朗之萬方程(Langevin’s equation) 描述布朗運動
d x
m 2=f (t ) +F ' (t ) dt
2
粘滯阻力仍來自介質分子對顆粒的碰撞，將顆粒看作半徑為a 的小球，在粘滯系數為η的流體中運動，則有α=6π a η 上式稱為斯托克斯公式(stokes’s law)。
d 2x dx m 2=-α+F(t)+F' (t)
dt dt
當不存在其它外力時F’(t)=0
d 2x dx
m 2=-α+F (t )
dt dt
將上式對大量顆粒子求平均，即把大群顆的運動方程相
1d 2αd 222
=-mx -m x x +xF (t )2
2dt 2dt
()
d 2αd 22kT x +x -=02
m dt m dt
2
2kT x =t +C 1e
α
2
α-t m
+C 2
2kT x =t
α
2
x 與t 成正比是隨機過程的典型結果
另解
d x dx
m 2=-α+F(t)+F' (t)
dt dt
d x ⎡d ⎤ ) -x 2⎥=-α⋅x x +x F (t ) mx =m ⎢(xx
dt ⎣dt ⎦
2
2
112
m x =k T
2 且由能量均分定理
2
d d ) =
m x x =kT -αx x m (xx
dt 得 dt
=Ce x x
-γt
kT +
α
α
m
-1
C 為積分常數，間常數。
γ≡
所以γ為系統的特徵時
假定在系統中的每一個粒子開始運動於x=0在t=0，故x 為從初始位置的位移量，常數C 可得 : 0=C + k T/α C=-Kt/α 代入
1d 2kT =x x x =(1-e -γt )
2dt α
再次積分可得最後結果
x
2
2kT =[t-γ-1(1-e -γt )]α e
-γt
If t
122
=1-γt +γt
2
kT 2
x =t
m If t
2
t >>γ
-1
,e
–γt
-> 0，則簡單可得
2
2kT x =t
α for t >>γ-1 可得
而由擴散方程(diffusion equation) 可導出=2Dt，這
D =
k T
樣的關係式比較可得到擴散的相對係數
x
從這個關係我們可以得到
2
α
kT =t 3πηa
α-t m
x
2
2kT =t +C 1e
α
+C 2
4π3m =ρa
3設布朗顆粒是半徑為a 的小球，, 則
α9η
=2m 2a ρ
布朗顆粒(膠體物質) 的密度ρ為1.19×10kg.m ,
a 的平均值為3.67×10m ，
液體介質(水) 的粘滯係數η為1.14×10-3Pa.s 。 α/m=3.2×10s 。因此在短的時間後(例如t >10-6s) ，則上式的第二項便可以忽略 如果假設所有的粒子在t=0時都處在x=0處，即x 描述顆粒的位移，便得C 2=0
7-1
-7
3
-3
x
2
kT 2 t
m
在一維中以n(x , t)表布朗顆粒的密度，以J (x , t)表布朗顆粒的流量(單位時間內通過單位截面的顆粒
數) 。菲克定律給出(diffusion equation)
∂n
+∇⋅J =0
J =-D ∇n ∂t
∂n
=D ∇2n
兩式聯立，得 ∂t
此為擴散方程，設t=0時，顆粒均位在x=0處，即 n(x,0)=Nδ(x) 擴散方程在初始條件下的解為
n(x,t) =
N 2 Dt
e
x 2
-
4D t
上式表明，顆粒的密度分佈是與t 有關的高斯分佈，隨著t 的增加，顆粒逐漸向兩邊擴散。由上式可求得顆
粒
位
+∞
移平方的平均值
12
x =x n(x, t)dx =2Dt ⎰N -∞
2
上式與朗之萬理論的結果
x
2
2kT =t α
若粒子帶電荷e 且處在一均勻電場ε中，則朗之
dv
m =e ε-αv +F (t ) dt 萬方程變為
將兩邊取平均值，且考慮穩定態時d v /d t =0,使得
e ε-αv =0
≡v /ε
這証明了v αε。這遷移性(mobility)μ得
, 可
μ≡
v
ε
=
e
α
kT
α
遷移性μ和擴散係數D (D =) 均有α，我們以此連結這二個係數(μ，D)
μe
=
kT Einstein relation D
對於狀態變數p1…p n 在偶然選定的一個時刻處於一個n 重的無限小區域(dp1 …d p n)中的機率，下列方程成立
-N E RT
(1)
d ω=Ce
dp 1...dp n
用Ad α來表示在偶然選定的一個時刻參數α的值處在α和α+dα之間的機率。於是
-N E RT
(2) dW ' =C ' e
Ad α=⎰Ce
d α
dp 1...dp n
N
(E +Φ) RT
dp 1... dp n
N
(E +Φ) RT
(I)
dW ' =C ' e
dp 1... dp n
對於在一個偶然選定的時刻α的值處於α和d α之間的機率，有一個類似於方程(2)的關係式:
dW =⎰C' e
-
N
(E+φ)RT
C
dp 1...dp n =e
C
'
-
N φRT
Ad α=A e
N φ' RT
d α
在N 個體系中，有
N -RT
(I a)
dn =φ e
d α=F (α)d α
個體系的參數α的值在一偶然選定的時刻落在α+dα之間。
2R Δ=⋅BTt
N
2
如果有一個力F 作用在一個半徑為a 的球上，而這個球是懸浮在摩擦係數為k 的液體中的，那末它就會以速度F/6πka 運動著。因此我們可以置
1
B =
6πka
∆
2x
=t
RT 1N 3πk a
如果有動量矩D 作用在一個半徑為a 的球上，這個
球能夠在摩擦係數為k 的液體中繞軸旋轉的角速度是
D
ϕ=3
8πk a
1
B =3
8πk a 我們從而必須置
因此我們得到
∆=t
關於
∆2
2
r
RT 1
3
N 4πka
公式有效的極限
Δ2
=t
2RTB 1
⋅N t
所選取的時間t 愈短，這個假定就愈難站得住腳。如果確實在時間z=0時，變化速度的瞬時值是
d α
=β0
dt
又如果在以後的某個時間間隔內，變化速度β不受不規則的熱過程的影響，而β的變化僅僅取決於被動阻
力(1/B), 那末，對於d β/dz，這樣的關係式會成立：
dB β-μ=dz B
這裡，μ是由μ(β2/2)應該對應的變化速度β的能量這一規定來定義的。因此，比如在懸浮球的平移動的情況，μ(β2/2)就是球的動能連同被球帶動的液體的動能。由積分得到
z -μB
β=β0e 回上一頁
朗之萬方程(Langevin’s equation) 描述布朗運動
d x
m 2=f (t ) +F ' (t ) dt
2
粘滯阻力仍來自介質分子對顆粒的碰撞，將顆粒看作半徑為a 的小球，在粘滯系數為η的流體中運動，則有α=6π a η 上式稱為斯托克斯公式(stokes’s law)。
d 2x dx m 2=-α+F(t)+F' (t)
dt dt
當不存在其它外力時F’(t)=0
d 2x dx
m 2=-α+F (t )
dt dt
將上式對大量顆粒子求平均，即把大群顆的運動方程相
1d 2αd 222
=-mx -m x x +xF (t )2
2dt 2dt
()
d 2αd 22kT x +x -=02
m dt m dt
2
2kT x =t +C 1e
α
2
α-t m
+C 2
2kT x =t
α
2
x 與t 成正比是隨機過程的典型結果
另解
d x dx
m 2=-α+F(t)+F' (t)
dt dt
d x ⎡d ⎤ ) -x 2⎥=-α⋅x x +x F (t ) mx =m ⎢(xx
dt ⎣dt ⎦
2
2
112
m x =k T
2 且由能量均分定理
2
d d ) =
m x x =kT -αx x m (xx
dt 得 dt
=Ce x x
-γt
kT +
α
α
m
-1
C 為積分常數，間常數。
γ≡
所以γ為系統的特徵時
假定在系統中的每一個粒子開始運動於x=0在t=0，故x 為從初始位置的位移量，常數C 可得 : 0=C + k T/α C=-Kt/α 代入
1d 2kT =x x x =(1-e -γt )
2dt α
再次積分可得最後結果
x
2
2kT =[t-γ-1(1-e -γt )]α e
-γt
If t
122
=1-γt +γt
2
kT 2
x =t
m If t
2
t >>γ
-1
,e
–γt
-> 0，則簡單可得
2
2kT x =t
α for t >>γ-1 可得
而由擴散方程(diffusion equation) 可導出=2Dt，這
D =
k T
樣的關係式比較可得到擴散的相對係數
x
從這個關係我們可以得到
2
α
kT =t 3πηa
α-t m
x
2
2kT =t +C 1e
α
+C 2
4π3m =ρa
3設布朗顆粒是半徑為a 的小球，, 則
α9η
=2m 2a ρ
布朗顆粒(膠體物質) 的密度ρ為1.19×10kg.m ,
a 的平均值為3.67×10m ，
液體介質(水) 的粘滯係數η為1.14×10-3Pa.s 。 α/m=3.2×10s 。因此在短的時間後(例如t >10-6s) ，則上式的第二項便可以忽略 如果假設所有的粒子在t=0時都處在x=0處，即x 描述顆粒的位移，便得C 2=0
7-1
-7
3
-3
x
2
kT 2 t
m
在一維中以n(x , t)表布朗顆粒的密度，以J (x , t)表布朗顆粒的流量(單位時間內通過單位截面的顆粒
數) 。菲克定律給出(diffusion equation)
∂n
+∇⋅J =0
J =-D ∇n ∂t
∂n
=D ∇2n
兩式聯立，得 ∂t
此為擴散方程，設t=0時，顆粒均位在x=0處，即 n(x,0)=Nδ(x) 擴散方程在初始條件下的解為
n(x,t) =
N 2 Dt
e
x 2
-
4D t
上式表明，顆粒的密度分佈是與t 有關的高斯分佈，隨著t 的增加，顆粒逐漸向兩邊擴散。由上式可求得顆
粒
位
+∞
移平方的平均值
12
x =x n(x, t)dx =2Dt ⎰N -∞
2
上式與朗之萬理論的結果
x
2
2kT =t α
若粒子帶電荷e 且處在一均勻電場ε中，則朗之
dv
m =e ε-αv +F (t ) dt 萬方程變為
將兩邊取平均值，且考慮穩定態時d v /d t =0,使得
e ε-αv =0
≡v /ε
這証明了v αε。這遷移性(mobility)μ得
, 可
μ≡
v
ε
=
e
α
kT
α
遷移性μ和擴散係數D (D =) 均有α，我們以此連結這二個係數(μ，D)
μe
=
kT Einstein relation D
對於狀態變數p1…p n 在偶然選定的一個時刻處於一個n 重的無限小區域(dp1 …d p n)中的機率，下列方程成立
-N E RT
(1)
d ω=Ce
dp 1...dp n
用Ad α來表示在偶然選定的一個時刻參數α的值處在α和α+dα之間的機率。於是
-N E RT
(2) dW ' =C ' e
Ad α=⎰Ce
d α
dp 1...dp n
N
(E +Φ) RT
dp 1... dp n
N
(E +Φ) RT
(I)
dW ' =C ' e
dp 1... dp n
對於在一個偶然選定的時刻α的值處於α和d α之間的機率，有一個類似於方程(2)的關係式:
dW =⎰C' e
-
N
(E+φ)RT
C
dp 1...dp n =e
C
'
-
N φRT
Ad α=A e
N φ' RT
d α
在N 個體系中，有
N -RT
(I a)
dn =φ e
d α=F (α)d α
個體系的參數α的值在一偶然選定的時刻落在α+dα之間。
2R Δ=⋅BTt
N
2
如果有一個力F 作用在一個半徑為a 的球上，而這個球是懸浮在摩擦係數為k 的液體中的，那末它就會以速度F/6πka 運動著。因此我們可以置
1
B =
6πka
∆
2x
=t
RT 1N 3πk a
如果有動量矩D 作用在一個半徑為a 的球上，這個
球能夠在摩擦係數為k 的液體中繞軸旋轉的角速度是
D
ϕ=3
8πk a
1
B =3
8πk a 我們從而必須置
因此我們得到
∆=t
關於
∆2
2
r
RT 1
3
N 4πka
公式有效的極限
Δ2
=t
2RTB 1
⋅N t
所選取的時間t 愈短，這個假定就愈難站得住腳。如果確實在時間z=0時，變化速度的瞬時值是
d α
=β0
dt
又如果在以後的某個時間間隔內，變化速度β不受不規則的熱過程的影響，而β的變化僅僅取決於被動阻
力(1/B), 那末，對於d β/dz，這樣的關係式會成立：
dB β-μ=dz B
這裡，μ是由μ(β2/2)應該對應的變化速度β的能量這一規定來定義的。因此，比如在懸浮球的平移動的情況，μ(β2/2)就是球的動能連同被球帶動的液體的動能。由積分得到
z -μB
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