1.2. 集合之间的关系
一. 课标解读
1. 《普通高中数学课程》课程中明确指出“理解集合之间包含与相等的含义, 能识别给定集合的子集; 在具体情境中, 了解全集与空集的含义. ”
2. 重点:子集的概念
3. 难点:元素与子集. 属于与包含之间的区别.
二. 要点扫描
1. 子集的定义
如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素, 则集合A 是集合B 的子集. 也说集合A 包含于集合B , 或集合B 包含集合A , 记作A ⊆B 或B ⊇A (注意:任何一个集合是它本身的子集)
2. 空集的定义
空集是任意一集合的子集, 也就是说, 对任意集合A , 都有∅⊆A .
3. 两集合相等
如果A ⊆B , B ⊆A , 则A 等于B , 记作A =B ; 反之, 如果A =B , 则A ⊆B , B ⊆A .
4. 真子集的定义
如果A ⊆B , 且B 中至少有一个元素不属于A , 那么集合A 是集合B 的真子集, 记作
A
条件还可概括为:如果A ⊆B , 且A ≠B , 则
A B .(注意:空集是任何非空集合的真子集.)
5. 有限集合的子集个数 B . 以上
n 个元素的集合有2n 个子集; 有2n -1个非空子集; 有2n -1个真子集; 有2n -2个非空真子集.
6. 维恩图
这种图在数学上也称为文(Tohn Venn,1834年~1923年英国逻辑学家) 氏图. 它仅仅起着说明各集合之间关系的示意图的作用(就像交通示意图只说明各车站之间的位置关系那样), 因此, 边界用直线还是曲线, 乃实线还虚线都无关紧要, 只要封闭并把有关元素或子集统统包在里边就行. 决不能理解成圈内的每一点都是这个集合的元素(事实上, 这个集合可能与点毫无关系); 至于边界上的点是否属于这个集合, 也都不必考虑.
三. 知识精讲
知识点1区分∅, {∅},{0}
{∅}表示以空集, ∅为元素的单元素集合, 当把∅视为集合时, ∅⊆{∅}成立;
当把∅视为元素时, ∅∈{∅}也成立. 0表示元素, {0}表示以0为元素的单元素集合, 不能混淆它们的含意.
知识点2区分∈与⊆
∈表示元素与集合之间的关系, 如:1∈N , -1∉N ;
⊆表示集合与集合之间的关系, 如N ⊆R , ∅⊆R 等.
四. 典题解悟
----------------------------------------------------基础在线----------------------------------------------------
[题型一]子集与真子集
如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素, 则集合A 是集合B 的子集. 如果A ⊆B , 且B 中至少有一个元素不属于A , 那么集合A 是集合B 的真子集.
例1. 满足
∅A ⊆{a , b , c , d }的集合A 是什么?
解析:由
∅A 可知, 集合A 必为非空集合; 又由A ⊆{a , b , c , d }可知, 此题即为求集合{a , b , c , d }
A 有的所有非空子集。满足条件的集合
{a },{b },{c },{d },{a , b },{a , c },{a , d },{b , c },{b , d },{c , d },{a , b , c },{a , b , d },{a , c , d }, {b , c , d }, {a , b , c , d }共十五个非空子集。
4此题可以利用有限集合的非空子集的个数的公式2-1进行检验，2-1=15，正确。 n
答案:15
例2. 已知A ={0, 1},B ={x |x ⊆A }C ={x |x ∈A , x ∈N }*，试确定A ，B ，C 之间的关系。
解析:由题意可得:A={0，1} , B={∅，{0}，{1}，{0，1}} , C={1}
答案:A ，B ，C 之间的关系是A ⊆B , C ⊆B
[题型二] 区分∅, {∅},{0}
∅是空集，是不含任何元素的集合；{0}不是空集，它是以一个0为元素的单元素集合，而非不含任何元素，所以∅≠{0}；{∅}也不是空集，而是单元素集合，只有一个元素∅，可见∅≠{∅}，∅∈{∅}，这也体现了“是集合还是元素，并不是绝对的”。
例3. 判断正误
(1)
∅{0} (2) ∅=0 (3) 0∈{∅}
(4) 0∉∅ (5) ∅⊆{∅} (6) ∅∈{∅}
解析: {∅}表示以∅为元素的单元素集合, 当把∅视为集合时, ∅⊆{∅}成立;
当把∅视为元素时, ∅∈{∅}也成立. 0表示元素, {0}表示以0为元素的单元素集合, 不能混淆它们的含意.
答案: (1) ;(2)⨯;(3) ⨯
;(4)
;(5) ;(6).
[题型三] 集合的相等
例4. A ={x , y },B ={1, xy }，若A =B ，求x , y 。
解析:A =B ，即A . B 两集合的元素相同，有两种可能：
⎧x =1⎧x =1解得⎨ ； ⎨y ∈R y =xy ⎩⎩
∴x =1或y =1。 ⎧x =xy ⎧x ∈R 解得⎨ ⎨y =1y =1⎩⎩
答案: x =1或y =1。
例5. 含有三个实数的集合可表示为集合{a , b , 1}也可表示为集合{a 2, a +b , 0}, 求a 2004+b 2004. a
解析:从集合相等及集合元素的特征入手. 由集合元素的确定性及集合相等, 得
b b b {a , , 1}={a 2, a +b , 0}-----①, 从而有0∈{a , , 1}, 因为a ≠0, 所以=0, b =0代入①, 得a a a
{a , 0, 1}={a 2, a , 0}-----②, 由②易知a 2=1, a =±1. 当a =1时, 与集合的互异性不符, 从而a =-1, b =0, 故a 2004+b 2004=1.
答案: a 2004+b 2004=1
-----------------------------------------------------拓展一步-----------------------------------------------------
1. 有关子集综合问题的解法
⑴在解子集的综合问题时，首先要注意集合自身的转化，能够用列举法表述的，尽可能用列举法，这样时的集合中的元素清晰明确，使问题简单化。其次，解决这类问题常用到分类讨论的方法。如A ⊆B 即可分两类讨论：⑴
A B ⑵A =B ，而对于⑴
A B 又可分两类讨论：⑴A ≠∅⑵A =∅，从而使问题得到解决。需注意A =∅这种情况易被遗漏。注意培养慎密的思维品质
⑵解决子集问题的又一常用方法是数形结合。首先还是集合的自身转换，根据题意，用最适合的方法来描述集合，进行转换，然后利用数轴来体现子集的含义，即集合间的包含关系，再由图示找出相应的关系式，从而使问题得到解决。
例6. 已知集合A ={x |x 2+4x =0}，B ={x |x 2+ax +a =0}，若B ⊆A ，求实数a 满足的条件。
解析:由于集合A 可用列举法表示为{0, -4}，所以B 可能等于A ，即B ={0, -4}；B 也可能是A 的真子集，即B =∅，或B ={0}，或B ={-4}，从而求出实数a 满足的条件。
2∵A ={x |x +4x =0}={0, -4}，且B ⊆A ，可得
2⑴当B =A 时，B ={0, -4}，由此可知，0, -4是方程x +ax +a =0的两根，
⎧-a =0-4由韦达定理⎨无解； a =0⨯(-4) ⎩
⑵当
B A 时
2①B ≠∅, 即B ={0}, B ={-4}, ∆=a -4a =0，解得a =0, 4，
此时B ={0},B ={-2}，B ={0}符合题意，即a =0符合题意；
2②B =∅，∆=a -4a 综合⑴⑵知：a 满足的条件是0≤a
答案: 0≤a
例7. 已知集合A ={x |-2
解析:此题要分B ≠∅和B =∅两种情况讨论。
⑴B ≠∅， 即-m +1≤2m -1，依题意，有B ⊆A ，在数轴上作出包含关系图形，如图：
⎧-m +1≤2m -12⎪有⎨-m +1>-2解得≤m
⑵B =∅, 即-m +1>2m -1，解得m
综合以上两种情况，可知实数m 的取值范围是m
答案: m
-----------------------------------------------错解点击-----------------------------------------------
例8. ⑴已知集合A ={a , b },B ={x |x ⊆A },用列举法写出B ；
⑵已知集合A ={a , b },B ={x |x ∈A },用列举法写出B 。
错解: ⑴B =∅, {a },{b },{a , b }
⑵B =a , b
正解: ⑴B ={∅, {a },{b },{a , b }}
⑵B ={a , b }=A
分析:认识一个集合并非十分容易, 集合本身也可以做另外集合的元素.
⑴由已知条件注意到B 中的元素x 的属性是x ⊆A ，即x 是A 的子集, x 可以是
∅, {a },{b }{a , b }, ∴B ={∅, {a },{b },{a , b }}
⑵由已知条件注意到B 中的元素x 的属性是x ∈A , 即x 是A 的元素, x 可以是a , b ,
∴B ={a , b }=A
五. 课本习题解析
习题1-1A(课本第118页)
1.
2.
六. 同步自测
-----------------------------------------------双基训练-----------------------------------------------
1. 集合{a , b , c }的子集有个
(A) 5 (B)6 (C) 7 (D) 8
2. 集合A =x x =2k , k ∈Z ，B =x x =4k +2, k ∈Z ，则有（ ）
(A)A =B (B) A ⊆B (C)B ⊆A (D) 以上都不是
3. 满足关系式{1, 2}⊆A ⊆{1, 2, 3, 4, 5}的集合A 的个数为（ ）
(A) 4 (B)6 (C) 7 (D) 8
4. 若集合M={x|x≤7}，a=6，则下列关系正确的是（ ）
(A)．{a}⊆M (B)．{a}M (C)．a ∉M (D)．a M
5. 下面六个关系式 {}{}
①
∅{a } ②
a {a }③{a }⊆{a } ④{a }∈{a , b }⑤a ∈{a , b , c }⑥∅∈{a }
其中正确的是
(A)．①②③④ （ ） (D)．①③⑤ (B)．③⑤⑥ (C)．①④⑤
6. 已知集合M ={(x , y ) |x +y 0}和P ={(x , y ) |x
A.
P M B.
M P C. M =P D.
M P
7. 设集合M ={m ∈R |m ≤},a =
A. {
a }2+, 则（ ） M B. a ∉M C. a ∈M D. {a }=M
8. 数集{0}与∅的关系是（ ）
A. {
0} ∅ B. {0}⊆∅ C. {0}∈∅ D. {0}=∅
A ={(x , y ) |y =x }
9. 设集合B ={(x , y ) |则集合A , B 之间的关系是（ ） y =1}x
A . A ⊆B B . A ⊇B C . A =B D . 以上都不对
10. 若A ⊆B , A ⊆C , B ={0, 1, 2, 3},C ={0, 2, 4, 8}则满足上述条件的集合有 个；
11. 设A ={0, 1}，B ={x
|∅x ⊆A }，则B =；
12. 集合M=｛1，2，(1，2) ｝有______个子集，它们是
13. 同时满足(1)M⊆{1，2，3，4，5}(2)若a ∈M ，则6―a ∈M 的非空集合M 有多少？写出这些集合来。
14. 已知A ={x |x =2n , n ∈Z },B ={x |x =4n +2, n ∈Z }求证：
B
2A 。 15. 已知A ={x , x , xy },B ={1, x , y },A =B , 求实数x , y 的值。
-----------------------------------------------------综合提高-----------------------------------------------------
16. 已知
是 ；
17. 数集X=｛x|x=12m+8n，m ，n ∈Z ｝与数集Y=｛x|x=20p+16q，p ，q ∈Z ｝之间的关系是 ；
18. 集合P=｛x ,1｝, Q=｛y ,1,2｝, 其中x , y ∈｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝, 且P 是Q 的真子集, 把满足上述条件的一对有序整数(x , y) 作为一个点, 这样的点的个数是 个；
19. 已知三个元素的集合
为 ．
22220. 已知A ={x ∈R |x -2x -8=0},B ={x ∈R |x +ax +a -12=0}，B ⊆A , B ≠∅，，
．若
A B ，则实数 的取值范围，
, 如果
，那么
的值
求实数a 的取值集合。
21. 已知集合M ={a , a +d , a +2d },N ={a , aq , aq }，a ≠0, M =N ，求q 的值。 2
七. 相关链接
康托尔的不朽功绩
前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”. 因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来.
数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱. 因为这一原因，在数学发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概念. 但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路. 他把无穷集这一词汇引入数学，从而进入了一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界. 对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子. 下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么.
“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N 来表示. ”学过集合那一章后，同学们应该对这句话不会感到陌生. 但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作. 在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释. 无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在. 这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限. 十八世纪数学王子高斯就持这种观点. 用他的话说，就是“„„我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的. 所谓无穷，只是一种说话的方式„„”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想. 由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的. 然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷. 他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理论. 这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界.
最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究. 他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数. 他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势. 由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应――例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系――也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数. 这与传统观念“全体大于部分”相矛盾. 而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征. 在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集. 又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集. 后来
注当他又证明了代数数一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集. 但出
乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集. 这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成. ”而当他得出这一结论时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已. 这是何等令人震惊的结果！然而，事情并未终结. 魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物. 从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次. 他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次. 他取得了成功，并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”. 他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系
它可以无限延长下去. 就这样他创造了一种新的超限数理论，描绘出一幅无限王国的完整图景. 可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了. 毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这些理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣. 他们大叫大喊地反对他的理论. 有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”. 作为对传统观念的一次大革新，由于他开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题，他的理论受到激烈地批驳是正常的. 当回头看这段历史时，或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧.
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05考纲
考题展示
考点①了解映射的概念, 理解函数的概念
1.(2004年, 湖北)
解
答案
2.(2004年, 湖北)
解法一
解法二
答案
考点②
参考答案
-----------------------------------------------------1.2.1集合之间的关系-------------------------------------
1.D 2.C 3.D 4.A 5.D 6.C 7.A 8.A 9.B
10. 四 11. {{0}，{1}}
12. 八个;
∅，{1}，{2}，{1，{1，2}}， {2，{1，2}}，{1，2}，{1，2，{1，2}}，{{1，2}}
13. 七个 ;
{1，5}，{2，4}，{3}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}
14. 根据真子集的定义证明。
15. 若x =1，则x =1或者-1，
若x =1，则A={1，1，y},不成立，舍去x =1；
若x =-1，则A={-1，1，-y}，B={1，-1，y }，y =-y ，所以y =0；
若xy =1，x 2=y ，则y =
前已证，应舍去。
综上所述，x =-1，y =0。
16. a ≤-5或a >5
17. ∀x ∈X , x =12m +8n =20(3m +2n ) +16(-3m -2n ) ∈Y 211，x 2=，即x =1， x x
∀x ∈Y , x =20p +16q =12(5p +4q ) +8(-5p -4q ) ∈X
所以X=Y
18. x, y的值有以下几种可能的组合:
①x=2,y=3,4,5,6,7,8,9;②x=3,y=3;③x=4,y=4; ④x=5,y=5; ⑤x=6,y=6; ⑥x=7,y=7; ⑦x=8,y=8;⑧x=9,y=9;
所以答案为14
19. 由题意可得a ≠0, b ≠0, 则ab ≠0,
所以a -b =0, 即a =b , 又因为|a |≠b
所以a ≠|a |,a
则ab =|a |=-a , 得到b =-1, 从而a =-1
a +b =-2
所以答案为-2
20. 先将集合A 用列举法表示, 再根据条件B ⊆A , B ≠∅, 分情况讨论B 中元素的情况, 求a 的值. A={-4，2}，关于B ，分三种情况讨论：
（1） B={-4}
（2） B={2}
（3） B={-4，2}，
所以a 的取值的集合是{-4，2}。
21. 有两种可能:
2①a +d =aq , a +2d =aq
2或者②a +d =aq , a +2d =aq
注意
所以答案为．
1.2. 集合之间的关系
一. 课标解读
1. 《普通高中数学课程》课程中明确指出“理解集合之间包含与相等的含义, 能识别给定集合的子集; 在具体情境中, 了解全集与空集的含义. ”
2. 重点:子集的概念
3. 难点:元素与子集. 属于与包含之间的区别.
二. 要点扫描
1. 子集的定义
如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素, 则集合A 是集合B 的子集. 也说集合A 包含于集合B , 或集合B 包含集合A , 记作A ⊆B 或B ⊇A (注意:任何一个集合是它本身的子集)
2. 空集的定义
空集是任意一集合的子集, 也就是说, 对任意集合A , 都有∅⊆A .
3. 两集合相等
如果A ⊆B , B ⊆A , 则A 等于B , 记作A =B ; 反之, 如果A =B , 则A ⊆B , B ⊆A .
4. 真子集的定义
如果A ⊆B , 且B 中至少有一个元素不属于A , 那么集合A 是集合B 的真子集, 记作
A
条件还可概括为:如果A ⊆B , 且A ≠B , 则
A B .(注意:空集是任何非空集合的真子集.)
5. 有限集合的子集个数 B . 以上
n 个元素的集合有2n 个子集; 有2n -1个非空子集; 有2n -1个真子集; 有2n -2个非空真子集.
6. 维恩图
这种图在数学上也称为文(Tohn Venn,1834年~1923年英国逻辑学家) 氏图. 它仅仅起着说明各集合之间关系的示意图的作用(就像交通示意图只说明各车站之间的位置关系那样), 因此, 边界用直线还是曲线, 乃实线还虚线都无关紧要, 只要封闭并把有关元素或子集统统包在里边就行. 决不能理解成圈内的每一点都是这个集合的元素(事实上, 这个集合可能与点毫无关系); 至于边界上的点是否属于这个集合, 也都不必考虑.
三. 知识精讲
知识点1区分∅, {∅},{0}
{∅}表示以空集, ∅为元素的单元素集合, 当把∅视为集合时, ∅⊆{∅}成立;
当把∅视为元素时, ∅∈{∅}也成立. 0表示元素, {0}表示以0为元素的单元素集合, 不能混淆它们的含意.
知识点2区分∈与⊆
∈表示元素与集合之间的关系, 如:1∈N , -1∉N ;
⊆表示集合与集合之间的关系, 如N ⊆R , ∅⊆R 等.
四. 典题解悟
----------------------------------------------------基础在线----------------------------------------------------
[题型一]子集与真子集
如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素, 则集合A 是集合B 的子集. 如果A ⊆B , 且B 中至少有一个元素不属于A , 那么集合A 是集合B 的真子集.
例1. 满足
∅A ⊆{a , b , c , d }的集合A 是什么?
解析:由
∅A 可知, 集合A 必为非空集合; 又由A ⊆{a , b , c , d }可知, 此题即为求集合{a , b , c , d }
A 有的所有非空子集。满足条件的集合
{a },{b },{c },{d },{a , b },{a , c },{a , d },{b , c },{b , d },{c , d },{a , b , c },{a , b , d },{a , c , d }, {b , c , d }, {a , b , c , d }共十五个非空子集。
4此题可以利用有限集合的非空子集的个数的公式2-1进行检验，2-1=15，正确。 n
答案:15
例2. 已知A ={0, 1},B ={x |x ⊆A }C ={x |x ∈A , x ∈N }*，试确定A ，B ，C 之间的关系。
解析:由题意可得:A={0，1} , B={∅，{0}，{1}，{0，1}} , C={1}
答案:A ，B ，C 之间的关系是A ⊆B , C ⊆B
[题型二] 区分∅, {∅},{0}
∅是空集，是不含任何元素的集合；{0}不是空集，它是以一个0为元素的单元素集合，而非不含任何元素，所以∅≠{0}；{∅}也不是空集，而是单元素集合，只有一个元素∅，可见∅≠{∅}，∅∈{∅}，这也体现了“是集合还是元素，并不是绝对的”。
例3. 判断正误
(1)
∅{0} (2) ∅=0 (3) 0∈{∅}
(4) 0∉∅ (5) ∅⊆{∅} (6) ∅∈{∅}
解析: {∅}表示以∅为元素的单元素集合, 当把∅视为集合时, ∅⊆{∅}成立;
当把∅视为元素时, ∅∈{∅}也成立. 0表示元素, {0}表示以0为元素的单元素集合, 不能混淆它们的含意.
答案: (1) ;(2)⨯;(3) ⨯
;(4)
;(5) ;(6).
[题型三] 集合的相等
例4. A ={x , y },B ={1, xy }，若A =B ，求x , y 。
解析:A =B ，即A . B 两集合的元素相同，有两种可能：
⎧x =1⎧x =1解得⎨ ； ⎨y ∈R y =xy ⎩⎩
∴x =1或y =1。 ⎧x =xy ⎧x ∈R 解得⎨ ⎨y =1y =1⎩⎩
答案: x =1或y =1。
例5. 含有三个实数的集合可表示为集合{a , b , 1}也可表示为集合{a 2, a +b , 0}, 求a 2004+b 2004. a
解析:从集合相等及集合元素的特征入手. 由集合元素的确定性及集合相等, 得
b b b {a , , 1}={a 2, a +b , 0}-----①, 从而有0∈{a , , 1}, 因为a ≠0, 所以=0, b =0代入①, 得a a a
{a , 0, 1}={a 2, a , 0}-----②, 由②易知a 2=1, a =±1. 当a =1时, 与集合的互异性不符, 从而a =-1, b =0, 故a 2004+b 2004=1.
答案: a 2004+b 2004=1
-----------------------------------------------------拓展一步-----------------------------------------------------
1. 有关子集综合问题的解法
⑴在解子集的综合问题时，首先要注意集合自身的转化，能够用列举法表述的，尽可能用列举法，这样时的集合中的元素清晰明确，使问题简单化。其次，解决这类问题常用到分类讨论的方法。如A ⊆B 即可分两类讨论：⑴
A B ⑵A =B ，而对于⑴
A B 又可分两类讨论：⑴A ≠∅⑵A =∅，从而使问题得到解决。需注意A =∅这种情况易被遗漏。注意培养慎密的思维品质
⑵解决子集问题的又一常用方法是数形结合。首先还是集合的自身转换，根据题意，用最适合的方法来描述集合，进行转换，然后利用数轴来体现子集的含义，即集合间的包含关系，再由图示找出相应的关系式，从而使问题得到解决。
例6. 已知集合A ={x |x 2+4x =0}，B ={x |x 2+ax +a =0}，若B ⊆A ，求实数a 满足的条件。
解析:由于集合A 可用列举法表示为{0, -4}，所以B 可能等于A ，即B ={0, -4}；B 也可能是A 的真子集，即B =∅，或B ={0}，或B ={-4}，从而求出实数a 满足的条件。
2∵A ={x |x +4x =0}={0, -4}，且B ⊆A ，可得
2⑴当B =A 时，B ={0, -4}，由此可知，0, -4是方程x +ax +a =0的两根，
⎧-a =0-4由韦达定理⎨无解； a =0⨯(-4) ⎩
⑵当
B A 时
2①B ≠∅, 即B ={0}, B ={-4}, ∆=a -4a =0，解得a =0, 4，
此时B ={0},B ={-2}，B ={0}符合题意，即a =0符合题意；
2②B =∅，∆=a -4a 综合⑴⑵知：a 满足的条件是0≤a
答案: 0≤a
例7. 已知集合A ={x |-2
解析:此题要分B ≠∅和B =∅两种情况讨论。
⑴B ≠∅， 即-m +1≤2m -1，依题意，有B ⊆A ，在数轴上作出包含关系图形，如图：
⎧-m +1≤2m -12⎪有⎨-m +1>-2解得≤m
⑵B =∅, 即-m +1>2m -1，解得m
综合以上两种情况，可知实数m 的取值范围是m
答案: m
-----------------------------------------------错解点击-----------------------------------------------
例8. ⑴已知集合A ={a , b },B ={x |x ⊆A },用列举法写出B ；
⑵已知集合A ={a , b },B ={x |x ∈A },用列举法写出B 。
错解: ⑴B =∅, {a },{b },{a , b }
⑵B =a , b
正解: ⑴B ={∅, {a },{b },{a , b }}
⑵B ={a , b }=A
分析:认识一个集合并非十分容易, 集合本身也可以做另外集合的元素.
⑴由已知条件注意到B 中的元素x 的属性是x ⊆A ，即x 是A 的子集, x 可以是
∅, {a },{b }{a , b }, ∴B ={∅, {a },{b },{a , b }}
⑵由已知条件注意到B 中的元素x 的属性是x ∈A , 即x 是A 的元素, x 可以是a , b ,
∴B ={a , b }=A
五. 课本习题解析
习题1-1A(课本第118页)
1.
2.
六. 同步自测
-----------------------------------------------双基训练-----------------------------------------------
1. 集合{a , b , c }的子集有个
(A) 5 (B)6 (C) 7 (D) 8
2. 集合A =x x =2k , k ∈Z ，B =x x =4k +2, k ∈Z ，则有（ ）
(A)A =B (B) A ⊆B (C)B ⊆A (D) 以上都不是
3. 满足关系式{1, 2}⊆A ⊆{1, 2, 3, 4, 5}的集合A 的个数为（ ）
(A) 4 (B)6 (C) 7 (D) 8
4. 若集合M={x|x≤7}，a=6，则下列关系正确的是（ ）
(A)．{a}⊆M (B)．{a}M (C)．a ∉M (D)．a M
5. 下面六个关系式 {}{}
①
∅{a } ②
a {a }③{a }⊆{a } ④{a }∈{a , b }⑤a ∈{a , b , c }⑥∅∈{a }
其中正确的是
(A)．①②③④ （ ） (D)．①③⑤ (B)．③⑤⑥ (C)．①④⑤
6. 已知集合M ={(x , y ) |x +y 0}和P ={(x , y ) |x
A.
P M B.
M P C. M =P D.
M P
7. 设集合M ={m ∈R |m ≤},a =
A. {
a }2+, 则（ ） M B. a ∉M C. a ∈M D. {a }=M
8. 数集{0}与∅的关系是（ ）
A. {
0} ∅ B. {0}⊆∅ C. {0}∈∅ D. {0}=∅
A ={(x , y ) |y =x }
9. 设集合B ={(x , y ) |则集合A , B 之间的关系是（ ） y =1}x
A . A ⊆B B . A ⊇B C . A =B D . 以上都不对
10. 若A ⊆B , A ⊆C , B ={0, 1, 2, 3},C ={0, 2, 4, 8}则满足上述条件的集合有 个；
11. 设A ={0, 1}，B ={x
|∅x ⊆A }，则B =；
12. 集合M=｛1，2，(1，2) ｝有______个子集，它们是
13. 同时满足(1)M⊆{1，2，3，4，5}(2)若a ∈M ，则6―a ∈M 的非空集合M 有多少？写出这些集合来。
14. 已知A ={x |x =2n , n ∈Z },B ={x |x =4n +2, n ∈Z }求证：
B
2A 。 15. 已知A ={x , x , xy },B ={1, x , y },A =B , 求实数x , y 的值。
-----------------------------------------------------综合提高-----------------------------------------------------
16. 已知
是 ；
17. 数集X=｛x|x=12m+8n，m ，n ∈Z ｝与数集Y=｛x|x=20p+16q，p ，q ∈Z ｝之间的关系是 ；
18. 集合P=｛x ,1｝, Q=｛y ,1,2｝, 其中x , y ∈｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝, 且P 是Q 的真子集, 把满足上述条件的一对有序整数(x , y) 作为一个点, 这样的点的个数是 个；
19. 已知三个元素的集合
为 ．
22220. 已知A ={x ∈R |x -2x -8=0},B ={x ∈R |x +ax +a -12=0}，B ⊆A , B ≠∅，，
．若
A B ，则实数 的取值范围，
, 如果
，那么
的值
求实数a 的取值集合。
21. 已知集合M ={a , a +d , a +2d },N ={a , aq , aq }，a ≠0, M =N ，求q 的值。 2
七. 相关链接
康托尔的不朽功绩
前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”. 因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来.
数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱. 因为这一原因，在数学发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概念. 但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路. 他把无穷集这一词汇引入数学，从而进入了一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界. 对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子. 下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么.
“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N 来表示. ”学过集合那一章后，同学们应该对这句话不会感到陌生. 但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作. 在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释. 无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在. 这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限. 十八世纪数学王子高斯就持这种观点. 用他的话说，就是“„„我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的. 所谓无穷，只是一种说话的方式„„”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想. 由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的. 然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷. 他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理论. 这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界.
最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究. 他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数. 他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势. 由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应――例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系――也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数. 这与传统观念“全体大于部分”相矛盾. 而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征. 在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集. 又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集. 后来
注当他又证明了代数数一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集. 但出
乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集. 这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成. ”而当他得出这一结论时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已. 这是何等令人震惊的结果！然而，事情并未终结. 魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物. 从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次. 他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次. 他取得了成功，并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”. 他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系
它可以无限延长下去. 就这样他创造了一种新的超限数理论，描绘出一幅无限王国的完整图景. 可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了. 毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这些理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣. 他们大叫大喊地反对他的理论. 有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”. 作为对传统观念的一次大革新，由于他开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题，他的理论受到激烈地批驳是正常的. 当回头看这段历史时，或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧.
高考解密
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05考纲
考题展示
考点①了解映射的概念, 理解函数的概念
1.(2004年, 湖北)
解
答案
2.(2004年, 湖北)
解法一
解法二
答案
考点②
参考答案
-----------------------------------------------------1.2.1集合之间的关系-------------------------------------
1.D 2.C 3.D 4.A 5.D 6.C 7.A 8.A 9.B
10. 四 11. {{0}，{1}}
12. 八个;
∅，{1}，{2}，{1，{1，2}}， {2，{1，2}}，{1，2}，{1，2，{1，2}}，{{1，2}}
13. 七个 ;
{1，5}，{2，4}，{3}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}
14. 根据真子集的定义证明。
15. 若x =1，则x =1或者-1，
若x =1，则A={1，1，y},不成立，舍去x =1；
若x =-1，则A={-1，1，-y}，B={1，-1，y }，y =-y ，所以y =0；
若xy =1，x 2=y ，则y =
前已证，应舍去。
综上所述，x =-1，y =0。
16. a ≤-5或a >5
17. ∀x ∈X , x =12m +8n =20(3m +2n ) +16(-3m -2n ) ∈Y 211，x 2=，即x =1， x x
∀x ∈Y , x =20p +16q =12(5p +4q ) +8(-5p -4q ) ∈X
所以X=Y
18. x, y的值有以下几种可能的组合:
①x=2,y=3,4,5,6,7,8,9;②x=3,y=3;③x=4,y=4; ④x=5,y=5; ⑤x=6,y=6; ⑥x=7,y=7; ⑦x=8,y=8;⑧x=9,y=9;
所以答案为14
19. 由题意可得a ≠0, b ≠0, 则ab ≠0,
所以a -b =0, 即a =b , 又因为|a |≠b
所以a ≠|a |,a
则ab =|a |=-a , 得到b =-1, 从而a =-1
a +b =-2
所以答案为-2
20. 先将集合A 用列举法表示, 再根据条件B ⊆A , B ≠∅, 分情况讨论B 中元素的情况, 求a 的值. A={-4，2}，关于B ，分三种情况讨论：
（1） B={-4}
（2） B={2}
（3） B={-4，2}，
所以a 的取值的集合是{-4，2}。
21. 有两种可能:
2①a +d =aq , a +2d =aq
2或者②a +d =aq , a +2d =aq
注意
所以答案为．