解析几何经典例题

圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。一、椭圆定义的深层运用

例1. 如图1，P 为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M ，将F 2P 的延长线于N ，求M 的轨迹方程。

图1

解析：易知

故

在中，

。

则点M 的轨迹方程为

二、双曲线定义的深层运用

例2. 如图2，为双曲线

的平分线作垂线，垂足为M ，求M 的轨迹方程。

的两焦点，P

为其上一动点，从

图2

解析：不妨设P 点在双曲线的右支上，延长F 1M 交PF 2的延长线于N ，则即

，

在

故点M 的轨迹方程为

三、抛物线定义的深层运用例3. 如图3，AB 为抛物线短距离。

的一条弦，|AB|＝4，F 为其焦点，求AB 的中点M 到直线y ＝－1的最

图3

解析：易知抛物线的准线l ：，

作AA ”⊥l ，BB ”⊥l ，MM ”⊥l ，垂足分别为A ”、B ”、M ”

则

即M 到直线的最短距离为2

故M 到直线y ＝－1的最短距离为。

评注：上述解法中，当且仅当A 、B 、F 共线，即AB 为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地，求抛物线的弦AB 的中点到准线的最短距离，只有当四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用例4. ①已知圆为（）

（即通径长）时，才能用上述解法。

，M 为圆上任一点，MP 的垂直平分线交OM 于Q ，则Q 的轨迹

图4

②已知圆，M 为圆上任一点，MP 的垂直平分线交OM 于Q ，则Q 的轨迹为（） A. 圆 B. 椭圆

C. 双曲线 D. 抛物线

解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP|，而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ| 即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝

故Q 的轨迹是以O （0，0）、P 为焦点长轴长为2的椭圆。应选B 。

②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q 的轨迹为双曲线的一支，应选C 。五、椭圆与双曲线定义的综合运用

例5. 如图5，已知三点A （－7，0），B （7，0），C （2，－12）。①若椭圆过A 、B 两点，且C 为其一焦点，求另一焦点P 的轨迹方程；②若双曲线的两支分别过A 、B 两点，且C 为其一焦点，求另一焦点Q 的轨迹方程。

图5

解析：①由椭圆定义知，|AP|＋|AC|＝|BP|＋|BC|，即故P 的轨迹为A （－7，0）、B （7，0）为焦点实轴长为2的双曲线的一支，

其方程为；

②经讨论知，无论A 在双曲线的哪一支上

总有|QA|＋|QB|＝|AC|＋|BC|＝28＞|AB|＝14

故点Q 的轨迹为以A （－7，0）、B （7，0）为焦点

长轴长为28的椭圆，其方程为［练习］

。

为焦点，

为其顶点，若P 为两曲线

1. 已知椭圆E 的离心率为e ，左、右焦点为F 1、F 2，抛物线C 以的公共点，且

，则e ＝__________。

答案：

2. 已知⊙O ：，一动抛物线过A （－1，0）、B （1，0）两点，且以圆的切线为准线，求动抛物线的焦点F 的轨迹方程。

答案：

圆锥曲线中的方法与运算

1. (与名师对话第51练) 已知抛物线

y 2=2x -1, 点A (2,0), 问是否存在过点A 的直线

l ,

使抛物线上存在不同的两点关于直线l 对称, 如果存在, 求出直线l 的斜率k 的取值范围; 如果不存在, 请说明理由.

分析: 这是一个求变量(斜率k ) 的取值范围问题, 我们必须给出与变量(斜率k ) 相关的变量(根据题设寻找) 的关系式(组), 显然, 这个关系式(组) 应由按题设揭示出的几何条件转换得到.

我们由题设揭示出的几何条件是: 抛物线上关于直线l 对称的不同的两点所在直线必须与抛物线有两个不同的交点, 并且交点为端点的线段的中点在直线l 上. 相应得到一个不等式和一个等式组成的变量关系式(组). 解这个关于式组即可得变量k 的取值范围. 解: 设直线l 的方程为

y =k (x -2) , 若k =0, 则结论显然成立, 即k =0可取. 若k ≠0,

1⎧y =-x +m , 1⎪2

y =-x +m 则直线PQ 的方程为, 由方程组⎨ 可得, y +2y -2kb +1=

0. k

k ⎪y 2=2x -1,

⎩

∵ 直线PQ 与抛物线有两个不同的交点, ∴

=4k 2-4(-2kb +1) >0, 即 k 2-1+2kb >0.

y 0=

y 1+y 2

=-k , 2

设线段PQ 的中点为G(x 0, y 0), 则∴ x 0

=-k (

y 1+y 2

) +km =-k (-k ) +km =k 2+km , 2

∵ 点G(x 0, y 0) 在直线l 上, ∴ -k =k (k

+km -2) , 由 k ≠0可得,

1-k 2m =

1-k 2

>0, k 2

综上所述, 直线l 的斜率k 的取值范围为-1

2. (与名师对话第51练) 已知M 直线l 过点(1,0),且与抛物线x =2y 交于A , B 两点,

O 为原点, 点 P 在y 轴的右侧且满足:OP =

（1）求点P 的轨迹C 的方程;

OA +OB . 22

A 到y 轴的

（2）若曲线C 的切线的斜率为λ, 满足:MB =λMA , 点距离为a , 求a 的取值范围.

分析：由OP

=OA +OB 可知，点P 的轨迹C 就是弦AB 的中点的轨迹. 22

的斜率存在, 设为

解(1) 显然直线

, 则直线

的方程为:

y =（k x -1）, 由方程组

k x -1），⎧y =（2

消去y 整理得x -2kx +2k =0, 设A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) , ⎨2

⎩x =2y ，x 1+x 2=2k ,

∴

x p =

x 1+x 2

=k 2

y p =（k k -1）=k 2-k , 消去k

得点

的轨迹C 的轨迹方程为:

y =x 2-x .

∵ 4k

-8k >0, ∴ k 2,

y 轴的右侧, ∴ x =k >2, 故点P 的轨迹C 为抛物线y =x 2-x 上的一段弧.

轴的距离为a 就是点

∵ 点P 在分析: 点

A 到y A 的横坐标的绝对值. 因为曲线C 的切线的斜率为λ, 所以

λ=y ' =2x -1, 由x >2知, λ>3, 由此可知, 我们必须建立点A 的横坐标的绝对值关于λ的关系.

解(2): 设A (x 1, y 1)

, B (x 2, y 2) ,

则由MB =λMA 可知, (x 2, y 2) -(1,0)=λ[(x 1, y 1) -(1,0) ], ∴x 2

-1=λ(x 1-1) , y 2=λy 1 ,

=λx 1-λ+1, x 22=λx 12, ∴ [λx 1-(λ-1)]2=λx 12

≠1,

∴ x 2∵ λ

∴ λx 1-2λx 1+λ-1=0,

2λ±=1±2λ(λ>3) ,

方法(一

) x 1

>3),

∴

=x 1=∴ a

∈(1-

⋃(1,1+. 3

方法(二)

(x 1-1) 2=

, (λ>3),

∴ 0

112

, 0

1且1-

∴ a

∈(1-

⋃(1,1+. 3

3. (与名师对话第51练) 已知抛物线的方程为x 为θ(0

=2py (p >0) , 过点M (0,m ) 且倾斜角

π2) 的直线交抛物线于A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) 两点, 且x 1x 2=-p . 2

（1）求m 的值;

（2）若点M 分

AB 所成的比为λ, 求λ关于θ

的函数关系式.

分析: 要求m 的值, 必须给出关于m 的方程. 解(1): 设过点M

(0,m ) 且倾斜角为θ(0

π2

) 的直线的方程为

y =kx +m .

⎧y =kx +m ，2

由方程组⎨消去y 整理得x -2pkx -2pm =0, 则x 1x 2=-2pm ,

⎩x =2py ，

∵ x 1x 2

=-p 2, ∴ -2pm =-p 2, m =

p . 2

分析: 由m

可知过点M (0,m ) 且倾斜角为θ2π2

) 的直线为

y =kx +

. 先建立关于2

k 的函数关系式, 再转换为关于θ的函数关系式. 解(2): ∵ 关于θ的函数关系式,

⎧x 1=-λx 2,

p p ⎪

∴ AM =λMB , (0,) -(x 1, y 1) =λ[(x 2, y 2) -(0,)], ⎨p p

22-y 1=λ(y 2-), ⎪⎩22

由(1)可知x 1+x 2

=2pk , x 1x 2=-p 2,

⎧x 1=-λx 2,

⎪22

由方程组⎨x 1+x 2=2pk , 可消去x 1, x 2, p 得, λ-2(2k +1) λ+1=0.

⎪2x x =-p , ⎩12

∵ 0

, ∴ λ

(1-sin θ) 21-sin θ

故λ=2k +1-2

2tan θ+1-2tan ==

1+sin θcos 2θ

4. (与名师对话第51练)

已知方向向量为v =(1.

的直线l 过点(0,-2)和椭圆

x 2y 2

C:2+2=1 a b

(a >b >0) 的焦点, 且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.

（1）求椭圆C 的方程;

（2）是否存在过点E(-2,0)的直线m 交椭圆C 于M , N , 满足:OM

⋅ON =

cot ∠MON ≠0(O 为原点) ? 若存在, 求出直线m 的方程; 若不存在, 请说明理由.

x 2y 2

+=1，F 是它的左焦点，M 6．(与名师对话第52练20) 椭圆C 的方程为

189

是椭圆C 上的一个动点，O 为坐标原点.

(1) 求(2) 若标.

解(1): 设点G (x , y ) (y≠0) , M(x1,y 1) 由题设可知

,F(-则x

OFM 的重心G 的轨迹方程;

OFM 的重心G 对原点和点P(-2,0)的张角∠OGP 最大, 求点G

的坐

)

x 1-3y

，y =133

, ∴ x 1=3x +3，y 1=3y ,

∴

（x +1）

OFM 的重心G 的轨迹方程为+y 2=1 (y ≠0).

（x +1）

+y 2=1的两个焦点. 下面证明当点P(-2,0)是椭圆

(2) 由(1)可知, 原点和点M 与椭圆

（x +1）

+y 2=1的短轴的端点重合时张角∠OGP 最大. 2

方法(一) 用椭圆的定义

设椭圆C 上的一个动点M 到椭圆的两个焦点的距离为r 1、r 2，则由椭圆的定义可知r 1+r 2=2

在∆MOP 中,

r 1+r 2-OP 2

COS ∠OGP =

2r 1r 2

r 1+r 2-4(r 1+r 2) 2-4-2r 1r 2==

2r 1r 22r 1r 2

(当且仅当r 1

(22) 2-4-2r 1r 244

==-2+≥-2+

r 1r 2(r 1+r 2) 22r 1r 2

∴ 当r 1

=r 2时, 等于号成立)

=r 2, 即点

M 与短轴的端点重合时张角∠OGP 最大, 最大角为90, 这时点M 的坐标为

(-1,1)、（-1，-1）.

方法(二) 用椭圆的焦半径公式

（x +1）x 22

+y 2=1, 原张角+y =1平移到中心在原点的位置, 这时椭圆的方程为将椭圆

∠OGP

就是在点P 处的两条焦半径的夹角. 设点P 的坐标为(

x 0，y 0

则

x 0）+x 0）-4

x 0211cos ∠F 1PF 2===⋅x 02∈[0，2] 22-x 02）2-（22x 02当x 0

=0时, cos ∠F 1PF 2=0, 当x 02∈（01]，, （0，2]时, cos ∠F 1PF 2∈

∠F 1PF 2的最大值为900, 这时相应点P 的坐标为(0,±1), 在椭圆的原位置

故cos ∠F ，, 1PF 2∈[01]相应点P 的坐标为(-1,±1).

x 2y 2

-=1的两个焦点F 1，F 2的距 (与名师对话第52练21) 已知动点P 与双曲线

1. 9

离之和为定值, 且cos ∠F 1PF 2的最小值为-(1) 求动点P 的轨迹方程;

(2) 若已知点D (0,3),点M ，N 在动点P 的轨迹上, 且DM 数λ的取值范围

;

=λDN , 求实

(3) 若已知点D (1,1), 点M ，N 在动点P 的轨迹上, 且MD =DN , 求直线

MN 的方程.

x 2y 2

-=1的两个焦点F 1，F 2为其焦点分析: 由题设可知, 动点P 的轨迹是以双曲线

的椭圆, 因此动点P 的轨迹方程可以用待定系数法求得.

x 2y 2

-=1的两个焦点F 1，F 2为其焦点解(1): 由题设可知, 动点P 的轨迹是以双曲线

23x 2y 2

的椭圆, 设其方程为2+2=1 (a >b >0).

a b

可以证明(仿例6) 当动点

在椭圆的短轴的端点时

cos ∠F 1PF 2

的值最小, 这时

1012a 2-201022

1-=-cos ∠F 1PF 2==1-, ∴ , a =9. ∴ b =4, 222

a 92a a

x 2y 2

+=1. ∴ 动点P 的轨迹方程为94

分析: 由DM

=λDN 可知, 点D , M , N 共线, 直线

MN 的变化可以用其斜率表示(直线的方程为

y =kx +3, 这时要

下面用直线方程

k 作讨论), 也可以用t 表44z 示(直线的方程为x =t (y -3) , 这时不需要对t 作讨论).

y =kx +3求解.

解法(一): 由DM =λDN 可知, 点D , M , N 共线.

=或λ=5. 5

若直线MN 的斜率不存在, 则λ

⎧y =kx +3,

若直线MN 的斜率存在, 设直线MN 的方程为y =kx +3, 则由方程组⎨可得,

⎩4x +9y =36, (9k 2+4) x 2+54kx +45=0,

设M (x 1, y 1), N (x 2, y 2) , 则x 1+x 2

-54k 45

, x x =. 12

9k 2+49k 2+4

又由DM

=λDN 可得, x 1=λx 2,

45-54k -54k λ(54k ) 2λ

, x =∴ x 1=, ∴ =2

(1+λ)9k 2+4(1+λ)9k 2+4(1+λ) 2(9k 2+4) 29k 2+4

59k 2+454λ

⋅=⋅(9+) . =∴

k 2324k 2(1+λ) 2324

∵ ∆=(54k )

-4⨯45(9k 2+4) ≥0, ∴ k 2≥

. 9

∴

115λ1

5536(1+λ) 4

综上所述,

≤λ≤5. 5

分析：用点M , N 的坐标表示直线MN 的变化. 解法(二): 由DM

=λDN 可知, 点D , M , N 共线.

x 12y 12x 22y 22

+=1, +=1. 设M (x 1, y 1), N (x 2, y 2) , 则9494

∵ DM

=λDN , ∴ x 1=λx 2 , y 1=λy 2-3λ+3,

∴

λ2x 22

9λ2x 22λ2y 22(λy 2-3λ+3) 2

+=λ2. +=1,

944

3(2λy 2-3λ+3)(1-λ) (λy 2-3λ+3) 2λ2y 22

=1-λ2, -=1-λ2, ∴

444

∴ λ

=1或

3(2λy 2-3λ+3) 113λ-5

=1+λ, -2≤y 2=≤2, λ>0解得≤λ≤5.

546λ

(x 0≠0) 作斜率（x 0，y 0）y =ax 2(a

8. 抛物线C 的方程为

为k 1，k 2的两条直线分别交抛物线C 于. k 2+λk 1=0（λ≠0且λ≠-1）

A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 两点(P 、A 、B 三点各不相同), 且满足

(1) 求抛物线C 的焦点坐标和准线方程; (2) 设直线(3)当λ

AB 上一点M 满足:BM =λMA , 证明线段PM

的中点在

y 轴上;

=1时, 若点P 的坐标为(1,-1),求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标y 1的取值范围.

分析: 将a 看作常量. 解(1): 抛物线C 的方程为

x 2=

y (a

C 的焦点坐标为(014a

), 准线方程为

y =-

1. 4a

分析: 从形式上看, 线段PM 的中点坐标与k 1、k 2、λ相关, 而实际上肯定横坐标可以消元为0.

解(2): 由题设可知, 直线PA 的方程为:

（+y 0，⎧y =k 1x -x 0）

, 由方程组可y =k （x -x ）+y ⎨1002

⎩y =ax ，

得, ax

-k 1x +k 1x 0-y 0=0, 即ax 2-k 1x +k 1x 0-ax 02=0,

k 1k

-x 0, 同理 x 2=2-x 0, a a

∴ x 1

∵ BM ∵ k 2

, x M ==λMA , ∴ x M -x 2=λ（x 1-x M ）

λx 1+x 2

1+λ

λ（

k 1k

-x 0）+（2-x 0）

1+λ

, ∴ x M =-x 0, +λk 1=0（λ≠0且λ≠-1）

∴ 线段PM 的中点横坐标为0, 即线段PM 的中点在分析:

y 轴上.

解(3): 由题设和题(2)可知, 抛物线C 的方程为

y =-x 2

, 又λ=1, 故x 1=-（k 1+1）

x 2=k 1-1,

∴

22, B A （（-k 1+1），-（k 1+1））（k 1-1，-（k 1-1））

∴

, AP =, AB =（2k 1，4k 1）（k 1+2，k 12+2k 1）

∵

∠PAB

为钝角,

P 、A 、B

三点各不相同, ∴

AP ⋅AB

即有

∴ k 1∴ ∴

y 1=(k 1+1) 2, k 1

y 1

1. 4

9. 已知椭圆C 的中心在原点, 焦点在X 轴上,

一条经过点（3交椭圆C 于A,B 两点, 交X 轴于M 点, 又

(1) 求直线l 的方程;

(2) 求椭圆C 的长轴长的取值范围. 解(1): 直线l

的方程为

且方向向量为a =的直线l

（-2AM =2MB .

y =x -3）-分析: “直线l 与椭圆C 有两个不同的交点”可以转化为一个关于a ，b 的不等式, 向量等式

AM =2MB 可以转化为一个关于a ，b 的等式.

解(2):

⎧422⎪y =x -3）

由方程组⎨可得（b +a ）y y +b 2-a 2b 2=0. 5⎪b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2,

⎩

b 2-a 2b 2

设设A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) ,

则y 1+y 2=. ，y 1y 2=

24b +a 2b 2+a 255

由

AM =2MB 可知, y 1=2y 2 ,

b 2-a 2b 2

∴

y 1=y 2=∴ =

42422

b +a 2（b 2+a 2）b +

a 2b 2+a 2

5555

5a （a 2-1）

>0 ∴ 4b =

9-a 2

322

b ,

∵

=(224

) -4(b 2+a 2)(b 2-a 2b 2) >0, ∴ 5a 2+4b 2>5,

⎧5a 2(a 2-1)

⎧5a (a -1) >0, ⎪2>0, ⎪9-a ⎪2∴ ⎨9-a 2 ∴ ⎨ 1

⎪5a 2+5a (a -1) >5, ⎪5a 2+4b 2>5,

⎩⎪9-a 2⎩

415a （a 2-1）222

a 9, 9

9-a

222

∴ 1

a 2

41, 1

. , 即椭圆C 的长轴长的取值范围为10. 自点

A (0,-1) 向抛物线C:y =x 2作切线AB, 切点为B , 且点B 在第一象限, 再过线

段AB 的中点M 作直线l 与抛物线C 交于不同的两点E,F, 直线AE,AF 分别交抛物线C 于P,Q 两点. (1) 求切线AB 的方程及切点B 的坐标; (2) 证明PQ =λAB

(λ∈R ) .

(x 0, y 0)

, 过点B 的切线的方程为

解(1): 设切点B

的坐标为

y =2x 0(x -x 0) +x 02,

∵ 切线过点

A (0-, 1) , ∴ -1=2x 0(-x 0) +x 20, x 0=1,

∵ 点B 在抛物线上, ∴ ∴ 切线AB 的方程为分析: 即证明

y 0=1,

y =2x -1, 切点B 的坐标为(1,1).

AB ∥PQ .

的坐标为

(2) 证明: 由(1)可知, 线段AB 的中点

(,0) , 设直线l 2

的方程为

y =k (x -) , E (x 1, x 12) , F (x 2, x 22) , P (x 3, x 32) , Q (x 4, x 42) .

1⎧

y =k (x -), 11⎪

由方程组⎨2 可得x 2-m x +m =0, 故x 1+x 2=m , x 1x 2=m .

22⎪y =x 2,

⎩

PQ =(x 4-x 3, x 42-x 32) =(x 4-x 3)(1, x 4+x 3) .

x 32+1x 12+1

∵ A,E,P三点共线, ∴ =, x 1x 3=1 , 同理x 2x 4=1,

x 1x 3

∴ PQ =(

x +x 2(x 1-x 2) 1111x -x

-)(1,+) =12(1,12) =(1,2) x 2x 1x 2x 1x 1x 2x 1x 2m

2(x 1-x 2)

∈R ) .

由

AB =(1,2)可知, PQ =λAB (其中λ=

x 2y 2

11. 设双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的右顶点为A, P 为双曲线上异于点A 的一个动点, 从A 引双

a b

曲线的渐近线的两条平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.

(1) 证明:无论P 点在什么位置, 总有

OP =OQ ⋅OR

(O为坐标原点);

(2) 若以OP 为边长的正方形的面积等于双曲线的实, 虚轴围成的矩形的面积, 求双曲线的离心率的取值范围.

(1) 证明: 设直线OP 的方程为

y =kx , 直线

AR 的方程为

y =

(x -a ) a

, AQ 的方程为

y =-(x -a ) .

b ⎧y =(x -a ), -ab -kab -ab -kab ⎪

R (, ) (, ) , OR 由方程组⎨ 得 , ∴ =a

ak -b ak -b ak -b ak

-b ⎪y =kx , ⎩

同理OQ =(

ab kab

, ) ,

ak +b ak +b

∴

OQ ⋅OR

-ab -kab -ab -kab (, ) ⋅(, ) ak -b ak -b ak -b ak -b

a 2b 2(1+k 2)

a 2k 2-b 2

设P (m , n ) ,

⎧x 2y 2

a 2b 2k 2a 2b 2⎪2-2=1, 22

由方程组⎨a 得m =2, n =2b 22

b -a k b -a 2k 2

⎪y =kx , ⎩

a 2b 2(1+k 2)

∴ OP =. 222

b -a k

∵ 直线OP 过原点, ∴ b

-a k >0, ∴ OP =OQ ⋅OR

(2) 解: 由题设知,

a 2b 2(1+k 2) 4b 2-ab 2

>0, =4ab , k =222

b -a k ab +4a 2

b 2又k

解得a

圆锥曲线的一个统一性质

4b 2-ab b 2

a ab +4a

, (恒成立))

e >

———由一道高考题引发出的思考

题（2001年全国·理）：

设抛物线y 2=2px（p>0）的一个焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴。证明：直线AC 经过原点O 。

参考答案给出了如下的几何证法：

证明：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，D 是垂足．则 AD ∥FE ∥BC ．连结AC ，与EF 相交手点N ，则

|EN ||CN ||BF ||NF ||AF |

==, =

|AD ||AC ||AB ||BC ||AB |

根据抛物线的几何性质，|AF |=|AD |，|BF |=|BC |

∴|EN |=

|AD |⋅|BF ||AF |⋅|BC |

==|NF |,

|AB ||AB |

即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ．

解析几何经典例题

例1. 如图1，P 为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M ，将F 2P 的延长线于N ，求M 的轨迹方程。

图1

解析：易知

故

在中，

。

则点M 的轨迹方程为

二、双曲线定义的深层运用

例2. 如图2，为双曲线

的平分线作垂线，垂足为M ，求M 的轨迹方程。

的两焦点，P

为其上一动点，从

图2

解析：不妨设P 点在双曲线的右支上，延长F 1M 交PF 2的延长线于N ，则即

，

在

故点M 的轨迹方程为

三、抛物线定义的深层运用例3. 如图3，AB 为抛物线短距离。

的一条弦，|AB|＝4，F 为其焦点，求AB 的中点M 到直线y ＝－1的最

图3

解析：易知抛物线的准线l ：，

作AA ”⊥l ，BB ”⊥l ，MM ”⊥l ，垂足分别为A ”、B ”、M ”

则

即M 到直线的最短距离为2

故M 到直线y ＝－1的最短距离为。

（即通径长）时，才能用上述解法。

，M 为圆上任一点，MP 的垂直平分线交OM 于Q ，则Q 的轨迹

图4

②已知圆，M 为圆上任一点，MP 的垂直平分线交OM 于Q ，则Q 的轨迹为（） A. 圆 B. 椭圆

C. 双曲线 D. 抛物线

解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP|，而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ| 即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝

故Q 的轨迹是以O （0，0）、P 为焦点长轴长为2的椭圆。应选B 。

②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q 的轨迹为双曲线的一支，应选C 。五、椭圆与双曲线定义的综合运用

图5

解析：①由椭圆定义知，|AP|＋|AC|＝|BP|＋|BC|，即故P 的轨迹为A （－7，0）、B （7，0）为焦点实轴长为2的双曲线的一支，

其方程为；

②经讨论知，无论A 在双曲线的哪一支上

总有|QA|＋|QB|＝|AC|＋|BC|＝28＞|AB|＝14

故点Q 的轨迹为以A （－7，0）、B （7，0）为焦点

长轴长为28的椭圆，其方程为［练习］

。

为焦点，

为其顶点，若P 为两曲线

1. 已知椭圆E 的离心率为e ，左、右焦点为F 1、F 2，抛物线C 以的公共点，且

，则e ＝__________。

答案：

2. 已知⊙O ：，一动抛物线过A （－1，0）、B （1，0）两点，且以圆的切线为准线，求动抛物线的焦点F 的轨迹方程。

答案：

圆锥曲线中的方法与运算

1. (与名师对话第51练) 已知抛物线

y 2=2x -1, 点A (2,0), 问是否存在过点A 的直线

l ,

使抛物线上存在不同的两点关于直线l 对称, 如果存在, 求出直线l 的斜率k 的取值范围; 如果不存在, 请说明理由.

y =k (x -2) , 若k =0, 则结论显然成立, 即k =0可取. 若k ≠0,

1⎧y =-x +m , 1⎪2

y =-x +m 则直线PQ 的方程为, 由方程组⎨ 可得, y +2y -2kb +1=

0. k

k ⎪y 2=2x -1,

⎩

∵ 直线PQ 与抛物线有两个不同的交点, ∴

=4k 2-4(-2kb +1) >0, 即 k 2-1+2kb >0.

y 0=

y 1+y 2

=-k , 2

设线段PQ 的中点为G(x 0, y 0), 则∴ x 0

=-k (

y 1+y 2

) +km =-k (-k ) +km =k 2+km , 2

∵ 点G(x 0, y 0) 在直线l 上, ∴ -k =k (k

+km -2) , 由 k ≠0可得,

1-k 2m =

1-k 2

>0, k 2

综上所述, 直线l 的斜率k 的取值范围为-1

2. (与名师对话第51练) 已知M 直线l 过点(1,0),且与抛物线x =2y 交于A , B 两点,

O 为原点, 点 P 在y 轴的右侧且满足:OP =

（1）求点P 的轨迹C 的方程;

OA +OB . 22

A 到y 轴的

（2）若曲线C 的切线的斜率为λ, 满足:MB =λMA , 点距离为a , 求a 的取值范围.

分析：由OP

=OA +OB 可知，点P 的轨迹C 就是弦AB 的中点的轨迹. 22

的斜率存在, 设为

解(1) 显然直线

, 则直线

的方程为:

y =（k x -1）, 由方程组

k x -1），⎧y =（2

消去y 整理得x -2kx +2k =0, 设A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) , ⎨2

⎩x =2y ，x 1+x 2=2k ,

∴

x p =

x 1+x 2

=k 2

y p =（k k -1）=k 2-k , 消去k

得点

的轨迹C 的轨迹方程为:

y =x 2-x .

∵ 4k

-8k >0, ∴ k 2,

y 轴的右侧, ∴ x =k >2, 故点P 的轨迹C 为抛物线y =x 2-x 上的一段弧.

轴的距离为a 就是点

∵ 点P 在分析: 点

A 到y A 的横坐标的绝对值. 因为曲线C 的切线的斜率为λ, 所以

λ=y ' =2x -1, 由x >2知, λ>3, 由此可知, 我们必须建立点A 的横坐标的绝对值关于λ的关系.

解(2): 设A (x 1, y 1)

, B (x 2, y 2) ,

则由MB =λMA 可知, (x 2, y 2) -(1,0)=λ[(x 1, y 1) -(1,0) ], ∴x 2

-1=λ(x 1-1) , y 2=λy 1 ,

=λx 1-λ+1, x 22=λx 12, ∴ [λx 1-(λ-1)]2=λx 12

≠1,

∴ x 2∵ λ

∴ λx 1-2λx 1+λ-1=0,

2λ±=1±2λ(λ>3) ,

方法(一

) x 1

>3),

∴

=x 1=∴ a

∈(1-

⋃(1,1+. 3

方法(二)

(x 1-1) 2=

, (λ>3),

∴ 0

112

, 0

1且1-

∴ a

∈(1-

⋃(1,1+. 3

3. (与名师对话第51练) 已知抛物线的方程为x 为θ(0

=2py (p >0) , 过点M (0,m ) 且倾斜角

π2) 的直线交抛物线于A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) 两点, 且x 1x 2=-p . 2

（1）求m 的值;

（2）若点M 分

AB 所成的比为λ, 求λ关于θ

的函数关系式.

分析: 要求m 的值, 必须给出关于m 的方程. 解(1): 设过点M

(0,m ) 且倾斜角为θ(0

π2

) 的直线的方程为

y =kx +m .

⎧y =kx +m ，2

由方程组⎨消去y 整理得x -2pkx -2pm =0, 则x 1x 2=-2pm ,

⎩x =2py ，

∵ x 1x 2

=-p 2, ∴ -2pm =-p 2, m =

p . 2

分析: 由m

可知过点M (0,m ) 且倾斜角为θ2π2

) 的直线为

y =kx +

. 先建立关于2

k 的函数关系式, 再转换为关于θ的函数关系式. 解(2): ∵ 关于θ的函数关系式,

⎧x 1=-λx 2,

p p ⎪

∴ AM =λMB , (0,) -(x 1, y 1) =λ[(x 2, y 2) -(0,)], ⎨p p

22-y 1=λ(y 2-), ⎪⎩22

由(1)可知x 1+x 2

=2pk , x 1x 2=-p 2,

⎧x 1=-λx 2,

⎪22

由方程组⎨x 1+x 2=2pk , 可消去x 1, x 2, p 得, λ-2(2k +1) λ+1=0.

⎪2x x =-p , ⎩12

∵ 0

, ∴ λ

(1-sin θ) 21-sin θ

故λ=2k +1-2

2tan θ+1-2tan ==

1+sin θcos 2θ

4. (与名师对话第51练)

已知方向向量为v =(1.

的直线l 过点(0,-2)和椭圆

x 2y 2

C:2+2=1 a b

(a >b >0) 的焦点, 且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.

（1）求椭圆C 的方程;

（2）是否存在过点E(-2,0)的直线m 交椭圆C 于M , N , 满足:OM

⋅ON =

cot ∠MON ≠0(O 为原点) ? 若存在, 求出直线m 的方程; 若不存在, 请说明理由.

x 2y 2

+=1，F 是它的左焦点，M 6．(与名师对话第52练20) 椭圆C 的方程为

189

是椭圆C 上的一个动点，O 为坐标原点.

(1) 求(2) 若标.

解(1): 设点G (x , y ) (y≠0) , M(x1,y 1) 由题设可知

,F(-则x

OFM 的重心G 的轨迹方程;

OFM 的重心G 对原点和点P(-2,0)的张角∠OGP 最大, 求点G

的坐

)

x 1-3y

，y =133

, ∴ x 1=3x +3，y 1=3y ,

∴

（x +1）

OFM 的重心G 的轨迹方程为+y 2=1 (y ≠0).

（x +1）

+y 2=1的两个焦点. 下面证明当点P(-2,0)是椭圆

(2) 由(1)可知, 原点和点M 与椭圆

（x +1）

+y 2=1的短轴的端点重合时张角∠OGP 最大. 2

方法(一) 用椭圆的定义

设椭圆C 上的一个动点M 到椭圆的两个焦点的距离为r 1、r 2，则由椭圆的定义可知r 1+r 2=2

在∆MOP 中,

r 1+r 2-OP 2

COS ∠OGP =

2r 1r 2

r 1+r 2-4(r 1+r 2) 2-4-2r 1r 2==

2r 1r 22r 1r 2

(当且仅当r 1

(22) 2-4-2r 1r 244

==-2+≥-2+

r 1r 2(r 1+r 2) 22r 1r 2

∴ 当r 1

=r 2时, 等于号成立)

=r 2, 即点

M 与短轴的端点重合时张角∠OGP 最大, 最大角为90, 这时点M 的坐标为

(-1,1)、（-1，-1）.

方法(二) 用椭圆的焦半径公式

（x +1）x 22

+y 2=1, 原张角+y =1平移到中心在原点的位置, 这时椭圆的方程为将椭圆

∠OGP

就是在点P 处的两条焦半径的夹角. 设点P 的坐标为(

x 0，y 0

则

x 0）+x 0）-4

x 0211cos ∠F 1PF 2===⋅x 02∈[0，2] 22-x 02）2-（22x 02当x 0

=0时, cos ∠F 1PF 2=0, 当x 02∈（01]，, （0，2]时, cos ∠F 1PF 2∈

∠F 1PF 2的最大值为900, 这时相应点P 的坐标为(0,±1), 在椭圆的原位置

故cos ∠F ，, 1PF 2∈[01]相应点P 的坐标为(-1,±1).

x 2y 2

-=1的两个焦点F 1，F 2的距 (与名师对话第52练21) 已知动点P 与双曲线

1. 9

离之和为定值, 且cos ∠F 1PF 2的最小值为-(1) 求动点P 的轨迹方程;

(2) 若已知点D (0,3),点M ，N 在动点P 的轨迹上, 且DM 数λ的取值范围

;

=λDN , 求实

(3) 若已知点D (1,1), 点M ，N 在动点P 的轨迹上, 且MD =DN , 求直线

MN 的方程.

x 2y 2

-=1的两个焦点F 1，F 2为其焦点分析: 由题设可知, 动点P 的轨迹是以双曲线

的椭圆, 因此动点P 的轨迹方程可以用待定系数法求得.

x 2y 2

-=1的两个焦点F 1，F 2为其焦点解(1): 由题设可知, 动点P 的轨迹是以双曲线

23x 2y 2

的椭圆, 设其方程为2+2=1 (a >b >0).

a b

可以证明(仿例6) 当动点

在椭圆的短轴的端点时

cos ∠F 1PF 2

的值最小, 这时

1012a 2-201022

1-=-cos ∠F 1PF 2==1-, ∴ , a =9. ∴ b =4, 222

a 92a a

x 2y 2

+=1. ∴ 动点P 的轨迹方程为94

分析: 由DM

=λDN 可知, 点D , M , N 共线, 直线

MN 的变化可以用其斜率表示(直线的方程为

y =kx +3, 这时要

下面用直线方程

k 作讨论), 也可以用t 表44z 示(直线的方程为x =t (y -3) , 这时不需要对t 作讨论).

y =kx +3求解.

解法(一): 由DM =λDN 可知, 点D , M , N 共线.

=或λ=5. 5

若直线MN 的斜率不存在, 则λ

⎧y =kx +3,

若直线MN 的斜率存在, 设直线MN 的方程为y =kx +3, 则由方程组⎨可得,

⎩4x +9y =36, (9k 2+4) x 2+54kx +45=0,

设M (x 1, y 1), N (x 2, y 2) , 则x 1+x 2

-54k 45

, x x =. 12

9k 2+49k 2+4

又由DM

=λDN 可得, x 1=λx 2,

45-54k -54k λ(54k ) 2λ

, x =∴ x 1=, ∴ =2

(1+λ)9k 2+4(1+λ)9k 2+4(1+λ) 2(9k 2+4) 29k 2+4

59k 2+454λ

⋅=⋅(9+) . =∴

k 2324k 2(1+λ) 2324

∵ ∆=(54k )

-4⨯45(9k 2+4) ≥0, ∴ k 2≥

. 9

∴

115λ1

5536(1+λ) 4

综上所述,

≤λ≤5. 5

分析：用点M , N 的坐标表示直线MN 的变化. 解法(二): 由DM

=λDN 可知, 点D , M , N 共线.

x 12y 12x 22y 22

+=1, +=1. 设M (x 1, y 1), N (x 2, y 2) , 则9494

∵ DM

=λDN , ∴ x 1=λx 2 , y 1=λy 2-3λ+3,

∴

λ2x 22

9λ2x 22λ2y 22(λy 2-3λ+3) 2

+=λ2. +=1,

944

3(2λy 2-3λ+3)(1-λ) (λy 2-3λ+3) 2λ2y 22

=1-λ2, -=1-λ2, ∴

444

∴ λ

=1或

3(2λy 2-3λ+3) 113λ-5

=1+λ, -2≤y 2=≤2, λ>0解得≤λ≤5.

546λ

(x 0≠0) 作斜率（x 0，y 0）y =ax 2(a

8. 抛物线C 的方程为

为k 1，k 2的两条直线分别交抛物线C 于. k 2+λk 1=0（λ≠0且λ≠-1）

A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 两点(P 、A 、B 三点各不相同), 且满足

(1) 求抛物线C 的焦点坐标和准线方程; (2) 设直线(3)当λ

AB 上一点M 满足:BM =λMA , 证明线段PM

的中点在

y 轴上;

=1时, 若点P 的坐标为(1,-1),求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标y 1的取值范围.

分析: 将a 看作常量. 解(1): 抛物线C 的方程为

x 2=

y (a

C 的焦点坐标为(014a

), 准线方程为

y =-

1. 4a

分析: 从形式上看, 线段PM 的中点坐标与k 1、k 2、λ相关, 而实际上肯定横坐标可以消元为0.

解(2): 由题设可知, 直线PA 的方程为:

（+y 0，⎧y =k 1x -x 0）

, 由方程组可y =k （x -x ）+y ⎨1002

⎩y =ax ，

得, ax

-k 1x +k 1x 0-y 0=0, 即ax 2-k 1x +k 1x 0-ax 02=0,

k 1k

-x 0, 同理 x 2=2-x 0, a a

∴ x 1

∵ BM ∵ k 2

, x M ==λMA , ∴ x M -x 2=λ（x 1-x M ）

λx 1+x 2

1+λ

λ（

k 1k

-x 0）+（2-x 0）

1+λ

, ∴ x M =-x 0, +λk 1=0（λ≠0且λ≠-1）

∴ 线段PM 的中点横坐标为0, 即线段PM 的中点在分析:

y 轴上.

解(3): 由题设和题(2)可知, 抛物线C 的方程为

y =-x 2

, 又λ=1, 故x 1=-（k 1+1）

x 2=k 1-1,

∴

22, B A （（-k 1+1），-（k 1+1））（k 1-1，-（k 1-1））

∴

, AP =, AB =（2k 1，4k 1）（k 1+2，k 12+2k 1）

∵

∠PAB

为钝角,

P 、A 、B

三点各不相同, ∴

AP ⋅AB

即有

∴ k 1∴ ∴

y 1=(k 1+1) 2, k 1

y 1

1. 4

9. 已知椭圆C 的中心在原点, 焦点在X 轴上,

一条经过点（3交椭圆C 于A,B 两点, 交X 轴于M 点, 又

(1) 求直线l 的方程;

(2) 求椭圆C 的长轴长的取值范围. 解(1): 直线l

的方程为

且方向向量为a =的直线l

（-2AM =2MB .

y =x -3）-分析: “直线l 与椭圆C 有两个不同的交点”可以转化为一个关于a ，b 的不等式, 向量等式

AM =2MB 可以转化为一个关于a ，b 的等式.

解(2):

⎧422⎪y =x -3）

由方程组⎨可得（b +a ）y y +b 2-a 2b 2=0. 5⎪b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2,

⎩

b 2-a 2b 2

设设A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) ,

则y 1+y 2=. ，y 1y 2=

24b +a 2b 2+a 255

由

AM =2MB 可知, y 1=2y 2 ,

b 2-a 2b 2

∴

y 1=y 2=∴ =

42422

b +a 2（b 2+a 2）b +

a 2b 2+a 2

5555

5a （a 2-1）

>0 ∴ 4b =

9-a 2

322

b ,

∵

=(224

) -4(b 2+a 2)(b 2-a 2b 2) >0, ∴ 5a 2+4b 2>5,

⎧5a 2(a 2-1)

⎧5a (a -1) >0, ⎪2>0, ⎪9-a ⎪2∴ ⎨9-a 2 ∴ ⎨ 1

⎪5a 2+5a (a -1) >5, ⎪5a 2+4b 2>5,

⎩⎪9-a 2⎩

415a （a 2-1）222

a 9, 9

9-a

222

∴ 1

a 2

41, 1

. , 即椭圆C 的长轴长的取值范围为10. 自点

A (0,-1) 向抛物线C:y =x 2作切线AB, 切点为B , 且点B 在第一象限, 再过线

段AB 的中点M 作直线l 与抛物线C 交于不同的两点E,F, 直线AE,AF 分别交抛物线C 于P,Q 两点. (1) 求切线AB 的方程及切点B 的坐标; (2) 证明PQ =λAB

(λ∈R ) .

(x 0, y 0)

, 过点B 的切线的方程为

解(1): 设切点B

的坐标为

y =2x 0(x -x 0) +x 02,

∵ 切线过点

A (0-, 1) , ∴ -1=2x 0(-x 0) +x 20, x 0=1,

∵ 点B 在抛物线上, ∴ ∴ 切线AB 的方程为分析: 即证明

y 0=1,

y =2x -1, 切点B 的坐标为(1,1).

AB ∥PQ .

的坐标为

(2) 证明: 由(1)可知, 线段AB 的中点

(,0) , 设直线l 2

的方程为

y =k (x -) , E (x 1, x 12) , F (x 2, x 22) , P (x 3, x 32) , Q (x 4, x 42) .

1⎧

y =k (x -), 11⎪

由方程组⎨2 可得x 2-m x +m =0, 故x 1+x 2=m , x 1x 2=m .

22⎪y =x 2,

⎩

PQ =(x 4-x 3, x 42-x 32) =(x 4-x 3)(1, x 4+x 3) .

x 32+1x 12+1

∵ A,E,P三点共线, ∴ =, x 1x 3=1 , 同理x 2x 4=1,

x 1x 3

∴ PQ =(

x +x 2(x 1-x 2) 1111x -x

-)(1,+) =12(1,12) =(1,2) x 2x 1x 2x 1x 1x 2x 1x 2m

2(x 1-x 2)

∈R ) .

由

AB =(1,2)可知, PQ =λAB (其中λ=

x 2y 2

11. 设双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的右顶点为A, P 为双曲线上异于点A 的一个动点, 从A 引双

a b

曲线的渐近线的两条平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.

(1) 证明:无论P 点在什么位置, 总有

OP =OQ ⋅OR

(O为坐标原点);

(2) 若以OP 为边长的正方形的面积等于双曲线的实, 虚轴围成的矩形的面积, 求双曲线的离心率的取值范围.

(1) 证明: 设直线OP 的方程为

y =kx , 直线

AR 的方程为

y =

(x -a ) a

, AQ 的方程为

y =-(x -a ) .

b ⎧y =(x -a ), -ab -kab -ab -kab ⎪

R (, ) (, ) , OR 由方程组⎨ 得 , ∴ =a

ak -b ak -b ak -b ak

-b ⎪y =kx , ⎩

同理OQ =(

ab kab

, ) ,

ak +b ak +b

∴

OQ ⋅OR

-ab -kab -ab -kab (, ) ⋅(, ) ak -b ak -b ak -b ak -b

a 2b 2(1+k 2)

a 2k 2-b 2

设P (m , n ) ,

⎧x 2y 2

a 2b 2k 2a 2b 2⎪2-2=1, 22

由方程组⎨a 得m =2, n =2b 22

b -a k b -a 2k 2

⎪y =kx , ⎩

a 2b 2(1+k 2)

∴ OP =. 222

b -a k

∵ 直线OP 过原点, ∴ b

-a k >0, ∴ OP =OQ ⋅OR

(2) 解: 由题设知,

a 2b 2(1+k 2) 4b 2-ab 2

>0, =4ab , k =222

b -a k ab +4a 2

b 2又k

解得a

圆锥曲线的一个统一性质

4b 2-ab b 2

a ab +4a

, (恒成立))

e >

———由一道高考题引发出的思考

题（2001年全国·理）：

设抛物线y 2=2px（p>0）的一个焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴。证明：直线AC 经过原点O 。

参考答案给出了如下的几何证法：

证明：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，D 是垂足．则 AD ∥FE ∥BC ．连结AC ，与EF 相交手点N ，则

|EN ||CN ||BF ||NF ||AF |

==, =

|AD ||AC ||AB ||BC ||AB |

根据抛物线的几何性质，|AF |=|AD |，|BF |=|BC |

∴|EN |=

|AD |⋅|BF ||AF |⋅|BC |

==|NF |,

|AB ||AB |

即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ．

解析几何经典例题

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