（2009）⑩如图，在是
有关四边形的计算和证明
ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，点E 是BC 边的中点，OE=1，则AB 的长
17如图所示，∠BAC=∠ABD ，AC=BD，点O 是AD 、BC 的交点，点E 是AB 的中点．试判断OE ○
和AB 的位置关系，并给出证明．
21如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°， ∠B =60°，BC=2．点0是AC 的中点，过点0的直○
线l 从与AC 重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．
（1）①当α=________度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为_________；
②当α=________度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为_________；
（2）当α=90°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由． 17如图，四边形ABCD 是平行四边形，△AB’C和△ABC 关于（2010）○
AC 所在的直线对称，AD 和B’C相交于点O ，连接BB’． （1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）； （2）求证：△AB’O≌△CDO ．
19如图，○在梯形ABCD 中，AD //BC ，E 是BC 的中点，AD =5，BC =12，CD =42，A ∠C =45°，点P 是BC 边上一动点，设PB 的长为x ．
（1）当x 的值为____________时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为直角梯形；
（2）当x 的值为____________时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为平行四边形；；
（3）点P 在BC 边上运动的过程中，以P 、A 、D 、E 为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
22（1）操作发现 ○如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△AB E 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在举行ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF =DF ，你同意吗？说明理由．
（2）问题解决 A
保持（1）中的条件不变，若DC =2DF ，求（3）类比探求
A D
B
P C
AD
的值； AB
AD
保持（1）中条件不变，若DC =nDF ，求的值
AB
B
15如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，∠C =60
°，（2011）○
BC =2AD
E 是BC 边的中点，△DEF 是等边三角形，DF 交AB 于点G ，则△BFG 的周
长为
17如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，延长CB 到点E ，使BE =AD ，连接DE 交AB 于点M . ○（1）求证：△AMD ≌△BM E ；
（2）若N 是CD 的中点，且M N=5，BE =2，求BC 的长.
22如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC
C =30°. 点D ○
从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动. 设点D 、E 运动的时间是t 秒（t ＞0）. 过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE 、EF .
（1）求证：AE =DF ；
（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由.
（3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由.
18如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠DAB =60°，点E 是AD 边的中点， （2012）○
N D C
点M 是AB 边上一动点（不与点A 重合），延长ME 交射线CD 于点N ，连接MD 、AN 。
（1）求证：四边形AMDN 是平行四边形；
（2）填空：①当AM 的值为_____时，四边形AMDN 是矩形；
②当AM 的值为_______时，四边形AMDN 是菱形。
第18
22类比转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个○
案例，请补充完整。
原题：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点
题
AF CD
=3，求，BF 的延长线交射线CD 于点G 。若的值。 EF CG
（1）尝试探究
在图1中，过点E 作EH //AB 交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是
图1
CD
______，CG 和EH 的数量关系是__________，的值是_______.
CG
（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若试写出解答过程。
（3）拓展迁移
AF CD
=m (m >0) ，则的值是___（用含m 的代数式表示），EF CG
如图3，梯形ABCD 中，DC //AB ，点E 是BC 的延长线上一点，AE 和BD 相交于点F 。若
AB
=a ，CD
BC AF
=b (a >0, b >0) ，则的值是__________（用含a ，b 的代数式表示 BE EF
18如图，在等边三角形ABC 中，BC=6cm （2013）○
，射线AC ∥BC ，点E 从点A 出发沿射线AC 以1cm/s 的速度运动，同时点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度运动，设运动时间为t(s)．
（1）连接EF ，当EF 经过AC 边的中点D 时，求证：△ADE ≌△CDF ； （2）填空：
①当t 为__________s时，四边形ACFE 是菱形；
②当t 为__________s时，以A 、F 、C 、E 、为顶点的四边形是直角 22如图1，○将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC5重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°。 （1）操作发现
如图2、固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转，
图
3
当点D 恰好落在AB 边上时，填空：
①线段DE 与AC 的位置关系是_________；
②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系
是__________； （2）猜想论证
当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）
中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△ AEC 中BC 、CE 边上的高，请你证明小明的猜想． （3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D 是其角平分线上一点，BD=CD=4,
DE ∥AB 交BC 于点E （如图4），若在射线上存在点F ，使相应的BF 的长． S ∆DCF =S ∆BDE ，请直接写出．．．．
（2009）⑩如图，在是
有关四边形的计算和证明
ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，点E 是BC 边的中点，OE=1，则AB 的长
17如图所示，∠BAC=∠ABD ，AC=BD，点O 是AD 、BC 的交点，点E 是AB 的中点．试判断OE ○
和AB 的位置关系，并给出证明．
21如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°， ∠B =60°，BC=2．点0是AC 的中点，过点0的直○
线l 从与AC 重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．
（1）①当α=________度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为_________；
②当α=________度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为_________；
（2）当α=90°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由． 17如图，四边形ABCD 是平行四边形，△AB’C和△ABC 关于（2010）○
AC 所在的直线对称，AD 和B’C相交于点O ，连接BB’． （1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）； （2）求证：△AB’O≌△CDO ．
19如图，○在梯形ABCD 中，AD //BC ，E 是BC 的中点，AD =5，BC =12，CD =42，A ∠C =45°，点P 是BC 边上一动点，设PB 的长为x ．
（1）当x 的值为____________时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为直角梯形；
（2）当x 的值为____________时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为平行四边形；；
（3）点P 在BC 边上运动的过程中，以P 、A 、D 、E 为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
22（1）操作发现 ○如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△AB E 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在举行ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF =DF ，你同意吗？说明理由．
（2）问题解决 A
保持（1）中的条件不变，若DC =2DF ，求（3）类比探求
A D
B
P C
AD
的值； AB
AD
保持（1）中条件不变，若DC =nDF ，求的值
AB
B
15如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，∠C =60
°，（2011）○
BC =2AD
E 是BC 边的中点，△DEF 是等边三角形，DF 交AB 于点G ，则△BFG 的周
长为
17如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，延长CB 到点E ，使BE =AD ，连接DE 交AB 于点M . ○（1）求证：△AMD ≌△BM E ；
（2）若N 是CD 的中点，且M N=5，BE =2，求BC 的长.
22如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC
C =30°. 点D ○
从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动. 设点D 、E 运动的时间是t 秒（t ＞0）. 过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE 、EF .
（1）求证：AE =DF ；
（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由.
（3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由.
18如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠DAB =60°，点E 是AD 边的中点， （2012）○
N D C
点M 是AB 边上一动点（不与点A 重合），延长ME 交射线CD 于点N ，连接MD 、AN 。
（1）求证：四边形AMDN 是平行四边形；
（2）填空：①当AM 的值为_____时，四边形AMDN 是矩形；
②当AM 的值为_______时，四边形AMDN 是菱形。
第18
22类比转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个○
案例，请补充完整。
原题：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点
题
AF CD
=3，求，BF 的延长线交射线CD 于点G 。若的值。 EF CG
（1）尝试探究
在图1中，过点E 作EH //AB 交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是
图1
CD
______，CG 和EH 的数量关系是__________，的值是_______.
CG
（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若试写出解答过程。
（3）拓展迁移
AF CD
=m (m >0) ，则的值是___（用含m 的代数式表示），EF CG
如图3，梯形ABCD 中，DC //AB ，点E 是BC 的延长线上一点，AE 和BD 相交于点F 。若
AB
=a ，CD
BC AF
=b (a >0, b >0) ，则的值是__________（用含a ，b 的代数式表示 BE EF
18如图，在等边三角形ABC 中，BC=6cm （2013）○
，射线AC ∥BC ，点E 从点A 出发沿射线AC 以1cm/s 的速度运动，同时点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度运动，设运动时间为t(s)．
（1）连接EF ，当EF 经过AC 边的中点D 时，求证：△ADE ≌△CDF ； （2）填空：
①当t 为__________s时，四边形ACFE 是菱形；
②当t 为__________s时，以A 、F 、C 、E 、为顶点的四边形是直角 22如图1，○将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC5重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°。 （1）操作发现
如图2、固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转，
图
3
当点D 恰好落在AB 边上时，填空：
①线段DE 与AC 的位置关系是_________；
②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系
是__________； （2）猜想论证
当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）
中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△ AEC 中BC 、CE 边上的高，请你证明小明的猜想． （3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D 是其角平分线上一点，BD=CD=4,
DE ∥AB 交BC 于点E （如图4），若在射线上存在点F ，使相应的BF 的长． S ∆DCF =S ∆BDE ，请直接写出．．．．