【实验名称】
控制系统的频率特性分析
【实验目的】
1) 掌握运用MATLAB 软件绘制控制系统波特图的方法； 2) 掌握MATLAB 软件绘制奈奎斯特图的方法； 3) 利用波特图和奈奎斯特图对控制系统性能进行分析。
【实验仪器】
1) PC机一台 2) MATLAB软件
【实验原理】
1. 奈奎斯特稳定判据及稳定裕量
（1）奈氏（Nyquist ）判据：反馈控制系统稳定的充要条件是奈氏曲线逆时针包围临界点的圈数R 等于开环传递函数右半s 平面的极点数P , 即R=P ;否则闭环系统不稳定, 闭环正实部特征根个数Z 可按下式确定
Z=P-R=P-2N （2）稳定裕量
利用G (j ω) H (j ω) 轨迹上两个特殊点的位置来度量相角裕度和增益裕度。其中
G (j ω) H (j ω) 与单位圆的交点处的频率为ωc （截止频率）；G (j ω) H (j ω) 与负实轴的交
点频率为ωx （穿越频率）。则
相角裕度：γ=180 +∠G (j ωc ) H (j ωc ) =180 +ϕ(ωc ) 增益裕度：h =
11
=
G (j ωx ) H (j ωx ) A (ωx )
（对数形式：h =-20lg G (j ωx ) H (j ωx ) =-20lg A (ωx ) 2. 对数频率稳定判据
将系统开环频率特性曲线分为幅频特性和相频特性，分别画在两个坐标上，横轴都用频率ω，纵轴一个用对数幅值和相角，这两条曲线画成的图就是Bode 图，即对数频率特性图。
因为Bode 图与奈氏图有一一对应关系，因此，奈氏稳定判据就可描述为基于Bode 图的对数频率稳定判据：
（1）开环系统稳定，即开环系统没有极点在正右半根平面，如果其对数幅频曲线大于0dB 的区域内，相频曲线对-180线正负穿越次数相等，那么闭环系统就是稳定的，否则是不稳定的。
（2）开环系统不稳定，有P 个极点在正右半平面，如果其对数幅频曲线大于0dB 的区域内，相频曲线对-180线正穿越次数大于负穿越次数P/2，闭环系统就是稳定的，否则是不稳定的。
3．利用MATLAB 绘制Nyquist 图和Bode 图
MATLAB 控制系统工具箱提供了许多函数，用来绘制系统的Nyquist 曲线、Bode 图以及Nichols 图。并可以进行增益裕度和相角裕度的分析。相关常用函数如表3-1所示。
表3-1 MATLAB频率特性函数
【实验内容】
绘制下例各控制系统波特图和奈奎斯特图。
① 系统开环传递函数为：G (s ) =
1
; 绘制系统Nyquist 图和波特图。
s (s +1)
② 系统开环传递函数为：G (s ) =
2(s +1)
; 绘制Nyquist 图和波特图, 2
s (0. 04s +1)(0. 4s +1)
并求出系统的相角稳定裕量和幅值稳定裕量。 ③ 系统开环传递函数为：
500（0. 0167s +1)
，绘制系统波特图，
s (0. 05s +1)(0. 0025s +1)(0. 001s +1)
并求出系统的相角稳定裕量和幅值稳定裕量。 ④ 已知控制系统开环传递函数为：G 0(s ) =
K
，试用奈奎斯特
(s +1)(0. 5s +1)(0. 2s +1)
稳定判据判定开环放大系数K 为10和50时闭环系统的稳定性。
【实验步骤】
（1）画图程序： ①
k=1;z=[];p=[0,-1];G=zpk(z,p,k);figure(1);nyquist(G);figure(2); bode(G)
性能分析：系统的奈奎斯特图没有包围（-1，j0）点，故系统为稳定的；另外，系统的相角裕度约为45°，也可以判断系统是稳定的。
② num=[2 2]; den=conv(conv([1,0 0],[0.04,1]), [0.4,1]); G=tf(num,den); bode(G);
[Gm,Pm,Wx]=margin(G); 请改此语句，使其显示出剪切频率Wc ，并记录。 修改为：[Gm,Pm,Wx,Wc]=margin(G)；
Gm =7.6999 （单位：1） Pm =20.9451 Wx =5.9161 Wc=1.8324 rad/sec 计算的参数如下：
系统的伯德图如下：
画系统的饿奈奎斯特图：
放大坐标系以观察时候包含（-1，j0）点：
性能分析：系统的奈奎斯特图没有包围（-1，j0）点，故系统为稳定的；另外，系统的相角裕度约为20.9°，也可以判断系统是稳定的。
③ num=500*[0.0167,1];den1=conv([1,0],[0.05,1]);den2=conv([0.0025,1],[0.001,
1]);den=conv(den1,den2);
G0=tf(num,den);w=logspace(0,4,50);bode(G0,w);margin(G0)
由程序运行结果和图示知道，幅值穿越频率w= 161.7414 rad/s, 相角稳定裕量r= 45.5298°; 相角穿越频率w= 586.6697rad/sec, 幅值稳定裕量k=7.1968 ,即。
系统的奈奎斯特图如下：
放大坐标系以观察时候包含（-1，j0）点：
性能分析：系统的奈奎斯特图没有包围（-1，j0）点，故系统为稳定的；另外，系统的相角裕度约为45.5°，也可以判断系统是稳定的。
④ (1) 当K=10时
G0=tf(10,conv([1,1],conv([0.5,1],[0.2,1])));nyquist(G0)
(2) 当K=50时
G0=tf(50,conv([1,1],conv([0.5,1],[0.2,1]))); nyquist(G0);
上面两个开环系统奈奎斯特图知道，当K=10时，极坐标图不包围（-1，j0）点，
因此闭环系统稳定。当K=50时，极坐标图顺时针包围（-1，j0）点2圈，闭环系统不稳定。该系统有2个右半s 平面的极点。
（2）用乃氏判据求解延迟系统的稳定性：
一单位反馈延迟系统的开环传递函数
Ke -0. 5s
G (s ) =
s +1
试用奈氏判据确定系统稳定的Ｋ值范围。
示例：设系统的开环开环传递函数
Ke -0. 8s
G (s ) =
s +1
频率特性
令
----------
开环频率特性在负实轴上的坐标
系统稳定的K 值：0
相应的MATLAB 程序：
clear all
clc
% 选取w 初始值 w0=0.01;
% 计算系统开环幅相曲线第一次与负实轴相交时的值 while ( -0.8*w0-atan(w0)>-pi ) w0=w0+0.01; end w=w0;
% 计算临界开环增益
k=sqrt(1+w^2);
% 绘制系统开环幅相特性图
G=tf([k],[1,1],'inputdelay',0.8);
nyquist(G)
绘制所给系统的奈奎斯特图并判别稳定的K 值范围。
对于给定的一单位反馈延迟系统的开环传递函数 Ke -0. 5s G (s ) =s +1
G (
jw x )==3.67x =0.069K
系统稳定的K 值范围：0
【实验名称】
控制系统的频率特性分析
【实验目的】
1) 掌握运用MATLAB 软件绘制控制系统波特图的方法； 2) 掌握MATLAB 软件绘制奈奎斯特图的方法； 3) 利用波特图和奈奎斯特图对控制系统性能进行分析。
【实验仪器】
1) PC机一台 2) MATLAB软件
【实验原理】
1. 奈奎斯特稳定判据及稳定裕量
（1）奈氏（Nyquist ）判据：反馈控制系统稳定的充要条件是奈氏曲线逆时针包围临界点的圈数R 等于开环传递函数右半s 平面的极点数P , 即R=P ;否则闭环系统不稳定, 闭环正实部特征根个数Z 可按下式确定
Z=P-R=P-2N （2）稳定裕量
利用G (j ω) H (j ω) 轨迹上两个特殊点的位置来度量相角裕度和增益裕度。其中
G (j ω) H (j ω) 与单位圆的交点处的频率为ωc （截止频率）；G (j ω) H (j ω) 与负实轴的交
点频率为ωx （穿越频率）。则
相角裕度：γ=180 +∠G (j ωc ) H (j ωc ) =180 +ϕ(ωc ) 增益裕度：h =
11
=
G (j ωx ) H (j ωx ) A (ωx )
（对数形式：h =-20lg G (j ωx ) H (j ωx ) =-20lg A (ωx ) 2. 对数频率稳定判据
将系统开环频率特性曲线分为幅频特性和相频特性，分别画在两个坐标上，横轴都用频率ω，纵轴一个用对数幅值和相角，这两条曲线画成的图就是Bode 图，即对数频率特性图。
因为Bode 图与奈氏图有一一对应关系，因此，奈氏稳定判据就可描述为基于Bode 图的对数频率稳定判据：
（1）开环系统稳定，即开环系统没有极点在正右半根平面，如果其对数幅频曲线大于0dB 的区域内，相频曲线对-180线正负穿越次数相等，那么闭环系统就是稳定的，否则是不稳定的。
（2）开环系统不稳定，有P 个极点在正右半平面，如果其对数幅频曲线大于0dB 的区域内，相频曲线对-180线正穿越次数大于负穿越次数P/2，闭环系统就是稳定的，否则是不稳定的。
3．利用MATLAB 绘制Nyquist 图和Bode 图
MATLAB 控制系统工具箱提供了许多函数，用来绘制系统的Nyquist 曲线、Bode 图以及Nichols 图。并可以进行增益裕度和相角裕度的分析。相关常用函数如表3-1所示。
表3-1 MATLAB频率特性函数
【实验内容】
绘制下例各控制系统波特图和奈奎斯特图。
① 系统开环传递函数为：G (s ) =
1
; 绘制系统Nyquist 图和波特图。
s (s +1)
② 系统开环传递函数为：G (s ) =
2(s +1)
; 绘制Nyquist 图和波特图, 2
s (0. 04s +1)(0. 4s +1)
并求出系统的相角稳定裕量和幅值稳定裕量。 ③ 系统开环传递函数为：
500（0. 0167s +1)
，绘制系统波特图，
s (0. 05s +1)(0. 0025s +1)(0. 001s +1)
并求出系统的相角稳定裕量和幅值稳定裕量。 ④ 已知控制系统开环传递函数为：G 0(s ) =
K
，试用奈奎斯特
(s +1)(0. 5s +1)(0. 2s +1)
稳定判据判定开环放大系数K 为10和50时闭环系统的稳定性。
【实验步骤】
（1）画图程序： ①
k=1;z=[];p=[0,-1];G=zpk(z,p,k);figure(1);nyquist(G);figure(2); bode(G)
性能分析：系统的奈奎斯特图没有包围（-1，j0）点，故系统为稳定的；另外，系统的相角裕度约为45°，也可以判断系统是稳定的。
② num=[2 2]; den=conv(conv([1,0 0],[0.04,1]), [0.4,1]); G=tf(num,den); bode(G);
[Gm,Pm,Wx]=margin(G); 请改此语句，使其显示出剪切频率Wc ，并记录。 修改为：[Gm,Pm,Wx,Wc]=margin(G)；
Gm =7.6999 （单位：1） Pm =20.9451 Wx =5.9161 Wc=1.8324 rad/sec 计算的参数如下：
系统的伯德图如下：
画系统的饿奈奎斯特图：
放大坐标系以观察时候包含（-1，j0）点：
性能分析：系统的奈奎斯特图没有包围（-1，j0）点，故系统为稳定的；另外，系统的相角裕度约为20.9°，也可以判断系统是稳定的。
③ num=500*[0.0167,1];den1=conv([1,0],[0.05,1]);den2=conv([0.0025,1],[0.001,
1]);den=conv(den1,den2);
G0=tf(num,den);w=logspace(0,4,50);bode(G0,w);margin(G0)
由程序运行结果和图示知道，幅值穿越频率w= 161.7414 rad/s, 相角稳定裕量r= 45.5298°; 相角穿越频率w= 586.6697rad/sec, 幅值稳定裕量k=7.1968 ,即。
系统的奈奎斯特图如下：
放大坐标系以观察时候包含（-1，j0）点：
性能分析：系统的奈奎斯特图没有包围（-1，j0）点，故系统为稳定的；另外，系统的相角裕度约为45.5°，也可以判断系统是稳定的。
④ (1) 当K=10时
G0=tf(10,conv([1,1],conv([0.5,1],[0.2,1])));nyquist(G0)
(2) 当K=50时
G0=tf(50,conv([1,1],conv([0.5,1],[0.2,1]))); nyquist(G0);
上面两个开环系统奈奎斯特图知道，当K=10时，极坐标图不包围（-1，j0）点，
因此闭环系统稳定。当K=50时，极坐标图顺时针包围（-1，j0）点2圈，闭环系统不稳定。该系统有2个右半s 平面的极点。
（2）用乃氏判据求解延迟系统的稳定性：
一单位反馈延迟系统的开环传递函数
Ke -0. 5s
G (s ) =
s +1
试用奈氏判据确定系统稳定的Ｋ值范围。
示例：设系统的开环开环传递函数
Ke -0. 8s
G (s ) =
s +1
频率特性
令
----------
开环频率特性在负实轴上的坐标
系统稳定的K 值：0
相应的MATLAB 程序：
clear all
clc
% 选取w 初始值 w0=0.01;
% 计算系统开环幅相曲线第一次与负实轴相交时的值 while ( -0.8*w0-atan(w0)>-pi ) w0=w0+0.01; end w=w0;
% 计算临界开环增益
k=sqrt(1+w^2);
% 绘制系统开环幅相特性图
G=tf([k],[1,1],'inputdelay',0.8);
nyquist(G)
绘制所给系统的奈奎斯特图并判别稳定的K 值范围。
对于给定的一单位反馈延迟系统的开环传递函数 Ke -0. 5s G (s ) =s +1
G (
jw x )==3.67x =0.069K
系统稳定的K 值范围：0