模块纵览
课标要求
1.知识与技能
认识和理解集合、映射、函数、幂函数、指数函数、对数函数等概念,认识和理解它们的有关性质和运算.具有一定的把函数应用于实际的能力.
2.过程与方法
通过背景的给出,通过经历、体验和实践探索过程的展现,通过数学思想方法的渗透,让学生体会过程的重要,并在过程中学习知识,同时领会一定的数学思想和方法.
3.情感、态度与价值观
教育的根本目的是育人.通过对本模块内容的教学,使学生在学习和运用知识的过程中提高对数学学习的兴趣,并在初中函数的学习基础上,对数学有更深刻的感受,提高说理、批判和质疑精神,形成锲而不舍追求真理的科学态度和习惯,树立良好的情感态度和价值观.
内容概述
本模块共三章:第一章集合与函数概念;第二章基本初等函数(Ⅰ);第三章函数的应用.
本模块为了用集合与对应的语言刻画函数概念,先在第一章给出集合的有关概念、表示、关系和运算等;然后从函数实例出发深化函数概念及其表示,并研究映射概念;进而又给出了函数的性质:单调性、最值、奇偶性,这也是对函数的深化;接下来再回到特殊的函数——几个基本初等函数,继续认识函数,本模块重点涉及了指数函数、对数函数、幂函数;最后专门给出了函数在数学和实际中的一些应用实例,使函数的价值得到体现,也是进一步巩固函数的概念,更加强了数学应用.
概括地说,本模块的核心内容是“函数”.函数是描述现实世界最重要、最常用的数学模型,是贯穿整个高中数学的纽带,是学生进一步学习的准备,是未来公民的必需,因此,整个模块以函数作为中心,以函数思想作为指导思想.
本模块无论是数还是形都用函数观点来研究,研究它们的变化及其规律.对方程的认识和研究,也是从函数出发,把它与两个函数相结合,把它的解看成两个函数图象的交点的横坐标.这里把函数作为整体来认识,方程则被看成是包含于函数的局部.
教学建议
教师,对数学应该有自己深入的想法,只有教师深入了才能有教学的浅出;教师,对于教学也应该有自己的想法,唯其有自己的想法,才能发挥自己的特长,教出具有独到想法的学生.
1.抓住核心,重点突破
由于函数是本模块的重点和核心,因此教师要重视函数的教学,向学生贯彻函数的数学思想,逐步让学生掌握学会函数,更会用函数的思想去解决数学和实际问题.函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质,教学中可引导学生联系生活常识,尝试列举具体函数,构建函数的一般定义.要注意：①构成函数的要素和相同函数的含义,②函数的三种表示法的联系、区别与适用性,③分段函数的意义,④映射的概念和判断.教学中应强调对函数概念本质的理解,在求函数定义域、值域时,要控制难度.
2.用课本教,而非教课本
《普通高中数学课程标准》是在《基础教育课程改革纲要(试行)》的指导下编写的,是数学学科教育目标的具体化,体现数学学科对学生最起码的要求,是编制高考大纲的依据,是数学教学和培养学生数学素质的主要依据,具有指导性《.普通高中数学课程标准》的目标是包含“双基”在内的三维发展目标:知识与技能,过程与方法,情感、态度与价值观.在这种教学过程中,课本仅仅是一种学习工具,是课程标准的具体化,课本内容仅仅是帮助学生实现三维发展目标
的一种载体,并不要求学生将课本内容全部掌握.由于高中数学课本版本的多样化,高考数学只能依据高中数学课程标准而不是某个版本的课本来命题.因此在处理新课标课本时,首先要考虑高中数学课程标准的培养目标和具体要求.就课本来说,版本不同,对课程标准的理解就有不同,其处理的方式也就不同,因此,在教学中,要深入钻研课程标准、课本、学生,找准三者的连接点.这样在新课程改革的形势下,课本仅仅是教学的素材,在教学过程中,以课本为依托,把课本当作指导教学的素材和蓝本,创造性地使用、改造课本,最终突破课本,即变“教课本”为“用课本教”,树立“用课本教”的课本观.同时这也要求提醒学生,不要把课本看得过于神圣.
3.把学生当成学习的主人
独立自主地思考是学习数学的需要,但是合作交流更不能少.在课堂上,教师尽量不要大包大揽,以先知先觉出现,把结论告诉学生,而是推出判断,引导学生独立思考,并在此基础上进行合作和交流,努力实现师生的互动,这是课标的要求也是时代发展的必然.
4.强调应用,突出提出、分析和解决问题的能力
数学是美的,这正是数学使人兴趣盎然、乐此不疲之处.数学的美,有两个方面:一是其中的思维之美,内在的逻辑和运用逻辑的机智,外在的形式,莫不充满着思维之美;另一方面则是它的作用,它在方方面面的应用.新课标要求强化数学应用,在应用中,应该特别重视实践能力和创造能力的培养;在教学中,要重视动手和一题多解的能力.
第一章 集合与函数概念
本章教材分析
通过本章的学习,使学生会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象,并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换,体会用集合语言表达数学内容的简洁性、准确性,帮助学生学会用集合语言描述数学对象,发展学生运用数学语言进行交流的能力.通过本章的学习,使学生不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还会用集合与对应的语言刻画函数,为后续学习奠定基础.函数是高中数学的核心概念,本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习,强调结合实际问题,使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法,从而发展学生对变量数学的认识,培养学生的抽象概括能力,增强学生应用数学的意识.
课本力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识,通过列举丰富的实例,强调从实例出发,让学生对集合和函数概念有充分的感性认知基础,再用集合与对应语言抽象出函数概念.课本突出了集合和函数概念的背景教学,这样比较符合学生的认识规律.教学中要高度重视数学概念的背景教学.课本尽量创设使学生运用集合语言和数学符号进行表达和交流的情境和机会,并注意运用Venn图表达集合的关系及运算,用图象表示函数,帮助学生借助直观图示认识抽象概念.课本在例题、习题的教学中注重运用集合和函数的观点研究、处理数学问题,这一观点,一直贯穿到以后的数学学习中.在例题和习题的编排中,渗透了分类讨论思想,让学生体会到分类讨论思想在生活中和数学中的广泛运用,这是学生在初中阶段所缺少的.函数的表示是本章的主要内容之一,课本重视采用不同的表示法(列表法、图象法、分析法),目的是丰富学生对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念.在教学中,既要充分发挥图象的直观作用,又要适当地引导学生从代数的角度研究图象,使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.课本将函数推广到了映射,体现了由特殊到一般的思维规律,有利于学生对函数概念学习的连续性. 在教学中,要坚持循序渐进,逐步渗透数形结合、分类讨论这方面的训练.对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解,而对定义域、值域的繁难计算,特别是人为的过于技巧化的训练不作提倡,要准确把握这方面的要求,防止拔高教学.重视函数与信息技术整合的要求,通过电脑绘制简单函数动态图象,使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用.为了体现课本的选择性,在练习题安排上加大了弹性,教师应根据学生实际情况,合理地取舍.
本章教学时间约需13课时,具体分配如下(仅供参考):
1.1.1
集合的含义与表示
约1课时
1.1.2
集合间的基本关系
约1课时
1.1.3
集合的基本运算
约2课时
1.2.1
函数的概念
约2课时
1.2.1
函数的表示法
约3课时
1.3.1
单调性与最大
约2课时
1.3.2
奇偶性
约1课时
本章复习
约1课时
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
整体设计
教学分析
集合论是现代数学的一个重要的基础.在高中数学中,集合的初步知识与其他内容有着密切的联系,是学习、掌握和使用数学语言的基础.课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,结合实例给出元素、集合的含义,课本注重体现逻辑思考的方法,如抽象、概括等. 值得注意的问题:由于本小节的新概念、新符号较多,建议教学时先引导学生阅读课本,然后进行交流,让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用.在信息技术条件较好的学校,可以利用网络平台让学生交流学习概念后的认识;也可以由教师给出问题,让学生读后回答问题,再由教师给出评价.这样做的目的是培养学生主动学习的习惯,提高阅读与理解、合作与交流的能力.在处理集合问题时,根据需要,及时提示学生运用集合语言进行表述.
三维目标
1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.
2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识.
重点难点
教学重点:集合的基本概念与表示方法.
教学难点:选择恰当的方法表示一些简单的集合.
课时安排
1课时
设计方案（一）
教学过程
导入新课
思路1.军训前学校通知:8月15日8点,高一年级学生到操场集合进行军训.试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高
三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合.
思路2.首先教师提出问题:在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗?引导学生回忆、举例和互相交流自己举的例子.与此同时,教师对学生的活动给予评价.接着教师指出:那么,集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.
推进新课
新知探究
提出问题
①请我们班的全体女生起立！接下来问:“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？” ②下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？
③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义.
④如果用A表示高一(3)班全体学生组成的集合,用a表示高一(3)班的一位同学,b是高一(4)班的一位同学,那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系？ ⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？
⑥世界上的高山能不能构成一个集合？
⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？
⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？
⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？
⑩由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？
讨论结果：
①能.
②能.
③我们把研究的对象统称为“元素”,那么把一些元素组成的总体叫“集合”.
④a是集合A的元素,b不是集合A的元素.学生得出元素与集合的关系有两种:属于和不属于. ⑤能,是珠穆朗玛峰.
⑥不能.
⑦确定性.给定的集合,它的元素必须是明确的,即任何一个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,这就是集合的确定性.
⑧3个.
⑨互异性.一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的,这就是集合的互异性.
⑩集合M和N相同.这说明集合中的元素具有无序性,即集合中的元素是没有顺序的.可以发现:如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的.
提出问题
阅读课本P3中:数学中一些常用的数集及其记法.快速写出常见数集的记号.
活动：先让学生阅读课本,教师指定学生展示结果.学生写出常用数集的记号后,教师强调:通常情况下,大写的英文字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,这是专用集合表示符号,类似于110、119等专用电话号码一样.以后,我们会经常用到这些常见的数集,要求熟练掌握. 讨论结果：
常见数集的专用符号.
N:非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合);
N*或N+:正整数集(非负整数集N内排除0的集合);
Z:整数集(全体整数的集合);
Q:有理数集(全体有理数的集合);
R:实数集(全体实数的集合).
提出问题
①前面所说的集合是如何表示的？
②阅读课本中的相关内容,并思考:除字母表示法和自然语言之外,还能用什么方法表示集合？
③集合共有几种表示法?
活动：①学生回顾所学的集合并作出总结.教师提示可以用字母或自然语言来表示. ②教师可以举例帮助引导:
例如,24的所有正约数构成的集合,把24的所有正约数写在大括号“{}”内,即写出为{1,2,3,4,6,8,12,24}的形式,这种表示集合的方法是列举法.注意：大括号不能缺失;有些集合所含元素个数较多,元素又呈现出一定的规律,在不至于发生误解的情况下,亦可用列举法表示,如:从1到100的所有整数组成的集合:{1,2,3,„,100},自然数集N:{0,1,2,3,4,„,n,„};区分a与{a}:{a}表示一个集合,该集合只有一个元素,a表示这个集合的一个元素;用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序;相同的元素不能出现两次.
又例如,不等式x-3>2的解集,这个集合中的元素有无数个,不适合用列举法表示.可以表示为{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2},这种表示集合的方法是描述法.
③让学生思考总结已经学习了的集合表示法.
讨论结果：
①方法一(字母表示法):大写的英文字母表示集合,例如常见的数集N、Q,所有的正方形组成的集合记为A等等;
方法二(自然语言):用文字语言来描述出的集合,例如“所有的正方形”组成的集合等等. ②列举法:把集合中的全部元素一一列举出来,并用大括号“{}”括起来表示集合,这种表示集合的方法叫做列举法;
描述法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.注:在不致混淆的情况下,也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和
元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形},也可以写成{直角三角形}.
③表示一个集合共有四种方法:字母表示法、自然语言、列举法、描述法.
应用示例
思路1
1.下列各组对象不能组成集合的是( )
A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数 D.函数y=图象上所有的点
活动：学生先思考、讨论集合元素的性质,教师指导学生此类选择题要逐项判断.判断一组对象能否构成集合,关键是看是否满足集合元素的确定性.
在选项A、C、D中的元素符合集合的确定性;而选项B中,难题没有标准,不符合集合元素的确定性,不能构成集合.
答案：B
变式训练
1.下列条件能形成集合的是( )
A.充分小的负数全体 B.爱好足球的人
C.中国的富翁 D.某公司的全体员工
答案：D
2.2007浙江宁波高三第一次“十校联考”,理1
在数集{2x,x2-x}中,实数x的取值范围是.
分析:实数x的取值满足集合元素的互异性,则2x≠x2-x,解得x≠0且x≠3,∴实数x的取值范围是{x|x3}.
答案：{x|x3}
点评：本题主要考查集合的含义和元素的性质.当所指的对象非常明确时就能构成集合,若元素不明确,没有判断的标准就不能构成集合.
2.用列举法表示下列集合:
(1)小于10的所有自然数组成的集合;
(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合;
(3)由1~20以内的所有质数组成的集合.
活动：学生先思考或讨论列举法的形式,展示解答过程.当学生出现错误时,教师及时加以纠正.利用相关的知识先明确集合中的元素,再把元素写入大括号“{}”内,并用逗号隔开.所给的集合均是用自然语言给出的.
提示学生注意以下方面:
(1)自然数中包含零;
(2)解一元二次方程有公式法和分解因式法,方程x2=x的根是x=0,x=1;
(3)除去1和本身外没有其他约数的正整数是质数,1~20以内的所有质数是2、3、5、7、11、13、17、19.
解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么
A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么
A={0,1}.
(3)设由1~20以内的所有质数组成的集合为C,那么
C={2,3,5,7,11,13,17,19}.
点评：本题主要考查集合表示法中的列举法.通过本题可以体会利用集合表示数学内容的简
洁性和严谨性,以后我们尽量用集合来表示数学内容.
如果一个集合是有限集,并且元素的个数较少时,通常选择列举法表示,其特点是非常显明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法;
列举法表示集合的步骤:(1)用字母表示集合;(2)明确集合中的元素;(3)把集合中所有元素写在大括号“{}”内,并写成A={„„}的形式.
变式训练
用列举法表示下列集合:
(1)所有绝对值等于8的数的集合A;
(2)所有绝对值小于8的整数的集合B.
答案：(1)A={-8,8};
(2)B={-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7}.
3.试分别用列举法和描述法表示下列集合:
(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合;
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
活动：先让学生回顾列举法表示集合的步骤,思考描述法的形式,再找学生到黑板上书写.当学生出现错误时,教师指导学生书写过程.用描述法表示集合时,要用数学符号表示集合元素的特征.大于10小于20的所有整数用数学符号可以表示为10
用描述法表示集合时,用一个小写英文字母表示集合中的元素,作为集合中元素的代表符号,找到集合中元素的共同特征,并把共同特征用数学符号来表达,然后写在大括号“{}”内,在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
在(1)中利用条件中现有元素代表符号x,集合中元素的共同特征就是满足方程x2-2=0.
在(2)的条件中没有元素代表符号,故要先设出,用一个小写英文字母表示即可;集合中元素的共同特征有两个:一是大于10小于20(用不等式表示),二是整数(用元素与集合的关系符号“∈”来表示).
解：(1)设方程x2-2=0的实根为x,它满足条件x2-2=0,因此,用描述法表示为
A={x∈R|x2-2=0}.
方程x2-2=0的两个实数根为,,因此,用列举法表示为
A={,}.
(2)设大于10小于20的整数为x,它满足条件x∈Z,且10
大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此,用列举法表示为
B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.
描述法表示集合的步骤:(1)用字母分别表示集合和元素;(2)用数学符号表达集合元素的共同特征;(3)在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.并写成A={„|„}的形式.描述法适合表示有无数个元素的集合.
注意：当集合中的元素个数较少时,通常用列举法表示,否则用描述法表示.
思路2
1.(1)A={1,3},判断元素3,5和集合A的关系,并用符号表示.
(2)所有素质好的人能否表示为集合?
(3)A={2,2,4}表示是否准确?
(4)A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一集合?
活动：如果学生没有解题思路,让学生思考以下知识:
(1)元素与集合的关系及其符号表示;
(2)集合元素的性质;
(3)两个集合相同的定义.
解：(1)根据元素与集合的关系有两种:属于(∈)和不属于(),知3属于集合A,即3∈A,5不属于集合A,即5A.
(2)由于素质好的人标准不可量化,不符合集合元素的确定性,故A不能表示为集合.
(3)表示不准确,不符合集合元素的互异性,应表示为A={2,4}.
(4)因其元素相同,A与B表示同一集合.
变式训练
1.数集{3,x,x2-2x}中,实数x满足什么条件?
解：集合元素的特征说明{3,x,x2-2x}中元素应满足
即也就是即满足x≠-1,0,3.
2.方程ax2+5x+c=0的解集是{,},则a=________,c=_______.
分析:方程ax2+5x+c=0的解集是{,},那么、是方程的两根,
即有得那么a=-6,c=-1.
答案：6 -1
3.集合A中的元素由关于x的方程kx2-3x+2=0的解构成,其中k∈R,若A中仅有一个元素,求k的值.
解：由于A中元素是关于x的方程kx2-3x+2=0(k∈R)的解,
若k=0,则x=,知A中有一个元素,符合题设;
若k≠0,则方程为一元二次方程,
当Δ=9-8k=0即k=时,kx2-3x+2=0有两相等的实数根,此时A中有一个元素.
综上所述k=0或k=.
4.2006山东高考,理1定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合A⊙B的所有元素之和为„( )
A.0 B.6 C.12 D.18
分析:∵x∈A,∴x=0或x=1.
当x=0,y∈B时,总有z=0;
当x=1时,
若x=1,y=2时,有z=6;当x=1,y=3时,有z=12.
综上所得,集合A⊙B的所有元素之和为0+6+12=18.
答案：D
注意：①判断元素与此集合的关系时,用列举法表示的集合,只需观察这个元素是否在集合中即可.用符号∈,表示,注意这两个符号的左边写元素,右边写集合,不能互换它们的位置,否则没有意义.
②如果有明确的标准来判断元素在集合中,那么这些元素就能构成集合,否则不能构成集合. ③用列举法表示的集合,直接观察它们的元素是否完全相同,如果完全相同,那么这两个集合就相等,否则不相等.
2.用列举法表示下列集合:
(1)小于5的正奇数组成的集合;
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;
(3)方程x2-9=0的解组成的集合;
(4){15以内的质数};
(5){x|∈Z,x∈Z}.
活动：教师指导学生思考列举法的书写格式,并讨论各个集合中的元素.明确各个集合中的元素,写在大括号内即可.
提示学生注意：
(2)中满足条件的数按从小到大排列时,从第二个数起,每个数比前一个数大3;
(4)中除去1和本身外没有其他的约数的正整数是质数;
(5)中3-x是6的约数,6的约数有±1,±2,±3,±6.
解：(1)满足题设条件小于5的正奇数有1、3,故用列举法表示为{1,3};
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数有6、9、12,故用列举法表示为{6,9,12};
(3)方程x2-9=0的解为-3、3,故用列举法表示为{-3,3};
(4)15以内的质数有2、3、5、7、11、13,故该集合用列举法表示为{2,3,5,7,11,13};
(5)满足∈Z的x有3-x=±1、±2、±3、±6,解之,得x=2、4、1、5、0、6、-3、9,故用列举法表示为{2,4,1,5,0,6,-3,9}.
变式训练
用列举法表示下列集合:
(1)x2-4的一次因式组成的集合;
(2){y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N};
(3)方程x2+6x+9=0的解集;
(4){20以内的质数};
(5){(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z};
(6){大于0小于3的整数};
(7){x∈R|x2+5x-14=0};
(8){(x,y)|x∈N且1≤x
(9){(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N}.
思路分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素,要注意不重不漏,不计次序地用“,”隔开放在大括号内.
解：(1)因x2-4=(x-2)(x+2),故符合题意的集合为{x-2,x+2};
(2)y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,即y≤4.又y∈N,∴y=0、1、2、3、4,
故{y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N}={0,1,2,3,4};
(3)由x2+6x+9=0得x1=x2=-3,∴方程x2+6x+9=0的解集为{-3};
(4){20以内的质数}={2,3,5,7,11,13,17,19};
(5)因x∈Z,y∈Z,则x=-1、0、1时,y=0、1、-1,
那么{(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z}={(-1,0),(0,1),(0,-1),(1,0)};
(6){大于0小于3的整数}={1,2};
(7)因x2+5x-14=0的解为x1=-7,x2=2,则{x∈R|x2+5x-14=0}={-7,2};
(8)当x∈N且1≤x
那么{(x,y)|x∈N且1≤x
(9){(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N}={(0,6)(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}.
点评：本题主要考查集合的列举法表示.列举法适用于元素个数有限个并且较少的集合.用列举法表示集合:先明确集合中的元素,再把元素写在大括号内并用逗号隔开,相同的元素写成一个.
3.用描述法分别表示下列集合:
(1)二次函数y=x2图象上的点组成的集合;
(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合;
(3)不等式x-7
活动：让学生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐标系中的点？如何表示数轴上的点？如何表示不等式的解？学生板书,教师在其他学生中间巡视,及时帮助思维遇到障碍的同学.必要时,教师可提示学生:
(1)集合中的元素是点,它是坐标平面内的点,集合元素代表符号用有序实数对(x,y)来表示,其特征是满足y=x2;
(2)集合中元素是点,而数轴上的点可以用其坐标表示,其坐标是一个实数,集合元素代表符号用x来表示,其特征是对应的实数绝对值大于6;
(3)集合中的元素是实数,集合元素代表符号用x来表示,把不等式化为x
解：(1)二次函数y=x2上的点(x,y)的坐标满足y=x2,则
二次函数y=x2图象上的点组成的集合表示为{(x,y)|y=x2};
(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合等于绝对值大于6的实数组成的集合,则 数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合表示为{x∈R||x|>6};
(3)不等式x-7
不等式x-7
点评：本题主要考查集合的描述法表示.描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合.
用描述法表示集合时,集合元素的代表符号不能随便设,点集的元素代表符号是(x,y),数集的元素代表符号常用x.集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述,最好用数学符号表示,必须抓住其实质.
变式训练
用描述法表示下列集合:
(1)方程2x+y=5的解集;
(2)小于10的所有非负整数的集合;
(3)方程ax+by=0(ab≠0)的解;
(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合;
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合;
(6)方程组的解的集合;
(7){1,3,5,7,…};
(8)x轴上所有点的集合;
(9)非负偶数;
(10)能被3整除的整数.
解：(1){(x,y)|2x+y=5};
(2){x|0≤x
(3){(x,y)|ax+by=0(ab≠0)};
(4){x||x|>3};
(5){(x,y)|xy
(6){(x,y)|};
(7){x|x=2k-1,k∈N*};
(8){(x,y)|x∈R,y=0};
(9){x|x=2k,k∈N};
(10){x|x=3k,k∈Z}.
知能训练
课本P5练习1、2.
【补充练习】
1.下列对象能否组成集合:
(1)数组1、3、5、7;
(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点;
(3)满足3x-2>x+3的全体实数;
(4)所有直角三角形;
(5)美国NBA的著名篮球明星;
(6)所有绝对值等于6的数;
(7)所有绝对值小于3的整数;
(8)中国男子足球队中技术很差的队员;
(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员.
答案：(1)(2)(3)(4)(6)(7)(9)能组成集合,(5)(8)不能组成集合.
2.(口答)说出下面集合中的元素:
(1){大于3小于11的偶数};
(2){平方等于1的数};
(3){15的正约数}.
答案：(1)其元素为4,6,8,10;
(2)其元素为-1,1;
(3)其元素为1,3,5,15.
3.用符号∈或填空:
(1)1______N,0______N,-3______N,0.5______N,______N;
(2)1______Z,0______Z,-3______Z,0.5______Z,______Z;
(3)1______Q,0______Q,-3______Q,0.5______Q,______Q;
(4)1______R,0______R,-3______R,0.5______R,______R.
答案：
(1)∈ ∈
(2)∈ ∈ ∈
(3)∈ ∈ ∈ ∈
(4)∈ ∈ ∈ ∈ ∈
4.判断正误:
(1)所有属于N的元素都属于N*. ( )
(2)所有属于N的元素都属于Z. ( )
(3)所有不属于N*的数都不属于Z. ( )
(4)所有不属于Q的实数都属于R. ( )
(5)不属于N的数不能使方程4x=8成立. ( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
5.分别用列举法、描述法表示方程组的解集.
解：因的解为
用描述法表示该集合为{(x,y)|};
用列举法表示该集合为{(3,-7)}.
拓展提升
问题:集合A={x|x=a+b,a∈Z,b∈Z},判断下列元素x=0、、与集合A之间的关系.
活动：学生先思考元素与集合之间有什么关系,书写过程,将元素x化为a+2b的形式,再判断a、
b是否为整数.描述法表示集合的优点是突出显示了集合元素的特征,那么判断一个元素是否属于集合时,转化为判断这个元素是否满足集合元素的特征即可.
解：由于x=a+b,a∈Z,b∈Z,
∴当a=b=0时,x=0.∴0∈A.
又=+1=1+,
当a=b=1时,a+b=1+,∴∈A.
又=+,
当a=3,b=1时,a+b=+,而3Z,
∴A.
∴0∈A,∈A,A.
点评：本题考查集合的描述法表示以及元素与集合间的关系.
课堂小结
本节学习了:(1)集合的概念;(2)集合的表示法;(3)利用列举法和描述法表示集合的步骤. 作业
课本P11习题1.1A组2、3、4.
设计感想
集合语言是现代数学的基本语言,在高中数学课程中,它也是学习、掌握和使用数学语言的基础.由于集合的概念较难理解,因此设计时采用渐进式学习,而集合的列举法和描述法的形式比较容易接受,在设计时注重让学生自己学习,重点引导学生学习这两种方法的应用.同时通过解决一系列具体问题,使学生自己体会到集合各种表示法的优缺点;针对不同问题,能选用合适集合表示法.在练习过程中熟练掌握集合语言与自然语言的转换.教师在教学过程中时时监控,对学生不可能解决的问题,如集合常见表示法的写法,常见数集及其记法应直接给出,以避免出现不必要的混乱.对学生解题过程中遇到的困难给予适当点拨.引导学生养成良好学习习惯,最大限度地挖掘学生的学习潜力是我们教师的奋斗目标.
模块纵览
课标要求
1.知识与技能
认识和理解集合、映射、函数、幂函数、指数函数、对数函数等概念,认识和理解它们的有关性质和运算.具有一定的把函数应用于实际的能力.
2.过程与方法
通过背景的给出,通过经历、体验和实践探索过程的展现,通过数学思想方法的渗透,让学生体会过程的重要,并在过程中学习知识,同时领会一定的数学思想和方法.
3.情感、态度与价值观
教育的根本目的是育人.通过对本模块内容的教学,使学生在学习和运用知识的过程中提高对数学学习的兴趣,并在初中函数的学习基础上,对数学有更深刻的感受,提高说理、批判和质疑精神,形成锲而不舍追求真理的科学态度和习惯,树立良好的情感态度和价值观.
内容概述
本模块共三章:第一章集合与函数概念;第二章基本初等函数(Ⅰ);第三章函数的应用.
本模块为了用集合与对应的语言刻画函数概念,先在第一章给出集合的有关概念、表示、关系和运算等;然后从函数实例出发深化函数概念及其表示,并研究映射概念;进而又给出了函数的性质:单调性、最值、奇偶性,这也是对函数的深化;接下来再回到特殊的函数——几个基本初等函数,继续认识函数,本模块重点涉及了指数函数、对数函数、幂函数;最后专门给出了函数在数学和实际中的一些应用实例,使函数的价值得到体现,也是进一步巩固函数的概念,更加强了数学应用.
概括地说,本模块的核心内容是“函数”.函数是描述现实世界最重要、最常用的数学模型,是贯穿整个高中数学的纽带,是学生进一步学习的准备,是未来公民的必需,因此,整个模块以函数作为中心,以函数思想作为指导思想.
本模块无论是数还是形都用函数观点来研究,研究它们的变化及其规律.对方程的认识和研究,也是从函数出发,把它与两个函数相结合,把它的解看成两个函数图象的交点的横坐标.这里把函数作为整体来认识,方程则被看成是包含于函数的局部.
教学建议
教师,对数学应该有自己深入的想法,只有教师深入了才能有教学的浅出;教师,对于教学也应该有自己的想法,唯其有自己的想法,才能发挥自己的特长,教出具有独到想法的学生.
1.抓住核心,重点突破
由于函数是本模块的重点和核心,因此教师要重视函数的教学,向学生贯彻函数的数学思想,逐步让学生掌握学会函数,更会用函数的思想去解决数学和实际问题.函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质,教学中可引导学生联系生活常识,尝试列举具体函数,构建函数的一般定义.要注意：①构成函数的要素和相同函数的含义,②函数的三种表示法的联系、区别与适用性,③分段函数的意义,④映射的概念和判断.教学中应强调对函数概念本质的理解,在求函数定义域、值域时,要控制难度.
2.用课本教,而非教课本
《普通高中数学课程标准》是在《基础教育课程改革纲要(试行)》的指导下编写的,是数学学科教育目标的具体化,体现数学学科对学生最起码的要求,是编制高考大纲的依据,是数学教学和培养学生数学素质的主要依据,具有指导性《.普通高中数学课程标准》的目标是包含“双基”在内的三维发展目标:知识与技能,过程与方法,情感、态度与价值观.在这种教学过程中,课本仅仅是一种学习工具,是课程标准的具体化,课本内容仅仅是帮助学生实现三维发展目标
的一种载体,并不要求学生将课本内容全部掌握.由于高中数学课本版本的多样化,高考数学只能依据高中数学课程标准而不是某个版本的课本来命题.因此在处理新课标课本时,首先要考虑高中数学课程标准的培养目标和具体要求.就课本来说,版本不同,对课程标准的理解就有不同,其处理的方式也就不同,因此,在教学中,要深入钻研课程标准、课本、学生,找准三者的连接点.这样在新课程改革的形势下,课本仅仅是教学的素材,在教学过程中,以课本为依托,把课本当作指导教学的素材和蓝本,创造性地使用、改造课本,最终突破课本,即变“教课本”为“用课本教”,树立“用课本教”的课本观.同时这也要求提醒学生,不要把课本看得过于神圣.
3.把学生当成学习的主人
独立自主地思考是学习数学的需要,但是合作交流更不能少.在课堂上,教师尽量不要大包大揽,以先知先觉出现,把结论告诉学生,而是推出判断,引导学生独立思考,并在此基础上进行合作和交流,努力实现师生的互动,这是课标的要求也是时代发展的必然.
4.强调应用,突出提出、分析和解决问题的能力
数学是美的,这正是数学使人兴趣盎然、乐此不疲之处.数学的美,有两个方面:一是其中的思维之美,内在的逻辑和运用逻辑的机智,外在的形式,莫不充满着思维之美;另一方面则是它的作用,它在方方面面的应用.新课标要求强化数学应用,在应用中,应该特别重视实践能力和创造能力的培养;在教学中,要重视动手和一题多解的能力.
第一章 集合与函数概念
本章教材分析
通过本章的学习,使学生会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象,并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换,体会用集合语言表达数学内容的简洁性、准确性,帮助学生学会用集合语言描述数学对象,发展学生运用数学语言进行交流的能力.通过本章的学习,使学生不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还会用集合与对应的语言刻画函数,为后续学习奠定基础.函数是高中数学的核心概念,本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习,强调结合实际问题,使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法,从而发展学生对变量数学的认识,培养学生的抽象概括能力,增强学生应用数学的意识.
课本力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识,通过列举丰富的实例,强调从实例出发,让学生对集合和函数概念有充分的感性认知基础,再用集合与对应语言抽象出函数概念.课本突出了集合和函数概念的背景教学,这样比较符合学生的认识规律.教学中要高度重视数学概念的背景教学.课本尽量创设使学生运用集合语言和数学符号进行表达和交流的情境和机会,并注意运用Venn图表达集合的关系及运算,用图象表示函数,帮助学生借助直观图示认识抽象概念.课本在例题、习题的教学中注重运用集合和函数的观点研究、处理数学问题,这一观点,一直贯穿到以后的数学学习中.在例题和习题的编排中,渗透了分类讨论思想,让学生体会到分类讨论思想在生活中和数学中的广泛运用,这是学生在初中阶段所缺少的.函数的表示是本章的主要内容之一,课本重视采用不同的表示法(列表法、图象法、分析法),目的是丰富学生对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念.在教学中,既要充分发挥图象的直观作用,又要适当地引导学生从代数的角度研究图象,使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.课本将函数推广到了映射,体现了由特殊到一般的思维规律,有利于学生对函数概念学习的连续性. 在教学中,要坚持循序渐进,逐步渗透数形结合、分类讨论这方面的训练.对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解,而对定义域、值域的繁难计算,特别是人为的过于技巧化的训练不作提倡,要准确把握这方面的要求,防止拔高教学.重视函数与信息技术整合的要求,通过电脑绘制简单函数动态图象,使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用.为了体现课本的选择性,在练习题安排上加大了弹性,教师应根据学生实际情况,合理地取舍.
本章教学时间约需13课时,具体分配如下(仅供参考):
1.1.1
集合的含义与表示
约1课时
1.1.2
集合间的基本关系
约1课时
1.1.3
集合的基本运算
约2课时
1.2.1
函数的概念
约2课时
1.2.1
函数的表示法
约3课时
1.3.1
单调性与最大
约2课时
1.3.2
奇偶性
约1课时
本章复习
约1课时
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
整体设计
教学分析
集合论是现代数学的一个重要的基础.在高中数学中,集合的初步知识与其他内容有着密切的联系,是学习、掌握和使用数学语言的基础.课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,结合实例给出元素、集合的含义,课本注重体现逻辑思考的方法,如抽象、概括等. 值得注意的问题:由于本小节的新概念、新符号较多,建议教学时先引导学生阅读课本,然后进行交流,让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用.在信息技术条件较好的学校,可以利用网络平台让学生交流学习概念后的认识;也可以由教师给出问题,让学生读后回答问题,再由教师给出评价.这样做的目的是培养学生主动学习的习惯,提高阅读与理解、合作与交流的能力.在处理集合问题时,根据需要,及时提示学生运用集合语言进行表述.
三维目标
1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.
2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识.
重点难点
教学重点:集合的基本概念与表示方法.
教学难点:选择恰当的方法表示一些简单的集合.
课时安排
1课时
设计方案（一）
教学过程
导入新课
思路1.军训前学校通知:8月15日8点,高一年级学生到操场集合进行军训.试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高
三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合.
思路2.首先教师提出问题:在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗?引导学生回忆、举例和互相交流自己举的例子.与此同时,教师对学生的活动给予评价.接着教师指出:那么,集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.
推进新课
新知探究
提出问题
①请我们班的全体女生起立！接下来问:“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？” ②下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？
③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义.
④如果用A表示高一(3)班全体学生组成的集合,用a表示高一(3)班的一位同学,b是高一(4)班的一位同学,那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系？ ⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？
⑥世界上的高山能不能构成一个集合？
⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？
⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？
⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？
⑩由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？
讨论结果：
①能.
②能.
③我们把研究的对象统称为“元素”,那么把一些元素组成的总体叫“集合”.
④a是集合A的元素,b不是集合A的元素.学生得出元素与集合的关系有两种:属于和不属于. ⑤能,是珠穆朗玛峰.
⑥不能.
⑦确定性.给定的集合,它的元素必须是明确的,即任何一个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,这就是集合的确定性.
⑧3个.
⑨互异性.一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的,这就是集合的互异性.
⑩集合M和N相同.这说明集合中的元素具有无序性,即集合中的元素是没有顺序的.可以发现:如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的.
提出问题
阅读课本P3中:数学中一些常用的数集及其记法.快速写出常见数集的记号.
活动：先让学生阅读课本,教师指定学生展示结果.学生写出常用数集的记号后,教师强调:通常情况下,大写的英文字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,这是专用集合表示符号,类似于110、119等专用电话号码一样.以后,我们会经常用到这些常见的数集,要求熟练掌握. 讨论结果：
常见数集的专用符号.
N:非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合);
N*或N+:正整数集(非负整数集N内排除0的集合);
Z:整数集(全体整数的集合);
Q:有理数集(全体有理数的集合);
R:实数集(全体实数的集合).
提出问题
①前面所说的集合是如何表示的？
②阅读课本中的相关内容,并思考:除字母表示法和自然语言之外,还能用什么方法表示集合？
③集合共有几种表示法?
活动：①学生回顾所学的集合并作出总结.教师提示可以用字母或自然语言来表示. ②教师可以举例帮助引导:
例如,24的所有正约数构成的集合,把24的所有正约数写在大括号“{}”内,即写出为{1,2,3,4,6,8,12,24}的形式,这种表示集合的方法是列举法.注意：大括号不能缺失;有些集合所含元素个数较多,元素又呈现出一定的规律,在不至于发生误解的情况下,亦可用列举法表示,如:从1到100的所有整数组成的集合:{1,2,3,„,100},自然数集N:{0,1,2,3,4,„,n,„};区分a与{a}:{a}表示一个集合,该集合只有一个元素,a表示这个集合的一个元素;用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序;相同的元素不能出现两次.
又例如,不等式x-3>2的解集,这个集合中的元素有无数个,不适合用列举法表示.可以表示为{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2},这种表示集合的方法是描述法.
③让学生思考总结已经学习了的集合表示法.
讨论结果：
①方法一(字母表示法):大写的英文字母表示集合,例如常见的数集N、Q,所有的正方形组成的集合记为A等等;
方法二(自然语言):用文字语言来描述出的集合,例如“所有的正方形”组成的集合等等. ②列举法:把集合中的全部元素一一列举出来,并用大括号“{}”括起来表示集合,这种表示集合的方法叫做列举法;
描述法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.注:在不致混淆的情况下,也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和
元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形},也可以写成{直角三角形}.
③表示一个集合共有四种方法:字母表示法、自然语言、列举法、描述法.
应用示例
思路1
1.下列各组对象不能组成集合的是( )
A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数 D.函数y=图象上所有的点
活动：学生先思考、讨论集合元素的性质,教师指导学生此类选择题要逐项判断.判断一组对象能否构成集合,关键是看是否满足集合元素的确定性.
在选项A、C、D中的元素符合集合的确定性;而选项B中,难题没有标准,不符合集合元素的确定性,不能构成集合.
答案：B
变式训练
1.下列条件能形成集合的是( )
A.充分小的负数全体 B.爱好足球的人
C.中国的富翁 D.某公司的全体员工
答案：D
2.2007浙江宁波高三第一次“十校联考”,理1
在数集{2x,x2-x}中,实数x的取值范围是.
分析:实数x的取值满足集合元素的互异性,则2x≠x2-x,解得x≠0且x≠3,∴实数x的取值范围是{x|x3}.
答案：{x|x3}
点评：本题主要考查集合的含义和元素的性质.当所指的对象非常明确时就能构成集合,若元素不明确,没有判断的标准就不能构成集合.
2.用列举法表示下列集合:
(1)小于10的所有自然数组成的集合;
(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合;
(3)由1~20以内的所有质数组成的集合.
活动：学生先思考或讨论列举法的形式,展示解答过程.当学生出现错误时,教师及时加以纠正.利用相关的知识先明确集合中的元素,再把元素写入大括号“{}”内,并用逗号隔开.所给的集合均是用自然语言给出的.
提示学生注意以下方面:
(1)自然数中包含零;
(2)解一元二次方程有公式法和分解因式法,方程x2=x的根是x=0,x=1;
(3)除去1和本身外没有其他约数的正整数是质数,1~20以内的所有质数是2、3、5、7、11、13、17、19.
解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么
A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么
A={0,1}.
(3)设由1~20以内的所有质数组成的集合为C,那么
C={2,3,5,7,11,13,17,19}.
点评：本题主要考查集合表示法中的列举法.通过本题可以体会利用集合表示数学内容的简
洁性和严谨性,以后我们尽量用集合来表示数学内容.
如果一个集合是有限集,并且元素的个数较少时,通常选择列举法表示,其特点是非常显明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法;
列举法表示集合的步骤:(1)用字母表示集合;(2)明确集合中的元素;(3)把集合中所有元素写在大括号“{}”内,并写成A={„„}的形式.
变式训练
用列举法表示下列集合:
(1)所有绝对值等于8的数的集合A;
(2)所有绝对值小于8的整数的集合B.
答案：(1)A={-8,8};
(2)B={-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7}.
3.试分别用列举法和描述法表示下列集合:
(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合;
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
活动：先让学生回顾列举法表示集合的步骤,思考描述法的形式,再找学生到黑板上书写.当学生出现错误时,教师指导学生书写过程.用描述法表示集合时,要用数学符号表示集合元素的特征.大于10小于20的所有整数用数学符号可以表示为10
用描述法表示集合时,用一个小写英文字母表示集合中的元素,作为集合中元素的代表符号,找到集合中元素的共同特征,并把共同特征用数学符号来表达,然后写在大括号“{}”内,在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
在(1)中利用条件中现有元素代表符号x,集合中元素的共同特征就是满足方程x2-2=0.
在(2)的条件中没有元素代表符号,故要先设出,用一个小写英文字母表示即可;集合中元素的共同特征有两个:一是大于10小于20(用不等式表示),二是整数(用元素与集合的关系符号“∈”来表示).
解：(1)设方程x2-2=0的实根为x,它满足条件x2-2=0,因此,用描述法表示为
A={x∈R|x2-2=0}.
方程x2-2=0的两个实数根为,,因此,用列举法表示为
A={,}.
(2)设大于10小于20的整数为x,它满足条件x∈Z,且10
大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此,用列举法表示为
B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.
描述法表示集合的步骤:(1)用字母分别表示集合和元素;(2)用数学符号表达集合元素的共同特征;(3)在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.并写成A={„|„}的形式.描述法适合表示有无数个元素的集合.
注意：当集合中的元素个数较少时,通常用列举法表示,否则用描述法表示.
思路2
1.(1)A={1,3},判断元素3,5和集合A的关系,并用符号表示.
(2)所有素质好的人能否表示为集合?
(3)A={2,2,4}表示是否准确?
(4)A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一集合?
活动：如果学生没有解题思路,让学生思考以下知识:
(1)元素与集合的关系及其符号表示;
(2)集合元素的性质;
(3)两个集合相同的定义.
解：(1)根据元素与集合的关系有两种:属于(∈)和不属于(),知3属于集合A,即3∈A,5不属于集合A,即5A.
(2)由于素质好的人标准不可量化,不符合集合元素的确定性,故A不能表示为集合.
(3)表示不准确,不符合集合元素的互异性,应表示为A={2,4}.
(4)因其元素相同,A与B表示同一集合.
变式训练
1.数集{3,x,x2-2x}中,实数x满足什么条件?
解：集合元素的特征说明{3,x,x2-2x}中元素应满足
即也就是即满足x≠-1,0,3.
2.方程ax2+5x+c=0的解集是{,},则a=________,c=_______.
分析:方程ax2+5x+c=0的解集是{,},那么、是方程的两根,
即有得那么a=-6,c=-1.
答案：6 -1
3.集合A中的元素由关于x的方程kx2-3x+2=0的解构成,其中k∈R,若A中仅有一个元素,求k的值.
解：由于A中元素是关于x的方程kx2-3x+2=0(k∈R)的解,
若k=0,则x=,知A中有一个元素,符合题设;
若k≠0,则方程为一元二次方程,
当Δ=9-8k=0即k=时,kx2-3x+2=0有两相等的实数根,此时A中有一个元素.
综上所述k=0或k=.
4.2006山东高考,理1定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合A⊙B的所有元素之和为„( )
A.0 B.6 C.12 D.18
分析:∵x∈A,∴x=0或x=1.
当x=0,y∈B时,总有z=0;
当x=1时,
若x=1,y=2时,有z=6;当x=1,y=3时,有z=12.
综上所得,集合A⊙B的所有元素之和为0+6+12=18.
答案：D
注意：①判断元素与此集合的关系时,用列举法表示的集合,只需观察这个元素是否在集合中即可.用符号∈,表示,注意这两个符号的左边写元素,右边写集合,不能互换它们的位置,否则没有意义.
②如果有明确的标准来判断元素在集合中,那么这些元素就能构成集合,否则不能构成集合. ③用列举法表示的集合,直接观察它们的元素是否完全相同,如果完全相同,那么这两个集合就相等,否则不相等.
2.用列举法表示下列集合:
(1)小于5的正奇数组成的集合;
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;
(3)方程x2-9=0的解组成的集合;
(4){15以内的质数};
(5){x|∈Z,x∈Z}.
活动：教师指导学生思考列举法的书写格式,并讨论各个集合中的元素.明确各个集合中的元素,写在大括号内即可.
提示学生注意：
(2)中满足条件的数按从小到大排列时,从第二个数起,每个数比前一个数大3;
(4)中除去1和本身外没有其他的约数的正整数是质数;
(5)中3-x是6的约数,6的约数有±1,±2,±3,±6.
解：(1)满足题设条件小于5的正奇数有1、3,故用列举法表示为{1,3};
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数有6、9、12,故用列举法表示为{6,9,12};
(3)方程x2-9=0的解为-3、3,故用列举法表示为{-3,3};
(4)15以内的质数有2、3、5、7、11、13,故该集合用列举法表示为{2,3,5,7,11,13};
(5)满足∈Z的x有3-x=±1、±2、±3、±6,解之,得x=2、4、1、5、0、6、-3、9,故用列举法表示为{2,4,1,5,0,6,-3,9}.
变式训练
用列举法表示下列集合:
(1)x2-4的一次因式组成的集合;
(2){y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N};
(3)方程x2+6x+9=0的解集;
(4){20以内的质数};
(5){(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z};
(6){大于0小于3的整数};
(7){x∈R|x2+5x-14=0};
(8){(x,y)|x∈N且1≤x
(9){(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N}.
思路分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素,要注意不重不漏,不计次序地用“,”隔开放在大括号内.
解：(1)因x2-4=(x-2)(x+2),故符合题意的集合为{x-2,x+2};
(2)y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,即y≤4.又y∈N,∴y=0、1、2、3、4,
故{y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N}={0,1,2,3,4};
(3)由x2+6x+9=0得x1=x2=-3,∴方程x2+6x+9=0的解集为{-3};
(4){20以内的质数}={2,3,5,7,11,13,17,19};
(5)因x∈Z,y∈Z,则x=-1、0、1时,y=0、1、-1,
那么{(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z}={(-1,0),(0,1),(0,-1),(1,0)};
(6){大于0小于3的整数}={1,2};
(7)因x2+5x-14=0的解为x1=-7,x2=2,则{x∈R|x2+5x-14=0}={-7,2};
(8)当x∈N且1≤x
那么{(x,y)|x∈N且1≤x
(9){(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N}={(0,6)(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}.
点评：本题主要考查集合的列举法表示.列举法适用于元素个数有限个并且较少的集合.用列举法表示集合:先明确集合中的元素,再把元素写在大括号内并用逗号隔开,相同的元素写成一个.
3.用描述法分别表示下列集合:
(1)二次函数y=x2图象上的点组成的集合;
(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合;
(3)不等式x-7
活动：让学生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐标系中的点？如何表示数轴上的点？如何表示不等式的解？学生板书,教师在其他学生中间巡视,及时帮助思维遇到障碍的同学.必要时,教师可提示学生:
(1)集合中的元素是点,它是坐标平面内的点,集合元素代表符号用有序实数对(x,y)来表示,其特征是满足y=x2;
(2)集合中元素是点,而数轴上的点可以用其坐标表示,其坐标是一个实数,集合元素代表符号用x来表示,其特征是对应的实数绝对值大于6;
(3)集合中的元素是实数,集合元素代表符号用x来表示,把不等式化为x
解：(1)二次函数y=x2上的点(x,y)的坐标满足y=x2,则
二次函数y=x2图象上的点组成的集合表示为{(x,y)|y=x2};
(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合等于绝对值大于6的实数组成的集合,则 数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合表示为{x∈R||x|>6};
(3)不等式x-7
不等式x-7
点评：本题主要考查集合的描述法表示.描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合.
用描述法表示集合时,集合元素的代表符号不能随便设,点集的元素代表符号是(x,y),数集的元素代表符号常用x.集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述,最好用数学符号表示,必须抓住其实质.
变式训练
用描述法表示下列集合:
(1)方程2x+y=5的解集;
(2)小于10的所有非负整数的集合;
(3)方程ax+by=0(ab≠0)的解;
(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合;
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合;
(6)方程组的解的集合;
(7){1,3,5,7,…};
(8)x轴上所有点的集合;
(9)非负偶数;
(10)能被3整除的整数.
解：(1){(x,y)|2x+y=5};
(2){x|0≤x
(3){(x,y)|ax+by=0(ab≠0)};
(4){x||x|>3};
(5){(x,y)|xy
(6){(x,y)|};
(7){x|x=2k-1,k∈N*};
(8){(x,y)|x∈R,y=0};
(9){x|x=2k,k∈N};
(10){x|x=3k,k∈Z}.
知能训练
课本P5练习1、2.
【补充练习】
1.下列对象能否组成集合:
(1)数组1、3、5、7;
(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点;
(3)满足3x-2>x+3的全体实数;
(4)所有直角三角形;
(5)美国NBA的著名篮球明星;
(6)所有绝对值等于6的数;
(7)所有绝对值小于3的整数;
(8)中国男子足球队中技术很差的队员;
(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员.
答案：(1)(2)(3)(4)(6)(7)(9)能组成集合,(5)(8)不能组成集合.
2.(口答)说出下面集合中的元素:
(1){大于3小于11的偶数};
(2){平方等于1的数};
(3){15的正约数}.
答案：(1)其元素为4,6,8,10;
(2)其元素为-1,1;
(3)其元素为1,3,5,15.
3.用符号∈或填空:
(1)1______N,0______N,-3______N,0.5______N,______N;
(2)1______Z,0______Z,-3______Z,0.5______Z,______Z;
(3)1______Q,0______Q,-3______Q,0.5______Q,______Q;
(4)1______R,0______R,-3______R,0.5______R,______R.
答案：
(1)∈ ∈
(2)∈ ∈ ∈
(3)∈ ∈ ∈ ∈
(4)∈ ∈ ∈ ∈ ∈
4.判断正误:
(1)所有属于N的元素都属于N*. ( )
(2)所有属于N的元素都属于Z. ( )
(3)所有不属于N*的数都不属于Z. ( )
(4)所有不属于Q的实数都属于R. ( )
(5)不属于N的数不能使方程4x=8成立. ( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
5.分别用列举法、描述法表示方程组的解集.
解：因的解为
用描述法表示该集合为{(x,y)|};
用列举法表示该集合为{(3,-7)}.
拓展提升
问题:集合A={x|x=a+b,a∈Z,b∈Z},判断下列元素x=0、、与集合A之间的关系.
活动：学生先思考元素与集合之间有什么关系,书写过程,将元素x化为a+2b的形式,再判断a、
b是否为整数.描述法表示集合的优点是突出显示了集合元素的特征,那么判断一个元素是否属于集合时,转化为判断这个元素是否满足集合元素的特征即可.
解：由于x=a+b,a∈Z,b∈Z,
∴当a=b=0时,x=0.∴0∈A.
又=+1=1+,
当a=b=1时,a+b=1+,∴∈A.
又=+,
当a=3,b=1时,a+b=+,而3Z,
∴A.
∴0∈A,∈A,A.
点评：本题考查集合的描述法表示以及元素与集合间的关系.
课堂小结
本节学习了:(1)集合的概念;(2)集合的表示法;(3)利用列举法和描述法表示集合的步骤. 作业
课本P11习题1.1A组2、3、4.
设计感想
集合语言是现代数学的基本语言,在高中数学课程中,它也是学习、掌握和使用数学语言的基础.由于集合的概念较难理解,因此设计时采用渐进式学习,而集合的列举法和描述法的形式比较容易接受,在设计时注重让学生自己学习,重点引导学生学习这两种方法的应用.同时通过解决一系列具体问题,使学生自己体会到集合各种表示法的优缺点;针对不同问题,能选用合适集合表示法.在练习过程中熟练掌握集合语言与自然语言的转换.教师在教学过程中时时监控,对学生不可能解决的问题,如集合常见表示法的写法,常见数集及其记法应直接给出,以避免出现不必要的混乱.对学生解题过程中遇到的困难给予适当点拨.引导学生养成良好学习习惯,最大限度地挖掘学生的学习潜力是我们教师的奋斗目标.