西北工业大学考试试题（卷）
2008 －2009 学年第 2 学期
2009年《现代控制理论》试卷A 评分标准及答案
第一题（10分，每个小题答对1分，答错0分）
（1）对 （2）错 （3）对 （4）错 （5）对 （6）对 （7）对 （8）对 （9）对 （10）错 第二题（15分）
（1）Φ(t ) （7分）：公式正确3分，计算过程及结果正确4分
⎡s -1⎤
sI -A =⎢⎥
⎣2s +3⎦(sI -A ) -1
1⎡2-⎡s +31⎤⎢s +1s +21
=⎥=⎢-22-2s (s +1)(s +2) ⎢⎣⎦⎢-
⎣s +1s +2
-1
⎡2e -t -e -2t
Φ(t ) =L {(sI -A ) }=⎢-t -2t
-2e +2e ⎣
-1
11⎤
-
s +1s +2⎥ -12⎥
⎥-
s +1s +2⎦
e -t -e -2t ⎤
⎥
-e -t +2e -2t ⎦
（2） 状态方程有两种解法（8分）：公式正确4分，计算过程及结果正确4分
x (t ) =Φ(t ) x (0) +⎰Φ(τ) Bu (t -τ) d τ
t
⎡2e -τ-e -2τ⎤-(t -τ) ⎡(4t -1) e -t +e -2t ⎤⎡x 1(t ) ⎤⎡e -t -e -2t ⎤
+2⎰⎢e d τ=⎢⎢x (t ) ⎥=⎢-t -2t ⎥-τ-2τ⎥-t -2t ⎥-e +2e -2e +2e -(4t -3) e -2e ⎣2⎦⎣⎦⎦⎣⎦0⎣
或者
t
X (s ) =(sI -A ) -1x (0) +(sI -A ) -1BU (s )
⎡2(s +3) ⎤
2⎢⎥(s +1) (s +2)
x (t ) =L -1{(sI -A ) -1x (0)}+L -1{⎢⎥}
-4⎢⎥2
⎢⎣(s +1) (s +2) ⎥⎦
22⎤⎡4
-+⎢(s +1) 2s +1s +2⎥⎡4te -t -e -t +e -2t ⎤⎡x 1(t ) ⎤⎡e -t -e -2t ⎤-1
+L {⎢⎥}=⎢⎢x (t ) ⎥=⎢-t -2t ⎥-t -t -2t ⎥-444-e +2e -4te +3e -2e ⎢⎥⎣2⎦⎣⎦⎣⎦+-2
⎢s +1s +2⎥⎣(s +1) ⎦
第三题（15分，答案不唯一，这里仅给出可控标准型的结果）
（1） 系统动态方程（3分）
⎡0 =⎢0x ⎢⎢⎣0y =[10
k =[k 0
0⎤⎡0⎤
⎢0⎥u 01⎥x +⎥⎢⎥ ⎢-2-3⎥⎦⎣1⎥⎦00]x
1
（2） 状态反馈矩阵（5分，公式正确3分）
k 1
k 2]
u =v -kx
由闭环极点和闭环系统特征多项式有
λI -(A -BK ) =λ3+(3+k 2) λ2+(2+k 1) λ+k 0=(λ+2)(λ+1-j )(λ+1+j )
=λ+4λ+6λ+4
比较，k =[4
3
2
41]。
10⎤⎡0⎡0⎤
⎥x +⎢0⎥v =⎢0x 01⎢⎥⎢⎥ （3）闭环系统的动态方程（3分）：
⎢⎢⎣-4-6-4⎥⎦⎣1⎥⎦y =[1000]x
（4）闭环系统的传递函数（4分）：G(s)=
Y(s)10
=3 2
U(s)s +4s +6s +4
第四题（15分）已知系统传递函数
Y (s ) s +2
=2，试求系统可观标准型和对角标准型，U (s ) s +4s +3
并画出相应的系统状态图。 答：（1）可观标准型及状态图（5分）
可控标准型为：
⎧1⎤⎡x 1⎤⎡0⎤⎡0
x =⎪⎢-3-4⎥⎢x ⎥+⎢1⎥u ⎪⎣⎦⎣2⎦⎣⎦⎨
⎡x 1⎤⎪y =[21]⎢⎥
⎪⎣x 2⎦⎩
⎧⎡0－3⎤⎡x 1⎤⎡2⎤
x =⎪⎢1-4⎥⎢x ⎥+⎢1⎥u ⎪⎣⎦⎣2⎦⎣⎦根据对偶原理，系统可观标准型为：⎨
⎡x ⎤⎪y =[01]⎢1⎥
⎪⎣x 2⎦⎩
（2）系统可观测标准型状态变量图如下：（5分）
（3）对角标准型（5分，答案不唯一，两种常见形式如下）
G(s)=
22Y(s)s +2s +2
=2==+
U(s)s +4s +3(s +3)(s +1) s +3s +1
⎧⎡－30⎤⎡x 1⎤⎡2⎤ x =+⎢⎥u ⎪⎢⎥⎢⎥22⎪⎣0-1⎦⎣x 2⎦⎣2⎦ 当x 1(s ) =u (s ), x 2(s ) =u (s ) 时，⎨
⎡x ⎤s +3s +1⎪y =[11]⎢1⎥
⎪⎣x 2⎦⎩⎧⎡－30⎤⎡x 1⎤⎡1⎤ x =+⎢⎥u ⎪⎢⎥⎢⎥11⎪⎣0-1⎦⎣x 2⎦⎣1⎦当x 1(s ) =u (s ), x 2(s ) =u (s ) 时，⎨
⎡x ⎤s +3s +1⎪y =[22]⎢1⎥
⎪⎣x 2⎦⎩
第五题（15分）
⎧。⎡a 2⎤⎡1⎤⎪x =⎢x +u ⎥⎢⎥已知⎨⎣10⎦⎣1⎦，试确定a ，b 值，使系统完全可控、完全可观。 ⎪y =[b 0]x ⎩⎡1a +2⎤AB ]=⎢, ⎥1⎦⎣1
∴a ≠-1；S =[B
⎡C ⎤⎡b 0⎤V =⎢⎥=⎢⎥, CA ab 2b ⎣⎦⎣⎦∴b ≠0；
系统可控, det [B
AB ]=1-(a +2) =-a -1≠0.
⎡C ⎤
系统可观，det ⎢⎥=2b 2≠0.
⎣CA ⎦
∴系统完全可控、完全可观的条件是a ≠-1且b ≠0。
可控部分正确――7分：公式正确4分，可控性矩阵计算正确2分，a 值正确1分；
可观部分正确――7分：公式正确4分，可观性矩阵计算正确2分，b 值正确1分； 总结论正确1分。
第六题（15分）
（1）（5分） 原点x 1=x 2=0是系统唯一的平衡状态
22（2）（6分）V (X ) =x 1+x 2
(X ) =-2k (x 2+x 2) 2 （V (x ) 答案不唯一，仅供参考） V 12
（3）（4分）K>0 时系统大范围一致渐近稳定；K=0时 系统是李雅普诺夫意义下稳定的(或系统一致稳定) ；K 〈0时 系统不稳定。
写对平衡状态表达式2分；求出原点x 1=x 2=0是系统的平衡状态2分；说明唯一性1分。 写对李雅普诺夫函数3分；求导正确3分；正确分析出上述（3）中的3种情况分别为2分、1分、1分，其中K>0时未说明大范围和一致性稳定各扣0.5分。 第七题（15分，（1）和（2）小题任选一题）
（1）小题：证明过程引用的公式正确7分，证明过程严谨正确8分。 证明：由Φ(t 1-t 2) =Φ(t 1) Φ(-t 2) 和Φ（0）=I
令t 1=t 2，有
Φ(t ) Φ(-t ) =I 所以Φ-1(t ) =Φ(-t ) 证毕。
(2)小题：写对变换后的可观测性矩阵8分，仅写对非奇异变换公式4分；证明过程正确严谨7分。 证明：=(CP )
[
T
(P -1AP ) T (CP ) T {(P -1AP ) n -1}T (CP ) T
{(P -1AP ) n -1}T (CP ) T
]
rank =rank (CP ) T =rankP T C T
[
(P -1AP ) T (CP ) T (A n -1) T C T
]
[
A T C T
]
=rankP T V =rankV .
西北工业大学考试试题（卷）
2008 －2009 学年第 2 学期
2009年《现代控制理论》试卷A 评分标准及答案
第一题（10分，每个小题答对1分，答错0分）
（1）对 （2）错 （3）对 （4）错 （5）对 （6）对 （7）对 （8）对 （9）对 （10）错 第二题（15分）
（1）Φ(t ) （7分）：公式正确3分，计算过程及结果正确4分
⎡s -1⎤
sI -A =⎢⎥
⎣2s +3⎦(sI -A ) -1
1⎡2-⎡s +31⎤⎢s +1s +21
=⎥=⎢-22-2s (s +1)(s +2) ⎢⎣⎦⎢-
⎣s +1s +2
-1
⎡2e -t -e -2t
Φ(t ) =L {(sI -A ) }=⎢-t -2t
-2e +2e ⎣
-1
11⎤
-
s +1s +2⎥ -12⎥
⎥-
s +1s +2⎦
e -t -e -2t ⎤
⎥
-e -t +2e -2t ⎦
（2） 状态方程有两种解法（8分）：公式正确4分，计算过程及结果正确4分
x (t ) =Φ(t ) x (0) +⎰Φ(τ) Bu (t -τ) d τ
t
⎡2e -τ-e -2τ⎤-(t -τ) ⎡(4t -1) e -t +e -2t ⎤⎡x 1(t ) ⎤⎡e -t -e -2t ⎤
+2⎰⎢e d τ=⎢⎢x (t ) ⎥=⎢-t -2t ⎥-τ-2τ⎥-t -2t ⎥-e +2e -2e +2e -(4t -3) e -2e ⎣2⎦⎣⎦⎦⎣⎦0⎣
或者
t
X (s ) =(sI -A ) -1x (0) +(sI -A ) -1BU (s )
⎡2(s +3) ⎤
2⎢⎥(s +1) (s +2)
x (t ) =L -1{(sI -A ) -1x (0)}+L -1{⎢⎥}
-4⎢⎥2
⎢⎣(s +1) (s +2) ⎥⎦
22⎤⎡4
-+⎢(s +1) 2s +1s +2⎥⎡4te -t -e -t +e -2t ⎤⎡x 1(t ) ⎤⎡e -t -e -2t ⎤-1
+L {⎢⎥}=⎢⎢x (t ) ⎥=⎢-t -2t ⎥-t -t -2t ⎥-444-e +2e -4te +3e -2e ⎢⎥⎣2⎦⎣⎦⎣⎦+-2
⎢s +1s +2⎥⎣(s +1) ⎦
第三题（15分，答案不唯一，这里仅给出可控标准型的结果）
（1） 系统动态方程（3分）
⎡0 =⎢0x ⎢⎢⎣0y =[10
k =[k 0
0⎤⎡0⎤
⎢0⎥u 01⎥x +⎥⎢⎥ ⎢-2-3⎥⎦⎣1⎥⎦00]x
1
（2） 状态反馈矩阵（5分，公式正确3分）
k 1
k 2]
u =v -kx
由闭环极点和闭环系统特征多项式有
λI -(A -BK ) =λ3+(3+k 2) λ2+(2+k 1) λ+k 0=(λ+2)(λ+1-j )(λ+1+j )
=λ+4λ+6λ+4
比较，k =[4
3
2
41]。
10⎤⎡0⎡0⎤
⎥x +⎢0⎥v =⎢0x 01⎢⎥⎢⎥ （3）闭环系统的动态方程（3分）：
⎢⎢⎣-4-6-4⎥⎦⎣1⎥⎦y =[1000]x
（4）闭环系统的传递函数（4分）：G(s)=
Y(s)10
=3 2
U(s)s +4s +6s +4
第四题（15分）已知系统传递函数
Y (s ) s +2
=2，试求系统可观标准型和对角标准型，U (s ) s +4s +3
并画出相应的系统状态图。 答：（1）可观标准型及状态图（5分）
可控标准型为：
⎧1⎤⎡x 1⎤⎡0⎤⎡0
x =⎪⎢-3-4⎥⎢x ⎥+⎢1⎥u ⎪⎣⎦⎣2⎦⎣⎦⎨
⎡x 1⎤⎪y =[21]⎢⎥
⎪⎣x 2⎦⎩
⎧⎡0－3⎤⎡x 1⎤⎡2⎤
x =⎪⎢1-4⎥⎢x ⎥+⎢1⎥u ⎪⎣⎦⎣2⎦⎣⎦根据对偶原理，系统可观标准型为：⎨
⎡x ⎤⎪y =[01]⎢1⎥
⎪⎣x 2⎦⎩
（2）系统可观测标准型状态变量图如下：（5分）
（3）对角标准型（5分，答案不唯一，两种常见形式如下）
G(s)=
22Y(s)s +2s +2
=2==+
U(s)s +4s +3(s +3)(s +1) s +3s +1
⎧⎡－30⎤⎡x 1⎤⎡2⎤ x =+⎢⎥u ⎪⎢⎥⎢⎥22⎪⎣0-1⎦⎣x 2⎦⎣2⎦ 当x 1(s ) =u (s ), x 2(s ) =u (s ) 时，⎨
⎡x ⎤s +3s +1⎪y =[11]⎢1⎥
⎪⎣x 2⎦⎩⎧⎡－30⎤⎡x 1⎤⎡1⎤ x =+⎢⎥u ⎪⎢⎥⎢⎥11⎪⎣0-1⎦⎣x 2⎦⎣1⎦当x 1(s ) =u (s ), x 2(s ) =u (s ) 时，⎨
⎡x ⎤s +3s +1⎪y =[22]⎢1⎥
⎪⎣x 2⎦⎩
第五题（15分）
⎧。⎡a 2⎤⎡1⎤⎪x =⎢x +u ⎥⎢⎥已知⎨⎣10⎦⎣1⎦，试确定a ，b 值，使系统完全可控、完全可观。 ⎪y =[b 0]x ⎩⎡1a +2⎤AB ]=⎢, ⎥1⎦⎣1
∴a ≠-1；S =[B
⎡C ⎤⎡b 0⎤V =⎢⎥=⎢⎥, CA ab 2b ⎣⎦⎣⎦∴b ≠0；
系统可控, det [B
AB ]=1-(a +2) =-a -1≠0.
⎡C ⎤
系统可观，det ⎢⎥=2b 2≠0.
⎣CA ⎦
∴系统完全可控、完全可观的条件是a ≠-1且b ≠0。
可控部分正确――7分：公式正确4分，可控性矩阵计算正确2分，a 值正确1分；
可观部分正确――7分：公式正确4分，可观性矩阵计算正确2分，b 值正确1分； 总结论正确1分。
第六题（15分）
（1）（5分） 原点x 1=x 2=0是系统唯一的平衡状态
22（2）（6分）V (X ) =x 1+x 2
(X ) =-2k (x 2+x 2) 2 （V (x ) 答案不唯一，仅供参考） V 12
（3）（4分）K>0 时系统大范围一致渐近稳定；K=0时 系统是李雅普诺夫意义下稳定的(或系统一致稳定) ；K 〈0时 系统不稳定。
写对平衡状态表达式2分；求出原点x 1=x 2=0是系统的平衡状态2分；说明唯一性1分。 写对李雅普诺夫函数3分；求导正确3分；正确分析出上述（3）中的3种情况分别为2分、1分、1分，其中K>0时未说明大范围和一致性稳定各扣0.5分。 第七题（15分，（1）和（2）小题任选一题）
（1）小题：证明过程引用的公式正确7分，证明过程严谨正确8分。 证明：由Φ(t 1-t 2) =Φ(t 1) Φ(-t 2) 和Φ（0）=I
令t 1=t 2，有
Φ(t ) Φ(-t ) =I 所以Φ-1(t ) =Φ(-t ) 证毕。
(2)小题：写对变换后的可观测性矩阵8分，仅写对非奇异变换公式4分；证明过程正确严谨7分。 证明：=(CP )
[
T
(P -1AP ) T (CP ) T {(P -1AP ) n -1}T (CP ) T
{(P -1AP ) n -1}T (CP ) T
]
rank =rank (CP ) T =rankP T C T
[
(P -1AP ) T (CP ) T (A n -1) T C T
]
[
A T C T
]
=rankP T V =rankV .