“解三角形”双基过关检测
一、选择题
1．(2017·兰州一模) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝7，b ＝3，c ＝2，则A ＝( )
π
A. 6πC. 3
π B. 4π D. 2
b 2＋c 2－a 232＋22－(7)2解析：选C 易知cos A ＝＝
2bc 22×3×2π
又A ∈(0，π)，∴A ＝，故选C.
3
2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 C ．无解
解析：选C 402032
B ．有两解
D ．有解但解的个数不确定
b c ， sin B sin C
∴sin B ＝
b sin C
c
3>1.
∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．
3．(2016·天津高考) 在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 C ．3
B ．2 D ．4
解析：选A 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ， 即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos 120°， 化简得AC 2＋3AC －4＝0，
解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去) ．故选A.
4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若A ＝，b ＝2a cos B ，c ＝
31，则△ABC 的面积等于( )
3 23 6
B. D.
3 43 8
解析：选B 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，
ππ
故tan B ＝2sin A ＝2sin 3，又B ∈(0，π)，所以B ＝
33
π
又A ＝B ＝ABC 是正三角形，
31133
所以S △ABC ＝bc sin A ＝×1×1×2224
5．(2017·湖南四校联考) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋b 2－c 2)tan C ＝ab ，则角C 的大小为( )
π5π
A. 66πC. 6
π2π B.
332π D. 3
a 2＋b 2－c 2cos C 1
解析：选A 由题意知，＝⇒cos C ＝，
2ab 2tan C 2sin C 1π5π
sin C ＝，又C ∈(0，π)，∴C ＝A.
266
6．已知A ，B 两地间的距离为10 km，B ，C 两地间的距离为20 km，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( )
A ．10 km C ．105 km
B ．3 km D ．107 km
解析：选D 如图所示，由余弦定理可得， AC 2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700， ∴AC ＝7 km.
7．(2017·贵州质检) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a π
－b ) 2＋6，C ＝ABC 的面积是( )
3
A ．3 33C.
2
解析：选C ∵c 2＝(a －b ) 2＋6，
∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6. ① ππ
∵C ＝，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ＝a 2＋b 2－ab . ②
33由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. 1133∴S △ABC ＝ab sin C ＝×6.
2222
8．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )
3
B.
2 D ．3
A ．102 海里 C ．203 海里
B ．3 海里 D ．202 海里
解析：选A 如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得
BC AB
＝，解得BC ＝102. sin 30°sin 45°
故B ，C 两点间的距离是102海里． 二、填空题
1
9．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－，3sin A ＝
42sin B ，则c ＝________.
3
解析：由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝a ＝3. 由余弦定理cos C ＝
2
222
a 2＋b 2－c 212＋3－c
，得－＝，解得c ＝4. 2ab 42×2×3
答案：4
10．在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________. 解析：∠C ＝180°－75°－45°＝60°， AB AC 由正弦定理得＝
sin C sin B 即
AC 6 sin 60°sin 45°
解得AC ＝2. 答案：2
11．(2016·南昌二中模拟) 在△ABC 中，如果cos(B ＋A ) ＋2sin A sin B ＝1，那么△ABC 的形状是________．
解析：∵cos(B ＋A ) ＋2sin A sin B ＝1， ∴cos A cos B ＋sin A sin B ＝1， ∴cos(A －B ) ＝1，
在△ABC 中，A －B ＝0⇒A ＝B ， 所以此三角形是等腰三角形． 答案：等腰三角形
12．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m．(取2＝1.43＝1.7)
解析：如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21 000(m)．
BC AB
又在△ABC 中，，
sin A sin ∠ACB 21 000
∴BC ＝×sin 15°＝10 500(6－2) ．
12∵CD ⊥AD ，
∴CD ＝BC ·sin ∠DBC ＝6－2) ×
2
10 500(3－1) ＝7 350. 2
故山顶的海拔高度h ＝10 000－7 350＝2 650(m)． 答案：2 650 三、解答题
13．(2017·山西四校联考) 已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝2
sin B ＝5cos C . 3
(1)求tan C 的值；
(2)若a ＝2，求△ABC 的面积． 2
解：(1)∵cos A ＝，
3∴sin A 1－cos A ∴5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )
＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝
52
C sin C . 33
5
， 3
整理得tan C 5. (2)由(1)知sin C ＝ 由
306cos C ＝ ， 66
a c
＝c 3. sin A sin C
630
∵sin B 5cos C ＝，
66
11305
∴△ABC 的面积S ＝sin B 2×3×.
2262
14．(2016·石家庄二模) △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b cos C ＋c ＝2a .
(1)求角B 的大小； c 1
(2)若cos A ，求
a 7解：(1)由正弦定理，
得2sin B cos C ＋sin C ＝2sin A ， ∵A ＋B ＋C ＝π，
∴sin A ＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， ∴2sin B cos C ＋sin C ＝2(sin B cos C ＋cos B sin C ) ， ∴sin C ＝2cos B sin C ， 1
∵sin C ≠0，∴cos B ＝
2π
∵B 为△ABC 的内角，∴B ＝.
31
(2)在△ABC 中，cos A
7∴sin A ＝
， 7
π又B ＝，
3
∴sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝c sin C 5∴a ＝sin A 8
53
， 14
“解三角形”双基过关检测
一、选择题
1．(2017·兰州一模) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝7，b ＝3，c ＝2，则A ＝( )
π
A. 6πC. 3
π B. 4π D. 2
b 2＋c 2－a 232＋22－(7)2解析：选C 易知cos A ＝＝
2bc 22×3×2π
又A ∈(0，π)，∴A ＝，故选C.
3
2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 C ．无解
解析：选C 402032
B ．有两解
D ．有解但解的个数不确定
b c ， sin B sin C
∴sin B ＝
b sin C
c
3>1.
∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．
3．(2016·天津高考) 在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 C ．3
B ．2 D ．4
解析：选A 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ， 即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos 120°， 化简得AC 2＋3AC －4＝0，
解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去) ．故选A.
4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若A ＝，b ＝2a cos B ，c ＝
31，则△ABC 的面积等于( )
3 23 6
B. D.
3 43 8
解析：选B 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，
ππ
故tan B ＝2sin A ＝2sin 3，又B ∈(0，π)，所以B ＝
33
π
又A ＝B ＝ABC 是正三角形，
31133
所以S △ABC ＝bc sin A ＝×1×1×2224
5．(2017·湖南四校联考) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋b 2－c 2)tan C ＝ab ，则角C 的大小为( )
π5π
A. 66πC. 6
π2π B.
332π D. 3
a 2＋b 2－c 2cos C 1
解析：选A 由题意知，＝⇒cos C ＝，
2ab 2tan C 2sin C 1π5π
sin C ＝，又C ∈(0，π)，∴C ＝A.
266
6．已知A ，B 两地间的距离为10 km，B ，C 两地间的距离为20 km，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( )
A ．10 km C ．105 km
B ．3 km D ．107 km
解析：选D 如图所示，由余弦定理可得， AC 2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700， ∴AC ＝7 km.
7．(2017·贵州质检) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a π
－b ) 2＋6，C ＝ABC 的面积是( )
3
A ．3 33C.
2
解析：选C ∵c 2＝(a －b ) 2＋6，
∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6. ① ππ
∵C ＝，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ＝a 2＋b 2－ab . ②
33由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. 1133∴S △ABC ＝ab sin C ＝×6.
2222
8．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )
3
B.
2 D ．3
A ．102 海里 C ．203 海里
B ．3 海里 D ．202 海里
解析：选A 如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得
BC AB
＝，解得BC ＝102. sin 30°sin 45°
故B ，C 两点间的距离是102海里． 二、填空题
1
9．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－，3sin A ＝
42sin B ，则c ＝________.
3
解析：由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝a ＝3. 由余弦定理cos C ＝
2
222
a 2＋b 2－c 212＋3－c
，得－＝，解得c ＝4. 2ab 42×2×3
答案：4
10．在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________. 解析：∠C ＝180°－75°－45°＝60°， AB AC 由正弦定理得＝
sin C sin B 即
AC 6 sin 60°sin 45°
解得AC ＝2. 答案：2
11．(2016·南昌二中模拟) 在△ABC 中，如果cos(B ＋A ) ＋2sin A sin B ＝1，那么△ABC 的形状是________．
解析：∵cos(B ＋A ) ＋2sin A sin B ＝1， ∴cos A cos B ＋sin A sin B ＝1， ∴cos(A －B ) ＝1，
在△ABC 中，A －B ＝0⇒A ＝B ， 所以此三角形是等腰三角形． 答案：等腰三角形
12．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m．(取2＝1.43＝1.7)
解析：如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21 000(m)．
BC AB
又在△ABC 中，，
sin A sin ∠ACB 21 000
∴BC ＝×sin 15°＝10 500(6－2) ．
12∵CD ⊥AD ，
∴CD ＝BC ·sin ∠DBC ＝6－2) ×
2
10 500(3－1) ＝7 350. 2
故山顶的海拔高度h ＝10 000－7 350＝2 650(m)． 答案：2 650 三、解答题
13．(2017·山西四校联考) 已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝2
sin B ＝5cos C . 3
(1)求tan C 的值；
(2)若a ＝2，求△ABC 的面积． 2
解：(1)∵cos A ＝，
3∴sin A 1－cos A ∴5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )
＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝
52
C sin C . 33
5
， 3
整理得tan C 5. (2)由(1)知sin C ＝ 由
306cos C ＝ ， 66
a c
＝c 3. sin A sin C
630
∵sin B 5cos C ＝，
66
11305
∴△ABC 的面积S ＝sin B 2×3×.
2262
14．(2016·石家庄二模) △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b cos C ＋c ＝2a .
(1)求角B 的大小； c 1
(2)若cos A ，求
a 7解：(1)由正弦定理，
得2sin B cos C ＋sin C ＝2sin A ， ∵A ＋B ＋C ＝π，
∴sin A ＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， ∴2sin B cos C ＋sin C ＝2(sin B cos C ＋cos B sin C ) ， ∴sin C ＝2cos B sin C ， 1
∵sin C ≠0，∴cos B ＝
2π
∵B 为△ABC 的内角，∴B ＝.
31
(2)在△ABC 中，cos A
7∴sin A ＝
， 7
π又B ＝，
3
∴sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝c sin C 5∴a ＝sin A 8
53
， 14