点线面位置关系的判定
一、基础知识
（一）直线与直线位置关系：
1、线线平行的判定
（1）平行公理：空间中平行于同一直线的两条直线平行
（2）线面平行性质：如果一条直线与平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线和该直线平行
（3）面面平行性质：
2、线线垂直的判定
（1）两条平行直线，如果其中一条与某直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直 直线与平面位置关系：
（2）线面垂直的性质：如果一条直线与平面垂直，则该直线与平面上的所有直线均垂直
（二）直线与平面的位置关系
1、线面平行判定定理：
（1）若平面外的一条直线l 与平面α上的一条直线平行，则l ∥α
（2）若两个平面平行，则一个平面上的任一直线与另一平面平行
2、线面垂直的判定：
（1）若直线l 与平面α上的两条相交直线垂直，则l ⊥α
（2）两条平行线中若其中一条与平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直
（3）如果两个平面垂直，则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直
（三）平面与平面的位置关系
1、平面与平面平行的判定：
（1）如果一个平面上的两条相交直线均与另一个平面平行，则两个平面平行
（2）平行于同一个平面的两个平面平行
2、平面与平面垂直的判定
如果一条直线与一个平面垂直，则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直
（四）利用空间向量判断线面位置关系
1、刻画直线，平面位置的向量：直线：方向向量 平面：法向量
2、向量关系与线面关系的转化：
设直线a , b 对应的法向量为a , b ，平面α, β对应的法向量为m , n （其中a , b 在α, β外）
（1）a ∥b ⇔a ∥b （2）a ⊥b ⇔a ⊥b （3）a ⊥α⇔a ∥m
（4）a ∥α⇔a ⊥m （5）α∥β⇔m ∥n （6）α⊥β⇔m ⊥n
3、有关向量关系的结论
（1）若a ∥b , b ∥c ，则a ∥c 平行+平行→平行
（2）若a ⊥b , b ∥c ，则a ⊥c 平行+垂直→垂直
（3）若a ⊥b , b ⊥c ，则a , c 的位置关系不定。
4、如何用向量判断位置关系命题真假
（1）条件中的线面关系翻译成向量关系
（2）确定由条件能否得到结论
（3）将结论翻译成线面关系，即可判断命题的真假
二、典型例题：
例1：已知α, β是两个不同的平面，m , n 是两条不同的直线，现给出下列命题：
①若m ⊂α, n ⊂α, m ∥β, n ∥β，则α∥β；②若α⊥β, m ⊂α，则m ⊥β；
③若m ⊥α, m ∥β，则α⊥β；④若m ∥n , m ⊂α，则n ∥α．
其中正确命题的个数是（ ）
A ．0 B．1 C．2 D．3
例2：已知m , n , l 是不同的直线，α, β是不同的平面，以下命题正确的是（ ）
①若m ∥n ，m ⊂α, n ⊂β，则α∥β；②若m ⊂α, n ⊂β，α∥β，l ⊥m ，则l ⊥n ； ③若m ⊥α, n ⊥β, α∥β，则m ∥n ；④若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m ⊥n ；
A ．②③ B．③④ C．②④ D．③
例3：对于直线m , n 和平面α, β，α∥β的一个充分条件为（ ）
A. m ⊂α, n ⊂β, m ∥β, n ∥α B. m ∥n , m ∥α, n ∥β
C. m ∥n , m ⊥α, n ⊥β D. m ⊥n , m ⊥α, n ⊥β
例4：给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是（ ）
A ．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
例5：已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法中正确的是（ ）
A ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n B ．若m ∥α，n ∥α则m ∥n
C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α
例6：给出下列命题，其中正确的两个命题是（ ）
① 直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行。②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③ 直线m ⊥平面α，直线n ⊥m ，则n ∥α；④a , b 是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a , b 都平行且与a , b 距离相等
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④
例7：下列命题正确的个数是（ ）
① 若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α
② 若直线l ∥α，则与平面α内的任意一条直线都平行
③ 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
④ 若直线l ∥α，则与平面α内的任意一条直线都没有公共点
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 例8：直线a , b 为两异面直线，下列结论正确的是（ ）
A. 过不在a , b 上的任何一点，可作一个平面与a , b 都平行
B. 过不在a , b 上的任何一点，可作一个直线与a , b 都相交
C. 过不在a , b 上的任何一点，可作一个直线与a , b 都平行
D. 过a 有且只有一个平面与b 平行
三、历年好题精选
1、（2016，山东胶州高三期末）设α, β, γ为不同的平面，m , n , l 为不同的直线，则m ⊥β的一个充分条件为（ ）
A. α⊥β, α β=l , m ⊥l B. α γ=m , α⊥γ, β⊥γ
C. α⊥γ, β⊥γ, m ⊥α D. n ⊥α, n ⊥β, m ⊥α
2、给出下面四个命题：
①“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”；
②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；
③“直线a ，b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a ，b 不相交”；
④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”． 其中正确命题的序号是( )
A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④
3、（2016，大连二十中期中考试）已知三个互不重合的平面α, β, γ，且α β=a , α γ=b , β γ=c ，给出下列命题（ ）
① 若a ⊥b , a ⊥c ，则b ⊥c ② 若a b =P ，则a c =P
③ 若a ⊥b , a ⊥c ，则α⊥γ ④ 若a ∥b ，则a ∥c
其中正确命题的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4、（江西中南五校联考）已知m , n 是两条不同的直线，α, β, γ是三个不同的平面，则下列．．．．
命题中正确的是（ ）
A. 若α⊥γ, α⊥β, 则γ//β B. 若m //n , m ⊂α, n ⊂β, 则α//β
C. 若m //n , m ⊥α, n ⊥β, 则α//β D. 若m //n , m //α, 则n //α
5、（2016，宁波高三期末）已知平面α与平面β交于直线l , 且直线a ⊂α, 直线b ⊂β, 则下列命题错误的是 （ ） ．．
A ．若α⊥β, a ⊥b ，且b 与l 不垂直，则a ⊥l B ．若α⊥β，b ⊥l ，则a ⊥b
C ．若a ⊥b ，b ⊥l ，且a 与l 不平行，则α⊥β D ．若a ⊥l ，b ⊥l ，则α⊥β
点线面位置关系的判定
一、基础知识
（一）直线与直线位置关系：
1、线线平行的判定
（1）平行公理：空间中平行于同一直线的两条直线平行
（2）线面平行性质：如果一条直线与平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线和该直线平行
（3）面面平行性质：
2、线线垂直的判定
（1）两条平行直线，如果其中一条与某直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直 直线与平面位置关系：
（2）线面垂直的性质：如果一条直线与平面垂直，则该直线与平面上的所有直线均垂直
（二）直线与平面的位置关系
1、线面平行判定定理：
（1）若平面外的一条直线l 与平面α上的一条直线平行，则l ∥α
（2）若两个平面平行，则一个平面上的任一直线与另一平面平行
2、线面垂直的判定：
（1）若直线l 与平面α上的两条相交直线垂直，则l ⊥α
（2）两条平行线中若其中一条与平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直
（3）如果两个平面垂直，则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直
（三）平面与平面的位置关系
1、平面与平面平行的判定：
（1）如果一个平面上的两条相交直线均与另一个平面平行，则两个平面平行
（2）平行于同一个平面的两个平面平行
2、平面与平面垂直的判定
如果一条直线与一个平面垂直，则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直
（四）利用空间向量判断线面位置关系
1、刻画直线，平面位置的向量：直线：方向向量 平面：法向量
2、向量关系与线面关系的转化：
设直线a , b 对应的法向量为a , b ，平面α, β对应的法向量为m , n （其中a , b 在α, β外）
（1）a ∥b ⇔a ∥b （2）a ⊥b ⇔a ⊥b （3）a ⊥α⇔a ∥m
（4）a ∥α⇔a ⊥m （5）α∥β⇔m ∥n （6）α⊥β⇔m ⊥n
3、有关向量关系的结论
（1）若a ∥b , b ∥c ，则a ∥c 平行+平行→平行
（2）若a ⊥b , b ∥c ，则a ⊥c 平行+垂直→垂直
（3）若a ⊥b , b ⊥c ，则a , c 的位置关系不定。
4、如何用向量判断位置关系命题真假
（1）条件中的线面关系翻译成向量关系
（2）确定由条件能否得到结论
（3）将结论翻译成线面关系，即可判断命题的真假
二、典型例题：
例1：已知α, β是两个不同的平面，m , n 是两条不同的直线，现给出下列命题：
①若m ⊂α, n ⊂α, m ∥β, n ∥β，则α∥β；②若α⊥β, m ⊂α，则m ⊥β；
③若m ⊥α, m ∥β，则α⊥β；④若m ∥n , m ⊂α，则n ∥α．
其中正确命题的个数是（ ）
A ．0 B．1 C．2 D．3
例2：已知m , n , l 是不同的直线，α, β是不同的平面，以下命题正确的是（ ）
①若m ∥n ，m ⊂α, n ⊂β，则α∥β；②若m ⊂α, n ⊂β，α∥β，l ⊥m ，则l ⊥n ； ③若m ⊥α, n ⊥β, α∥β，则m ∥n ；④若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m ⊥n ；
A ．②③ B．③④ C．②④ D．③
例3：对于直线m , n 和平面α, β，α∥β的一个充分条件为（ ）
A. m ⊂α, n ⊂β, m ∥β, n ∥α B. m ∥n , m ∥α, n ∥β
C. m ∥n , m ⊥α, n ⊥β D. m ⊥n , m ⊥α, n ⊥β
例4：给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是（ ）
A ．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
例5：已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法中正确的是（ ）
A ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n B ．若m ∥α，n ∥α则m ∥n
C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α
例6：给出下列命题，其中正确的两个命题是（ ）
① 直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行。②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③ 直线m ⊥平面α，直线n ⊥m ，则n ∥α；④a , b 是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a , b 都平行且与a , b 距离相等
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④
例7：下列命题正确的个数是（ ）
① 若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α
② 若直线l ∥α，则与平面α内的任意一条直线都平行
③ 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
④ 若直线l ∥α，则与平面α内的任意一条直线都没有公共点
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 例8：直线a , b 为两异面直线，下列结论正确的是（ ）
A. 过不在a , b 上的任何一点，可作一个平面与a , b 都平行
B. 过不在a , b 上的任何一点，可作一个直线与a , b 都相交
C. 过不在a , b 上的任何一点，可作一个直线与a , b 都平行
D. 过a 有且只有一个平面与b 平行
三、历年好题精选
1、（2016，山东胶州高三期末）设α, β, γ为不同的平面，m , n , l 为不同的直线，则m ⊥β的一个充分条件为（ ）
A. α⊥β, α β=l , m ⊥l B. α γ=m , α⊥γ, β⊥γ
C. α⊥γ, β⊥γ, m ⊥α D. n ⊥α, n ⊥β, m ⊥α
2、给出下面四个命题：
①“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”；
②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；
③“直线a ，b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a ，b 不相交”；
④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”． 其中正确命题的序号是( )
A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④
3、（2016，大连二十中期中考试）已知三个互不重合的平面α, β, γ，且α β=a , α γ=b , β γ=c ，给出下列命题（ ）
① 若a ⊥b , a ⊥c ，则b ⊥c ② 若a b =P ，则a c =P
③ 若a ⊥b , a ⊥c ，则α⊥γ ④ 若a ∥b ，则a ∥c
其中正确命题的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4、（江西中南五校联考）已知m , n 是两条不同的直线，α, β, γ是三个不同的平面，则下列．．．．
命题中正确的是（ ）
A. 若α⊥γ, α⊥β, 则γ//β B. 若m //n , m ⊂α, n ⊂β, 则α//β
C. 若m //n , m ⊥α, n ⊥β, 则α//β D. 若m //n , m //α, 则n //α
5、（2016，宁波高三期末）已知平面α与平面β交于直线l , 且直线a ⊂α, 直线b ⊂β, 则下列命题错误的是 （ ） ．．
A ．若α⊥β, a ⊥b ，且b 与l 不垂直，则a ⊥l B ．若α⊥β，b ⊥l ，则a ⊥b
C ．若a ⊥b ，b ⊥l ，且a 与l 不平行，则α⊥β D ．若a ⊥l ，b ⊥l ，则α⊥β