第六课时
课 题
§ 3．2．3 特殊平行四边形(三)
一、 教材与课标： 1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了
解它们之间 的关系。
2.探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关系和四边形是 矩形、菱形、正方形的条件。
二、学情分析：学生在八年级已经借助折纸、画图、测量等活动直观的探索
过平行四边形、菱形、矩形、正方形等性质和判定，本章教材主要是对这些结论进行理论的证明，而前面的探索过程和方法又为本章证明提供了铺垫，为学生提供了相应的定理证明思路。本章前几节课中，学生又学习了“三角形中位线定理”，这些都为探究“中点四边形”做了铺垫，学生已经具备了探究该命题的基本技能；
在相关知识的学习过程中，学生经历了“探索—发现—猜想—证明”的过程，并初步体会了获得猜想后还应予以证明的意义，感受到了合情推理与论证推理的相互依赖和相互补充的辨证关系，并且学生具有了一定的推理证明的能力。同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
三、教学目标
(一)教学知识点
1．能进一步理解掌握矩形、菱形、正方形的性质定理、判定定理． 2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用． (二)能力训练要求
1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力． 2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用． 3．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法． (三)情感与价值观要求
1．通过知识的迁移、类比、转化，激发学生探索新知识的积极性和主动性． 2．体会数学与生活的联系． 教学重点
特殊四边形——矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的灵活应用． 教学难点
特殊四边形——矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的灵活应用． 四、教学方法
启问——交流式教学法，多媒体课件 教具准备
投影片三张
第一张：猜一猜(记作投影片§ 3．2．3 A)
第二张：议一议(记作投影片§ 3．2．3 B) 第三张：做一做(记作投影片§ 3．2．3 C) 五、教学过程
1．巧设现实情境，引入新课 [师]通过前几节内容的学习，我们进一步理解了平行四边形及特殊平行四边形的性质定理和判定定理．
这节课我们来应用它们证明和计算一些题． Ⅱ．讲授新课
[师]下面大家来猜一猜，想一想(出示投影片§ 3．2．3 A) 依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形．那么，依次连接正方形各边的中点．(如图)能得到—个怎样的图形呢?先猜一猜，再证明．
[生甲]依次连结正方形各边的中点得到的四边形是正方形． [生乙]证明：∵四边形ABCD是正方形． ∴∠A＝∠B=∠C=∠D＝90°， AB＝BC＝CD＝DA．
又∵A1、B1、C1、D1分别是边AB、BC、CD、DA的中点。 ∴AA1＝BA＝BB1＝B1C＝CC1＝C1D＝DD1＝D1A． ∴△AD1A1≌△BA1B1≌△CB1C1≌△DC1D1． ∴A1B1＝B1C1＝C1D1＝D1A1． ∵∠A＝∠B＝90°， AA1＝AD1，A1B=BB1，
∴∠AA1D1=∠BA1B1=45°． ∴∠D1A1B1＝90°．
∴四边形A1B1C1D1是正方形．
[师]很好，这个题同学们是先证明了四边形A1B1C1D1的四条边相等，即是菱形，然后又证明了这个四边形的一个角是直角，即有一个角为直角的菱形是正方形，从而得证四边形A1B1C1D1是正方形．
[生丙]因为A1、B1是边AB、DC的中点，所以，若连结对角线AC，则A1B1是△ABC的中位线，同理可知C1D1是△ADC的中位线，同样，连结对角线BD，也可知A1D1是△ABD的中位线，B1C1是△BDC的中位线，这样由中位线的性质定理和正方形的对角线相等可得知A1B1、B1C1、C1D1、D1A1，是相等的，然后再证，有一个角是90°，这样也可以证明：四边形A1B1C1D1是正方形．
老师，你说这样可以吗?
[师]同学们的意见呢? [生齐声]可以．
[师]对，证明四边形A1B1C1D1的四条边相等时，可以用三角形全等，也可以用中位线的性质定理和正方形的性质来证明．大家要灵活应用这些性质，接下来同学们来想一想，议一议(出示投影片§ 3．2．3 B)
(1)依次连结菱形或矩形四边的中点能得到一个什么图形?先猜一猜，再证明．
(2)依次连接平行四边形四边的中点呢?依次连结四边形各边中点所得到的新四边形的形状与哪些线段有关?有怎样的关系．
[生甲]依次连接菱形四边的中点得到的四边形是矩形，如图． 已知在菱形ABCD中，点A1、B1、C1、D1分别是菱形四条边的中点，
求证：四边形A1B1C1D1是矩形．
证明：连结AC、BD．
∵点A1、B1、C1、D1分别是菱形ABCD的各边的中点， ∴A1B1//1AC，C1D1// 1AC.
2
2
∴A1B1//C1D1．
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形． ∵AC、BD是菱形ABCD的对角线， ∴AC⊥BD．
∴∠A1B1C1＝90°．
∴四边形A1B1C1D1是矩形．
[生乙]这个题还可以证明：∠A1B1C1＝∠B1C1D1＝∠C1D1A1＝90°．
11
AC，C1D1//AC， 2211
A1D//BD，B1C1//BD．
22
因为A1B1//
而菱形ABCD的对角线AC、BD互相垂直．
所以，即可得证四边形A1B1C1D1是矩形
[生丙]依次连结矩形四边的中点能得到菱形．如图，点A1、B1、C1、D1分别是矩形ABCD各边的中点，所以连结AC、BD．则A1B1//
1111
AC，C1D1//AC，A1D1//BD，B1C1//BD．
2222
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形．
∵AC＝BD． ∴A1B1＝B1C1.
∴平行四边形A1B1C1D1是菱形．
(学生也提出不同的证明方法，也应鼓励)
[生丁]依次连结平行四边形四边的中点得到的四边形是平行四边形．如图，连接AC或BD．
因为点A1、B1、C1、D1分别是平行四边形ABCD各边的中点，所以A1B1// 所以A1B1//C1D1．
因此，四边形A1B1C1D1是平行四边形． [师]很好，同学们能用类比的方法，证明了连结平行四边形及特殊平行四边形各边中点得到的图形，那么大家能否得出一个一般性的结沦，即依次连结四边形各边小点所得的新四边形的形状与哪些线段有关?有怎样的关系? [生]由前讨论可知：所得的四边形的形状与原四边形两条对角线的位置关系和数量关系有关．
[师]很好，那大家来想一想：连结哪些四边形各边中点所得到的图形是矩形呢?菱形呢? [生]只要四边形的对角线相等，则连结这个四边形各边中点所得到的图形就是菱形． 只要四边形的对角线互相垂直，那么连接这个四边形各边的中点所得到的图形就是矩形．
[师]同学们总结得很好，接下来我们来做一做(出示投影片§ 3．2．3C)
在下图中，ABCDXA表示一条环形高速公路，X表示一座水库，B、C表示两个大市镇．已知
11AC，C1D1//AC． 22
ABCD是一个正方形，XAD是一个等边三角形，假设政府要铺没两条输水管XB和XC，从水库向B、C两个市镇供水，那么这两条水管的夹角(即∠BXC)是多少度
?
[生]可以利用等边三角形的性质及正方形的性质去解决． 解：∵△XAD是等边三角形， ∴∠AXD＝∠XAD＝∠XDA＝60°， XA=AD=XD．
∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠ADC＝90°， AB＝AD＝DC．
∴∠XAB=∠XDC＝150°， XA=AB，XD＝CD．
∴∠AXB＝15°，∠CXD＝15°． ∴∠BXC=60°-∠AXB-∠CXD＝30°．
[师]很好，同学们通过推理证明、计算解决了实际问题，由此我们进一步了解了数学与生活的联系．
下面我们通过练习来进一步巩固本节所 学的内容．
Ⅲ．课堂练习
(一)课本P90，随堂练习1．
1．已知D、E、F分别是△ABC中AB、BC、CA边的中点，四边形DECF是菱形．
求证：△ABC是等腰三角形．
证明：如图，
∵D、E、F分别是△ABC中AB、BC、CA边的中点 ∴DF
11
=BC，DE=AC． 22
∵四边形DECF是菱形，
∴DE＝DF． ∴AC=BC．
∴△ABC是等腰三角形．
(二)看课本P89～P90，然后小结．
Ⅳ．课时小结
这节课我们主要应用了本章的主要定理解决了一些实际问题，大家应掌握本章的主要定理及推论并会灵活应用． Ⅴ．课后作业
(一)课本P91习题3．6 1、2． (二)总结本章的知识点． Ⅵ．活动与探究
1．如图，已知直线m//n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点．
(1)请写出图中面积相等的各对三角形： ；
(2)如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论P点移动到任意位置，总有
与△ABC的面积相等，理由是 。 板书设计
§ 3．2．3 特殊平行四边形(三)
1．依次连结任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形． 依次连结正方形各边的中点，能得到一个怎样的图形呢
?
2．议一议：
所得的四边形的形状与原四边形两条对角线的位置关系和数量关系有关． 3. 做一做：
4．课堂练习 5．课时小结 6．课后作业 备课资料 参考例题
正方形的一个性质定理 定理：过正方形所在平面上任一点作两条互相垂直的直线，其中一条被正方形的一组对边(或其延长线)截得的线段，与另一条被正方形的另一组对边(或其延长线)截得的线段相等．
如图1、图2、图3，已知直线EF⊥MN，且与正方形ABCD的对边或其延长线分别交于E、F、M、N．
求证：EF＝MN，
图3
证明：只给出图2情况下的证明，图1、图3情况下的证明同理．
过A作MN的平行线，交BC于点P，过B作EF的平行线，交CD于点Q．由平行四边形的性质，得AP＝MN，BQ＝EF． ∵MN//AP，EF//BQ，MN⊥EF， ∴AP⊥BQ．
∴∠QBC+∠APB=90°．∠BAP+∠APB＝90°． ∴∠QDC=∠BAP．
又∵AB=BC，
∴Rt△APB≌Rt△BFC． ∴AP＝BQ，即MN＝EF．
这是正方形的一个重要的性质定理．
第六课时
课 题
§ 3．2．3 特殊平行四边形(三)
一、 教材与课标： 1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了
解它们之间 的关系。
2.探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关系和四边形是 矩形、菱形、正方形的条件。
二、学情分析：学生在八年级已经借助折纸、画图、测量等活动直观的探索
过平行四边形、菱形、矩形、正方形等性质和判定，本章教材主要是对这些结论进行理论的证明，而前面的探索过程和方法又为本章证明提供了铺垫，为学生提供了相应的定理证明思路。本章前几节课中，学生又学习了“三角形中位线定理”，这些都为探究“中点四边形”做了铺垫，学生已经具备了探究该命题的基本技能；
在相关知识的学习过程中，学生经历了“探索—发现—猜想—证明”的过程，并初步体会了获得猜想后还应予以证明的意义，感受到了合情推理与论证推理的相互依赖和相互补充的辨证关系，并且学生具有了一定的推理证明的能力。同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
三、教学目标
(一)教学知识点
1．能进一步理解掌握矩形、菱形、正方形的性质定理、判定定理． 2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用． (二)能力训练要求
1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力． 2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用． 3．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法． (三)情感与价值观要求
1．通过知识的迁移、类比、转化，激发学生探索新知识的积极性和主动性． 2．体会数学与生活的联系． 教学重点
特殊四边形——矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的灵活应用． 教学难点
特殊四边形——矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的灵活应用． 四、教学方法
启问——交流式教学法，多媒体课件 教具准备
投影片三张
第一张：猜一猜(记作投影片§ 3．2．3 A)
第二张：议一议(记作投影片§ 3．2．3 B) 第三张：做一做(记作投影片§ 3．2．3 C) 五、教学过程
1．巧设现实情境，引入新课 [师]通过前几节内容的学习，我们进一步理解了平行四边形及特殊平行四边形的性质定理和判定定理．
这节课我们来应用它们证明和计算一些题． Ⅱ．讲授新课
[师]下面大家来猜一猜，想一想(出示投影片§ 3．2．3 A) 依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形．那么，依次连接正方形各边的中点．(如图)能得到—个怎样的图形呢?先猜一猜，再证明．
[生甲]依次连结正方形各边的中点得到的四边形是正方形． [生乙]证明：∵四边形ABCD是正方形． ∴∠A＝∠B=∠C=∠D＝90°， AB＝BC＝CD＝DA．
又∵A1、B1、C1、D1分别是边AB、BC、CD、DA的中点。 ∴AA1＝BA＝BB1＝B1C＝CC1＝C1D＝DD1＝D1A． ∴△AD1A1≌△BA1B1≌△CB1C1≌△DC1D1． ∴A1B1＝B1C1＝C1D1＝D1A1． ∵∠A＝∠B＝90°， AA1＝AD1，A1B=BB1，
∴∠AA1D1=∠BA1B1=45°． ∴∠D1A1B1＝90°．
∴四边形A1B1C1D1是正方形．
[师]很好，这个题同学们是先证明了四边形A1B1C1D1的四条边相等，即是菱形，然后又证明了这个四边形的一个角是直角，即有一个角为直角的菱形是正方形，从而得证四边形A1B1C1D1是正方形．
[生丙]因为A1、B1是边AB、DC的中点，所以，若连结对角线AC，则A1B1是△ABC的中位线，同理可知C1D1是△ADC的中位线，同样，连结对角线BD，也可知A1D1是△ABD的中位线，B1C1是△BDC的中位线，这样由中位线的性质定理和正方形的对角线相等可得知A1B1、B1C1、C1D1、D1A1，是相等的，然后再证，有一个角是90°，这样也可以证明：四边形A1B1C1D1是正方形．
老师，你说这样可以吗?
[师]同学们的意见呢? [生齐声]可以．
[师]对，证明四边形A1B1C1D1的四条边相等时，可以用三角形全等，也可以用中位线的性质定理和正方形的性质来证明．大家要灵活应用这些性质，接下来同学们来想一想，议一议(出示投影片§ 3．2．3 B)
(1)依次连结菱形或矩形四边的中点能得到一个什么图形?先猜一猜，再证明．
(2)依次连接平行四边形四边的中点呢?依次连结四边形各边中点所得到的新四边形的形状与哪些线段有关?有怎样的关系．
[生甲]依次连接菱形四边的中点得到的四边形是矩形，如图． 已知在菱形ABCD中，点A1、B1、C1、D1分别是菱形四条边的中点，
求证：四边形A1B1C1D1是矩形．
证明：连结AC、BD．
∵点A1、B1、C1、D1分别是菱形ABCD的各边的中点， ∴A1B1//1AC，C1D1// 1AC.
2
2
∴A1B1//C1D1．
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形． ∵AC、BD是菱形ABCD的对角线， ∴AC⊥BD．
∴∠A1B1C1＝90°．
∴四边形A1B1C1D1是矩形．
[生乙]这个题还可以证明：∠A1B1C1＝∠B1C1D1＝∠C1D1A1＝90°．
11
AC，C1D1//AC， 2211
A1D//BD，B1C1//BD．
22
因为A1B1//
而菱形ABCD的对角线AC、BD互相垂直．
所以，即可得证四边形A1B1C1D1是矩形
[生丙]依次连结矩形四边的中点能得到菱形．如图，点A1、B1、C1、D1分别是矩形ABCD各边的中点，所以连结AC、BD．则A1B1//
1111
AC，C1D1//AC，A1D1//BD，B1C1//BD．
2222
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形．
∵AC＝BD． ∴A1B1＝B1C1.
∴平行四边形A1B1C1D1是菱形．
(学生也提出不同的证明方法，也应鼓励)
[生丁]依次连结平行四边形四边的中点得到的四边形是平行四边形．如图，连接AC或BD．
因为点A1、B1、C1、D1分别是平行四边形ABCD各边的中点，所以A1B1// 所以A1B1//C1D1．
因此，四边形A1B1C1D1是平行四边形． [师]很好，同学们能用类比的方法，证明了连结平行四边形及特殊平行四边形各边中点得到的图形，那么大家能否得出一个一般性的结沦，即依次连结四边形各边小点所得的新四边形的形状与哪些线段有关?有怎样的关系? [生]由前讨论可知：所得的四边形的形状与原四边形两条对角线的位置关系和数量关系有关．
[师]很好，那大家来想一想：连结哪些四边形各边中点所得到的图形是矩形呢?菱形呢? [生]只要四边形的对角线相等，则连结这个四边形各边中点所得到的图形就是菱形． 只要四边形的对角线互相垂直，那么连接这个四边形各边的中点所得到的图形就是矩形．
[师]同学们总结得很好，接下来我们来做一做(出示投影片§ 3．2．3C)
在下图中，ABCDXA表示一条环形高速公路，X表示一座水库，B、C表示两个大市镇．已知
11AC，C1D1//AC． 22
ABCD是一个正方形，XAD是一个等边三角形，假设政府要铺没两条输水管XB和XC，从水库向B、C两个市镇供水，那么这两条水管的夹角(即∠BXC)是多少度
?
[生]可以利用等边三角形的性质及正方形的性质去解决． 解：∵△XAD是等边三角形， ∴∠AXD＝∠XAD＝∠XDA＝60°， XA=AD=XD．
∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠ADC＝90°， AB＝AD＝DC．
∴∠XAB=∠XDC＝150°， XA=AB，XD＝CD．
∴∠AXB＝15°，∠CXD＝15°． ∴∠BXC=60°-∠AXB-∠CXD＝30°．
[师]很好，同学们通过推理证明、计算解决了实际问题，由此我们进一步了解了数学与生活的联系．
下面我们通过练习来进一步巩固本节所 学的内容．
Ⅲ．课堂练习
(一)课本P90，随堂练习1．
1．已知D、E、F分别是△ABC中AB、BC、CA边的中点，四边形DECF是菱形．
求证：△ABC是等腰三角形．
证明：如图，
∵D、E、F分别是△ABC中AB、BC、CA边的中点 ∴DF
11
=BC，DE=AC． 22
∵四边形DECF是菱形，
∴DE＝DF． ∴AC=BC．
∴△ABC是等腰三角形．
(二)看课本P89～P90，然后小结．
Ⅳ．课时小结
这节课我们主要应用了本章的主要定理解决了一些实际问题，大家应掌握本章的主要定理及推论并会灵活应用． Ⅴ．课后作业
(一)课本P91习题3．6 1、2． (二)总结本章的知识点． Ⅵ．活动与探究
1．如图，已知直线m//n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点．
(1)请写出图中面积相等的各对三角形： ；
(2)如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论P点移动到任意位置，总有
与△ABC的面积相等，理由是 。 板书设计
§ 3．2．3 特殊平行四边形(三)
1．依次连结任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形． 依次连结正方形各边的中点，能得到一个怎样的图形呢
?
2．议一议：
所得的四边形的形状与原四边形两条对角线的位置关系和数量关系有关． 3. 做一做：
4．课堂练习 5．课时小结 6．课后作业 备课资料 参考例题
正方形的一个性质定理 定理：过正方形所在平面上任一点作两条互相垂直的直线，其中一条被正方形的一组对边(或其延长线)截得的线段，与另一条被正方形的另一组对边(或其延长线)截得的线段相等．
如图1、图2、图3，已知直线EF⊥MN，且与正方形ABCD的对边或其延长线分别交于E、F、M、N．
求证：EF＝MN，
图3
证明：只给出图2情况下的证明，图1、图3情况下的证明同理．
过A作MN的平行线，交BC于点P，过B作EF的平行线，交CD于点Q．由平行四边形的性质，得AP＝MN，BQ＝EF． ∵MN//AP，EF//BQ，MN⊥EF， ∴AP⊥BQ．
∴∠QBC+∠APB=90°．∠BAP+∠APB＝90°． ∴∠QDC=∠BAP．
又∵AB=BC，
∴Rt△APB≌Rt△BFC． ∴AP＝BQ，即MN＝EF．
这是正方形的一个重要的性质定理．