充分条件和必要条件
教学目标
知识与技能：通过这节课的教学，要求学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在论证中正确地运用.
过程与方法：充要条件是重要的数学概念．它主要讨论命题的条件和结论的关系．通过对充分条件、必要条件和充要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．
情感态度与价值观：通过问题情境的引入渗透爱国主义教育。通过主动探究、合作学习、相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
教学重点
充分条件、必要条件和充要条件的概念．
教学难点
充分条件、必要条件和充要条件三个概念在论证中的正确运用.
教学过程
创设情境 激发求知 情境一
当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”. 你想一想这个时候你的妈妈还会补充说你是她的孩子吗？
情境二
播放音乐《没有共产党就没有新中国》，让学生说出其歌名. 学生活动 探究新知
判断下列命题是真命题还是假命题 （1）若
，则
；（2）若
，则
；
（3）两个全等三角形的面积相等；（4）对角线互相垂直的四边形是菱形.
（上述三个问题的设计意图为：①复习巩固上节课知识；②顺其自然，引入本节课的内容。）
生：（1）、（3）是真命题，（2）、（4）是假命题． （对于命题“若断其真假呢？看
则 ”，有时是真命题，有时是假命题．如何判
能推出 ，则原命题是真 则 ”，如果由
经过推理
能不能推出 ，如果
命题，否则就是假命题． 对于命题“若能推出 ，也就是说，如果要有条件
成立，那么 一定成立．换句话说，只
是
就能充分地保证结论 的成立，这时我们称条件
．）
成立的充分条件，记作
模型构建 数学理论
1. 充分条件与必要条件定义（板书）
一般地，如果已知p q ，那么就说，p 是q 的充分条件(sufficient condition) ，q 是p 的必要条件(necessary condition)．
师：请用充分条件与必要来叙述上述（1）的条件与结论之间的关系．（学生口答）
生：“ ”是“ ”成立的充分不必要条件，“”是“”
成立的必要不充分条件.
运用理论 解决问题
例1 ．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件： (1) p：x=y；q ：x 2=y2.
（2）p ：三角形ABC 的三条边相等；q ：三角形ABC 的三个角相等． 解: (1) x=y是x 2=y2的充分不必要条件， x 2=y2是x=y的必要不充分条件.(2) p是q 的充分条件且是必要条件，q 是p 的充分条件且是必要条件.
(设计意图:①对所学理论直接应用; ②引入充要条件的概念.) 模型构建 数学理论 2．充要条件定义（板书） 一般地，如果
是 的充分条件， 又是 的必要条件，则称
是 的充分必要条件，简称充要条件( sufficient and necessary condition)记作
.
师：请大家总结出判断充分、必要条件的一个算法. 模型构建 数学理论
3．用算法表示判断充分、必要条件的基本步骤(板书) Step1:认清条件和结论；
Step2:考察p ⇒q 和q ⇒p 的真假； Step3:下结论. 运用理论 解决问题
例2. 用“必要不充分”，“充分不必要”，“充要”，“既不充分也不必要”填写下表
①因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以充分非必要条件， ②
是
的必要非充分条件； ，而 是
不一定推出
，所以
是 是
的
一定能推出
的充分非必要条件， ③
的必要非充分条件； 一定是偶数；
是
是偶数，
、
、 是奇数，那么
不一定都是奇数（可能都为偶数），所以 是 ④分条件；
⑤由交集的定义可知
且
是
的必要非充分条件； 表示
或
，所以
的充分非必要条件，
是 成立的必要非充
成立的充要条件；
⑥由要条件； ⑦由
知 且 ，所以 是的充分非必
知
是
，
或
，所以
成立的必要非充分条件； 是6的倍数”的既非充分又非必要条
⑧易知“件；
是4的倍数”是“
(设计意图：通过对上述几个简单问题的交流、思辩，在争论中得到了正确答案，并加深了对充分条件、必要条件的认识．)
例3. 请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空：
(1) “|x-2|
(2)“x2≤0”是“x≥0”的;
（3）“m是4的倍数”是“m是6倍数” 的 条件.
分析：(1)应首先对|x-2|
(2)可以直接判断, 更好的方法是考察它的逆否命题;(充分不必要条件) (3)很容易直接判断.(既不充分也不必要条件)
(设计意图：①对所学理论进一步应用; ②通过解决本题让学生总结出判断充分、必要条件的一般方法和策略.)
模型构建 数学理论
4. 判别充分、必要条件方法和策略(板书) （1）先简化命题; （2）集合法;
（3）可将命题转化为等价的逆否命题后再判断;
(4) 否定一个命题只要举出一个反例即可. 运用理论 巩固练习 基础训练（感受、理解）
课本（苏教版选修1-1）第8页练习l 、2.
（基础训练是所学知识的直接、简单应用，意在使学生理解充分条件、必要条件和充要条件的概念，由学生口答完成. ）
能力训练（思考、运用）
1. 用今天所学的知识解决刚开始提出的三个情境问题;
解析：①“这是我妈妈”和“我是妈妈的孩子”互为充要条件，所以不需要补充说了；
②共产党是新中国成立必须具备的条件；
2．直线a , b 和平面α, β，a //b 的一个充分条件是（ ）
A. a //α, b //α B. a //α, b //β, α//β C. a ⊥α, b ⊥β, α//β D. a ⊥α, b ⊥β, α⊥β 3．在∆ABC 中，p :A >B ，q :sinA >sin B ，m :cos A
n :tan A >tan B
问:p是q 的什么条件？p 是m 的什么条件？p 是n 的什么条件？ 分析：第2题是立体几何中常见的题目的变形问法，是对立体几何中有关定理和性质的变相考查，稍加分析可知，本题应选C. 第3题是对正弦定理、三角函数的单调性的考查. 当然本题的第3个问也可以用举反例的方法加以判别. 这两道题与前面所学的知识有效地进行了联系和沟
通. ）（师生互动，共同完成）
解：1、C ；2、p 是q 的充要条件，p 是m 的充要条件，p 是n 的既不充分也不必要条件.
（能力训练是知识的变形应用和逆向思维训练，深化概念，发展思维，使学生能比较深刻地理解充分条件、必要条件和充要条件的本质. ）
创新提高（探究、拓展）
1．是否存在实数m ，使得2x +m 0的充分条件？ 2．是否存在实数m ，使得2x +m 0的必要条件？ （1）是否存在实数m ，使得2x +m 0的充分条件？ （2）是否存在实数m ，使得2x +m 0的必要条件？
解：欲使得2x +m 0的充分条件，则只要
2
2222
m m
{x |x 3}，则只要-≤-1即m ≥2，故存
22
在实数m ≥2时，使2x +m 0的充分条件．
（2）欲使2x +m 0的必要条件，则只要
2
2
{x |x
则这是不可能的，故不存在实数m }⊇{x |x 3}，
2
2
时，使2x +m 0的必要条件．
（创新提高题有一定的难度，供部分有余力的学生做，作为选做题） 提炼小结 反思提高（教师启发学生完成，必要时给予补充）
（1）充分条件、必要条件、充要条件的概念. （2）判断充分、必要条件的一个算法： ①认清条件和结论；
②考察p ⇒q 和q ⇒p 的真假； ③下结论.
（3）判别方法和策略： ① 先简化命题； ② 集合法；
③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断; ④否定一个命题只要举出一个反例即可. 布置作业
充分条件和必要条件
教学目标
知识与技能：通过这节课的教学，要求学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在论证中正确地运用.
过程与方法：充要条件是重要的数学概念．它主要讨论命题的条件和结论的关系．通过对充分条件、必要条件和充要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．
情感态度与价值观：通过问题情境的引入渗透爱国主义教育。通过主动探究、合作学习、相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
教学重点
充分条件、必要条件和充要条件的概念．
教学难点
充分条件、必要条件和充要条件三个概念在论证中的正确运用.
教学过程
创设情境 激发求知 情境一
当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”. 你想一想这个时候你的妈妈还会补充说你是她的孩子吗？
情境二
播放音乐《没有共产党就没有新中国》，让学生说出其歌名. 学生活动 探究新知
判断下列命题是真命题还是假命题 （1）若
，则
；（2）若
，则
；
（3）两个全等三角形的面积相等；（4）对角线互相垂直的四边形是菱形.
（上述三个问题的设计意图为：①复习巩固上节课知识；②顺其自然，引入本节课的内容。）
生：（1）、（3）是真命题，（2）、（4）是假命题． （对于命题“若断其真假呢？看
则 ”，有时是真命题，有时是假命题．如何判
能推出 ，则原命题是真 则 ”，如果由
经过推理
能不能推出 ，如果
命题，否则就是假命题． 对于命题“若能推出 ，也就是说，如果要有条件
成立，那么 一定成立．换句话说，只
是
就能充分地保证结论 的成立，这时我们称条件
．）
成立的充分条件，记作
模型构建 数学理论
1. 充分条件与必要条件定义（板书）
一般地，如果已知p q ，那么就说，p 是q 的充分条件(sufficient condition) ，q 是p 的必要条件(necessary condition)．
师：请用充分条件与必要来叙述上述（1）的条件与结论之间的关系．（学生口答）
生：“ ”是“ ”成立的充分不必要条件，“”是“”
成立的必要不充分条件.
运用理论 解决问题
例1 ．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件： (1) p：x=y；q ：x 2=y2.
（2）p ：三角形ABC 的三条边相等；q ：三角形ABC 的三个角相等． 解: (1) x=y是x 2=y2的充分不必要条件， x 2=y2是x=y的必要不充分条件.(2) p是q 的充分条件且是必要条件，q 是p 的充分条件且是必要条件.
(设计意图:①对所学理论直接应用; ②引入充要条件的概念.) 模型构建 数学理论 2．充要条件定义（板书） 一般地，如果
是 的充分条件， 又是 的必要条件，则称
是 的充分必要条件，简称充要条件( sufficient and necessary condition)记作
.
师：请大家总结出判断充分、必要条件的一个算法. 模型构建 数学理论
3．用算法表示判断充分、必要条件的基本步骤(板书) Step1:认清条件和结论；
Step2:考察p ⇒q 和q ⇒p 的真假； Step3:下结论. 运用理论 解决问题
例2. 用“必要不充分”，“充分不必要”，“充要”，“既不充分也不必要”填写下表
①因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以充分非必要条件， ②
是
的必要非充分条件； ，而 是
不一定推出
，所以
是 是
的
一定能推出
的充分非必要条件， ③
的必要非充分条件； 一定是偶数；
是
是偶数，
、
、 是奇数，那么
不一定都是奇数（可能都为偶数），所以 是 ④分条件；
⑤由交集的定义可知
且
是
的必要非充分条件； 表示
或
，所以
的充分非必要条件，
是 成立的必要非充
成立的充要条件；
⑥由要条件； ⑦由
知 且 ，所以 是的充分非必
知
是
，
或
，所以
成立的必要非充分条件； 是6的倍数”的既非充分又非必要条
⑧易知“件；
是4的倍数”是“
(设计意图：通过对上述几个简单问题的交流、思辩，在争论中得到了正确答案，并加深了对充分条件、必要条件的认识．)
例3. 请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空：
(1) “|x-2|
(2)“x2≤0”是“x≥0”的;
（3）“m是4的倍数”是“m是6倍数” 的 条件.
分析：(1)应首先对|x-2|
(2)可以直接判断, 更好的方法是考察它的逆否命题;(充分不必要条件) (3)很容易直接判断.(既不充分也不必要条件)
(设计意图：①对所学理论进一步应用; ②通过解决本题让学生总结出判断充分、必要条件的一般方法和策略.)
模型构建 数学理论
4. 判别充分、必要条件方法和策略(板书) （1）先简化命题; （2）集合法;
（3）可将命题转化为等价的逆否命题后再判断;
(4) 否定一个命题只要举出一个反例即可. 运用理论 巩固练习 基础训练（感受、理解）
课本（苏教版选修1-1）第8页练习l 、2.
（基础训练是所学知识的直接、简单应用，意在使学生理解充分条件、必要条件和充要条件的概念，由学生口答完成. ）
能力训练（思考、运用）
1. 用今天所学的知识解决刚开始提出的三个情境问题;
解析：①“这是我妈妈”和“我是妈妈的孩子”互为充要条件，所以不需要补充说了；
②共产党是新中国成立必须具备的条件；
2．直线a , b 和平面α, β，a //b 的一个充分条件是（ ）
A. a //α, b //α B. a //α, b //β, α//β C. a ⊥α, b ⊥β, α//β D. a ⊥α, b ⊥β, α⊥β 3．在∆ABC 中，p :A >B ，q :sinA >sin B ，m :cos A
n :tan A >tan B
问:p是q 的什么条件？p 是m 的什么条件？p 是n 的什么条件？ 分析：第2题是立体几何中常见的题目的变形问法，是对立体几何中有关定理和性质的变相考查，稍加分析可知，本题应选C. 第3题是对正弦定理、三角函数的单调性的考查. 当然本题的第3个问也可以用举反例的方法加以判别. 这两道题与前面所学的知识有效地进行了联系和沟
通. ）（师生互动，共同完成）
解：1、C ；2、p 是q 的充要条件，p 是m 的充要条件，p 是n 的既不充分也不必要条件.
（能力训练是知识的变形应用和逆向思维训练，深化概念，发展思维，使学生能比较深刻地理解充分条件、必要条件和充要条件的本质. ）
创新提高（探究、拓展）
1．是否存在实数m ，使得2x +m 0的充分条件？ 2．是否存在实数m ，使得2x +m 0的必要条件？ （1）是否存在实数m ，使得2x +m 0的充分条件？ （2）是否存在实数m ，使得2x +m 0的必要条件？
解：欲使得2x +m 0的充分条件，则只要
2
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m m
{x |x 3}，则只要-≤-1即m ≥2，故存
22
在实数m ≥2时，使2x +m 0的充分条件．
（2）欲使2x +m 0的必要条件，则只要
2
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{x |x
则这是不可能的，故不存在实数m }⊇{x |x 3}，
2
2
时，使2x +m 0的必要条件．
（创新提高题有一定的难度，供部分有余力的学生做，作为选做题） 提炼小结 反思提高（教师启发学生完成，必要时给予补充）
（1）充分条件、必要条件、充要条件的概念. （2）判断充分、必要条件的一个算法： ①认清条件和结论；
②考察p ⇒q 和q ⇒p 的真假； ③下结论.
（3）判别方法和策略： ① 先简化命题； ② 集合法；
③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断; ④否定一个命题只要举出一个反例即可. 布置作业