中学生理化报(高中)/2002年/11月/08日/第006版/
理想气体状态方程和克拉珀龙方程的几个推论及其应用
山东莒南一中李树祥山东莒南前刘山小学张伯英
对于理想气体,有两个基本方程:一是研究任意质量的气体,在任意状态下,三个状态参量之间的关系的克拉珀龙方程
PV=nRT
二是研究一定质量的理想气体在状态变化的过程中,初状态和末状态的状态参量之间的关系的理想气体状态方程
P1V1/T1=P2V2/T2
由这两个方程可推导出一些有用的推论。推论一(理想气体的密度方程) 设气体的质量为m,在状态I时的密度为Q1,温度为T1,压强为P1;状态Ⅱ时的密度为Q2,温度为T2,压强为P2,则有
21
=Q2T2Q1T1
推导 把Q1=m/V1和Q2=m/V2代入理想气体的状态方程即得上式。
此公式虽由一定质量的理想气体的状态方程推出,但此式却与质量无关,故常用来解决变质量气体的状态变化问题。
例1 贮气筒中压缩空气的温度是T1=27°C,压强是P1=40atm。当从筒内放出一半质量的空气以后,筒内剩余空气的温度是T2=12°C,问这些剩余空气的压强P2是多少?解析 筒内放出一半质量的气体后,由于
贮气筒的容积不变,气体的密度变为原来的一半,即Q2=Q1/2。故由推论一得
140××285122==19atmP2=111
的变化量
$P=$TP/T
从温度为T1、体积为V的状态等压变化到温度为T′=T+$T、体积为V′=V+$V的状态时,气体体积的变化量
$V=ATV/T
推导 设气体由状态P、T、V变化到状态P′、T′、V′。因等容变化时V=V′,故由气体状态方程有
P′/P=T′/T
由分比定理得 $P/P=$T/T所以 $P=$TP/T同理可推得 $V=$TV/T
例2 一定质量的理想气体,在等压变化过程中,温度由300K升高至301K,问体积的增量等于它在300K时体积的多少?
解析 依题设,气体温度的增量为$T=301-300=1K由推论二可得,体积的增量为
$V=V/300
即体积的增量等于它在300K时体积的1/300。
推论三 把压强、体积、温度分别为P1、V1、T1、P2、V2、T2,……的几部分理想气体(不管这几部分气体性质是否相同)进行混合,混合后的压强、体积、温度为P、V、T,则有
1122++……=T1T2T
反之若把压强、体积、温度为P、V、T的一定质量的气体分成几部分,则有
1122
=++……TT1T2
推导 设几部分气体的摩尔数分别为n1、,2推论二 一定质量的理想气体从温度为
压强为P的状态等容变化到温度为T′=TT1、
+
数为n=n1+n2+……。由克拉珀龙方程有
1122n1=T1R,n2=T2R,……n=TR1122得 T1R+T2R+……=TR1122即 ++……=
T1T2T同理,可导出推论三的后部分结论。
例3 一个潜水艇位于水面下h=200m,艇上有一个容积V=2m的贮气钢筒,筒内贮有压缩空气,将筒内一部分空气压入水箱(水箱有排水孔与海水相连),排出海水V1=10m3,此时筒内剩余气体的压强是P2=95atm。设在排水过程中温度不变,求贮气钢筒内原来的压缩空气的压强。设水面上空气压强为P0=1atm,海水密度为Q=1.0×103kg/m3,g=10m/s2,1atm=1.0×105Pa。
解析 本题是一个压缩空气排水的问题,相当于把贮气筒内的压缩气体(已知体积V=2m3,设压强为P,温度为T)分为两个部分,一部分进入水箱(已知体积为V1=10m3,温度T1=T,设压强为P1),一部分留在贮气筒(已知体积V2=V=2m3,压强P2=95atm,温度T2=T)。水箱内空气的压强可直接算出
3×10×200
=P1=P0+Qgh=1+1×105
21atm
对压缩空气,由推论三有
3
1122
=+TT1T2
1122
==
V2
得 P=200atm
推论四 k个不同状态的理想气体合并后
再分成另外m个不同的状态,则有
11221122++……=++…T1T2T1′T2′推导同推论三的推导类似,由混合前气体的总摩尔数n1+n2+……等于混合后的总摩尔数n1′+n2′+……,再利用克拉珀龙方程即可导
出推论四。
例4 如图所示甲、乙两容器用细管相连,V1=1L,V2=2L,甲容器内空
气的压强为P1=1atm,乙容器中空气的压强为P2=2atm,温度均为T1=T2=27°C。打开阀门,并将甲容器的温度降为T1′=-73°C,乙容器的温度仍为T2′=27°C,问此时容器内气体的压强为多少?
解析 由推论四有
1122+=+T1T2T1′T2′P1V1
+1
得 P=
+T1′
P2V2+
2=+T2′200300
=1.43atm
中学生理化报(高中)/2002年/11月/08日/第006版/
理想气体状态方程和克拉珀龙方程的几个推论及其应用
山东莒南一中李树祥山东莒南前刘山小学张伯英
对于理想气体,有两个基本方程:一是研究任意质量的气体,在任意状态下,三个状态参量之间的关系的克拉珀龙方程
PV=nRT
二是研究一定质量的理想气体在状态变化的过程中,初状态和末状态的状态参量之间的关系的理想气体状态方程
P1V1/T1=P2V2/T2
由这两个方程可推导出一些有用的推论。推论一(理想气体的密度方程) 设气体的质量为m,在状态I时的密度为Q1,温度为T1,压强为P1;状态Ⅱ时的密度为Q2,温度为T2,压强为P2,则有
21
=Q2T2Q1T1
推导 把Q1=m/V1和Q2=m/V2代入理想气体的状态方程即得上式。
此公式虽由一定质量的理想气体的状态方程推出,但此式却与质量无关,故常用来解决变质量气体的状态变化问题。
例1 贮气筒中压缩空气的温度是T1=27°C,压强是P1=40atm。当从筒内放出一半质量的空气以后,筒内剩余空气的温度是T2=12°C,问这些剩余空气的压强P2是多少?解析 筒内放出一半质量的气体后,由于
贮气筒的容积不变,气体的密度变为原来的一半,即Q2=Q1/2。故由推论一得
140××285122==19atmP2=111
的变化量
$P=$TP/T
从温度为T1、体积为V的状态等压变化到温度为T′=T+$T、体积为V′=V+$V的状态时,气体体积的变化量
$V=ATV/T
推导 设气体由状态P、T、V变化到状态P′、T′、V′。因等容变化时V=V′,故由气体状态方程有
P′/P=T′/T
由分比定理得 $P/P=$T/T所以 $P=$TP/T同理可推得 $V=$TV/T
例2 一定质量的理想气体,在等压变化过程中,温度由300K升高至301K,问体积的增量等于它在300K时体积的多少?
解析 依题设,气体温度的增量为$T=301-300=1K由推论二可得,体积的增量为
$V=V/300
即体积的增量等于它在300K时体积的1/300。
推论三 把压强、体积、温度分别为P1、V1、T1、P2、V2、T2,……的几部分理想气体(不管这几部分气体性质是否相同)进行混合,混合后的压强、体积、温度为P、V、T,则有
1122++……=T1T2T
反之若把压强、体积、温度为P、V、T的一定质量的气体分成几部分,则有
1122
=++……TT1T2
推导 设几部分气体的摩尔数分别为n1、,2推论二 一定质量的理想气体从温度为
压强为P的状态等容变化到温度为T′=TT1、
+
数为n=n1+n2+……。由克拉珀龙方程有
1122n1=T1R,n2=T2R,……n=TR1122得 T1R+T2R+……=TR1122即 ++……=
T1T2T同理,可导出推论三的后部分结论。
例3 一个潜水艇位于水面下h=200m,艇上有一个容积V=2m的贮气钢筒,筒内贮有压缩空气,将筒内一部分空气压入水箱(水箱有排水孔与海水相连),排出海水V1=10m3,此时筒内剩余气体的压强是P2=95atm。设在排水过程中温度不变,求贮气钢筒内原来的压缩空气的压强。设水面上空气压强为P0=1atm,海水密度为Q=1.0×103kg/m3,g=10m/s2,1atm=1.0×105Pa。
解析 本题是一个压缩空气排水的问题,相当于把贮气筒内的压缩气体(已知体积V=2m3,设压强为P,温度为T)分为两个部分,一部分进入水箱(已知体积为V1=10m3,温度T1=T,设压强为P1),一部分留在贮气筒(已知体积V2=V=2m3,压强P2=95atm,温度T2=T)。水箱内空气的压强可直接算出
3×10×200
=P1=P0+Qgh=1+1×105
21atm
对压缩空气,由推论三有
3
1122
=+TT1T2
1122
==
V2
得 P=200atm
推论四 k个不同状态的理想气体合并后
再分成另外m个不同的状态,则有
11221122++……=++…T1T2T1′T2′推导同推论三的推导类似,由混合前气体的总摩尔数n1+n2+……等于混合后的总摩尔数n1′+n2′+……,再利用克拉珀龙方程即可导
出推论四。
例4 如图所示甲、乙两容器用细管相连,V1=1L,V2=2L,甲容器内空
气的压强为P1=1atm,乙容器中空气的压强为P2=2atm,温度均为T1=T2=27°C。打开阀门,并将甲容器的温度降为T1′=-73°C,乙容器的温度仍为T2′=27°C,问此时容器内气体的压强为多少?
解析 由推论四有
1122+=+T1T2T1′T2′P1V1
+1
得 P=
+T1′
P2V2+
2=+T2′200300
=1.43atm