APB==-2
b4c
1+22
ac-a2
∵a>c ∴tan∠APB
故tan∠APB≠- ∴∠APB≠120． （2）设Q(x，y)，则kQA=
22
yy，kQB=． x+ax-a
由于对称性，不妨设y>0，于是∠AQB是QA到QB的角．
yy-
2ay=∴tan∠AQB=
y2x2+y2-a2
1+2
x-a2
∵∠AQB=120， ∴
2ay
=- 222
x+y-a
整理得3x2+y2-a2+2ay=0
()
a22
∵x=a-2y
b
2
2
⎛a2⎫2
∴ 1-b2⎪⎪y+2ay=0
⎝⎭
2ab2
∵y≠0， ∴y=
3c22ab2
∵y≤b， ∴≤b 2
3c
2ab≤c2，4a2a2-c2≤3c2
∴4c+4ac-4a≥0，3e+4e-4≥0 ∴e≥
2
()
422442
32
或e≤-2（舍），∴≤e
典型例题十三
1x2y2
+=1的离心率e=，求k的值． 例13 已知椭圆
2k+89
分析：分两种情况进行讨论．
解：当椭圆的焦点在x轴上时，a=k+8，b=9，得c=k-1．由e=当椭圆的焦点在y轴上时，a=9，b=k+8，得c=1-k．
2
2
2
222
1
，得k=4． 2
11-k15
=，即k=-． ，得
2944
5
∴满足条件的k=4或k=-．
4
由e=
说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为k+8与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上．故必须进行讨论．
典型例题十四
x2y2
例14 已知椭圆2+2=1上一点P到右焦点F2的距离为b(b>1)，求P到左准线
4bb
的距离．
分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．
x2y2解法一：由2+2=1，得a=2b，c=b，e=．
24bb
由椭圆定义，PF1+PF2=2a=4b，得
PF1=4b-PF2=4b-b=3b．
由椭圆第二定义，
PF1d1
=e，d1为P到左准线的距离，
∴d1=
PF1e
=2b，
即P到左准线的距离为2b．
解法二：∵
PF2d2
PF2e
=e，d2为P到右准线的距离，e=
2b． 3
c， =
a2
∴d2=
=
a28又椭圆两准线的距离为2⋅=b．
c3
∴P到左准线的距离为
8323b-b=2b． 33
说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．
椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．
典型例题十五
⎧x=4cosα,π
例15 设椭圆⎨(α为参数)上一点P与x轴正向所成角∠POx=，求
3⎩y=23sinα.P点坐标．
分析：利用参数α与∠POx之间的关系求解．
解：设P(4cosα,2sinα)，由P与x轴正向所成角为
π
， 3
∴tan
π
3
=
2sinα
，即tanα=2．
4cosα
2，sinα=， 55
而sinα>0，cosα>0，由此得到cosα=
∴P点坐标为(
44,)． 55
典型例题十六
x2y2
例16 设P(x0,y0)是离心率为e的椭圆2+2=1 (a>b>0)上的一点，P到左焦
ab
点F1和右焦点F2的距离分别为r1和r2，求证：r1=a+ex0，r2=a-ex0．
分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化
为点到相应准线距离．
a2a2
解：P点到椭圆的左准线l：x=-的距离，PQ=x0+，
cc
由椭圆第二定义，
PF1PQ
=e，
∴r1=a-ex0． 1=e=a+ex0，由椭圆第一定义，r2=2a-r
说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问
题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y轴上的焦半径公式．
典型例题十七
x2y2
+=1内有一点A(1,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点例17 已知椭圆95P是椭圆上一点．
P坐标； (1) 求PA+PF1的最大值、最小值及对应的点
(2) 求PA+
3
PF2的最小值及对应的点P的坐标． 2
分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．
解：
(1)如上图，2a=6，F2(2,0)，AF2=
2，设P是椭圆上任一点，由
，
∴
PF1+PF2=2a=6
，
≥PF2-AF2
等号仅当=PF+PF2-AF2时成1≥PF1+PF2-AF2=2a-AF2=6-2，立，此时P、A、F2共线．
由≤PF∴PA+PF等2+AF2，1≤PF1+PF2+AF2=2a+AF2=6+2，
P、A、F2共线． 号仅当=PF2+AF2时成立，此时
⎧x+y-2=0,建立A、F2的直线方程x+y-2=0，解方程组⎨2得两交点 2
⎩5x+9y=45
[1**********]5P(-2,+2)P(+2,-2)． 、12
[1**********]4
P点与P2重合时，综上所述，P点与P1重合时，+PF1取最小值6-2，
+PF2取最大值6+2．
(2)如下图，设P是椭圆上任一点，作PQ垂直椭圆右准线，Q为垂足，由a=3，c=2，∴e=
PF2232．由椭圆第二定义知，∴PQ=PF2=e=32PQ3
，∴
3
PF2=PA+PQ，要使其和最小需有A、P、Q共线，即求A到右准线距离．右2
9
准线方程为x=．
2PA+
∴A到右准线距离为
7
．此时P点纵坐标与A点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条2
件的点P坐标(
65
,1)． 5
1
PF2的最小值，就是用第二定义转化后，过A向相应准线作垂线段．巧e
说明：求PA+
用焦点半径PF2与点准距PQ互化是解决有关问题的重要手段．
典型例题十八
x2y2
+=1的参数方程； 例18 (1)写出椭圆94
(2)求椭圆内接矩形的最大面积．
分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．
解：(1) ⎨
⎧x=3cosθ
(θ∈R)．
⎩y=2sinθ
(2)设椭圆内接矩形面积为S，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x轴和y轴，设
π
(3cosθ,2sinθ)为矩形在第一象限的顶点，(0
2
则S=4⨯3cosθ⨯2sinθ=12sin2θ≤12
故椭圆内接矩形的最大面积为12．
说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．
典型例题十九
例19 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60︒． (1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)求证∆PF1F2的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为
x2y2
+2=1（a>b>0），P(x1,y1)（y1>0）． 2ab
思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即tan60︒=
2
2
KPF2-KPF11+KPF2KPF1
=，设
P(x1,y1)，F1(-c,0)，F2(c,0)，化简可得3x1+3y1-2cy1-3c2=0．又
x1y1222，两方程联立消去得+=13cy1+2b2cy1-3b4=0，由y1∈(0,b]，可以x122
ab
确定离心率的取值范围；解出y1可以求出∆PF1F2的面积，但这一过程很繁．
思路二：利用焦半径公式PF在∆PF1F2中运用余弦定理，1=a+ex1，PF2=a-ex1，求x1，再利用x1∈[-a,a]，可以确定离心率e的取值范围，将x1代入椭圆方程中求y1，便可求出∆PF1F2的面积．
思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合PF1+PF2=2a求解．
2
2
x2y2
解：(法1)设椭圆方程为2+2=1（a>b>0），P(x1,y1)，F1(-c,0)，F2(c,0)，
abc>0，
则PF1=a+ex1，PF2=a-ex1． 在∆PF1F2中，由余弦定理得
1(a+ex1)2+(a-ex1)2-4c2
， cos60︒==
22(a+ex1)(a-ex1)
4c2-a2
解得x1=．
3e2
2
(1)∵x1∈(0,a2]，
2
4c2-a2
3e
∴e=
c1≥． a2
12
故椭圆离心率的取范围是e∈[,1)．
4c2-a2x2y2
(2)将x1=代入2+2=1得 2
ab3e
2
b4b2
y1=2，即y1=．
3c3c
2
∴S∆PF1F2
11b22
=F1F2⋅y=⋅2c⋅=b． 2233c
即∆PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关．
(法2)设PF2F1=α，∠PF1F2=β， 1=m，PF2=n，∠PF
则α+β=120︒．
(1)在∆PF1F2中，由正弦定理得
mn2c==． sinαsinβsin60︒
∴
m+n2c
=
sinα+sinβsin60︒
∵m+n=2a， ∴
2a2c
=，
sinα+sinβsin60︒
∴e=
csin60︒sin60︒
==
asinα+sinβ2sincos22
11=≥．
-22cos
2
当且仅当α=β时等号成立．
故椭圆离心率的取值范围是e∈[,1)． (2)在∆PF1F2中，由余弦定理得：
1
2
(2c)2=m2+n2-2mncos60︒
=m2+n2-mn =(m+n)2-3mn
∵m+n=2a，
22
∴4c=4a-3mn，即mn=
424
(a-c2)=b2． 33
∴S∆PF1F2=
132
mnsin60︒=b． 23
即∆PF1F2的面积与椭圆短轴长有关．
说明：椭圆上的一点P与两个焦点F1，F2构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现
PF1+PF2的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a，c的关系式，使问
题找到解决思路．
典型例题二十
x2y2
例20 椭圆2+2=1(a>b>0)与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，
ab
使OP⊥AP(O为坐标原点)，求其离心率e的取值范围．
分析：∵O、A为定点，P为动点，可以P点坐标作为参数，把OP⊥AP，转化为P点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a、b、c的一个不等式，转化为关于e的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．
解：设椭圆的参数方程是⎨
⎧x=acosθ
(a>b>0)，
⎩y=bsinθ
则椭圆上的点P(acosθ,bsinθ)，A(a,0)， ∵OP⊥AP，∴
bsinθbsinθ
⋅=-1，
acosθacosθ-a
2
2
b2
即(a-b)cosθ-acosθ+b=0，解得cosθ=1或cosθ=2，
a-b2
2
2
2
b2222
a-b
a2
∴0
c
∴e>
22，又0
2
,1)，求证在椭圆上总存在点P使OP⊥AP．如何说明：若已知椭圆离心率范围(2
证明？
典型例题一
例1 椭圆的一个顶点为A(2，0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当A(2，0)为长轴端点时，a=2，b=1，
x2y2
+=1； 椭圆的标准方程为：41
（2）当A(2，0)为短轴端点时，b=2，a=4，
x2y2
+=1； 椭圆的标准方程为：
416
说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．
典型例题二
例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
a21
⨯2⨯ ∴3c2=a2， 解： 2c=c3
∴e=
． -3说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比．二是列
含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可．
典型例题三
例3 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
x22
解：由题意，设椭圆方程为2+y=1，
a
⎧x+y-1=0⎪222由⎨x2，得()1+ax-2ax=0， 2
⎪2+y=1⎩a
1x1+x21+a2
=2，yM=1-xM=∴xM=， 2
1+a2a
kOM=
yM11
=2=，∴a2=4， xMa4
x2
+y2=1为所求． ∴4
说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．
典型例题四
x2y⎛9⎫
例4椭圆+=1上不同三点A(x1，y1)，B 4⎪，C(x2，y2)与焦点F(4，0)的
259⎝5⎭
距离成等差数列．
（1）求证x1+x2=8；
（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．
证明：（1）由椭圆方程知a=5，b=3，c=4． 由圆锥曲线的统一定义知：
2
AFa2
-x1c
=
c， a
∴ AF=a-ex1=5-同理 CF=5-
4
x1． 5
4
x2． 5
9， 5
∵ AF+CF=2BF，且BF=∴ 5-
⎛⎝4⎫⎛4⎫18x1⎪+ 5-x2⎪=， 5⎭⎝5⎭5
即 x1+x2=8．
（2）因为线段AC的中点为 41
⎛
⎝y+y2⎫
⎪，所以它的垂直平分线方程为 2⎭
y-
y1+y2x1-x2
(x-4)． =
2y1-y2
又∵点T在x轴上，设其坐标为(x0，0)，代入上式，得
2y12-y2
x0-4=
2x1-x2又∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在椭圆上，
9
25-x12 25922
25-x2 y2= 25
922
(x1+x2)(x1-x2)． ∴ y1-y2=-25
∴ y1=
2
((
))
将此式代入①，并利用x1+x2=8的结论得 x0-4=-
36 25
∴ kBT
9-0
5
==． 4-x04
典型例题五
x2y+=1，F1、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到例5 已知椭圆
43
左准线l的距离MN是MF1与MF2的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：假设M存在，设M(x1，y1)，由已知条件得
2
a=2，b=，∴c=1，e=
∵左准线l的方程是x=-4， ∴MN=4+x1． 又由焦半径公式知：
1． 2
1
x1， 21
MF2=a+ex1=2+x1．
2MF1=a-ex1=2-
∵MN
2
=MF1⋅MF2，
2
∴(x1+4)= 2-
⎛⎝1⎫⎛1⎫x1⎪ 2+x1⎪． 2⎭⎝2⎭
2
整理得5x1+32x1+48=0．
解之得x1=-4或x1=-
12
． ① 5
另一方面-2≤x1≤2． ②
则①与②矛盾，所以满足条件的点M不存在． 说明：
（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．
（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．
（3）本例也可设M2cosθsinθ存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．
()
典型例题六
x2⎛11⎫
+y2=1，求过点P ⎪且被P平分的弦所在的直线方程． 例6 已知椭圆2⎝22⎭
分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k． 解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为y-整理得
11⎫⎛
=k x-⎪．代入椭圆方程，并22⎭⎝
(1+2k)x-(2k
2
2
2
13
-2kx+k2-k+=0．
22
)
2k2-2k
由韦达定理得x1+x2=． 2
1+2k
∵P是弦中点，∴x1+x2=1．故得k=-所以所求直线方程为2x+4y-3=0．
1． 2
分析二：设弦两端坐标为(x1，y1)、(x2，y2)，列关于x1、x2、y1、y2的方程组，从而求斜率：
y1-y2
．
x1-x2
⎛11⎫⎝22⎭
解法二：设过P ⎪的直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由题意得
⎧x122
⎪+y1=1，⎪22⎪x22
⎨+y2=1，⎪2
⎪x1+x2=1，⎪
⎩y1+y2=1.
①② ③④
2
x12-x22
+y12-y2=0． ⑤ ①－②得
2
将③、④代入⑤得
1y1-y21
=-，即直线的斜率为-．
2x1-x22
所求直线方程为2x+4y-3=0．
说明：
（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．
（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．
典型例题七
例7 求适合条件的椭圆的标准方程．
-6)； （1）长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，
（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．
x2y22
分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由2+2=1求出a=148，
abx2y2y2x2
+=1后，不能依此写出另一方程+=1． b=37，在得方程
1483714837
2
x2y2y2x2
解：（1）设椭圆的标准方程为2+2=1或2+2=1．
abab
由已知a=2b． ① 又过点(2，-6)，因此有
(22(-6)-6)22
+2=1或2+2=1． ② 2abab
2
2
由①、②，得a=148，b=37或a=52，b=13．故所求的方程为
2222
x2y2y2x2
+=1或+=1． 148375213
x2y22
（2）设方程为2+2=1．由已知，c=3，b=c=3，所以a=18．故所求方程
abx2y2
+=1． 为
189
说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置
x2y2y2x2
是否确定，若不能确定，应设方程2+2=1或2+2=1．
abab
典型例题八
x2y2
+=1的右焦点为F，例8 椭圆过点A1点M在椭圆上，当AM+2MF，1612
()
为最小值时，求点M的坐标．
分析：本题的关键是求出离心率e=最小值．一般地，求AM+
1
，把2MF转化为M到右准线的距离，从而得2
1
MF均可用此法． e
1
解：由已知：a=4，c=2．所以e=，右准线
2
l：x=8．
过A作AQ⊥l，垂足为Q，交椭圆于M，故显然AM+2MF的最小值为AQ，即
MMQ=2MF．
为所求点，因此yM=，且M在椭圆上．故xM=23．所以M23．
说明：本题关键在于未知式AM+2MF中的“2”的处理．事实上，如图，e=
()
1，2
即MF是M到右准线的距离的一半，即图中的MQ，问题转化为求椭圆上一点M，使M到A的距离与到右准线距离之和取最小值．
典型例题九
x2
+y2=1上的点到直线x-y+6=0的距离的最小值． 例9 求椭圆3
分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．
⎧x=cosθ，
解：椭圆的参数方程为⎨设椭圆上的点的坐标为
⎩y=sinθ.
直线的距离为
3cosθ，sinθ)，则点到
d=
⎛π⎫
2sin-θ ⎪+6cosθ-sinθ+6⎝3⎭
． =
22
⎛π⎫
-θ⎪=-1时，d最小值=22． ⎝3⎭
当sin
说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．
典型例题十
例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=
3⎛3⎫，已知点P 0⎪到2⎝2⎭
这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P的距离等于7的点的坐标．
分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d的最大值时，要注意讨论b的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．
x2y2
解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是2+2=1，其中a>b>0待定．
abc2a2-b2b2
=1-2可得 由e=2=2
aaa
2
b31
=-e2=-=，即a=2b． a42
设椭圆上的点(x，y)到点P的距离是d，则
3⎫y2⎫9⎛222⎛2
⎪d=x+ y-⎪=a 1-+y-3y+ b2⎪24⎝⎭⎝⎭
2
91⎫⎛
=4b2-3y2-3y+=-3 y+⎪+4b2+3
42⎭⎝
其中-b≤y≤b． 如果b
2
12
，则当y=-b时，d（从而d）有最大值． 2
由题设得
)
7)
3113⎫⎛
7= b+⎪，由此得b=->，与b
2222⎭⎝
2
2
因此必有b≥由题设得
112
成立，于是当y=-时，d（从而d）有最大值． 22
2
=4b2+3，可得b=1，a=2．
x2y2
+=1． ∴所求椭圆方程是41
由y=-
11⎫1⎫⎛⎛
及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点 -，-⎪，点 ，-⎪到点22⎭2⎭⎝⎝
⎛3⎫
P 0⎪的距离是7． ⎝2⎭
解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是⎨
⎧x=acosθ
，其中a>b>0，待定，
y=bsinθ⎩
0≤θ≤2π，θ为参数．
c2a2-b2⎛b⎫2
由e=2==1- ⎪可得
aa2⎝a⎭
2
b31
=-e2=-=，即a=2b． a42
设椭圆上的点(x，y)到点P 0⎪的距离为d，则
2
2
⎛
⎝3⎫2⎭
3⎫3⎫⎛⎛
d=x+ y-⎪=a2cos2θ+ bsinθ-⎪
2⎭2⎭⎝⎝
2
2
θ+ =4b-3bsinθ-3bsin
2
2
222
9
4
1⎫⎛
=-3b sinθ+⎪+4b2+3
2b⎭⎝
如果
11
>1，即b
由题设得成立．
)
31113⎫⎛
7= b+⎪，由此得b=7->，与b
2222b2⎭⎝
2
2
于是当sinθ=-由题设知
12
时d（从而d）有最大值． 2b
7)
2
=4b2+3，∴b=1，a=2．
∴所求椭圆的参数方程是⎨
⎧x=2cosθ
．
y=sinθ⎩
由sinθ=-
131⎫⎛1⎫⎛
，cosθ=±，可得椭圆上的是 -3，-⎪， 3，-⎪． 222⎭⎝2⎭⎝
典型例题十一
例11 设x，y∈R，2x+3y=6x，求x+y+2x的最大值和最小值． 分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程2x+3y=6x与椭圆方程的结构一致．设x+y+2x=m，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．
解：由2x+3y=6x，得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3⎫⎛
x-⎪y2⎪+=1 93 ⎪ ⎪
2⎝4⎭
可见它表示一个椭圆，其中心在 ，0⎪点，焦点在x轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．
设x2+y2+2x=m，则 (x+1)+y2=m+1
2
2
⎛3⎫
⎝2⎭
它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为m+1(m>-1)．
在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即m+1=1，此时m=0；当圆过（3，0）点时，半径最大，即m+1=4，∴m=15．
∴x2+y2+2x的最小值为0，最大值为15．
典型例题十二
x2y2
例12 已知椭圆C2+2=1(a>b>0)，A、B是其长轴的两个端点．
ab
b如何变化，∠APB≠120．（1）过一个焦点F作垂直于长轴的弦PP'，求证：不论a、
（2）如果椭圆上存在一个点Q，使∠AQB=120，求C的离心率e的取值范围． 分析：本题从已知条件出发，两问都应从∠APB和∠AQB的正切值出发做出估计，因
此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e满足
的不等式，只能是椭圆的固有性质：x≤a，y≤b，根据∠AQB得到=120
a222ay22
b、=-3，将x=a-2y代入，消去x，用a、以便利用y≤bc表示y，222
bx+y-a
列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．
解：（1）设F(c，0)，A(-a，0)，B(a，0)．
⎧x=c⎛b2⎫
⎨22 ⇒P c⎪2222 ⎪
⎝a⎭⎩bx+ay=ab
于是kAP
b2b2
，kBP=． =
ac+aac-a∵∠APB是AP到BP的角．
b2b2
-
2a2ac-aac+a∴tan∠APB==-2
b4c
1+22
ac-a2
∵a>c ∴tan∠APB
故tan∠APB≠- ∴∠APB≠120． （2）设Q(x，y)，则kQA=
22
yy，kQB=． x+ax-a
由于对称性，不妨设y>0，于是∠AQB是QA到QB的角．
yy-
2ay=∴tan∠AQB=
y2x2+y2-a2
1+2
x-a2
∵∠AQB=120， ∴
2ay
=- 222
x+y-a
整理得3x2+y2-a2+2ay=0
()
a22
∵x=a-2y
b
2
2
⎛a2⎫2
∴ 1-b2⎪⎪y+2ay=0
⎝⎭
2ab2
∵y≠0， ∴y=
3c22ab2
∵y≤b， ∴≤b 2
3c
2ab≤c2，4a2a2-c2≤3c2
∴4c+4ac-4a≥0，3e+4e-4≥0 ∴e≥
2
()
422442
32
或e≤-2（舍），∴≤e
典型例题十三
1x2y2
+=1的离心率e=，求k的值． 例13 已知椭圆
2k+89
分析：分两种情况进行讨论．
解：当椭圆的焦点在x轴上时，a=k+8，b=9，得c=k-1．由e=当椭圆的焦点在y轴上时，a=9，b=k+8，得c=1-k．
2
2
2
222
1
，得k=4． 2
11-k15
=，即k=-． ，得
2944
5
∴满足条件的k=4或k=-．
4
由e=
说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为k+8与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上．故必须进行讨论．
典型例题十四
x2y2
例14 已知椭圆2+2=1上一点P到右焦点F2的距离为b(b>1)，求P到左准线
4bb
的距离．
分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．
x2y2解法一：由2+2=1，得a=2b，c=b，e=．
24bb
由椭圆定义，PF1+PF2=2a=4b，得
PF1=4b-PF2=4b-b=3b．
由椭圆第二定义，
PF1d1
=e，d1为P到左准线的距离，
∴d1=
PF1e
=2b，
即P到左准线的距离为2b．
解法二：∵
PF2d2
PF2e
=e，d2为P到右准线的距离，e=
2b． 3
c， =
a2
∴d2=
=
a28又椭圆两准线的距离为2⋅=b．
c3
∴P到左准线的距离为
8323b-b=2b． 33
说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．
椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．
典型例题十五
⎧x=4cosα,π
例15 设椭圆⎨(α为参数)上一点P与x轴正向所成角∠POx=，求
3⎩y=23sinα.P点坐标．
分析：利用参数α与∠POx之间的关系求解．
解：设P(4cosα,2sinα)，由P与x轴正向所成角为
π
， 3
∴tan
π
3
=
2sinα
，即tanα=2．
4cosα
2，sinα=， 55
而sinα>0，cosα>0，由此得到cosα=
∴P点坐标为(
44,)． 55
典型例题十六
x2y2
例16 设P(x0,y0)是离心率为e的椭圆2+2=1 (a>b>0)上的一点，P到左焦
ab
点F1和右焦点F2的距离分别为r1和r2，求证：r1=a+ex0，r2=a-ex0．
分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化
为点到相应准线距离．
a2a2
解：P点到椭圆的左准线l：x=-的距离，PQ=x0+，
cc
由椭圆第二定义，
PF1PQ
=e，
∴r1=a-ex0． 1=e=a+ex0，由椭圆第一定义，r2=2a-r
说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问
题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y轴上的焦半径公式．
典型例题十七
x2y2
+=1内有一点A(1,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点例17 已知椭圆95P是椭圆上一点．
P坐标； (1) 求PA+PF1的最大值、最小值及对应的点
(2) 求PA+
3
PF2的最小值及对应的点P的坐标． 2
分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．
解：
(1)如上图，2a=6，F2(2,0)，AF2=
2，设P是椭圆上任一点，由
，
∴
PF1+PF2=2a=6
，
≥PF2-AF2
等号仅当=PF+PF2-AF2时成1≥PF1+PF2-AF2=2a-AF2=6-2，立，此时P、A、F2共线．
由≤PF∴PA+PF等2+AF2，1≤PF1+PF2+AF2=2a+AF2=6+2，
P、A、F2共线． 号仅当=PF2+AF2时成立，此时
⎧x+y-2=0,建立A、F2的直线方程x+y-2=0，解方程组⎨2得两交点 2
⎩5x+9y=45
[1**********]5P(-2,+2)P(+2,-2)． 、12
[1**********]4
P点与P2重合时，综上所述，P点与P1重合时，+PF1取最小值6-2，
+PF2取最大值6+2．
(2)如下图，设P是椭圆上任一点，作PQ垂直椭圆右准线，Q为垂足，由a=3，c=2，∴e=
PF2232．由椭圆第二定义知，∴PQ=PF2=e=32PQ3
，∴
3
PF2=PA+PQ，要使其和最小需有A、P、Q共线，即求A到右准线距离．右2
9
准线方程为x=．
2PA+
∴A到右准线距离为
7
．此时P点纵坐标与A点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条2
件的点P坐标(
65
,1)． 5
1
PF2的最小值，就是用第二定义转化后，过A向相应准线作垂线段．巧e
说明：求PA+
用焦点半径PF2与点准距PQ互化是解决有关问题的重要手段．
典型例题十八
x2y2
+=1的参数方程； 例18 (1)写出椭圆94
(2)求椭圆内接矩形的最大面积．
分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．
解：(1) ⎨
⎧x=3cosθ
(θ∈R)．
⎩y=2sinθ
(2)设椭圆内接矩形面积为S，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x轴和y轴，设
π
(3cosθ,2sinθ)为矩形在第一象限的顶点，(0
2
则S=4⨯3cosθ⨯2sinθ=12sin2θ≤12
故椭圆内接矩形的最大面积为12．
说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．
典型例题十九
例19 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60︒． (1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)求证∆PF1F2的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为
x2y2
+2=1（a>b>0），P(x1,y1)（y1>0）． 2ab
思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即tan60︒=
2
2
KPF2-KPF11+KPF2KPF1
=，设
P(x1,y1)，F1(-c,0)，F2(c,0)，化简可得3x1+3y1-2cy1-3c2=0．又
x1y1222，两方程联立消去得+=13cy1+2b2cy1-3b4=0，由y1∈(0,b]，可以x122
ab
确定离心率的取值范围；解出y1可以求出∆PF1F2的面积，但这一过程很繁．
思路二：利用焦半径公式PF在∆PF1F2中运用余弦定理，1=a+ex1，PF2=a-ex1，求x1，再利用x1∈[-a,a]，可以确定离心率e的取值范围，将x1代入椭圆方程中求y1，便可求出∆PF1F2的面积．
思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合PF1+PF2=2a求解．
2
2
x2y2
解：(法1)设椭圆方程为2+2=1（a>b>0），P(x1,y1)，F1(-c,0)，F2(c,0)，
abc>0，
则PF1=a+ex1，PF2=a-ex1． 在∆PF1F2中，由余弦定理得
1(a+ex1)2+(a-ex1)2-4c2
， cos60︒==
22(a+ex1)(a-ex1)
4c2-a2
解得x1=．
3e2
2
(1)∵x1∈(0,a2]，
2
4c2-a2
3e
∴e=
c1≥． a2
12
故椭圆离心率的取范围是e∈[,1)．
4c2-a2x2y2
(2)将x1=代入2+2=1得 2
ab3e
2
b4b2
y1=2，即y1=．
3c3c
2
∴S∆PF1F2
11b22
=F1F2⋅y=⋅2c⋅=b． 2233c
即∆PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关．
(法2)设PF2F1=α，∠PF1F2=β， 1=m，PF2=n，∠PF
则α+β=120︒．
(1)在∆PF1F2中，由正弦定理得
mn2c==． sinαsinβsin60︒
∴
m+n2c
=
sinα+sinβsin60︒
∵m+n=2a， ∴
2a2c
=，
sinα+sinβsin60︒
∴e=
csin60︒sin60︒
==
asinα+sinβ2sincos22
11=≥．
-22cos
2
当且仅当α=β时等号成立．
故椭圆离心率的取值范围是e∈[,1)． (2)在∆PF1F2中，由余弦定理得：
1
2
(2c)2=m2+n2-2mncos60︒
=m2+n2-mn =(m+n)2-3mn
∵m+n=2a，
22
∴4c=4a-3mn，即mn=
424
(a-c2)=b2． 33
∴S∆PF1F2=
132
mnsin60︒=b． 23
即∆PF1F2的面积与椭圆短轴长有关．
说明：椭圆上的一点P与两个焦点F1，F2构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现
PF1+PF2的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a，c的关系式，使问
题找到解决思路．
典型例题二十
x2y2
例20 椭圆2+2=1(a>b>0)与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，
ab
使OP⊥AP(O为坐标原点)，求其离心率e的取值范围．
分析：∵O、A为定点，P为动点，可以P点坐标作为参数，把OP⊥AP，转化为P点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a、b、c的一个不等式，转化为关于e的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．
解：设椭圆的参数方程是⎨
⎧x=acosθ
(a>b>0)，
⎩y=bsinθ
则椭圆上的点P(acosθ,bsinθ)，A(a,0)， ∵OP⊥AP，∴
bsinθbsinθ
⋅=-1，
acosθacosθ-a
2
2
b2
即(a-b)cosθ-acosθ+b=0，解得cosθ=1或cosθ=2，
a-b2
2
2
2
b2222
a-b
a2
∴0
c
∴e>
22，又0
2
,1)，求证在椭圆上总存在点P使OP⊥AP．如何说明：若已知椭圆离心率范围(2
证明？