椭圆几何性质典型练习
例1 椭圆的一个顶点为A(2，0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
例3 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 例4椭圆
x
2
25
+
y9
2
⎛9⎫
=1上不同三点A(x1，y1)，B 4⎪，C(x2，y2)与焦点F(4，0)的距离成等差数列．
⎝5⎭
（1）求证x1+x2=8；
（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k． 例5 已知椭圆
x
2
4
+
y3
2
问能否在椭圆上找一点M，使M到左准线l的距离MN是MF1=1，F1、F2为两焦点，
与MF2的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
例6 已知椭圆方程．
例7 求适合条件的椭圆的标准方程．
例8 椭圆坐标．
例9 求椭圆
x
2
x
⎛11⎫2
+y=1，求过点P ⎪且被P2⎝22⎭
2
平分的弦所在的直线
x
2
16
+
y
2
12
=1的右焦点为F，过点A13，点M在椭圆上，当AM+2MF为最小值时，求点M的
()
3
+y=1上的点到直线x-y+6=0的距离的最小值．
2
例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=
32
，已知点P 0⎪到这个椭圆上的点的最远距
⎝
2⎭
⎛3⎫
离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P的距离等于7的点的坐标． 例11 设x，y∈R，2x+3y=6x，求x+y+2x的最大值和最小值．
2
2
2
2
1
xy
例12 已知椭圆C2+2=1(a>b>0)，A、B是其长轴的两个端点．
ab
x
22
2
例13 已知椭圆
k+8x
22
+
y
2
9yb
22
=1的离心率e=
12
，求k的值．
例14 已知椭圆
4b
+
=1上一点P到右焦点F2的距离为b(b>1)，求P到左准线的距离．
⎧x=4cosα,π例15 设椭圆⎨(α为参数)上一点P与x轴正向所成角∠POx=，求
3⎩y=23sinα.
例16 设P(x0,y0)是离心率为e的椭圆
xa
22
+
yb
22
=1 (a>b>0)上的一点，P到左焦点F1和右焦点F2的距离
分别为r1和r2，求证：r1=a+ex0，r2=a-ex0． x
2
例17 已知椭圆
9
+
y
2
5
=1内有一点A(1,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点
例18 (1)写出椭圆
x
2
9
+
y
2
4
=1的参数方程；
(2)求椭圆内接矩形的最大面积．
例19 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60︒．
(1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)求证∆PF1F2的面积与椭圆短轴长有关．例20 椭圆
xa
22
+
yb
22
=1(a>b>0)与x轴正向交于点A，若
这个椭圆上总存在点P，使OP⊥AP(O为坐标原点)，求其离心率e的取值范围．
2
椭圆简单几何性质答案
例1 椭圆的一个顶点为A(2，0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当A(2，0)为长轴端点时，a=2，b=1，
x
2
椭圆的标准方程为：
4
+
y
2
1
=1；
（2）当A(2，0)为短轴端点时，b=2，a=4，
x
2
椭圆的标准方程为：
4
+
y
2
16
=1；
说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．
典型例题二
例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解： 2c=
a
2
c
33
⨯2⨯
13
∴3c2=a2，
∴e=
3
-．
说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比．二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可．
典型例题三
例3 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
解：由题意，设椭圆方程为
xa
22
+y=1，
2
⎧x+y-1=0⎪222
(1+a)x-2ax=0， 由⎨x2，得2
⎪2+y=1⎩a
3
∴xM=
x1+x2
2yMxM
2
=
1+aa=
2
2
，yM=1-xM=
11+a
2
，
kOM=
=
1a
2
14
，∴a2=4，
∴
x
2
4
+y=1为所求．
说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．
典型例题四
2
2
例4椭圆
x
25
+
y9
=1上不同三点A(x⎛9⎫
1，y1)，B 4⎪，C(x2，y2)与焦点F(4，0⎝5⎭
)的距离成等差数列．（1）求证x1+x2=8；
（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．
证明：（1）由椭圆方程知a=5，b=3，c=4． 由圆锥曲线的统一定义知：
AFa
2
=
cxa
，
c
-1
∴ AF=a-ex41=5-5
x1．
同理 CF=5-
45
x2．
∵ AF+CF=2BF，且BF=
95
，
∴ ⎛ 5-
4
4⎝
5x⎫+⎛ 5-x⎫18
1⎪⎝52⎪=
， ⎭⎭
5即 x1+x2=8．
（2）因为线段AC的中点为 ⎛
4y1
+y2⎫
⎝2⎪，所以它的垂直平分线方程为 ⎭
y-
y1+y2
x1-x22
=
y(x-4)．
1-y2
又∵点T在x轴上，设其坐标为(x0，
0)，代入上式，得 xy2
1-y2
2
0-4=
2(x1-x2)
4
又∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在椭圆上， ∴ y12=
2
y2=
925925
(25-x)
2
1
(25-x)
22
2
∴ y12-y2=-
925
(x1+x2)(x1-x2)．
将此式代入①，并利用x1+x2=8的结论得 x0-4=-
9
3625
∴ kBT
-0
5==．
4-x04
典型例题五
例5 已知椭圆
x
2
2
4
+
y3
=1，F1、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到左准线l的距离MN
是MF1与MF2的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：假设M存在，设M(x1，y1)，由已知条件得
a=2，b=
3，∴c=1，e=
12
．
∵左准线l的方程是x=-4， ∴MN=4+x1． 又由焦半径公式知：
MF1=a-ex1=2-MF2=a+ex1=2+
1212x1， x1．
∵MN
2
=MF1⋅MF2，
2
∴(x1+4)= 2-
⎝
2
⎛1
1⎫⎫⎛
x1⎪ 2+x1⎪． 2⎭⎝2⎭
整理得5x1+32x1+48=0． 解之得x1=-4或x1=-
125
． ①
5
另一方面-2≤x1≤2． ② 则①与②矛盾，所以满足条件的点M不存在． 说明：
（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．
（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．
（3）本例也可设M2cosθ3sinθ存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．
()
典型例题六
例6 已知椭圆
x
⎛11⎫2
+y=1，求过点P ⎪且被P平分的弦所在的直线方程． 2⎝22⎭
2
分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k． 解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为y-
1
1⎫⎛
=k x-⎪．代入椭圆方程，并整理得 22⎭⎝
(1+2k)x
2
2
-2k-2kx+
2
(
2
)
12
k-k+
2
32
=0．
由韦达定理得x1+x2=
2k-2k1+2k
2
．
12
∵P是弦中点，∴x1+x2=1．故得k=-所以所求直线方程为2x+4y-3=0．
．
分析二：设弦两端坐标为(x1，y1)、(x2，y2)，列关于x1、x2、y1、y2的方程组，从而求斜率：
y1-y2x1-x2
．
解法二：设过P ⎪的直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由题意得
⎝22⎭
⎛11⎫
⎧x122
+y1=1，⎪2⎪2⎪x22
+y2=1，⎨⎪2
⎪x1+x2=1，⎪
⎩y1+y2=1.
①② ③④
2
2
2
①－②得
x1-x2
2
2
+y1-y2=0． ⑤
6
将③、④代入⑤得
y1-y2x1-x2
=-
12
，即直线的斜率为-
12
．
所求直线方程为2x+4y-3=0．
说明：
（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．
（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．
（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．
典型例题七
例7 求适合条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，-6)；
（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6． 分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由
xa
22
+
yb
22
=1求出a=148，b=37，在得方程
22
x
2
148
+
y
2
37
=1后，不能依此写出另一方程
y
2
148
22
+
x
2
37ya
=1．
解：（1）设椭圆的标准方程为
xa
22
+
yb
22
=1或+
xb
22
=1．
由已知a=2b． ① 又过点(2，-6)，因此有
2a
22
+
(-6)2
b
2
=1或
(-6)2
a
2
+
2b
2
22
=1． ②
由①、②，得a=148，b=37或a=52，b=13．故所求的方程为 x
2
222
148
+
y
2
37
=1或
y
2
52
22
+
x
2
13
22
=1．
（2）设方程为
xa
+
yb
=1．由已知，c=3，b=c=3，所以a=18．故所求方程为
2
x
2
18
+
y
2
9
=1．
说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程
7
xa
22
+
yb
22
=1或
ya
22
+
xb
22
=1．
典型例题八
例8 椭圆的坐标．
分析：本题的关键是求出离心率e=
AM+
1e
MF均可用此法．
1212
2
2
x
16
+
y
12
过点A13，点M在椭圆上，当AM+2MF为最小值时，求点M=1的右焦点为F，
()
，把2MF转化为M到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求
解：由已知：a=4，c=2．所以e=，右准线l：x=8．
过A作AQ⊥l，垂足为Q，交椭圆于M，故然AM+2MF的最小值为AQ，即M为所求点，因此在椭圆上．故xM=23．所以M233．
说明：本题关键在于未知式AM+2MF中的“2”的图，e=
12
MQ=2MF．显
yM=
3，且M
()
处理．事实上，如
，即MF是M到右准线的距离的一半，即图中的MQ，问题转化为求椭圆上一点M，使M到A的
距离与到右准线距离之和取最小值．
典型例题九
例9 求椭圆
x
2
3
+y=1上的点到直线x-y+6=0的距离的最小值．
2
分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值． 解：椭圆的参数方程为⎨
⎧x=
3cosθ，
设椭圆上的点的坐标为
⎩y=sinθ.
(
3cosθ，sinθ，则点到直线的距离为
)
3cosθ-sinθ+6d=
2
=
⎛π⎫
2sin -θ⎪+6
⎝3⎭
2
．
当sin
⎛π
⎫
-θ⎪=-1时，d最小值=22． ⎝3⎭
说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．
8
典型例题十
例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=
32
，已知点P 0⎪到这个椭圆上的点的最
⎝
2⎭
⎛3⎫
远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P的距离等于7的点的坐标．
分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d的最大值时，要注意讨论b的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．
22解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是
x，其中a>b>0待定．
a
2
+
yb
2
=1由e2
=
c2a2-b2
a
2
=
a
2
=1-
b2a
2
可得
ba
=-e2
=
-
34
=
12
，即a=2b．
设椭圆上的点(x，y)到点P的距离是d，则
2
d
2
=x2
+⎛ y-3⎫2
⎝2⎪=a2⎛ 1-y⎫⎪+y2
-3y9⎭ ⎝
b2⎪+ ⎭4 =4b2-3y2-3y+9
=-3⎛
y+1⎫2
⎝
⎪+4b242+3
⎭其中-b≤y≤b． 如果b
12
，则当y=-b时，d2
（从而d）有最大值．
2
由题设得
(7)
2
=⎛
b+3⎫2⎪，由此得b=
7-
3⎝
⎭2
>
12
，与b
12
矛盾．
因此必有b≥12
2
成立，于是当y=-
12
时，d（从而d）有最大值．
由题设得
(7)
2
=4b2
+3，可得b=1，a=2．
∴所求椭圆方程是
x
2
y
2
4
+
1
=1．
由y=-
12
及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点 ⎛
-
3，-
1⎫1⎫⎝
2⎪，点⎛
3，-
⎭⎝
2⎪到点P⎛ 03⎫
⎭⎝2⎪的距离是7．⎭
9
解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是⎨参数．
由e2=
ca
22
⎧x=acosθ⎩y=bsinθ
，其中a>b>0，待定，0≤θ≤2π，θ为
=
a-ba
2
22
⎛b⎫
=1- ⎪可得
⎝a⎭=12
2
ba
=-e=
2
-
34
，即a=2b．
设椭圆上的点(x，y)到点P 0⎪的距离为d，则
⎝
2⎭
2
2
⎛3⎫
d
2
3⎫3⎫⎛⎛22
=x+ y-⎪=acosθ+ bsinθ-⎪
2⎭2⎭⎝⎝
22
2
2
=4b-3bsinθ-3bsinθ+
2
94
1⎫⎛2
=-3b sinθ+⎪+4b+3
2b⎭⎝
2
如果
12b
>1，即b
12
，则当sinθ=-1时，d2（从而d）有最大值．
2
由题设得
(7)
2
3⎫⎛
= b+⎪，由此得b=
2⎭⎝
12b
7-
32
>
12
，与b
12
矛盾，因此必有
12b
≤1成立．
于是当sinθ=-由题设知
时d2（从而d）有最大值．
(7)
2
2
=4b+3，∴b=1，a=2．
∴所求椭圆的参数方程是⎨
⎧x=2cosθ⎩y=sinθ
．
由sinθ=-
12
，cosθ=±
32
，可得椭圆上的是 -
⎝
⎛
3，-
1⎫⎛
⎪， 2⎭⎝
3，-
1⎫
⎪． 2⎭
典型例题十一
例11 设x，y∈R，2x+3y=6x，求x+y+2x的最大值和最小值．
分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程2x+3y=6x与椭圆方程的结构一致．设x+y+2x=m，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．
解：由2x+3y=6x，得
10
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3⎫⎛
2 x-⎪y2⎪+ =1
93 ⎪ ⎪
2⎝4⎭
2
可见它表示一个椭圆，其中心在 ，0⎪点，焦点在x轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．
⎝2
⎭
⎛3⎫
设x2+y2+2x=m，则 (x+1)+y2=m+1
2
它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为m+1(m>-1)．
在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即m+1=1，此时m=0；当圆过（3，0）点时，半径最大，即m+1=4，∴m=15．
∴x2+y2+2x的最小值为0，最大值为15．
典型例题十二
xy
例12 已知椭圆C2+2=1(a>b>0)，A、B是其长轴的两个端点．
ab
2
2
（1）过一个焦点F作垂直于长轴的弦PP'，求证：不论a、b如何变化，∠APB≠120． （2）如果椭圆上存在一个点Q，使∠AQB=120，求C的离心率e的取值范围．
分析：本题从已知条件出发，两问都应从∠APB和∠AQB的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：x≤a，
y≤b，根据∠AQB=120得到
2ay=-3，将x=a-
22
a22
y代入，消去x，用a、b、c表示y，
x2
+y2
-a
2
b
2
以便利用y≤b列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．
解：（1）设F(c，0)，A(-a，0)，B(a，0)． ⎧x=c⎨⎛b2 ⎫
2x2+a2y2=a22⇒P cba
⎪⎪ ⎩
b⎝⎭
于是kb
2
AP=
，．
a(c+a)
kBP=
b
2
a(c-a)
∵∠APB是AP到BP的角．
b
2
2
∴tan∠APB=
a(c-a)-
b
a(c+a)
2
b
4
=-
2a1+
c
2
a2
c2
-a
2
∵a2>c2 ∴tan∠APB
故tan∠APB≠-3 ∴∠APB≠120 ． （2）设Q(x，y)，则kyQA=
yx+a
，kQB=
x-a
．
由于对称性，不妨设y>0，于是∠AQB是QA到QB的角．
y
-
y
∴tan∠AQB=21+
y2=ayx2+y2-a
2
x2
-a
2
∵∠AQB=120
， ∴
2ayx2
+y2
-a
2
=-3
整理得3(x2+y2-a2
)+2ay=0
2∵x2=a2
-
a2
b
2
y
2
∴3⎛ a⎫ 1-b2⎪2
⎪y+2ay=0
⎝⎭
2∵y≠0， ∴y=
2ab3c
2
∵y≤b， ∴
2ab3c
22
≤b
2ab≤
3c，4a2a2-c2≤3c2
2
()
∴4c4+4a2c2-4a4≥0，3e4+4e2-4≥0
32
∴e2≥或e2≤-2（舍），∴
63
≤e
典型例题十三
例13 已知椭圆
x
2
2
k+8
+
y
9
=1的离心率e=
12
，求k的值．
分析：分两种情况进行讨论．
解：当椭圆的焦点在x轴上时，a2=k+8，b2=9，得c2=k-1．由e=当椭圆的焦点在y轴上时，a2=9，b2=k+8，得c2=1-k． 由e=
12
12
，得k=4．
，得
1-k9
=
14
，即k=-
54
54
．
∴满足条件的k=4或k=-．
说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为k+8与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x轴
上，也可能在y轴上．故必须进行讨论．
典型例题十四
例14 已知椭圆
x
22
22
4b
+
yb
=1上一点P到右焦点F2的距离为b(b>1)，求P到左准线的距离．
分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解． 解法一：由
x
22
4b
+
yb
22
=1，得a=2b，c=3b，e=
32
．
由椭圆定义，PF1+PF2=2a=4b，得 PF1=4b-PF2=4b-b=3b．
由椭圆第二定义，
PF1d1
=e，d1为P到左准线的距离，
∴d1=
PF1e
=23b，
即P到左准线的距离为23b．
PF2d2
解法二：∵
=e，d2为P到右准线的距离，e=
ca
=
32
，
∴d2=
PF2e
=
233
b．
又椭圆两准线的距离为2⋅
a
2
c
=
833
b．
∴P到左准线的距离为
83
b-
233
b=23b．
说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．
椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．
典型例题十五
⎧x=4cosα,π
例15 设椭圆⎨(α为参数)上一点P与x轴正向所成角∠POx=，求P点坐标．
3⎩y=23sinα.
分析：利用参数α与∠POx之间的关系求解．
解：设P(4cosα,23sinα)，由P与x轴正向所成角为
π
3
23sinα4cosα
π
3
，
∴tan=，即tanα=2．
而sinα>0，cosα>0，由此得到cosα=
55
，sinα=
255
，
∴P点坐标为(
455
,
45
)．
典型例题十六
例16 设P(x0,y0)是离心率为e的椭圆
xa
22
22
+
yb
=1 (a>b>0)上的一点，P到左焦点F1和右焦点F2的
距离分别为r1和r2，求证：r1=a+ex0，r2=a-ex0．
分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．
解：P点到椭圆的左准线l：x=-
PF1PQ
a
2
c
的距离，PQ=x0+
a
2
c
，
由椭圆第二定义，=e，
∴r1=ePQ=a+ex0，由椭圆第一定义，r2=2a-r1=a-ex0．
说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y轴上的焦半径公式．
典型例题十七
例17 已知椭圆
x
2
2
9
+
y
5
=1内有一点A(1,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点．
(1) 求PA+PF1的最大值、最小值及对应的点P坐标； (2) 求PA+
32
PF2的最小值及对应的点P的坐标．
分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．
解：
(1)如上图，2a=6，F2(2,0)，AF2=
2，设P是椭圆上任一点，由PF1+PF2=2a=6，
2，等号仅当PA=PF2-AF2时
PA≥PF2-AF2，∴PA+PF1≥PF1+PF2-AF2=2a-AF2=6-
成立，此时P、A、F2共线．
由
PA≤PF2+AF2，∴PA+PF1≤PF1+PF2+AF2=2a+AF2=6+
2，等号仅当
PA=PF2+AF2时成立，此时P、A、F2共线．
⎧x+y-2=0,
建立A、F2的直线方程x+y-2=0，解方程组⎨2得两交点 2
⎩5x+9y=45
P1(97-1514
2,
57+1514
2)、P2(
97+1514
2,
57-1514
2)．
综上所述，P点与P1PA+PF1取最小值6-2，P点与P2PA+PF2取最大值6+
23
2．
(2)如下图，设P是椭圆上任一点，作PQ垂直椭圆右准线，Q为垂足，由a=3，c=2，∴e=
PF2PQ
23
32
32
．由椭
圆第二定义知=e=，∴PQ=
PF2，∴PA+
92
PF2=PA+PQ，要使其和最小需有A、P、Q
共线，即求A到右准线距离．右准线方程为x=．
∴A到右准线距离为
655
72
．此时P点纵坐标与A点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P坐标
(,1)．
1e
说明：求PA+
PF2的最小值，就是用第二定义转化后，过A向相应准线作垂线段．巧用焦点半径PF2
与点准距PQ互化是解决有关问题的重要手段．
典型例题十八
例18 (1)写出椭圆
x
2
9
+
y
2
4
=1的参数方程；
(2)求椭圆内接矩形的最大面积．
分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线
上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．
解：(1) ⎨
⎧x=3cosθ⎩y=2sinθ
(θ∈R)．
(2)设椭圆内接矩形面积为S，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x轴和y轴，设(3cosθ,2sinθ)为矩形在第一象限的顶点，(0
)， 2
则S=4⨯3cosθ⨯2sinθ=12sin2θ≤12
π
故椭圆内接矩形的最大面积为12．
说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．
典型例题十九
例19 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60︒． (1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)求证∆PF1F2的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为
xa
22
+
yb
22
，P(x1,y1)（y1>0）． =1（a>b>0）
KPF2-KPF11+KPF2KPF1
x1a
2
思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即tan60︒==
3，设P(x1,y1)，
F1(-c,0)，F2(c,0)，化简可得3x1+
3cy1+2bcy1-
2
2
2
4
2
3y1-2cy1-
2
3c=0．又
2
2
+
y1b
2
2
=1，两方程联立消去x1得
2
3b=0，由y1∈(0,b]，可以确定离心率的取值范围；解出y1可以求出∆PF1F2的面积，
但这一过程很繁．
思路二：利用焦半径公式PF1=a+ex1，PF2=a-ex1，在∆PF1F2中运用余弦定理，求x1，再利用x1∈[-a,a]，可以确定离心率e的取值范围，将x1代入椭圆方程中求y1，便可求出∆PF1F2的面积．
思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合PF1+PF2=2a求解．
xa
22
解：(法1)设椭圆方程为+
yb
22
=1（a>b>0），P(x1,y1)，F1(-c,0)，F2(c,0)，c>0，
则PF1=a+ex1，PF2=a-ex1． 在∆PF1F2中，由余弦定理得
22cos60︒=
1(a+ex1)+(a-ex1)-4c
2
2
=
2(a+ex1)(a-ex，
1)
2
2
解得x2
4c-a1=
3e
2
．
(1)∵x2
1∈(0,a2]， ∴0≤
4c2
-a2
3e
2
，即4c2-a2
≥0．
∴e=
c1a≥
2
．
故椭圆离心率的取范围是e∈[
12,1)．
(2)将x2
4c2
-a2
x221=
3e
2代入
2
a
2
+
yb
=1得y2
b
4b
2
1=
3c
2
，即y1=
．
3c
∴S12
∆PF
1F2
=
2
F1F2⋅y=
12
⋅2c⋅
b
=
32
3c
3
b．
即∆PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关．
(法2)设PF1=m，PF2=n，∠PF2F1=α，∠PF1F2=β，则α+β=120︒．
(1)在∆PF1F2中，由正弦定理得 m2c．
sinα
=
nsinβ
=
sin60︒
∴
m+n2csinα+sinβ
=sin60︒
∵m+n=2a， ∴
2asinα+sinβ
=
2csin60︒
，
∴e=
csin60︒a=
sinα+sinβ
=
sin60︒
2sin
α+β
α-β
2
cos
2
=2cos
1
α-β
2
≥
12
．
当且仅当α=β时等号成立． 故椭圆离心率的取值范围是e∈[
12,1)．
(2)在∆PF1F2中，由余弦定理得：
(2c)=m+n-2mncos60︒
=m+n-mn =(m+n)-3mn
2
2
2
2
2
2
∵m+n=2a，
∴4c2=4a2-3mn，即mn=
12
3343
(a-c)=
2
2
43
b．
2
∴S∆PFF=
1
2
mnsin60︒=b．
2
即∆PF1F2的面积与椭圆短轴长有关．
说明：椭圆上的一点P与两个焦点F1，F2构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现PF1+PF2的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a，c的关系式，使问题找到解决思路．
典型例题二十
例20 椭圆
xa
22
22
+
yb
=1(a>b>0)与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使OP⊥AP(O为
坐标原点)，求其离心率e的取值范围．
分析：∵O、A为定点，P为动点，可以P点坐标作为参数，把OP⊥AP，转化为P点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a、b、c的一个不等式，转化为关于e的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．
⎧x=acosθ
解：设椭圆的参数方程是⎨(a>b>0)，
y=bsinθ⎩
则椭圆上的点P(acosθ,bsinθ)，A(a,0)，
bsinθacosθ
bsinθacosθ-a
∵OP⊥AP，∴⋅=-1，
2
即(a2-b2)cos2θ-a2cosθ+b2
=0，解得cosθ=1或cosθ=
b
a2
-b
2
，
2
∵-1
b
a2
2
-b
2∴0
ac
2
∴e>
22
，又0
22
说明：若已知椭圆离心率范围(22
,1)，求证在椭圆上总存在点P使OP⊥AP．如何证明？
椭圆标准方程典型例题
例1 已知椭圆mx2+3y2-6m=0的一个焦点为（0，2）求m的值．
分析：把椭圆的方程化为标准方程，由c=2，根据关系a2=b2+c2
可求出m的值．
2
解：方程变形为
x
6
+
y
2
2m
=1．因为焦点在y轴上，所以2m>6，解得m>3．
又c=2，所以2m-6=22
，m=5适合．故m=5．
例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3，
0)，a=3b，求椭圆的标准方程．
分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，
求出参数a和b（或a2
和b2
）的值，即可求得椭圆的标准方程．
解：当焦点在x轴上时，设其方程为
xa
22
+
yb
22
=1(a>b>0)．
由椭圆过点P(3，0)，知
9a
2
+
0b
2
=1．又a=3b，代入得b=1，a=9，故椭圆的方程为
22
x
2
9
+y=1．
2
当焦点在y轴上时，设其方程为
ya
22
+
xb
22
=1(a>b>0)．
由椭圆过点P(3，0)，知
9a
2
+
0b
2
=1．又a=3b，联立解得a=81，b=9，故椭圆的方程为
22
y
2
81
+
x
2
9
=1．
例3 ∆ABC的底边BC=16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．
分析：（1）由已知可得GC+GB=20，再利用椭圆定义求解．
（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程．
BC中点为原点建立直角坐标系．解： （1）以BC所在的直线为x轴，设G点坐标为(x，y)，由GC+GB=20，
知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因a=10，c=8，有b=6， 故其方程为
x
2
100
+
y
2
36
=1(y≠0)．
（2）设A(x，y)，G(x'，y')，则
x'
2
100
+
y'
2
36
=1(y'≠0)． ①
⎧
x'=⎪⎪
由题意有⎨
⎪y'=⎪⎩
x3y3
，
代入①，得A的轨迹方程为
x
2
900
+
y
2
324
=1(y≠0)，其轨迹是椭圆（除去x轴上两点）．
例4 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
453
和
253
，过P点作焦点所在轴
解：设两焦点为F1、F2，且PF1=
453
，PF2=
253
．从椭圆定义知2a=PF1+PF2=25．即a=
PF2PF1
12
5．
从PF1>PF2知PF2垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt∆PF2F1中，sin∠PF1F2=
=，
可求出∠PF1F2=
π
6
，2c=PF1⋅cos
2
2
π
6
2
=
23
2
，从而b2=a2-c2=
103
．
∴所求椭圆方程为
x
5yb
+
3y10
=1或
3x10
+
y
5
=1．
例5 已知椭圆方程
xa
22
22
+
=1(a>b>0)，长轴端点为A1，A2，焦点为F1，F2，P是
椭圆上一点，∠A1PA2=θ，∠F1PF2=α．求：∆F1PF2的面积（用a、b、α表示）．
分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用S∆=
12
absinC求面积．
解：如图，设P(x，y)，由椭圆的对称性，不妨设P(x，y)，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限．由余弦定理知： F1F2
2
=PF1
2
+PF2
2
-2PF1PF2cosα=4c．①
2
2
由椭圆定义知： PF1+PF2=2a ②，则②－①得 PF1⋅PF2=
2
2b
2
1+cosα
．
故S∆FPF=
1
2
12
PF1⋅PF2sinα =
12b
21+cosα
sinα =btan
2
α
2
．
(x-3)+y2=64的内部与其相内切，例6 已知动圆P过定点A(-3，且在定圆B：求动圆圆心P的轨迹方程． 0)，
2
分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．
解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点， 0)和定圆圆心B(3，0)距离之和恰好等于定圆半径， 即定点A(-3，
即PA+PB=PM+PB=BM=8．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，
x
2
半长轴为4，半短轴长为b=4-3=
22
7的椭圆的方程：
16
+
y
2
7
=1．
说明：
本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程
的一种重要思想方法． 例7 已知椭圆
x
⎛11⎫2
（1）求过点P ⎪且被P平分的弦所在直线的方程； +y=1，
2⎝22⎭
2
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过A(2，1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOP⋅kOQ=-
求线段PQ中点M的轨迹方程．
分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．
解：设弦两端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点R(x，y)，则 ⎧x12+2y12=2，⎪2
2
⎪x2+2y2=2，⎨
⎪x1+x2=2x，⎪y+y=2y，
2⎩1
①②③④
12
，
①－②得(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0．
由题意知x1≠x2，则上式两端同除以x1-x2，有(x1+x2)2(y1+y2)
y1+y2x1-x2
=0，
将③④代入得x+2y
（1）将x=
12
y1-y2x1-x2
=0．⑤
，y=
12
代入⑤，得
y1-y2x1-x2
2
=-14
12
，故所求直线方程为： 2x+4y-3=0． ⑥
14
22
将⑥代入椭圆方程x+2y=2得6y-6y-
=0，∆=36-4⨯6⨯>0符合题意，2x+4y-3=0为所求．
（2）将
y1-y2x1-x2y1-y2x1-x2
=2代入⑤得所求轨迹方程为： x+4y=0．（椭圆内部分）
（3）将=
y-1x-2
代入⑤得所求轨迹方程为： x+2y-2x-2y=0．（椭圆内部分）
22
（4）由①＋②得 ：
x1+x2
2
22
+y1+y2=2， ⑦， 将③④平方并整理得
2
2
2
(
22
)
x1+x2=4x-2x1x2， ⑧， y1+y2=4y-2y1y2， ⑨
222
将⑧⑨代入⑦得：
4x-2x1x2
4
2
2
+4y-2y1y2=2， ⑩
()
y⎛1⎫
再将y1y2=-x1x2代入⑩式得： 2x-x1x2+4y-2 -x1x2⎪=2， 即 x2+=1．
122⎝⎭
2
1
2
2
2
此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．
例8 已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m． （1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为
解：（1）把直线方程y=x+m代入椭圆方程4x2+y2=1得 4x2+(x+m)=1，
2
25
，求直线的方程．
即5x2+2mx+m2-1=0．∆=(2m)-4⨯5⨯(m2-1)=-16m2+20≥0，解得-
2
52
≤m≤
52
．
（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2，由（1）得x1+x2=-
2
2
2m5
，x1x2=
m-15
2
．
m-12⎛2m⎫
=根据弦长公式得 ：+1⋅ -．解得m=0．方程为y=x． ⎪-4⨯
5⎭55⎝
2
说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．
这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．
例9 以椭圆
x
2
12
+
y
2
3
=1的焦点为焦点，过直线l：x-y+9=0上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，
点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．
分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．
2
解：如图所示，椭圆
x
y
2
12
+
3
=1的焦点为F1(-3，0)，F2(3，0)．
点F1关于直线l：x-y+9=0的对称点F的坐标为（－9，6），直线FF2的方程为x+2y-3=0． 解方程组x+2y-3=0⎨
⎧⎩x-y+9=0
得交点M的坐标为（－5，4）．此时MF1+MF2最小．
所求椭圆的长轴：2a=MF1+MF2=FF2=65，∴a=35，又c=3，
2
∴b2
=a2
-c2
=(35
)
2
-32
=36．因此，所求椭圆的方程为
x
y
2
45
+
36
=1．2
2
例10 已知方程
x
kk-5
+
y
3-k
=-1表示椭圆，求的取值范围．
⎧k-5
解：由⎪
⎨3-k
⎪⎩
k-5≠3-k,∴满足条件的k的取值范围是3
说明：本题易出现如下错解：由⎧k-5
⎨得3
3-k
出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中a>b>0这个条件，当a=b时，并不表示椭圆．
例11 已知x2sinα-y2
cosα=1(0≤α≤π)表示焦点在y轴上的椭圆，求α的取值范围．
分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围． 2
解：方程可化为
x
11+
y
2
1=1．因为焦点在y轴上，所以-
1cosα
>
sinα
>0．
sinα
cosα
因此sinα>0且tanα
2
,
34
π)．
说明：(1)由椭圆的标准方程知
11sinα
>0，-
cosα
>0，这是容易忽视的地方．
(2)由焦点在y轴上，知a2=-
1cosα
，b2=
1sinα
． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件0≤α
例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(3,-2)和B(-23,1)两点的椭圆方程．
分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，
可设其方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．
解：设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0)．由A(3,-2)和B(-23,1)两点在椭圆上可得
2222⎧⎧3m+4n=1,11xy⎪m⋅(3)+n⋅(-2)=1,
即⎨所以m=，n=．故所求的椭圆方程为+=1． ⎨2212m+n=1,155155⎪⎩⎩m⋅(-23)+n⋅1=1,
例13 知圆x2+y2=1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹．
分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹． 解：设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x0,y0)，则x=
因为P(x0,y0)在圆x2+y2=1上，所以x02+y02=1．
将x0=2x，y0=y代入方程x02+y02=1得4x2+y2=1．所以点M的轨迹是一个椭圆4x2+y2=1．
说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为(x,y)，
设已知轨迹上的点的坐标为(x0,y0)，然后根据题目要求，使x，y与x0，y0建立等式关系， 从而由这些等式关系求出x0和y0代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x，y的方程， 化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．
例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为
B两点，求弦AB的长．
x02
，y=y0．
π
3
的直线交椭圆于A，
分析：可以利用弦长公式AB=
+k
2
x1-x2=(1+k)[(x1+x2)-4x1x2]求得，
22
也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．
解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解． AB=
+k
2
x1-x2=x
2
22
(1+k)[(x1+x2)-4x1x2]．因为a=6，b=3，所以c=33．因为焦点在x轴上，
所以椭圆方程为
36
+
y
2
9
=1，左焦点F(-33,0)，从而直线方程为y=3x+9．
由直线方程与椭圆方程联立得：13x+723x+36⨯8=0．设x1，x2为方程两根，所以x1+x2=-
x1x2=
36⨯813
2
72313
，
，k=3， 从而AB=+k
2
x1-x2=(1+k)[(x1+x2)-4x1x2]=
22
4813
．
(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解． 由题意可知椭圆方程为
2
x
2
36
+
y
2
9
2
=1，设AF1=m，BF1=n，则AF2=12-m，BF2=12-n．
2
在∆AF1F2中，AF2所以m=
64-
3
=AF1+F1F2-2AF1F1F2cos
π
3
，即(12-m)=m+36⋅3-2⋅m⋅63⋅6
22
12
；
．同理在∆BF1F2中，用余弦定理得n=
4+3
，所以AB=m+n=
4813
．
(法3)利用焦半径求解．
先根据直线与椭圆联立的方程13x+723x+36⨯8=0求出方程的两根x1，x2，它们分别是A，B的横坐标． 再根据焦半径AF1=a+ex1，BF1=a+ex2，从而求出AB=AF1+BF1．
例15 椭圆
x
2
2
25
+
y
2
9
=1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则ON（O为坐标原点）的值为
32
A．4 B．2 C．8 D．
说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆．
(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即MF1+MF2=2a，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．
xy
例16 已知椭圆C+=1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x+m，椭圆C上有不同的两点
43
2
2
关于该直线对称．
分析：若设椭圆上A，B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：(1)直线AB⊥l；(2)弦AB的中点M在l上．
利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围． 解：(法1)设椭圆上A(x1,y1)，B(x2,y2)两点关于直线l对称，直线AB与l交于M(x0,y0)点．
1⎧
y=-x+n,⎪4y=-x+n．由方程组⎪消去y⎨224
⎪x+y=1,⎪3⎩4
∵l的斜率kl=4，∴设直线AB的方程为
1
得
13x-8nx+16n-48=0 ①。∴x1+x2=
22
8n13
．于是x0=
x1+x2
2
=
4n13
，y0=-
14
x0+n=
134
12n13
，
即点M的坐标为(
4n13
,
2
12n13
)．∵点M在直线y=4x+m上，∴n=4⨯
2
4n13
+m．解得n=-m． ②
将式②代入式①得13x+26mx+169m-48=0 ③
213
213
∵A，B是椭圆上的两点，∴∆=(26m)-4⨯13(169m-48)>0．解得-(法2)同解法1得出n=-
y0=-
14x0-
134
134
m，∴x0=14
⨯(-m)-
413(-134
m)=-m，
22
m=-
134
m=-3m，即M点坐标为(-m,-3m)．
∵A，B为椭圆上的两点，∴M点在椭圆的内部，∴
(-m)4
2
+
(-3m)3
2
213
213
．
(法3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)是椭圆上关于l对称的两点，直线AB与l的交点M的坐标为(x0,y0)．
x1
2
∵A，B在椭圆上，∴
4
+
y13
2
=1x24
2
+
y23
2
=1．两式相减得3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0，
3x04y0
即3⋅2x0(x1-x2)+4⋅2y0(y1-y2)=0．∴
y1-y2x1-x2
=-
(x1≠x2)．
又∵直线AB⊥l，∴kAB⋅kl=-1，∴-
3x04y0
⋅4=-1，即y0=3x0 ①。
又M点在直线l上，∴y0=4x0+m ②。由①，②得M点的坐标为(-m,-3m)．以下同解法2.
说明：涉及椭圆上两点A，B关于直线l恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：
(1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式∆>0，建立参数方程．
(2)利用弦AB的中点M(x0,y0)在椭圆内部，满足例17 在面积为1的∆PMN中，tanM=点的椭圆方程．
12
x0a
2
+
y0b
2
，tanN=-2，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过P
∴所求椭圆方程为
4x15
2
+
y
2
3
=1
例18 已知P(4,2)是直线l被椭圆
x
2
36
+
y
2
9
=1所截得的线段的中点，求直线l的方程．
分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)，得到关于x(或y)
的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出x1+x2，x1x2(或y1+y2，y1y2)的值代入计算即得． 并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．
解：方法一：设所求直线方程为y-2=k(x-4)．代入椭圆方程，整理得
222
(4k+1)x-8k(4k-2)x+4(4k-2)-36=0 ①
设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1、x2是①的两根，∴x1+x2=∵P(4,2)为AB中点，∴4=
x1+x2
2
=
4k(4k-2)4k+1
2
8k(4k-2)4k+1
2
，k=-
12
．∴所求直线方程为x+2y-8=0．
方法二：设直线与椭圆交点A(x1,y1)，B(x2,y2)．∵P(4,2)为AB中点，∴x1+x2=8，y1+y2=4． 又∵A，B在椭圆上，∴x1+4y1=36，x2+4y2=36两式相减得(x1-x2)+4(y1-y2)=0， 即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0．∴
y1-y2x1-x2
=
-(x1+x2)4(y1+y2)
=-
12
2
2
2
2
2
2
2
2
．∴直线方程为x+2y-8=0．
方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y)，另一个交点B(8-x,4-y)．
∵A、B在椭圆上，∴x2+4y2=36 ①。 (8-x)2+4(4-y)2=36 ②
从而A，B在方程①－②的图形x+2y-8=0上，而过A、B的直线只有一条，∴直线方程为x+2y-8=0． 说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法． 若已知焦点是(33,0)、(-33,0)的椭圆截直线x+2y-8=0所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？
椭圆几何性质典型练习
例1 椭圆的一个顶点为A(2，0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
例3 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 例4椭圆
x
2
25
+
y9
2
⎛9⎫
=1上不同三点A(x1，y1)，B 4⎪，C(x2，y2)与焦点F(4，0)的距离成等差数列．
⎝5⎭
（1）求证x1+x2=8；
（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k． 例5 已知椭圆
x
2
4
+
y3
2
问能否在椭圆上找一点M，使M到左准线l的距离MN是MF1=1，F1、F2为两焦点，
与MF2的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
例6 已知椭圆方程．
例7 求适合条件的椭圆的标准方程．
例8 椭圆坐标．
例9 求椭圆
x
2
x
⎛11⎫2
+y=1，求过点P ⎪且被P2⎝22⎭
2
平分的弦所在的直线
x
2
16
+
y
2
12
=1的右焦点为F，过点A13，点M在椭圆上，当AM+2MF为最小值时，求点M的
()
3
+y=1上的点到直线x-y+6=0的距离的最小值．
2
例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=
32
，已知点P 0⎪到这个椭圆上的点的最远距
⎝
2⎭
⎛3⎫
离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P的距离等于7的点的坐标． 例11 设x，y∈R，2x+3y=6x，求x+y+2x的最大值和最小值．
2
2
2
2
1
xy
例12 已知椭圆C2+2=1(a>b>0)，A、B是其长轴的两个端点．
ab
x
22
2
例13 已知椭圆
k+8x
22
+
y
2
9yb
22
=1的离心率e=
12
，求k的值．
例14 已知椭圆
4b
+
=1上一点P到右焦点F2的距离为b(b>1)，求P到左准线的距离．
⎧x=4cosα,π例15 设椭圆⎨(α为参数)上一点P与x轴正向所成角∠POx=，求
3⎩y=23sinα.
例16 设P(x0,y0)是离心率为e的椭圆
xa
22
+
yb
22
=1 (a>b>0)上的一点，P到左焦点F1和右焦点F2的距离
分别为r1和r2，求证：r1=a+ex0，r2=a-ex0． x
2
例17 已知椭圆
9
+
y
2
5
=1内有一点A(1,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点
例18 (1)写出椭圆
x
2
9
+
y
2
4
=1的参数方程；
(2)求椭圆内接矩形的最大面积．
例19 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60︒．
(1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)求证∆PF1F2的面积与椭圆短轴长有关．例20 椭圆
xa
22
+
yb
22
=1(a>b>0)与x轴正向交于点A，若
这个椭圆上总存在点P，使OP⊥AP(O为坐标原点)，求其离心率e的取值范围．
2
椭圆简单几何性质答案
例1 椭圆的一个顶点为A(2，0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当A(2，0)为长轴端点时，a=2，b=1，
x
2
椭圆的标准方程为：
4
+
y
2
1
=1；
（2）当A(2，0)为短轴端点时，b=2，a=4，
x
2
椭圆的标准方程为：
4
+
y
2
16
=1；
说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．
典型例题二
例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解： 2c=
a
2
c
33
⨯2⨯
13
∴3c2=a2，
∴e=
3
-．
说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比．二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可．
典型例题三
例3 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
解：由题意，设椭圆方程为
xa
22
+y=1，
2
⎧x+y-1=0⎪222
(1+a)x-2ax=0， 由⎨x2，得2
⎪2+y=1⎩a
3
∴xM=
x1+x2
2yMxM
2
=
1+aa=
2
2
，yM=1-xM=
11+a
2
，
kOM=
=
1a
2
14
，∴a2=4，
∴
x
2
4
+y=1为所求．
说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．
典型例题四
2
2
例4椭圆
x
25
+
y9
=1上不同三点A(x⎛9⎫
1，y1)，B 4⎪，C(x2，y2)与焦点F(4，0⎝5⎭
)的距离成等差数列．（1）求证x1+x2=8；
（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．
证明：（1）由椭圆方程知a=5，b=3，c=4． 由圆锥曲线的统一定义知：
AFa
2
=
cxa
，
c
-1
∴ AF=a-ex41=5-5
x1．
同理 CF=5-
45
x2．
∵ AF+CF=2BF，且BF=
95
，
∴ ⎛ 5-
4
4⎝
5x⎫+⎛ 5-x⎫18
1⎪⎝52⎪=
， ⎭⎭
5即 x1+x2=8．
（2）因为线段AC的中点为 ⎛
4y1
+y2⎫
⎝2⎪，所以它的垂直平分线方程为 ⎭
y-
y1+y2
x1-x22
=
y(x-4)．
1-y2
又∵点T在x轴上，设其坐标为(x0，
0)，代入上式，得 xy2
1-y2
2
0-4=
2(x1-x2)
4
又∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在椭圆上， ∴ y12=
2
y2=
925925
(25-x)
2
1
(25-x)
22
2
∴ y12-y2=-
925
(x1+x2)(x1-x2)．
将此式代入①，并利用x1+x2=8的结论得 x0-4=-
9
3625
∴ kBT
-0
5==．
4-x04
典型例题五
例5 已知椭圆
x
2
2
4
+
y3
=1，F1、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到左准线l的距离MN
是MF1与MF2的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：假设M存在，设M(x1，y1)，由已知条件得
a=2，b=
3，∴c=1，e=
12
．
∵左准线l的方程是x=-4， ∴MN=4+x1． 又由焦半径公式知：
MF1=a-ex1=2-MF2=a+ex1=2+
1212x1， x1．
∵MN
2
=MF1⋅MF2，
2
∴(x1+4)= 2-
⎝
2
⎛1
1⎫⎫⎛
x1⎪ 2+x1⎪． 2⎭⎝2⎭
整理得5x1+32x1+48=0． 解之得x1=-4或x1=-
125
． ①
5
另一方面-2≤x1≤2． ② 则①与②矛盾，所以满足条件的点M不存在． 说明：
（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．
（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．
（3）本例也可设M2cosθ3sinθ存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．
()
典型例题六
例6 已知椭圆
x
⎛11⎫2
+y=1，求过点P ⎪且被P平分的弦所在的直线方程． 2⎝22⎭
2
分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k． 解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为y-
1
1⎫⎛
=k x-⎪．代入椭圆方程，并整理得 22⎭⎝
(1+2k)x
2
2
-2k-2kx+
2
(
2
)
12
k-k+
2
32
=0．
由韦达定理得x1+x2=
2k-2k1+2k
2
．
12
∵P是弦中点，∴x1+x2=1．故得k=-所以所求直线方程为2x+4y-3=0．
．
分析二：设弦两端坐标为(x1，y1)、(x2，y2)，列关于x1、x2、y1、y2的方程组，从而求斜率：
y1-y2x1-x2
．
解法二：设过P ⎪的直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由题意得
⎝22⎭
⎛11⎫
⎧x122
+y1=1，⎪2⎪2⎪x22
+y2=1，⎨⎪2
⎪x1+x2=1，⎪
⎩y1+y2=1.
①② ③④
2
2
2
①－②得
x1-x2
2
2
+y1-y2=0． ⑤
6
将③、④代入⑤得
y1-y2x1-x2
=-
12
，即直线的斜率为-
12
．
所求直线方程为2x+4y-3=0．
说明：
（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．
（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．
（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．
典型例题七
例7 求适合条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，-6)；
（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6． 分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由
xa
22
+
yb
22
=1求出a=148，b=37，在得方程
22
x
2
148
+
y
2
37
=1后，不能依此写出另一方程
y
2
148
22
+
x
2
37ya
=1．
解：（1）设椭圆的标准方程为
xa
22
+
yb
22
=1或+
xb
22
=1．
由已知a=2b． ① 又过点(2，-6)，因此有
2a
22
+
(-6)2
b
2
=1或
(-6)2
a
2
+
2b
2
22
=1． ②
由①、②，得a=148，b=37或a=52，b=13．故所求的方程为 x
2
222
148
+
y
2
37
=1或
y
2
52
22
+
x
2
13
22
=1．
（2）设方程为
xa
+
yb
=1．由已知，c=3，b=c=3，所以a=18．故所求方程为
2
x
2
18
+
y
2
9
=1．
说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程
7
xa
22
+
yb
22
=1或
ya
22
+
xb
22
=1．
典型例题八
例8 椭圆的坐标．
分析：本题的关键是求出离心率e=
AM+
1e
MF均可用此法．
1212
2
2
x
16
+
y
12
过点A13，点M在椭圆上，当AM+2MF为最小值时，求点M=1的右焦点为F，
()
，把2MF转化为M到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求
解：由已知：a=4，c=2．所以e=，右准线l：x=8．
过A作AQ⊥l，垂足为Q，交椭圆于M，故然AM+2MF的最小值为AQ，即M为所求点，因此在椭圆上．故xM=23．所以M233．
说明：本题关键在于未知式AM+2MF中的“2”的图，e=
12
MQ=2MF．显
yM=
3，且M
()
处理．事实上，如
，即MF是M到右准线的距离的一半，即图中的MQ，问题转化为求椭圆上一点M，使M到A的
距离与到右准线距离之和取最小值．
典型例题九
例9 求椭圆
x
2
3
+y=1上的点到直线x-y+6=0的距离的最小值．
2
分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值． 解：椭圆的参数方程为⎨
⎧x=
3cosθ，
设椭圆上的点的坐标为
⎩y=sinθ.
(
3cosθ，sinθ，则点到直线的距离为
)
3cosθ-sinθ+6d=
2
=
⎛π⎫
2sin -θ⎪+6
⎝3⎭
2
．
当sin
⎛π
⎫
-θ⎪=-1时，d最小值=22． ⎝3⎭
说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．
8
典型例题十
例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=
32
，已知点P 0⎪到这个椭圆上的点的最
⎝
2⎭
⎛3⎫
远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P的距离等于7的点的坐标．
分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d的最大值时，要注意讨论b的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．
22解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是
x，其中a>b>0待定．
a
2
+
yb
2
=1由e2
=
c2a2-b2
a
2
=
a
2
=1-
b2a
2
可得
ba
=-e2
=
-
34
=
12
，即a=2b．
设椭圆上的点(x，y)到点P的距离是d，则
2
d
2
=x2
+⎛ y-3⎫2
⎝2⎪=a2⎛ 1-y⎫⎪+y2
-3y9⎭ ⎝
b2⎪+ ⎭4 =4b2-3y2-3y+9
=-3⎛
y+1⎫2
⎝
⎪+4b242+3
⎭其中-b≤y≤b． 如果b
12
，则当y=-b时，d2
（从而d）有最大值．
2
由题设得
(7)
2
=⎛
b+3⎫2⎪，由此得b=
7-
3⎝
⎭2
>
12
，与b
12
矛盾．
因此必有b≥12
2
成立，于是当y=-
12
时，d（从而d）有最大值．
由题设得
(7)
2
=4b2
+3，可得b=1，a=2．
∴所求椭圆方程是
x
2
y
2
4
+
1
=1．
由y=-
12
及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点 ⎛
-
3，-
1⎫1⎫⎝
2⎪，点⎛
3，-
⎭⎝
2⎪到点P⎛ 03⎫
⎭⎝2⎪的距离是7．⎭
9
解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是⎨参数．
由e2=
ca
22
⎧x=acosθ⎩y=bsinθ
，其中a>b>0，待定，0≤θ≤2π，θ为
=
a-ba
2
22
⎛b⎫
=1- ⎪可得
⎝a⎭=12
2
ba
=-e=
2
-
34
，即a=2b．
设椭圆上的点(x，y)到点P 0⎪的距离为d，则
⎝
2⎭
2
2
⎛3⎫
d
2
3⎫3⎫⎛⎛22
=x+ y-⎪=acosθ+ bsinθ-⎪
2⎭2⎭⎝⎝
22
2
2
=4b-3bsinθ-3bsinθ+
2
94
1⎫⎛2
=-3b sinθ+⎪+4b+3
2b⎭⎝
2
如果
12b
>1，即b
12
，则当sinθ=-1时，d2（从而d）有最大值．
2
由题设得
(7)
2
3⎫⎛
= b+⎪，由此得b=
2⎭⎝
12b
7-
32
>
12
，与b
12
矛盾，因此必有
12b
≤1成立．
于是当sinθ=-由题设知
时d2（从而d）有最大值．
(7)
2
2
=4b+3，∴b=1，a=2．
∴所求椭圆的参数方程是⎨
⎧x=2cosθ⎩y=sinθ
．
由sinθ=-
12
，cosθ=±
32
，可得椭圆上的是 -
⎝
⎛
3，-
1⎫⎛
⎪， 2⎭⎝
3，-
1⎫
⎪． 2⎭
典型例题十一
例11 设x，y∈R，2x+3y=6x，求x+y+2x的最大值和最小值．
分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程2x+3y=6x与椭圆方程的结构一致．设x+y+2x=m，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．
解：由2x+3y=6x，得
10
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3⎫⎛
2 x-⎪y2⎪+ =1
93 ⎪ ⎪
2⎝4⎭
2
可见它表示一个椭圆，其中心在 ，0⎪点，焦点在x轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．
⎝2
⎭
⎛3⎫
设x2+y2+2x=m，则 (x+1)+y2=m+1
2
它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为m+1(m>-1)．
在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即m+1=1，此时m=0；当圆过（3，0）点时，半径最大，即m+1=4，∴m=15．
∴x2+y2+2x的最小值为0，最大值为15．
典型例题十二
xy
例12 已知椭圆C2+2=1(a>b>0)，A、B是其长轴的两个端点．
ab
2
2
（1）过一个焦点F作垂直于长轴的弦PP'，求证：不论a、b如何变化，∠APB≠120． （2）如果椭圆上存在一个点Q，使∠AQB=120，求C的离心率e的取值范围．
分析：本题从已知条件出发，两问都应从∠APB和∠AQB的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：x≤a，
y≤b，根据∠AQB=120得到
2ay=-3，将x=a-
22
a22
y代入，消去x，用a、b、c表示y，
x2
+y2
-a
2
b
2
以便利用y≤b列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．
解：（1）设F(c，0)，A(-a，0)，B(a，0)． ⎧x=c⎨⎛b2 ⎫
2x2+a2y2=a22⇒P cba
⎪⎪ ⎩
b⎝⎭
于是kb
2
AP=
，．
a(c+a)
kBP=
b
2
a(c-a)
∵∠APB是AP到BP的角．
b
2
2
∴tan∠APB=
a(c-a)-
b
a(c+a)
2
b
4
=-
2a1+
c
2
a2
c2
-a
2
∵a2>c2 ∴tan∠APB
故tan∠APB≠-3 ∴∠APB≠120 ． （2）设Q(x，y)，则kyQA=
yx+a
，kQB=
x-a
．
由于对称性，不妨设y>0，于是∠AQB是QA到QB的角．
y
-
y
∴tan∠AQB=21+
y2=ayx2+y2-a
2
x2
-a
2
∵∠AQB=120
， ∴
2ayx2
+y2
-a
2
=-3
整理得3(x2+y2-a2
)+2ay=0
2∵x2=a2
-
a2
b
2
y
2
∴3⎛ a⎫ 1-b2⎪2
⎪y+2ay=0
⎝⎭
2∵y≠0， ∴y=
2ab3c
2
∵y≤b， ∴
2ab3c
22
≤b
2ab≤
3c，4a2a2-c2≤3c2
2
()
∴4c4+4a2c2-4a4≥0，3e4+4e2-4≥0
32
∴e2≥或e2≤-2（舍），∴
63
≤e
典型例题十三
例13 已知椭圆
x
2
2
k+8
+
y
9
=1的离心率e=
12
，求k的值．
分析：分两种情况进行讨论．
解：当椭圆的焦点在x轴上时，a2=k+8，b2=9，得c2=k-1．由e=当椭圆的焦点在y轴上时，a2=9，b2=k+8，得c2=1-k． 由e=
12
12
，得k=4．
，得
1-k9
=
14
，即k=-
54
54
．
∴满足条件的k=4或k=-．
说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为k+8与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x轴
上，也可能在y轴上．故必须进行讨论．
典型例题十四
例14 已知椭圆
x
22
22
4b
+
yb
=1上一点P到右焦点F2的距离为b(b>1)，求P到左准线的距离．
分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解． 解法一：由
x
22
4b
+
yb
22
=1，得a=2b，c=3b，e=
32
．
由椭圆定义，PF1+PF2=2a=4b，得 PF1=4b-PF2=4b-b=3b．
由椭圆第二定义，
PF1d1
=e，d1为P到左准线的距离，
∴d1=
PF1e
=23b，
即P到左准线的距离为23b．
PF2d2
解法二：∵
=e，d2为P到右准线的距离，e=
ca
=
32
，
∴d2=
PF2e
=
233
b．
又椭圆两准线的距离为2⋅
a
2
c
=
833
b．
∴P到左准线的距离为
83
b-
233
b=23b．
说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．
椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．
典型例题十五
⎧x=4cosα,π
例15 设椭圆⎨(α为参数)上一点P与x轴正向所成角∠POx=，求P点坐标．
3⎩y=23sinα.
分析：利用参数α与∠POx之间的关系求解．
解：设P(4cosα,23sinα)，由P与x轴正向所成角为
π
3
23sinα4cosα
π
3
，
∴tan=，即tanα=2．
而sinα>0，cosα>0，由此得到cosα=
55
，sinα=
255
，
∴P点坐标为(
455
,
45
)．
典型例题十六
例16 设P(x0,y0)是离心率为e的椭圆
xa
22
22
+
yb
=1 (a>b>0)上的一点，P到左焦点F1和右焦点F2的
距离分别为r1和r2，求证：r1=a+ex0，r2=a-ex0．
分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．
解：P点到椭圆的左准线l：x=-
PF1PQ
a
2
c
的距离，PQ=x0+
a
2
c
，
由椭圆第二定义，=e，
∴r1=ePQ=a+ex0，由椭圆第一定义，r2=2a-r1=a-ex0．
说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y轴上的焦半径公式．
典型例题十七
例17 已知椭圆
x
2
2
9
+
y
5
=1内有一点A(1,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点．
(1) 求PA+PF1的最大值、最小值及对应的点P坐标； (2) 求PA+
32
PF2的最小值及对应的点P的坐标．
分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．
解：
(1)如上图，2a=6，F2(2,0)，AF2=
2，设P是椭圆上任一点，由PF1+PF2=2a=6，
2，等号仅当PA=PF2-AF2时
PA≥PF2-AF2，∴PA+PF1≥PF1+PF2-AF2=2a-AF2=6-
成立，此时P、A、F2共线．
由
PA≤PF2+AF2，∴PA+PF1≤PF1+PF2+AF2=2a+AF2=6+
2，等号仅当
PA=PF2+AF2时成立，此时P、A、F2共线．
⎧x+y-2=0,
建立A、F2的直线方程x+y-2=0，解方程组⎨2得两交点 2
⎩5x+9y=45
P1(97-1514
2,
57+1514
2)、P2(
97+1514
2,
57-1514
2)．
综上所述，P点与P1PA+PF1取最小值6-2，P点与P2PA+PF2取最大值6+
23
2．
(2)如下图，设P是椭圆上任一点，作PQ垂直椭圆右准线，Q为垂足，由a=3，c=2，∴e=
PF2PQ
23
32
32
．由椭
圆第二定义知=e=，∴PQ=
PF2，∴PA+
92
PF2=PA+PQ，要使其和最小需有A、P、Q
共线，即求A到右准线距离．右准线方程为x=．
∴A到右准线距离为
655
72
．此时P点纵坐标与A点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P坐标
(,1)．
1e
说明：求PA+
PF2的最小值，就是用第二定义转化后，过A向相应准线作垂线段．巧用焦点半径PF2
与点准距PQ互化是解决有关问题的重要手段．
典型例题十八
例18 (1)写出椭圆
x
2
9
+
y
2
4
=1的参数方程；
(2)求椭圆内接矩形的最大面积．
分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线
上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．
解：(1) ⎨
⎧x=3cosθ⎩y=2sinθ
(θ∈R)．
(2)设椭圆内接矩形面积为S，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x轴和y轴，设(3cosθ,2sinθ)为矩形在第一象限的顶点，(0
)， 2
则S=4⨯3cosθ⨯2sinθ=12sin2θ≤12
π
故椭圆内接矩形的最大面积为12．
说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．
典型例题十九
例19 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60︒． (1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)求证∆PF1F2的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为
xa
22
+
yb
22
，P(x1,y1)（y1>0）． =1（a>b>0）
KPF2-KPF11+KPF2KPF1
x1a
2
思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即tan60︒==
3，设P(x1,y1)，
F1(-c,0)，F2(c,0)，化简可得3x1+
3cy1+2bcy1-
2
2
2
4
2
3y1-2cy1-
2
3c=0．又
2
2
+
y1b
2
2
=1，两方程联立消去x1得
2
3b=0，由y1∈(0,b]，可以确定离心率的取值范围；解出y1可以求出∆PF1F2的面积，
但这一过程很繁．
思路二：利用焦半径公式PF1=a+ex1，PF2=a-ex1，在∆PF1F2中运用余弦定理，求x1，再利用x1∈[-a,a]，可以确定离心率e的取值范围，将x1代入椭圆方程中求y1，便可求出∆PF1F2的面积．
思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合PF1+PF2=2a求解．
xa
22
解：(法1)设椭圆方程为+
yb
22
=1（a>b>0），P(x1,y1)，F1(-c,0)，F2(c,0)，c>0，
则PF1=a+ex1，PF2=a-ex1． 在∆PF1F2中，由余弦定理得
22cos60︒=
1(a+ex1)+(a-ex1)-4c
2
2
=
2(a+ex1)(a-ex，
1)
2
2
解得x2
4c-a1=
3e
2
．
(1)∵x2
1∈(0,a2]， ∴0≤
4c2
-a2
3e
2
，即4c2-a2
≥0．
∴e=
c1a≥
2
．
故椭圆离心率的取范围是e∈[
12,1)．
(2)将x2
4c2
-a2
x221=
3e
2代入
2
a
2
+
yb
=1得y2
b
4b
2
1=
3c
2
，即y1=
．
3c
∴S12
∆PF
1F2
=
2
F1F2⋅y=
12
⋅2c⋅
b
=
32
3c
3
b．
即∆PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关．
(法2)设PF1=m，PF2=n，∠PF2F1=α，∠PF1F2=β，则α+β=120︒．
(1)在∆PF1F2中，由正弦定理得 m2c．
sinα
=
nsinβ
=
sin60︒
∴
m+n2csinα+sinβ
=sin60︒
∵m+n=2a， ∴
2asinα+sinβ
=
2csin60︒
，
∴e=
csin60︒a=
sinα+sinβ
=
sin60︒
2sin
α+β
α-β
2
cos
2
=2cos
1
α-β
2
≥
12
．
当且仅当α=β时等号成立． 故椭圆离心率的取值范围是e∈[
12,1)．
(2)在∆PF1F2中，由余弦定理得：
(2c)=m+n-2mncos60︒
=m+n-mn =(m+n)-3mn
2
2
2
2
2
2
∵m+n=2a，
∴4c2=4a2-3mn，即mn=
12
3343
(a-c)=
2
2
43
b．
2
∴S∆PFF=
1
2
mnsin60︒=b．
2
即∆PF1F2的面积与椭圆短轴长有关．
说明：椭圆上的一点P与两个焦点F1，F2构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现PF1+PF2的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a，c的关系式，使问题找到解决思路．
典型例题二十
例20 椭圆
xa
22
22
+
yb
=1(a>b>0)与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使OP⊥AP(O为
坐标原点)，求其离心率e的取值范围．
分析：∵O、A为定点，P为动点，可以P点坐标作为参数，把OP⊥AP，转化为P点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a、b、c的一个不等式，转化为关于e的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．
⎧x=acosθ
解：设椭圆的参数方程是⎨(a>b>0)，
y=bsinθ⎩
则椭圆上的点P(acosθ,bsinθ)，A(a,0)，
bsinθacosθ
bsinθacosθ-a
∵OP⊥AP，∴⋅=-1，
2
即(a2-b2)cos2θ-a2cosθ+b2
=0，解得cosθ=1或cosθ=
b
a2
-b
2
，
2
∵-1
b
a2
2
-b
2∴0
ac
2
∴e>
22
，又0
22
说明：若已知椭圆离心率范围(22
,1)，求证在椭圆上总存在点P使OP⊥AP．如何证明？
椭圆标准方程典型例题
例1 已知椭圆mx2+3y2-6m=0的一个焦点为（0，2）求m的值．
分析：把椭圆的方程化为标准方程，由c=2，根据关系a2=b2+c2
可求出m的值．
2
解：方程变形为
x
6
+
y
2
2m
=1．因为焦点在y轴上，所以2m>6，解得m>3．
又c=2，所以2m-6=22
，m=5适合．故m=5．
例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3，
0)，a=3b，求椭圆的标准方程．
分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，
求出参数a和b（或a2
和b2
）的值，即可求得椭圆的标准方程．
解：当焦点在x轴上时，设其方程为
xa
22
+
yb
22
=1(a>b>0)．
由椭圆过点P(3，0)，知
9a
2
+
0b
2
=1．又a=3b，代入得b=1，a=9，故椭圆的方程为
22
x
2
9
+y=1．
2
当焦点在y轴上时，设其方程为
ya
22
+
xb
22
=1(a>b>0)．
由椭圆过点P(3，0)，知
9a
2
+
0b
2
=1．又a=3b，联立解得a=81，b=9，故椭圆的方程为
22
y
2
81
+
x
2
9
=1．
例3 ∆ABC的底边BC=16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．
分析：（1）由已知可得GC+GB=20，再利用椭圆定义求解．
（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程．
BC中点为原点建立直角坐标系．解： （1）以BC所在的直线为x轴，设G点坐标为(x，y)，由GC+GB=20，
知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因a=10，c=8，有b=6， 故其方程为
x
2
100
+
y
2
36
=1(y≠0)．
（2）设A(x，y)，G(x'，y')，则
x'
2
100
+
y'
2
36
=1(y'≠0)． ①
⎧
x'=⎪⎪
由题意有⎨
⎪y'=⎪⎩
x3y3
，
代入①，得A的轨迹方程为
x
2
900
+
y
2
324
=1(y≠0)，其轨迹是椭圆（除去x轴上两点）．
例4 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
453
和
253
，过P点作焦点所在轴
解：设两焦点为F1、F2，且PF1=
453
，PF2=
253
．从椭圆定义知2a=PF1+PF2=25．即a=
PF2PF1
12
5．
从PF1>PF2知PF2垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt∆PF2F1中，sin∠PF1F2=
=，
可求出∠PF1F2=
π
6
，2c=PF1⋅cos
2
2
π
6
2
=
23
2
，从而b2=a2-c2=
103
．
∴所求椭圆方程为
x
5yb
+
3y10
=1或
3x10
+
y
5
=1．
例5 已知椭圆方程
xa
22
22
+
=1(a>b>0)，长轴端点为A1，A2，焦点为F1，F2，P是
椭圆上一点，∠A1PA2=θ，∠F1PF2=α．求：∆F1PF2的面积（用a、b、α表示）．
分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用S∆=
12
absinC求面积．
解：如图，设P(x，y)，由椭圆的对称性，不妨设P(x，y)，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限．由余弦定理知： F1F2
2
=PF1
2
+PF2
2
-2PF1PF2cosα=4c．①
2
2
由椭圆定义知： PF1+PF2=2a ②，则②－①得 PF1⋅PF2=
2
2b
2
1+cosα
．
故S∆FPF=
1
2
12
PF1⋅PF2sinα =
12b
21+cosα
sinα =btan
2
α
2
．
(x-3)+y2=64的内部与其相内切，例6 已知动圆P过定点A(-3，且在定圆B：求动圆圆心P的轨迹方程． 0)，
2
分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．
解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点， 0)和定圆圆心B(3，0)距离之和恰好等于定圆半径， 即定点A(-3，
即PA+PB=PM+PB=BM=8．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，
x
2
半长轴为4，半短轴长为b=4-3=
22
7的椭圆的方程：
16
+
y
2
7
=1．
说明：
本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程
的一种重要思想方法． 例7 已知椭圆
x
⎛11⎫2
（1）求过点P ⎪且被P平分的弦所在直线的方程； +y=1，
2⎝22⎭
2
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过A(2，1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOP⋅kOQ=-
求线段PQ中点M的轨迹方程．
分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．
解：设弦两端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点R(x，y)，则 ⎧x12+2y12=2，⎪2
2
⎪x2+2y2=2，⎨
⎪x1+x2=2x，⎪y+y=2y，
2⎩1
①②③④
12
，
①－②得(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0．
由题意知x1≠x2，则上式两端同除以x1-x2，有(x1+x2)2(y1+y2)
y1+y2x1-x2
=0，
将③④代入得x+2y
（1）将x=
12
y1-y2x1-x2
=0．⑤
，y=
12
代入⑤，得
y1-y2x1-x2
2
=-14
12
，故所求直线方程为： 2x+4y-3=0． ⑥
14
22
将⑥代入椭圆方程x+2y=2得6y-6y-
=0，∆=36-4⨯6⨯>0符合题意，2x+4y-3=0为所求．
（2）将
y1-y2x1-x2y1-y2x1-x2
=2代入⑤得所求轨迹方程为： x+4y=0．（椭圆内部分）
（3）将=
y-1x-2
代入⑤得所求轨迹方程为： x+2y-2x-2y=0．（椭圆内部分）
22
（4）由①＋②得 ：
x1+x2
2
22
+y1+y2=2， ⑦， 将③④平方并整理得
2
2
2
(
22
)
x1+x2=4x-2x1x2， ⑧， y1+y2=4y-2y1y2， ⑨
222
将⑧⑨代入⑦得：
4x-2x1x2
4
2
2
+4y-2y1y2=2， ⑩
()
y⎛1⎫
再将y1y2=-x1x2代入⑩式得： 2x-x1x2+4y-2 -x1x2⎪=2， 即 x2+=1．
122⎝⎭
2
1
2
2
2
此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．
例8 已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m． （1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为
解：（1）把直线方程y=x+m代入椭圆方程4x2+y2=1得 4x2+(x+m)=1，
2
25
，求直线的方程．
即5x2+2mx+m2-1=0．∆=(2m)-4⨯5⨯(m2-1)=-16m2+20≥0，解得-
2
52
≤m≤
52
．
（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2，由（1）得x1+x2=-
2
2
2m5
，x1x2=
m-15
2
．
m-12⎛2m⎫
=根据弦长公式得 ：+1⋅ -．解得m=0．方程为y=x． ⎪-4⨯
5⎭55⎝
2
说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．
这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．
例9 以椭圆
x
2
12
+
y
2
3
=1的焦点为焦点，过直线l：x-y+9=0上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，
点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．
分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．
2
解：如图所示，椭圆
x
y
2
12
+
3
=1的焦点为F1(-3，0)，F2(3，0)．
点F1关于直线l：x-y+9=0的对称点F的坐标为（－9，6），直线FF2的方程为x+2y-3=0． 解方程组x+2y-3=0⎨
⎧⎩x-y+9=0
得交点M的坐标为（－5，4）．此时MF1+MF2最小．
所求椭圆的长轴：2a=MF1+MF2=FF2=65，∴a=35，又c=3，
2
∴b2
=a2
-c2
=(35
)
2
-32
=36．因此，所求椭圆的方程为
x
y
2
45
+
36
=1．2
2
例10 已知方程
x
kk-5
+
y
3-k
=-1表示椭圆，求的取值范围．
⎧k-5
解：由⎪
⎨3-k
⎪⎩
k-5≠3-k,∴满足条件的k的取值范围是3
说明：本题易出现如下错解：由⎧k-5
⎨得3
3-k
出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中a>b>0这个条件，当a=b时，并不表示椭圆．
例11 已知x2sinα-y2
cosα=1(0≤α≤π)表示焦点在y轴上的椭圆，求α的取值范围．
分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围． 2
解：方程可化为
x
11+
y
2
1=1．因为焦点在y轴上，所以-
1cosα
>
sinα
>0．
sinα
cosα
因此sinα>0且tanα
2
,
34
π)．
说明：(1)由椭圆的标准方程知
11sinα
>0，-
cosα
>0，这是容易忽视的地方．
(2)由焦点在y轴上，知a2=-
1cosα
，b2=
1sinα
． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件0≤α
例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(3,-2)和B(-23,1)两点的椭圆方程．
分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，
可设其方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．
解：设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0)．由A(3,-2)和B(-23,1)两点在椭圆上可得
2222⎧⎧3m+4n=1,11xy⎪m⋅(3)+n⋅(-2)=1,
即⎨所以m=，n=．故所求的椭圆方程为+=1． ⎨2212m+n=1,155155⎪⎩⎩m⋅(-23)+n⋅1=1,
例13 知圆x2+y2=1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹．
分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹． 解：设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x0,y0)，则x=
因为P(x0,y0)在圆x2+y2=1上，所以x02+y02=1．
将x0=2x，y0=y代入方程x02+y02=1得4x2+y2=1．所以点M的轨迹是一个椭圆4x2+y2=1．
说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为(x,y)，
设已知轨迹上的点的坐标为(x0,y0)，然后根据题目要求，使x，y与x0，y0建立等式关系， 从而由这些等式关系求出x0和y0代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x，y的方程， 化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．
例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为
B两点，求弦AB的长．
x02
，y=y0．
π
3
的直线交椭圆于A，
分析：可以利用弦长公式AB=
+k
2
x1-x2=(1+k)[(x1+x2)-4x1x2]求得，
22
也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．
解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解． AB=
+k
2
x1-x2=x
2
22
(1+k)[(x1+x2)-4x1x2]．因为a=6，b=3，所以c=33．因为焦点在x轴上，
所以椭圆方程为
36
+
y
2
9
=1，左焦点F(-33,0)，从而直线方程为y=3x+9．
由直线方程与椭圆方程联立得：13x+723x+36⨯8=0．设x1，x2为方程两根，所以x1+x2=-
x1x2=
36⨯813
2
72313
，
，k=3， 从而AB=+k
2
x1-x2=(1+k)[(x1+x2)-4x1x2]=
22
4813
．
(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解． 由题意可知椭圆方程为
2
x
2
36
+
y
2
9
2
=1，设AF1=m，BF1=n，则AF2=12-m，BF2=12-n．
2
在∆AF1F2中，AF2所以m=
64-
3
=AF1+F1F2-2AF1F1F2cos
π
3
，即(12-m)=m+36⋅3-2⋅m⋅63⋅6
22
12
；
．同理在∆BF1F2中，用余弦定理得n=
4+3
，所以AB=m+n=
4813
．
(法3)利用焦半径求解．
先根据直线与椭圆联立的方程13x+723x+36⨯8=0求出方程的两根x1，x2，它们分别是A，B的横坐标． 再根据焦半径AF1=a+ex1，BF1=a+ex2，从而求出AB=AF1+BF1．
例15 椭圆
x
2
2
25
+
y
2
9
=1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则ON（O为坐标原点）的值为
32
A．4 B．2 C．8 D．
说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆．
(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即MF1+MF2=2a，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．
xy
例16 已知椭圆C+=1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x+m，椭圆C上有不同的两点
43
2
2
关于该直线对称．
分析：若设椭圆上A，B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：(1)直线AB⊥l；(2)弦AB的中点M在l上．
利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围． 解：(法1)设椭圆上A(x1,y1)，B(x2,y2)两点关于直线l对称，直线AB与l交于M(x0,y0)点．
1⎧
y=-x+n,⎪4y=-x+n．由方程组⎪消去y⎨224
⎪x+y=1,⎪3⎩4
∵l的斜率kl=4，∴设直线AB的方程为
1
得
13x-8nx+16n-48=0 ①。∴x1+x2=
22
8n13
．于是x0=
x1+x2
2
=
4n13
，y0=-
14
x0+n=
134
12n13
，
即点M的坐标为(
4n13
,
2
12n13
)．∵点M在直线y=4x+m上，∴n=4⨯
2
4n13
+m．解得n=-m． ②
将式②代入式①得13x+26mx+169m-48=0 ③
213
213
∵A，B是椭圆上的两点，∴∆=(26m)-4⨯13(169m-48)>0．解得-(法2)同解法1得出n=-
y0=-
14x0-
134
134
m，∴x0=14
⨯(-m)-
413(-134
m)=-m，
22
m=-
134
m=-3m，即M点坐标为(-m,-3m)．
∵A，B为椭圆上的两点，∴M点在椭圆的内部，∴
(-m)4
2
+
(-3m)3
2
213
213
．
(法3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)是椭圆上关于l对称的两点，直线AB与l的交点M的坐标为(x0,y0)．
x1
2
∵A，B在椭圆上，∴
4
+
y13
2
=1x24
2
+
y23
2
=1．两式相减得3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0，
3x04y0
即3⋅2x0(x1-x2)+4⋅2y0(y1-y2)=0．∴
y1-y2x1-x2
=-
(x1≠x2)．
又∵直线AB⊥l，∴kAB⋅kl=-1，∴-
3x04y0
⋅4=-1，即y0=3x0 ①。
又M点在直线l上，∴y0=4x0+m ②。由①，②得M点的坐标为(-m,-3m)．以下同解法2.
说明：涉及椭圆上两点A，B关于直线l恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：
(1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式∆>0，建立参数方程．
(2)利用弦AB的中点M(x0,y0)在椭圆内部，满足例17 在面积为1的∆PMN中，tanM=点的椭圆方程．
12
x0a
2
+
y0b
2
，tanN=-2，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过P
∴所求椭圆方程为
4x15
2
+
y
2
3
=1
例18 已知P(4,2)是直线l被椭圆
x
2
36
+
y
2
9
=1所截得的线段的中点，求直线l的方程．
分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)，得到关于x(或y)
的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出x1+x2，x1x2(或y1+y2，y1y2)的值代入计算即得． 并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．
解：方法一：设所求直线方程为y-2=k(x-4)．代入椭圆方程，整理得
222
(4k+1)x-8k(4k-2)x+4(4k-2)-36=0 ①
设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1、x2是①的两根，∴x1+x2=∵P(4,2)为AB中点，∴4=
x1+x2
2
=
4k(4k-2)4k+1
2
8k(4k-2)4k+1
2
，k=-
12
．∴所求直线方程为x+2y-8=0．
方法二：设直线与椭圆交点A(x1,y1)，B(x2,y2)．∵P(4,2)为AB中点，∴x1+x2=8，y1+y2=4． 又∵A，B在椭圆上，∴x1+4y1=36，x2+4y2=36两式相减得(x1-x2)+4(y1-y2)=0， 即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0．∴
y1-y2x1-x2
=
-(x1+x2)4(y1+y2)
=-
12
2
2
2
2
2
2
2
2
．∴直线方程为x+2y-8=0．
方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y)，另一个交点B(8-x,4-y)．
∵A、B在椭圆上，∴x2+4y2=36 ①。 (8-x)2+4(4-y)2=36 ②
从而A，B在方程①－②的图形x+2y-8=0上，而过A、B的直线只有一条，∴直线方程为x+2y-8=0． 说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法． 若已知焦点是(33,0)、(-33,0)的椭圆截直线x+2y-8=0所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？