chang勾股定理的证明16种方法

勾股定理的证明

【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

整理得

222

abc.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角

把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,

∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的

正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º, ∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

2

ab∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.

222

∴ abc.

【证法3】（赵爽证明）

以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角

把这四个直角三

角形拼成如图所示形状.

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形， 它的面积等于c2.

∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90º.

b―a的正方形，它的面积等于ba.

2

【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角

三点

在一条直线上

.

∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

∴ ∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED +

∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.

∴

又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC.

∴ ABCD

【证法5】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º.

即 ∠CBD= 90º.

又∵ ∠BDE = 90º

，∠BCP = 90º，

BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

的面积为S，则

∴ abc.

【证法6】（项明达证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90º，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM⊥PQ， 222

∴ ∠BMP = 90º，

∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC， 又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.

【证法7】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c

C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD. 过C作CL⊥DE，

交AB于点M，交DE于点 L. ∵ AF = AC，AB = AD，

∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，

∴ 矩形ADLM的面积 =a. 同理可证，矩形MLEB的面积 =b.

2

2

∵ 正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

∴ cab ，即 abc. 【证法8】（杨作玫证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

，

∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º ∴ ∠DAH = ∠BAC. 又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，

AD = AB = c，

∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ DH = BC = a，AH = AC = b. 222222

由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = b―a.

∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,

RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA . ∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，

∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH是一个边长为a的正方形.

∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a . ∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为

=

S5S8S9，

∴. ②

把②代入①，得

cSSbSSSS121889

2

22

= bS2S9 = ba. 2

2

2

bS1S8

∴ abc. 【证法9】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D. 在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，

∠CAD = ∠BAC，

∴

ΔADC ∽ ΔACB.

AD∶AC = AC ∶AB， 即 .

222

222

abc.

【证法10】（李锐证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长

分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE.

又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º

，

BT = BE = b，

∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE. ∴ HT = AE = a.

∴ GH = GT―HT = b―a. 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，

∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º， ∴ ∠GHF = ∠DBC. ∵ DB = EB―ED = b―a，

∠HGF = ∠BDC = 90º，

∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 S7S2.

过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌ RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 S8S5.

由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE. ∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE， ∴ ∠FQM = ∠CAR. 又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a，

∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即S4S6. ∵

，aS1S6，，

2

又∵ S7S2，S8S5，S4S6， ∴

abSSSSS16378

2

2

=

=c，

即 abc. 【证法11】（利用切割线定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得

2

2

2

2

=

=caca

22

= ca，

即

bca

222

，

222

∴ a

bc.

【证法12】（利用多列米定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有

，

ABDCADBCACBD

∵ AB = DC = c，AD = BC = a， AC = BD = b，

222

∴ ，即 cab， 222

∴ abc.

【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.

∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，



BCABAECEBD∴ AC= CECD= r + r = 2r,

r， 即

abc2

∴

即

∴ ，

∴ ，

∴ abc. ∴ ，

【证法14】（利用反证法证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c⊥AB，垂足是D.

，则由

222

即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB. 可知 ，或者 .

在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠A = ∠A， ∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则 ∠ADC≠∠ACB. 在ΔCDB和ΔACB中， ∵ ∠B = ∠B，

∴ 若BD：BC≠BC：AB，则 ∠CDB≠∠ACB.

又∵ ∠ACB = 90º，

∴ ∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.

这与作法CD⊥AB矛盾. 所以，的假设不能成立. ∴ abc. 【证法15】（辛卜松证明）

222

设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正

方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形

把

ABCD的面积为 ；形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积ABCD的面积为2abc. ∴ ,

222

∴ abc.

2

【证法16】（陈杰证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a）

一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC则 AD = c.

∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a，

∴ DM = EM―ED = ba―a = b.

又∵ ∠CMD = 90º，CM = a，

∠AED = 90º， AE = b， ∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.

∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c. ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º. ∴ 作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.

∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE.

连结FB，在ΔABF和ΔADE中，

∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE， ∴ ΔABF ≌ ΔADE. ∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a. ∴ 点B、F、G、H在一条直线上. 在RtΔABF和RtΔBCG中， ∵ AB = BC = c，BF = CG = a， ∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG. ∵ ， ，

，

aS3S7

2

，

勾股定理的证明

【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

整理得

222

abc.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角

把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,

∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的

正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º, ∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

2

ab∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.

222

∴ abc.

【证法3】（赵爽证明）

以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角

把这四个直角三

角形拼成如图所示形状.

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形， 它的面积等于c2.

∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90º.

b―a的正方形，它的面积等于ba.

2

【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角

三点

在一条直线上

.

∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

∴ ∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED +

∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.

∴

又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC.

∴ ABCD

【证法5】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º.

即 ∠CBD= 90º.

又∵ ∠BDE = 90º

，∠BCP = 90º，

BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

的面积为S，则

∴ abc.

【证法6】（项明达证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90º，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM⊥PQ， 222

∴ ∠BMP = 90º，

∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC， 又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.

【证法7】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c

C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD. 过C作CL⊥DE，

交AB于点M，交DE于点 L. ∵ AF = AC，AB = AD，

∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，

∴ 矩形ADLM的面积 =a. 同理可证，矩形MLEB的面积 =b.

2

2

∵ 正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

∴ cab ，即 abc. 【证法8】（杨作玫证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

，

∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º ∴ ∠DAH = ∠BAC. 又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，

AD = AB = c，

∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ DH = BC = a，AH = AC = b. 222222

由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = b―a.

∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,

RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA . ∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，

∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH是一个边长为a的正方形.

∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a . ∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为

=

S5S8S9，

∴. ②

把②代入①，得

cSSbSSSS121889

2

22

= bS2S9 = ba. 2

2

2

bS1S8

∴ abc. 【证法9】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D. 在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，

∠CAD = ∠BAC，

∴

ΔADC ∽ ΔACB.

AD∶AC = AC ∶AB， 即 .

222

222

abc.

【证法10】（李锐证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长

分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE.

又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º

，

BT = BE = b，

∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE. ∴ HT = AE = a.

∴ GH = GT―HT = b―a. 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，

∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º， ∴ ∠GHF = ∠DBC. ∵ DB = EB―ED = b―a，

∠HGF = ∠BDC = 90º，

∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 S7S2.

过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌ RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 S8S5.

由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE. ∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE， ∴ ∠FQM = ∠CAR. 又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a，

∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即S4S6. ∵

，aS1S6，，

2

又∵ S7S2，S8S5，S4S6， ∴

abSSSSS16378

2

2

=

=c，

即 abc. 【证法11】（利用切割线定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得

2

2

2

2

=

=caca

22

= ca，

即

bca

222

，

222

∴ a

bc.

【证法12】（利用多列米定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有

，

ABDCADBCACBD

∵ AB = DC = c，AD = BC = a， AC = BD = b，

222

∴ ，即 cab， 222

∴ abc.

【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.

∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，



BCABAECEBD∴ AC= CECD= r + r = 2r,

r， 即

abc2

∴

即

∴ ，

∴ ，

∴ abc. ∴ ，

【证法14】（利用反证法证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c⊥AB，垂足是D.

，则由

222

即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB. 可知 ，或者 .

在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠A = ∠A， ∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则 ∠ADC≠∠ACB. 在ΔCDB和ΔACB中， ∵ ∠B = ∠B，

∴ 若BD：BC≠BC：AB，则 ∠CDB≠∠ACB.

又∵ ∠ACB = 90º，

∴ ∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.

这与作法CD⊥AB矛盾. 所以，的假设不能成立. ∴ abc. 【证法15】（辛卜松证明）

222

设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正

方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形

把

ABCD的面积为 ；形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积ABCD的面积为2abc. ∴ ,

222

∴ abc.

2

【证法16】（陈杰证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a）

一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC则 AD = c.

∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a，

∴ DM = EM―ED = ba―a = b.

又∵ ∠CMD = 90º，CM = a，

∠AED = 90º， AE = b， ∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.

∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c. ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º. ∴ 作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.

∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE.

连结FB，在ΔABF和ΔADE中，

∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE， ∴ ΔABF ≌ ΔADE. ∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a. ∴ 点B、F、G、H在一条直线上. 在RtΔABF和RtΔBCG中， ∵ AB = BC = c，BF = CG = a， ∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG. ∵ ， ，

，

aS3S7

2

，