第九讲勾股定理D逆定理与证明

第九讲 勾股定理逆定理与证明

【知识要点】

1．勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a、b、c满足a2b2c2那么这个三角形是直角三角形。

2．利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：

①先找出最大边（如c）

②计算c2与a2b2，并验证是否相等。

若c2=a2b2，则△ABC是直角三角形。

若c2≠a2b2，则△ABC不是直角三角形。

3．勾股数组简介

若a、b、c均为自然数，且无1以外的整数公因式当它们满足关系式a2b2c2时，

我们称（a、b、c）为基本勾股数组。

3,4,5，5,12,13，7,24,25，8,15,17，9,40,41，11,60,61，…均为基本勾股数组。

【经典例题】

例1、判断以下各组线段为边能否组成直角三角形。

（1）9、41、40； （2）5、5、

（3）111、、； 345

（4）3、4、5 （5

（6）2n2n,2n1,2n2n1n0 22222

例2、如图所示，已知△DEF中，DE=17cm，EF=30cm，EF边上中线DG=8cm。

求证：△DEF是等腰三角形。

D

例3、如图所示，在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17。

求△ABC的面积。

例4、若a、b、c是△ABC的三边，且满足a2c2b2c2a4b4，试判定三角形的形状。

例5、如图所示，已知正方形ABCD中，E是BC边的中点，F在CD上，且DF=3CF，

求证：AE⊥EF。

C

例6、已知△ABC中，AD为BC边上的高，且AD2=BD·DC，求证：△ABC是直角三角形。

C

思考：如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D为BC上的任一点，求证：AD2BDDCAB2。

C

【随堂练习】

1．下列各组数中不能构成直角三角形的一组是（ ）．

A、5 12 13 B、7 24 25 C、8 15 17 D、4 6 9

2．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ）．

（1）a111，b，c （2）ab，A45 （3）A32,B58 345

（4）a7，b24，c25 （5）a25，b2， c3

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

3．若的边a,b,c满足aba2b2c20，则△ABC是三角形．

4．直角三角形的两直角边为6、8，则斜边上的高等于

5．直角三角形的两边长为5、12，则另一边的长为

6．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果：

（1）∠A=30°，则。 (2)∠A=45°，则。

7．三角形的三边长分别是15，36，39，这个三角形是 三角形。

8．如果三角形中有一条边是另一条边的2倍,并且有一个角是30°那么这个三角形是( ) 

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不确定

9．如图所示，在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17。

求△ABC的面积。

A

C

10．已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，你能计算出这个三角形的面积吗？

11．如图，四边形ABCD，已知∠A=900，AB=3，BC=12，CD=13，DA=4。求四边形的面积。

C B

A

12．已知：ABC中，ACB90，且AC23BC2，CM是中线，CH是高．

求证：BCHHCMMCA．

13．已知：ABC中，B90，点D、E分别在BC、AB上．求证：AD2CE2AC2DE2

勾股逆定理作业

一．选择题

1．直角三角形一直角边长为12，另两边长均为自然数，则其周长为（ ）

A．36； B. 28; C. 56; D. 不能确定.

2．直角三角形两直角边长分别为3和4,则它斜边上的高是( )

A. 3.5; B. 2.4; C.1.2; D. 5.

3．下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m2 + n2, m2 – n2, 2mn(m,n均为正整数,mn);

④a2,a21,a22.其中能组成直角三角形的三边长的是( )

A.①②; B.①③; C.②③; D.③④

4．三角形的三边长为(ab)2c22ab,则这个三角形是( )

A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.

5. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( )

A.13; B.8; C.25; D.64.

6.小刚准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则河水的深度为( )

A. 2m; B. 2.5m; C. 2.25m; D. 3m.

二．填空题 1. 如图,AC⊥CE,AD=BE=13,BC=5,DE=7,则AC= .

2. 已知x6y8(z10)20 ,则由此x,y,z为三边的

三角形是 三角形.

3．要登上8m高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物6m，

至少需要 长的梯子。

4. 一直角三角形三边长分别为5,12,13,斜边延长x,较长的直角边

延长x+2,所得的仍是直角三角形,则x= .

三、证明题

1．如图ABC中，BAC90,ABAC,P为BC上任意一点，求证：BP2CP22AP2．

B C

第九讲 勾股定理逆定理与证明

【知识要点】

1．勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a、b、c满足a2b2c2那么这个三角形是直角三角形。

2．利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：

①先找出最大边（如c）

②计算c2与a2b2，并验证是否相等。

若c2=a2b2，则△ABC是直角三角形。

若c2≠a2b2，则△ABC不是直角三角形。

3．勾股数组简介

若a、b、c均为自然数，且无1以外的整数公因式当它们满足关系式a2b2c2时，

我们称（a、b、c）为基本勾股数组。

3,4,5，5,12,13，7,24,25，8,15,17，9,40,41，11,60,61，…均为基本勾股数组。

【经典例题】

例1、判断以下各组线段为边能否组成直角三角形。

（1）9、41、40； （2）5、5、

（3）111、、； 345

（4）3、4、5 （5

（6）2n2n,2n1,2n2n1n0 22222

例2、如图所示，已知△DEF中，DE=17cm，EF=30cm，EF边上中线DG=8cm。

求证：△DEF是等腰三角形。

D

例3、如图所示，在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17。

求△ABC的面积。

例4、若a、b、c是△ABC的三边，且满足a2c2b2c2a4b4，试判定三角形的形状。

例5、如图所示，已知正方形ABCD中，E是BC边的中点，F在CD上，且DF=3CF，

求证：AE⊥EF。

C

例6、已知△ABC中，AD为BC边上的高，且AD2=BD·DC，求证：△ABC是直角三角形。

C

思考：如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D为BC上的任一点，求证：AD2BDDCAB2。

C

【随堂练习】

1．下列各组数中不能构成直角三角形的一组是（ ）．

A、5 12 13 B、7 24 25 C、8 15 17 D、4 6 9

2．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ）．

（1）a111，b，c （2）ab，A45 （3）A32,B58 345

（4）a7，b24，c25 （5）a25，b2， c3

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

3．若的边a,b,c满足aba2b2c20，则△ABC是三角形．

4．直角三角形的两直角边为6、8，则斜边上的高等于

5．直角三角形的两边长为5、12，则另一边的长为

6．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果：

（1）∠A=30°，则。 (2)∠A=45°，则。

7．三角形的三边长分别是15，36，39，这个三角形是 三角形。

8．如果三角形中有一条边是另一条边的2倍,并且有一个角是30°那么这个三角形是( ) 

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不确定

9．如图所示，在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17。

求△ABC的面积。

A

C

10．已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，你能计算出这个三角形的面积吗？

11．如图，四边形ABCD，已知∠A=900，AB=3，BC=12，CD=13，DA=4。求四边形的面积。

C B

A

12．已知：ABC中，ACB90，且AC23BC2，CM是中线，CH是高．

求证：BCHHCMMCA．

13．已知：ABC中，B90，点D、E分别在BC、AB上．求证：AD2CE2AC2DE2

勾股逆定理作业

一．选择题

1．直角三角形一直角边长为12，另两边长均为自然数，则其周长为（ ）

A．36； B. 28; C. 56; D. 不能确定.

2．直角三角形两直角边长分别为3和4,则它斜边上的高是( )

A. 3.5; B. 2.4; C.1.2; D. 5.

3．下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m2 + n2, m2 – n2, 2mn(m,n均为正整数,mn);

④a2,a21,a22.其中能组成直角三角形的三边长的是( )

A.①②; B.①③; C.②③; D.③④

4．三角形的三边长为(ab)2c22ab,则这个三角形是( )

A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.

5. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( )

A.13; B.8; C.25; D.64.

6.小刚准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则河水的深度为( )

A. 2m; B. 2.5m; C. 2.25m; D. 3m.

二．填空题 1. 如图,AC⊥CE,AD=BE=13,BC=5,DE=7,则AC= .

2. 已知x6y8(z10)20 ,则由此x,y,z为三边的

三角形是 三角形.

3．要登上8m高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物6m，

至少需要 长的梯子。

4. 一直角三角形三边长分别为5,12,13,斜边延长x,较长的直角边

延长x+2,所得的仍是直角三角形,则x= .

三、证明题

1．如图ABC中，BAC90,ABAC,P为BC上任意一点，求证：BP2CP22AP2．

B C