应用数学
ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡＡＰＰＬＩＣＡＴＡ
２０１０，２３（４）：７１３—７１８
扩散过程平稳分布的存在唯一性与稳定性
徐立峰
（湖北师范学院数学与统计学院，湖北黄石４３５００２）
摘要：用耦合方法研究扩散过程稳定性．利用ＫＲＷ概率距离的对偶表示，获得平稳
分布的存在唯一性、遍历性和依分布稳定性并且给出了收敛速度估计。
关键词：扩散过程；随机微分方程；平稳分布；依分布稳定；耦合
中图分类号：０２１１．６３
文献标识码：ＡＡＭＳ（２０００）主题分类：６０ｊ６０；６０Ｈ１０文章编号：１００１—９８４７（２０１０）０４—０７１３—０６
１．预备知识与引理
设Ｘ：是Ｒ。上的扩散过程，它满足如下Ｉｔ６型随机微分方程
ｄＸ，一６（Ｘ。）ｄｔ＋仃（Ｘ，）ｄＢ，，（１．１）
式中Ｂ，是某概率空间（ｎ，易Ｐ）上ｄ维Ｗｅｉｎｅｒ过程，６（・）：Ｒ。一Ｒ。是ｄ维Ｂｏｒｅｌ可测函数，盯（・）：Ｒ。一Ｒ以。是ｄ×ｄＢｏｒｅｌ可测函数矩阵．对ｚ∈Ｒ。和盯∈Ｒ积。定义范数
ｄ
．Ｚｄ２（蚤ｈ｜ｚ）ｌ／２Ｈ小（ｉ善１％１２）１／２・
用Ｐ（ｔ，ｚ，ｄｙ）表示扩散过程Ｘ，的转移概率，简记为Ｐ。．（１．１）对应的扩散算子
（卯（ｚ）＝ｐｄ（ｚ）矗弛）＋芝１一ｉ暑ｄ“ｚ）为ｉ弛ｗ∈ａ（㈣．（１．２）
简记为以“（ｚ），６（ｚ）），其中ｎ（ｚ）＝ｄ（ｚ）Ｔ（ｚ）．
设Ｐ・，Ｐｚ∈缎Ｒ。）（Ｒ。上全体概率测度），ｐ∈缄Ｒ。×Ｒ。），称∥是弘，与岸。的耦合，如果满足边缘性：
Ｐ（Ａｌ×Ｒ。）一卢ｌ（Ａ１）（Ａ１∈∥），卢（Ｒ。×Ａ２）一Ｐ２（Ａ２）（Ａ２∈∥）．
用Ｋ（户－，∥ｚ）表示Ｐ－与弘ｚ的全体耦合概率，不致混淆时简记为Ｋ．对Ｒ。上的距离函数ｐ（ｘ，ｙ）一ｌｚ—Ｙｌ（ｚ，ｙ∈Ｒ。）定义Ｐ，与户２的ＫＲＷ概率距离：
ｗ（∥ｌ，户２）＝ｉ，ｎ！Ｉｐ（ｘ，ｙ）产（ｄｚ，ｄｙ）．
若存在皿∈Ｋ（ｐ。，卢２），使
ｗ（ｐｌ，胆）一Ｉｐ（ｘ，ｙ）ｆｉ（ｄｘ，ｄｙ），
・收稿日期：２００９～０９—０８
基金项目：教育部重点科研项目（２０９０７８）作者简介：徐立峰．男．汉族，上海人，讲师。研究方向：概率论与数理统计．
７１４应用数学２０１０称乒是．￡‘。与户。的最优耦合，最优耦合总是存在的，且此结论可推广到户－，卢ｚ为转移概率的情形‘¨．
对丌∈缄掣），ｒ，Ｐ。（－）：＝Ｉｎ（ｄｘ）Ｐ（ｔ，ｚ，・）．若Ｖ￡＞ｏ，７ｃＰ。＝硝，则称丌是Ｘ，的平稳分布．若对Ｖｚ∈Ｒ。，当ｔ—＋。。时Ｐ（ｔ，ｚ，ｄｙ）弱收敛于某平稳分布丌（ａｙ），称Ｘ依分布稳定．‘
ＫＲＷ概率距离Ｗ（卢。，肛２）一般地强于弱收敛意义下的概率距离ｃｔ，（ｐ，，ｐｚ）（即Ｌｅｖｙ—Ｐｒｏ—ｈｏｒｏｖ距离），事实上我们有Ｗ（卢，，ｐ。）≥叫２（∥ｚ，脾）‘２１，因此耦合方法成为研究过程依分布稳定的一个可供选择的工具．
任给厂∈Ｃ（Ｒ。），定义ｗ）＝磐岭掣，驴＝（ｒ
Ｅｃ（妁，ｗ）＜ｏｏ）－
Ｌ（，）叫做，的Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ常数．
对参考点ｚ。∈Ｒ４，记
绲＝（卢∈苏掣），ｌｐ（ｘ，ｚｏ）卢（出）＜ｏ。）．
注意，若Ⅳ∈玩，则ＶＹｏ∈Ｒ４，（１．３）
Ｉｐ（ｚ，Ｙ。）卢（ｄＬｃ）≤Ｉ［Ｐ（ｚ，ｚｏ）＋ｐ（ｘｏ，ｙｏ）］产（ｄｚ）
＝ｌｐ（ｚ，ｚｏ）ｐ（ｄｚ）＋ｐ（ｘｏ，Ｙｏ）＜∞，
因此ｚ。是任意的．
若７ｒ是Ｘ，的平稳分布，且对Ｖ户∈玩，Ｗ（∥，（・），丌（・））一Ｏ（ｔ—ｃｏ），称Ｘ，在ＫＲＷ概率距离意义下是遍历的．本文中简称为遍历．若存在Ａ＞０，使Ｖ卢∈玩，Ⅳ（胪。（・），丌（・））≤ｅ－－知Ｗ（ｐ（・），丌（・）），则称Ｘ，指数遍历．
引理１．１Ｃ２３Ｖｐｌ，ｐ２∈琨，Ｖ矿（胁，脾）一ｓｕｐ｛ｌｌｄ（胁一ｒｅ）ｆ（Ｙ）ｆ，厂∈乡，Ｌ（Ｄ≤１）．
引理１．１被称为ＫＲＷ距离的对偶表示．
对于一般Ｍａｒｋｏｖ过程平稳分布的存在唯一性及遍历性有如下一般性准则．
引理１．２［妇设ｘ，（ｆ≥ｏ）是距离可测空间（Ｅ，ｌＤ，ｏ上的Ｍａｒｋｏｖ过程，Ｐ（ｔ，ｚ，ｄｙ）是其转移概率，满足
（ｉ）ＶＴ＞０，存在０≤Ｃｌ（Ｔ），ｃ２（Ｔ）＜∞，使
ＩＰ（ｔ，ｚ，ｄｙ）ｐ（ｙ，ｚｏ）≤ｃ１（丁）＋ｃｚ（Ｔ）ｌＤ（ｚ，ｚｏ），￡∈［ｏ，Ｔ３，
其中ｚ。是Ｅ中任意固定的一个参考点；（１－４）
（ｉｉ）对ｔ∈［ｏ，Ｔ３，存在０≤ｃ（￡）＜１，使
ｗ（Ｐ（ｔ，ｚｌ，・），Ｐ（ｔ，Ｘ２，・））≤ｃ（ｔ）ｐ（ｘｌ，ｚ２），ｚｌ，Ｘ２∈Ｅ．
则Ｘ。存在唯一平稳分布７ｒ∈玩，且Ｘ。是遍历的．
本文中我们将用耦合方法着重讨论（１．１）依分布稳定性，不同的是我们采用了对偶原理，它的好处是将研究对象从测度与算子转化为普通实函数，相对简单．本文利用扩散半群Ｐ：对Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ常数的压缩性刻划了ｘ，的极限性质，同时得到Ｘ。平稳分布的存在唯一性、遍历性及依分布稳定性，并且给出了收敛速度估计，而同类结果中有些需要预先假定平稳分布的存在性，定理条件也弱于某些已有的研究．（１．５）
第４期徐立峰：扩散过程平稳分布的存在唯一性与稳定性７１５２．主要结果与应用
定理２．１若方程（１．１）的系数满足线性增长条件
６（ｚ）Ｉ２＋Ｉ盯（ｚ）Ｉ２≤Ｋ（１＋ｌ
且对Ｖｔ＞０，存在０≤ｒ（￡）＜１，使
Ｌ（Ｐ。厂）≤，．（￡）Ｌ（，），厂∈ｇ。，（２．２）ｚ２），ｚ∈ＲＪ，（２．１）
则
（ｉ）扩散过程Ｘ。有唯一的平稳分布丌∈绲，且Ｘ，遍历，因而也依分布稳定；
。（ｉｉ）Ｖ∥∈甥，
Ｗ（ｚＰ（￡，ｚ，・），丌（・））≤ｒ（ｔ）Ｗ（Ｆ（・），７ｒ（．））．
证首先证明（ｉ），这只需验证引理１．２的两个条件成立．
广（２．３）定义由方程（１．１）确定的期望算子
ＥⅡ，（ｘ，）］一Ｊｆ（ｙ）ｐ（ｔ，ｚ，ｄｙ）＝Ｐ，厂（ｚ）．
由Ｔ（１．１）的系数满足线性增长条件（２．１），依文［４］引理２１．２有矩估计：对ＶＴ＞０，存在ｃ（丁）＞ｏ，使
ＥｚＸ≤，Ｌ１＋Ｚ＼，酽ｎｚＪ∈Ｒ￡∈［Ｏ明，Ｌ２４
由ＴＪｅｎＳｅｎ不等式
Ｅ２１Ⅸｒｌ≤ＬＰＩ叉ｒ
≤［（１＋ｆｚ２Ｊ“２≤Ｌ（１＋Ｉｚ２）ｅ“７’］“２（２．５）ｆ）２・ｅ。‘Ｄ］１７２一（１＋ｊｚ｝）・ｅｃ（ｎ／２．
在（１．４）中取参考点ｚ。一０，则
ｊ．Ｐ（￡，ｚ，ｄｙ）Ｐ（ｙ，ｏ）一Ｐ妒（ｚ，ｏ）一Ｅｚ
即此（１．４），再证（１．５）．
Ｗ（Ｐ（ｔ，ｚｌ，・），Ｐ（ｔ，ｚ２，・））ｘ。Ｉ≤（１＋ｌｚ１）ｅｆ‘ｎ／２：一ｃ１（丁）＋ｃ２（Ｔ）Ｊ０（２，。）．由引理１．１，并注意到五是Ｆｅｌｌｅｒ过程（以（・）表示ｚ处的点测度）。
一ｓｕｐ｛ｌＪ［ＰＱ，ｚｚ，ｄｙ）一Ｐ（ｔ，锄，ｄ了）］厂（ｙ）Ｉ，，∈箩，Ｌ（厂）≤１）
一ｓｕｐ｛Ｉｊ以。Ｐｔ（ｄ３，）厂（ｙ）一以：Ｐｒ（ｄｙ）厂（ｙ’Ｉ，厂∈驴，Ｌ（厂）≤１｝
一ｓｕｐ｛ｌＪ．乱。ｃｄｚ，［ＪＩＰ（ｔ，ｘ，ｄｙ），ｃｙ，］～．ｆ％ｃｄｚ，Ｐ（ｔ，ｘ，ｄｙ）厂ｃｙ，］Ｉ，厂∈箩，Ｌｃ厂，≤－）２ｓｕｐ｛ｌｊ良，（ｄｚ）Ｐｒ厂（ｚ）一ｊ以。（ｄｘ）Ｐｒ，（ｚ）Ｉ，，∈ｇ。，Ｌ（厂）≤１）
一ｓｕｐ｛ｆＪ文。（ｄｘ）Ｐｒ，（ｚ）一ｊ以。（ｄｙ）Ｐ。厂（ｙ）ｆ，ｆＥ箩，Ｌ（厂）≤ｌ｝．
记卢是艿１与屯的联合分布，则五（刚，Ａ）＝以，（Ａ），互（Ａ，Ｒ。）＝如（Ａ），于是
上式＝ｓｕｐ
≤ｓｕｐ”厂（嘶（ｄｘ，Ｗ）－－Ｐ，，（ｙ）压（Ｒｕ，ｄｙ）ｆ，，∈箩，Ｌ（ｐ≤１｝，ＪＰ，ｆ（ｘ）－－Ｐ，厂（了）ｆ卢（如，ｄｙ），厂∈妙，Ｌ（厂）≤１｝
ｓｕｐＩｆＬ（Ⅳ）ｐ（ｘ，ｙ）ｆｉ（ｄｘ，ｄｙ），厂∈矽，Ｌ（厂）≤１｝
ｓｕｐ｛ｆｒ（￡）Ｌ（厂）ＩＤ（ｚ，ｙ）ｆｉ（ｄｘ，ｄｙ），ｆＥ驴，Ｌ（厂）≤ｌｌ
７１６应用数学２０ｌＯ
≤ｒ（￡）Ｉｐ（ｘ，ｙ）犀（ｄｘ，ｄｙ）＝ｒ（ｔ）ｐ（ｘｌ，ｚ２）．（２．６）
由引理１．２，Ｘ。有唯一平稳分布丌，且对Ｖ卢∈绲，ｗ（∥。（・），ｚｒ（・））一ｏ（当ｔ一∞），特别地，取肛＝乱，则
Ｗ（＆Ｐ，（・），７ｆ（・））一Ｗ（Ｐ（￡，Ｘ，・），丌（・））一０
由于按ＫＲＷ距离收敛强于弱收敛，故Ｘ。依分布稳定．
再证（２．３）式，由Ｘ，对丌的不变性，
Ｗ（肛Ｐ（￡，ｚ，・），ｚｒ（・））一ｗ（￡一∞），（ｆ，工，・），护（ｚ，ｏ，・））
＝Ｓｕｐ…矿。江，ｄｙ），（Ｙ）一Ｊ护（∽，ｄｙ）厂（Ｙ）ｌ，，∈驴，Ｌ（，）≤ｌ｝
一ｐ㈣卜（ｄｚ）Ｐ（ｔ，ｚ，ｄｙ）ｐ一『［』ｒｒ（ｄｚ）Ｐ（ｔ，ｚ，ｄｙ）ｐ｜＇，∈驴郴≤・）一ｓｕＰ｛ｌＩ户（ｄｚ）Ｐ。，（ｚ）～ｌ７ｆ（ｄｚ）Ｐ。厂（ｚ）ｌ，，∈ｇ’，Ｌ（厂）≤１１．１Ｊ√
设Ｐ（・，・）为岸（・）与丌（・）的最优耦合，与（２．６）类似地可证
ｗ（ｐＰ（￡，ｚ，・），丌（・））≤，．（ｆ）Ｉｐ（ｚ，了）Ｐ（ｄｚ，ｄｙ）一ｒ（ｔ）Ｗ（ｆｆ，丌）．
注２．１设Ｘ，为Ｗｉｅｎｅｒ过程，其转移概率为Ｐ（ｔ，士，ｄｙ），则线性增长条件（２．１）显然成立（６—０，ｄ＝＝ｌ，ｒｘ。），且由文［２］知Ｌ（只，）≤Ｌ（厂），但熟知Ｗｉｅｎｅｒ过程没有平稳分布，这说明定理条件（２．２）中的ｒ（￡）＜１不可放宽为，．（￡）≤１，即条件（２．２）是精确的．
注２．２（２．３）反映了扩散半群Ｐ，关于Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ常数压缩性与关于ＫＲＷ距离压缩性的密切联系，由于测度的弱收敛距离锄（卢－，Ｐ２）≤Ｗ１７２硼（户１，Ｐ２），且ｗ（以（・），丌（・））＝Ｉｐ（ｘ，ｙ）丌（ｄｙ）＜ｆ）ｏ（丌（・）∈绲）．因此（２．３）也给出了弱收敛速度的估计ｒ１７２（ｆ）（当ｒ（￡）一ｏ）．特别地当ｒ（￡）一ｅ咄（Ａ＞ｏ）时，Ｘ，指数遍历，因而也依分布指数稳定．
记妖ａ（ｘ，ｙ），ｂ（ｘ，ｙ））是颤ｎ（ｚ），６（ｚ））与自身的耦合算子，即
以为妒２，、ｋ，≯“０））’／“（ｚ），ｃ（ｘ，ｙ）、
其中““ｙ）一（ｃ一（而ｙ”以。使矩阵ｄ。，ｙ）非负定，灰ｚ，ｙ）一（：：ｉ；）．
推论２．１若定理２．１中（２．１）式成立，且存在ｇ与自身的耦合算子勿和常数口＞０，使
埤（ｚ，ｙ）≤～ｑＤ（ｚ，ｙ），ｚ，Ｙ∈Ｒ。，
则Ｘ，有唯一平稳分布，ｒ（・）且指数遍历，因而也依分布指数稳定．
证
可推出（２．７）我们只需验证耦合算子压缩条件（２．７）强于（２．２）．事实上根据文［７３定理２．３，由（２．７）
Ｅ“’ＩＤ（Ｘ，，Ｙ，）≤ｅ－－＇ｐ（ｚ，ｙ），
其中ｙｆ是由Ｙ出发的解过程．记Ｔ—ｉｎｆ｛ｔ，Ｘ，－＝Ｙ，）．
Ｐ。厂（ｚ）～Ｐ，Ｉ厂（ｙ）
ｚ～Ｙ（２．８）：！．芝［』！墨！！］二旦［丛茎业一！二卫！羔上二ｆ！∑！！！Ｉｚ—Ｙ｝ｚ—ｙＩＴ＞ｔ］
姑’ｙＪ一』鬻趔－Ｉ：Ｙ，匕ＩＸ“Ｙｕ・１鲁掣ＹＩ‰ｚ～ｌ［ＴＭ。
≤ｗ炉ｊ－Ｉ等并ｂｄ≤ｅ气（ｎ
第４期徐立峰：扩散过程平稳分布的存在唯一性与稳定性７１７于是Ｌ（Ｐ，厂）≤ｅ１Ｌ（厂），因口＞０，由定理２．１，Ｘ。有唯一平稳分布丌，且由（２．３）Ｘ，指数遍历，特别地，（２．３）中取／ｚ一以，则Ⅳ（Ｐ（ｔ，Ｘ，・），丌（・））≤ｅ１Ｗ（艿：（・），丌（・）），即Ｘ，依分布指数稳定，指数阶为口／２．
推论２．１明显地优于文［５］中的结果，后者需事先假定平稳分布存在，也优于文ｆ７］中定理２，这里证明了指数遍历性，因而也给出了收敛速度估计．而文［７］在相同条件下，仅得到遍历性．
注２．３在注２．１中我们指出条件Ｌ（Ｐ，厂）≤Ｌ（厂）一般地不能得到平稳分布的存在性，但如果我们假设平稳分布７ｌ＂存在唯一，类似于（２．３）的证明仍然可以得到Ｗ（Ｐ（ｔ，ｚ，・），丌（・））≤ｗ（以（・），丌（・）），此即文［５］中的平均稳定性．
由于Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ常数的压缩性在许多领域有重要应用，因此也为定理２．１的应用提供了一些现成的结果，Ｈｅｒｂｓｔ和Ｐｉｔｔ在研究扩散半群的单调性时给出了如下结果．
引理２．１【８３如果ｂ，（ｚ）∈Ｃ１（Ｒ。）且Ⅱ。（ｚ）仅依赖于ｚｉ和ｚＪ（１≤ｉ，Ｊ≤ｄ），则
Ｌ（Ｐ，厂）≤ｅＫｔＬ（，），ｆ∈驴，ｔ≥０，
其中
Ｋ翟ｐ罡慧｛掣＋萎Ｉ掣ｈ
考虑如下Ｈｏｐｆｉｅｌｄ随机神经网络
ｄＸ，一［一ＡＸ，＋Ｂｇ（Ｘ。）］出＋盯（Ｘ。）ｄＢ，，（２．９）
其中Ａ—ｄｉａｇ（ａｊ，ｄ２，…，（１ｄ），ｃ￡ｉ＞０，１≤ｉ≤ｄ，Ｂ一（％）以ｄ，ｇ（ｚ）＝（ｇｌ（Ａ），９２（ｚｚ），…，ｇＪ（ｚｄ））Ｔ，仃（ｚ）一（盯ｉ（ｚ））‘，×ｄ．假定（２．９）有唯一解．
定理２．２在方程（２．９）中，若ｇｉ（ｚ）可导，盯（ｚ）＝ｄｉａｇ（ａ１（ｚ１），…，Ｏ＇ｄ（ｚｄ）），ｇｆ（ｚ），吼（ｚ）满足线性增长条件．
令
Ｋ＝ｓｕｐ…ｍａ…ｘ（一ａｉ＋ｂ．ｇ，７（ｚｉ）＋∑Ｊ１≤ｉ≤ｄ、：Ｚ』ｂｊｉｇｉ７（ｚｉ）Ｉ），Ｊ
则当Ｋ＜０时，（２．９）有唯一平稳分布且依分布指数稳定．
证这足引理２．１与定理２．１的直接结果，且此时ｃ（￡）一ｅ触，故指数阶为一Ｋ／２．
也可通过构造耦合计算（２．２），利用文［９］中构造的反射耦合我们有
Ｈ－－＝－ｓ。≠ｕｐ，南｛ｌ
证
论成立．定理２．３在随机神经网络（２．９）中，令ｄ（ｚ）一盯（ｙ）Ｉ２一Ｌ鱼鱼堕－＿鼍望笔掣＋＜一Ａ（ｘ－－ｙ），Ｘ－－ｙ＞＋（Ｂｉｇ（ｘ）～ｇ（ｙ）］，ｚ—ｙ＞｝，则当Ｈ＜０时，（２．９）有唯一平稳分布且依分布指数稳定（其中（－，・＞表示Ｒ。上的内积）．由文［９］定理１并经简单计算，此时有Ｌ（Ｐ，厂）≤ｅＨｔＬ（厂），ｆ∈２。，故由定理２．１结
例２．１考虑三维随机神经网络
ｒｄＸ－（￡）＝［一Ｘ１（￡）一０．４９ｌ（Ｘ１（￡））＋０．５９２（Ｘｚ（￡））＋０．６９。（Ｋ（￡））］出＋２．４Ｘｌ（ｔ）ｄＢｌ（￡），Ｊｄ％（￡）一［一１．１ｘ２（￡）＋１．１９ｌ（ｘ１（￡））一０．６９２（ｘ２（￡））＋０．２９。（ｘ３（￡））］出＋２．５托（ｔ）ｄＢ２（￡），Ｉｄｘ。（ｆ）＝［一０．８ｘ。（￡）＋０．３９ｌ（ｘ１（￡））＋０．７９２（Ｘ２（ｆ））一０．５９ｓ（ｘ。（￡））］出＋２．４Ｘ。（ｔ）ｃｌＢ。（￡），其中Ⅱ向应函数ｇ。（“）＝薹｛芝三，ｉ＝ｌ，２，３．由于此时ｏ＜ｇ７（“）＝１一ｅｕ＿ｅ－Ｕ）２＜１．易知
７１８应用数学２０ｌＯ方程有唯一解，且不难得到Ｋ＝ｍａｘ（一１＋０．７，一１．１＋０．７，一０．８＋０．５）一一０．３．由定理２．２，Ｘ（￡）依分布指数稳定，指数阶为０．１５．
例２．２考虑二维随机神经网络
，ｄＸｌ（￡）＝［一０．９Ｘｌ（￡）＋１．２９（Ｘ２（￡））］ｄ￡＋０．２ＸＩ（ｔ）ｄＷｌ（￡），
其中响应函数ｇ（“）满足Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件，如ｇ（摊）＝Ｌ型＿』掣或ｇ（“）一雨ｅｕ＿ｅ－ｕ．１ｄｘ２（￡）一［一１．１ｘ２（ｆ）＋０．４９（Ｘｌ（ｔ））］ｄｔ＋０．２５Ｘ２（￡）ｄＷ２（￡）．
通过计算不难得到上界估计：Ｈ＜０．２５２—０．２２／２—０．９＋１．６／２一一０．０５７５＜０，由定理２．３，Ｘ（￡）依分布指数稳定，指数阶为ｏ．０２８．
参考文献：
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ＥｘｉｓｔｅｎｃｅａｎｄＵｎｉｑｕｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅＳｔａｔｉｏｎａｒｙＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｎｄ
ＳｔａｂｉｌｉｔｙｉｎＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｆｏｒＳｏｍｅＤｉｆｆｕｓｉｏｎＰｒｏｃｅｓｓｅｓ
ＸＬ厂Ｌｉｆｅｎｇ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ
ｎａ）ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＨｕｂｅｉＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｕａｎｇｓｈｉ４３５００２．Ｃｈｉ—
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｏｕｐｌｉｎｇｍｅｔｈｏｄｉｓｕｓｅｄ
ｔｈｅｄｕａｌｉｔｙｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｏｆｔｏｓｔｕｄｙｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｓｏｍｅｄｉｆｆｕｓｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓｅｓ．ＢｙｏｆｓｔａｔｉｏｎａｒｙＫＲＷ—ｍｅｔｒｉｃｗｅｐｒｏｖｅｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅａｎｄｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ
ｒａｔｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，ａｎｄｔｈｅｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｉｓｏｂｔａｉｎｅｄｔｏｏ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｄｉｆｆｕｓｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓｅｓ；Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｓｔａｔｉｏｎａｒｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；Ｓｔａｂｉｌｉｔｙｉｎｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；Ｃｏｕｐｌｉｎｇ
扩散过程平稳分布的存在唯一性与稳定性
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：徐立峰， XU Lifeng湖北师范学院数学与统计学院,湖北,黄石,435002应用数学MATHEMATICA APPLICATA2010,23(4)
参考文献(10条)
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4. 徐侃;徐立峰 一般状态空间跳过程不变测度的存在性和唯一性[期刊论文]-数学杂志 2004(05)
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6. 张绍义 耦合方法与随机微分方程平均稳定性 1999(03)
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9. CHEN Mufa From Markov Chains to Non-equilibrium Particle Systems 1996
10. 张绍义;徐侃 转移概率最优可测耦合的存在性 1997(01)
引证文献(1条)
1. 徐立峰 Markov调制的随机系统平稳分布的存在与唯一性[期刊论文]-数学杂志 2012(1)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_yingysx201004004.aspx
应用数学
ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡＡＰＰＬＩＣＡＴＡ
２０１０，２３（４）：７１３—７１８
扩散过程平稳分布的存在唯一性与稳定性
徐立峰
（湖北师范学院数学与统计学院，湖北黄石４３５００２）
摘要：用耦合方法研究扩散过程稳定性．利用ＫＲＷ概率距离的对偶表示，获得平稳
分布的存在唯一性、遍历性和依分布稳定性并且给出了收敛速度估计。
关键词：扩散过程；随机微分方程；平稳分布；依分布稳定；耦合
中图分类号：０２１１．６３
文献标识码：ＡＡＭＳ（２０００）主题分类：６０ｊ６０；６０Ｈ１０文章编号：１００１—９８４７（２０１０）０４—０７１３—０６
１．预备知识与引理
设Ｘ：是Ｒ。上的扩散过程，它满足如下Ｉｔ６型随机微分方程
ｄＸ，一６（Ｘ。）ｄｔ＋仃（Ｘ，）ｄＢ，，（１．１）
式中Ｂ，是某概率空间（ｎ，易Ｐ）上ｄ维Ｗｅｉｎｅｒ过程，６（・）：Ｒ。一Ｒ。是ｄ维Ｂｏｒｅｌ可测函数，盯（・）：Ｒ。一Ｒ以。是ｄ×ｄＢｏｒｅｌ可测函数矩阵．对ｚ∈Ｒ。和盯∈Ｒ积。定义范数
ｄ
．Ｚｄ２（蚤ｈ｜ｚ）ｌ／２Ｈ小（ｉ善１％１２）１／２・
用Ｐ（ｔ，ｚ，ｄｙ）表示扩散过程Ｘ，的转移概率，简记为Ｐ。．（１．１）对应的扩散算子
（卯（ｚ）＝ｐｄ（ｚ）矗弛）＋芝１一ｉ暑ｄ“ｚ）为ｉ弛ｗ∈ａ（㈣．（１．２）
简记为以“（ｚ），６（ｚ）），其中ｎ（ｚ）＝ｄ（ｚ）Ｔ（ｚ）．
设Ｐ・，Ｐｚ∈缎Ｒ。）（Ｒ。上全体概率测度），ｐ∈缄Ｒ。×Ｒ。），称∥是弘，与岸。的耦合，如果满足边缘性：
Ｐ（Ａｌ×Ｒ。）一卢ｌ（Ａ１）（Ａ１∈∥），卢（Ｒ。×Ａ２）一Ｐ２（Ａ２）（Ａ２∈∥）．
用Ｋ（户－，∥ｚ）表示Ｐ－与弘ｚ的全体耦合概率，不致混淆时简记为Ｋ．对Ｒ。上的距离函数ｐ（ｘ，ｙ）一ｌｚ—Ｙｌ（ｚ，ｙ∈Ｒ。）定义Ｐ，与户２的ＫＲＷ概率距离：
ｗ（∥ｌ，户２）＝ｉ，ｎ！Ｉｐ（ｘ，ｙ）产（ｄｚ，ｄｙ）．
若存在皿∈Ｋ（ｐ。，卢２），使
ｗ（ｐｌ，胆）一Ｉｐ（ｘ，ｙ）ｆｉ（ｄｘ，ｄｙ），
・收稿日期：２００９～０９—０８
基金项目：教育部重点科研项目（２０９０７８）作者简介：徐立峰．男．汉族，上海人，讲师。研究方向：概率论与数理统计．
７１４应用数学２０１０称乒是．￡‘。与户。的最优耦合，最优耦合总是存在的，且此结论可推广到户－，卢ｚ为转移概率的情形‘¨．
对丌∈缄掣），ｒ，Ｐ。（－）：＝Ｉｎ（ｄｘ）Ｐ（ｔ，ｚ，・）．若Ｖ￡＞ｏ，７ｃＰ。＝硝，则称丌是Ｘ，的平稳分布．若对Ｖｚ∈Ｒ。，当ｔ—＋。。时Ｐ（ｔ，ｚ，ｄｙ）弱收敛于某平稳分布丌（ａｙ），称Ｘ依分布稳定．‘
ＫＲＷ概率距离Ｗ（卢。，肛２）一般地强于弱收敛意义下的概率距离ｃｔ，（ｐ，，ｐｚ）（即Ｌｅｖｙ—Ｐｒｏ—ｈｏｒｏｖ距离），事实上我们有Ｗ（卢，，ｐ。）≥叫２（∥ｚ，脾）‘２１，因此耦合方法成为研究过程依分布稳定的一个可供选择的工具．
任给厂∈Ｃ（Ｒ。），定义ｗ）＝磐岭掣，驴＝（ｒ
Ｅｃ（妁，ｗ）＜ｏｏ）－
Ｌ（，）叫做，的Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ常数．
对参考点ｚ。∈Ｒ４，记
绲＝（卢∈苏掣），ｌｐ（ｘ，ｚｏ）卢（出）＜ｏ。）．
注意，若Ⅳ∈玩，则ＶＹｏ∈Ｒ４，（１．３）
Ｉｐ（ｚ，Ｙ。）卢（ｄＬｃ）≤Ｉ［Ｐ（ｚ，ｚｏ）＋ｐ（ｘｏ，ｙｏ）］产（ｄｚ）
＝ｌｐ（ｚ，ｚｏ）ｐ（ｄｚ）＋ｐ（ｘｏ，Ｙｏ）＜∞，
因此ｚ。是任意的．
若７ｒ是Ｘ，的平稳分布，且对Ｖ户∈玩，Ｗ（∥，（・），丌（・））一Ｏ（ｔ—ｃｏ），称Ｘ，在ＫＲＷ概率距离意义下是遍历的．本文中简称为遍历．若存在Ａ＞０，使Ｖ卢∈玩，Ⅳ（胪。（・），丌（・））≤ｅ－－知Ｗ（ｐ（・），丌（・）），则称Ｘ，指数遍历．
引理１．１Ｃ２３Ｖｐｌ，ｐ２∈琨，Ｖ矿（胁，脾）一ｓｕｐ｛ｌｌｄ（胁一ｒｅ）ｆ（Ｙ）ｆ，厂∈乡，Ｌ（Ｄ≤１）．
引理１．１被称为ＫＲＷ距离的对偶表示．
对于一般Ｍａｒｋｏｖ过程平稳分布的存在唯一性及遍历性有如下一般性准则．
引理１．２［妇设ｘ，（ｆ≥ｏ）是距离可测空间（Ｅ，ｌＤ，ｏ上的Ｍａｒｋｏｖ过程，Ｐ（ｔ，ｚ，ｄｙ）是其转移概率，满足
（ｉ）ＶＴ＞０，存在０≤Ｃｌ（Ｔ），ｃ２（Ｔ）＜∞，使
ＩＰ（ｔ，ｚ，ｄｙ）ｐ（ｙ，ｚｏ）≤ｃ１（丁）＋ｃｚ（Ｔ）ｌＤ（ｚ，ｚｏ），￡∈［ｏ，Ｔ３，
其中ｚ。是Ｅ中任意固定的一个参考点；（１－４）
（ｉｉ）对ｔ∈［ｏ，Ｔ３，存在０≤ｃ（￡）＜１，使
ｗ（Ｐ（ｔ，ｚｌ，・），Ｐ（ｔ，Ｘ２，・））≤ｃ（ｔ）ｐ（ｘｌ，ｚ２），ｚｌ，Ｘ２∈Ｅ．
则Ｘ。存在唯一平稳分布７ｒ∈玩，且Ｘ。是遍历的．
本文中我们将用耦合方法着重讨论（１．１）依分布稳定性，不同的是我们采用了对偶原理，它的好处是将研究对象从测度与算子转化为普通实函数，相对简单．本文利用扩散半群Ｐ：对Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ常数的压缩性刻划了ｘ，的极限性质，同时得到Ｘ。平稳分布的存在唯一性、遍历性及依分布稳定性，并且给出了收敛速度估计，而同类结果中有些需要预先假定平稳分布的存在性，定理条件也弱于某些已有的研究．（１．５）
第４期徐立峰：扩散过程平稳分布的存在唯一性与稳定性７１５２．主要结果与应用
定理２．１若方程（１．１）的系数满足线性增长条件
６（ｚ）Ｉ２＋Ｉ盯（ｚ）Ｉ２≤Ｋ（１＋ｌ
且对Ｖｔ＞０，存在０≤ｒ（￡）＜１，使
Ｌ（Ｐ。厂）≤，．（￡）Ｌ（，），厂∈ｇ。，（２．２）ｚ２），ｚ∈ＲＪ，（２．１）
则
（ｉ）扩散过程Ｘ。有唯一的平稳分布丌∈绲，且Ｘ，遍历，因而也依分布稳定；
。（ｉｉ）Ｖ∥∈甥，
Ｗ（ｚＰ（￡，ｚ，・），丌（・））≤ｒ（ｔ）Ｗ（Ｆ（・），７ｒ（．））．
证首先证明（ｉ），这只需验证引理１．２的两个条件成立．
广（２．３）定义由方程（１．１）确定的期望算子
ＥⅡ，（ｘ，）］一Ｊｆ（ｙ）ｐ（ｔ，ｚ，ｄｙ）＝Ｐ，厂（ｚ）．
由Ｔ（１．１）的系数满足线性增长条件（２．１），依文［４］引理２１．２有矩估计：对ＶＴ＞０，存在ｃ（丁）＞ｏ，使
ＥｚＸ≤，Ｌ１＋Ｚ＼，酽ｎｚＪ∈Ｒ￡∈［Ｏ明，Ｌ２４
由ＴＪｅｎＳｅｎ不等式
Ｅ２１Ⅸｒｌ≤ＬＰＩ叉ｒ
≤［（１＋ｆｚ２Ｊ“２≤Ｌ（１＋Ｉｚ２）ｅ“７’］“２（２．５）ｆ）２・ｅ。‘Ｄ］１７２一（１＋ｊｚ｝）・ｅｃ（ｎ／２．
在（１．４）中取参考点ｚ。一０，则
ｊ．Ｐ（￡，ｚ，ｄｙ）Ｐ（ｙ，ｏ）一Ｐ妒（ｚ，ｏ）一Ｅｚ
即此（１．４），再证（１．５）．
Ｗ（Ｐ（ｔ，ｚｌ，・），Ｐ（ｔ，ｚ２，・））ｘ。Ｉ≤（１＋ｌｚ１）ｅｆ‘ｎ／２：一ｃ１（丁）＋ｃ２（Ｔ）Ｊ０（２，。）．由引理１．１，并注意到五是Ｆｅｌｌｅｒ过程（以（・）表示ｚ处的点测度）。
一ｓｕｐ｛ｌＪ［ＰＱ，ｚｚ，ｄｙ）一Ｐ（ｔ，锄，ｄ了）］厂（ｙ）Ｉ，，∈箩，Ｌ（厂）≤１）
一ｓｕｐ｛Ｉｊ以。Ｐｔ（ｄ３，）厂（ｙ）一以：Ｐｒ（ｄｙ）厂（ｙ’Ｉ，厂∈驴，Ｌ（厂）≤１｝
一ｓｕｐ｛ｌＪ．乱。ｃｄｚ，［ＪＩＰ（ｔ，ｘ，ｄｙ），ｃｙ，］～．ｆ％ｃｄｚ，Ｐ（ｔ，ｘ，ｄｙ）厂ｃｙ，］Ｉ，厂∈箩，Ｌｃ厂，≤－）２ｓｕｐ｛ｌｊ良，（ｄｚ）Ｐｒ厂（ｚ）一ｊ以。（ｄｘ）Ｐｒ，（ｚ）Ｉ，，∈ｇ。，Ｌ（厂）≤１）
一ｓｕｐ｛ｆＪ文。（ｄｘ）Ｐｒ，（ｚ）一ｊ以。（ｄｙ）Ｐ。厂（ｙ）ｆ，ｆＥ箩，Ｌ（厂）≤ｌ｝．
记卢是艿１与屯的联合分布，则五（刚，Ａ）＝以，（Ａ），互（Ａ，Ｒ。）＝如（Ａ），于是
上式＝ｓｕｐ
≤ｓｕｐ”厂（嘶（ｄｘ，Ｗ）－－Ｐ，，（ｙ）压（Ｒｕ，ｄｙ）ｆ，，∈箩，Ｌ（ｐ≤１｝，ＪＰ，ｆ（ｘ）－－Ｐ，厂（了）ｆ卢（如，ｄｙ），厂∈妙，Ｌ（厂）≤１｝
ｓｕｐＩｆＬ（Ⅳ）ｐ（ｘ，ｙ）ｆｉ（ｄｘ，ｄｙ），厂∈矽，Ｌ（厂）≤１｝
ｓｕｐ｛ｆｒ（￡）Ｌ（厂）ＩＤ（ｚ，ｙ）ｆｉ（ｄｘ，ｄｙ），ｆＥ驴，Ｌ（厂）≤ｌｌ
７１６应用数学２０ｌＯ
≤ｒ（￡）Ｉｐ（ｘ，ｙ）犀（ｄｘ，ｄｙ）＝ｒ（ｔ）ｐ（ｘｌ，ｚ２）．（２．６）
由引理１．２，Ｘ。有唯一平稳分布丌，且对Ｖ卢∈绲，ｗ（∥。（・），ｚｒ（・））一ｏ（当ｔ一∞），特别地，取肛＝乱，则
Ｗ（＆Ｐ，（・），７ｆ（・））一Ｗ（Ｐ（￡，Ｘ，・），丌（・））一０
由于按ＫＲＷ距离收敛强于弱收敛，故Ｘ。依分布稳定．
再证（２．３）式，由Ｘ，对丌的不变性，
Ｗ（肛Ｐ（￡，ｚ，・），ｚｒ（・））一ｗ（￡一∞），（ｆ，工，・），护（ｚ，ｏ，・））
＝Ｓｕｐ…矿。江，ｄｙ），（Ｙ）一Ｊ护（∽，ｄｙ）厂（Ｙ）ｌ，，∈驴，Ｌ（，）≤ｌ｝
一ｐ㈣卜（ｄｚ）Ｐ（ｔ，ｚ，ｄｙ）ｐ一『［』ｒｒ（ｄｚ）Ｐ（ｔ，ｚ，ｄｙ）ｐ｜＇，∈驴郴≤・）一ｓｕＰ｛ｌＩ户（ｄｚ）Ｐ。，（ｚ）～ｌ７ｆ（ｄｚ）Ｐ。厂（ｚ）ｌ，，∈ｇ’，Ｌ（厂）≤１１．１Ｊ√
设Ｐ（・，・）为岸（・）与丌（・）的最优耦合，与（２．６）类似地可证
ｗ（ｐＰ（￡，ｚ，・），丌（・））≤，．（ｆ）Ｉｐ（ｚ，了）Ｐ（ｄｚ，ｄｙ）一ｒ（ｔ）Ｗ（ｆｆ，丌）．
注２．１设Ｘ，为Ｗｉｅｎｅｒ过程，其转移概率为Ｐ（ｔ，士，ｄｙ），则线性增长条件（２．１）显然成立（６—０，ｄ＝＝ｌ，ｒｘ。），且由文［２］知Ｌ（只，）≤Ｌ（厂），但熟知Ｗｉｅｎｅｒ过程没有平稳分布，这说明定理条件（２．２）中的ｒ（￡）＜１不可放宽为，．（￡）≤１，即条件（２．２）是精确的．
注２．２（２．３）反映了扩散半群Ｐ，关于Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ常数压缩性与关于ＫＲＷ距离压缩性的密切联系，由于测度的弱收敛距离锄（卢－，Ｐ２）≤Ｗ１７２硼（户１，Ｐ２），且ｗ（以（・），丌（・））＝Ｉｐ（ｘ，ｙ）丌（ｄｙ）＜ｆ）ｏ（丌（・）∈绲）．因此（２．３）也给出了弱收敛速度的估计ｒ１７２（ｆ）（当ｒ（￡）一ｏ）．特别地当ｒ（￡）一ｅ咄（Ａ＞ｏ）时，Ｘ，指数遍历，因而也依分布指数稳定．
记妖ａ（ｘ，ｙ），ｂ（ｘ，ｙ））是颤ｎ（ｚ），６（ｚ））与自身的耦合算子，即
以为妒２，、ｋ，≯“０））’／“（ｚ），ｃ（ｘ，ｙ）、
其中““ｙ）一（ｃ一（而ｙ”以。使矩阵ｄ。，ｙ）非负定，灰ｚ，ｙ）一（：：ｉ；）．
推论２．１若定理２．１中（２．１）式成立，且存在ｇ与自身的耦合算子勿和常数口＞０，使
埤（ｚ，ｙ）≤～ｑＤ（ｚ，ｙ），ｚ，Ｙ∈Ｒ。，
则Ｘ，有唯一平稳分布，ｒ（・）且指数遍历，因而也依分布指数稳定．
证
可推出（２．７）我们只需验证耦合算子压缩条件（２．７）强于（２．２）．事实上根据文［７３定理２．３，由（２．７）
Ｅ“’ＩＤ（Ｘ，，Ｙ，）≤ｅ－－＇ｐ（ｚ，ｙ），
其中ｙｆ是由Ｙ出发的解过程．记Ｔ—ｉｎｆ｛ｔ，Ｘ，－＝Ｙ，）．
Ｐ。厂（ｚ）～Ｐ，Ｉ厂（ｙ）
ｚ～Ｙ（２．８）：！．芝［』！墨！！］二旦［丛茎业一！二卫！羔上二ｆ！∑！！！Ｉｚ—Ｙ｝ｚ—ｙＩＴ＞ｔ］
姑’ｙＪ一』鬻趔－Ｉ：Ｙ，匕ＩＸ“Ｙｕ・１鲁掣ＹＩ‰ｚ～ｌ［ＴＭ。
≤ｗ炉ｊ－Ｉ等并ｂｄ≤ｅ气（ｎ
第４期徐立峰：扩散过程平稳分布的存在唯一性与稳定性７１７于是Ｌ（Ｐ，厂）≤ｅ１Ｌ（厂），因口＞０，由定理２．１，Ｘ。有唯一平稳分布丌，且由（２．３）Ｘ，指数遍历，特别地，（２．３）中取／ｚ一以，则Ⅳ（Ｐ（ｔ，Ｘ，・），丌（・））≤ｅ１Ｗ（艿：（・），丌（・）），即Ｘ，依分布指数稳定，指数阶为口／２．
推论２．１明显地优于文［５］中的结果，后者需事先假定平稳分布存在，也优于文ｆ７］中定理２，这里证明了指数遍历性，因而也给出了收敛速度估计．而文［７］在相同条件下，仅得到遍历性．
注２．３在注２．１中我们指出条件Ｌ（Ｐ，厂）≤Ｌ（厂）一般地不能得到平稳分布的存在性，但如果我们假设平稳分布７ｌ＂存在唯一，类似于（２．３）的证明仍然可以得到Ｗ（Ｐ（ｔ，ｚ，・），丌（・））≤ｗ（以（・），丌（・）），此即文［５］中的平均稳定性．
由于Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ常数的压缩性在许多领域有重要应用，因此也为定理２．１的应用提供了一些现成的结果，Ｈｅｒｂｓｔ和Ｐｉｔｔ在研究扩散半群的单调性时给出了如下结果．
引理２．１【８３如果ｂ，（ｚ）∈Ｃ１（Ｒ。）且Ⅱ。（ｚ）仅依赖于ｚｉ和ｚＪ（１≤ｉ，Ｊ≤ｄ），则
Ｌ（Ｐ，厂）≤ｅＫｔＬ（，），ｆ∈驴，ｔ≥０，
其中
Ｋ翟ｐ罡慧｛掣＋萎Ｉ掣ｈ
考虑如下Ｈｏｐｆｉｅｌｄ随机神经网络
ｄＸ，一［一ＡＸ，＋Ｂｇ（Ｘ。）］出＋盯（Ｘ。）ｄＢ，，（２．９）
其中Ａ—ｄｉａｇ（ａｊ，ｄ２，…，（１ｄ），ｃ￡ｉ＞０，１≤ｉ≤ｄ，Ｂ一（％）以ｄ，ｇ（ｚ）＝（ｇｌ（Ａ），９２（ｚｚ），…，ｇＪ（ｚｄ））Ｔ，仃（ｚ）一（盯ｉ（ｚ））‘，×ｄ．假定（２．９）有唯一解．
定理２．２在方程（２．９）中，若ｇｉ（ｚ）可导，盯（ｚ）＝ｄｉａｇ（ａ１（ｚ１），…，Ｏ＇ｄ（ｚｄ）），ｇｆ（ｚ），吼（ｚ）满足线性增长条件．
令
Ｋ＝ｓｕｐ…ｍａ…ｘ（一ａｉ＋ｂ．ｇ，７（ｚｉ）＋∑Ｊ１≤ｉ≤ｄ、：Ｚ』ｂｊｉｇｉ７（ｚｉ）Ｉ），Ｊ
则当Ｋ＜０时，（２．９）有唯一平稳分布且依分布指数稳定．
证这足引理２．１与定理２．１的直接结果，且此时ｃ（￡）一ｅ触，故指数阶为一Ｋ／２．
也可通过构造耦合计算（２．２），利用文［９］中构造的反射耦合我们有
Ｈ－－＝－ｓ。≠ｕｐ，南｛ｌ
证
论成立．定理２．３在随机神经网络（２．９）中，令ｄ（ｚ）一盯（ｙ）Ｉ２一Ｌ鱼鱼堕－＿鼍望笔掣＋＜一Ａ（ｘ－－ｙ），Ｘ－－ｙ＞＋（Ｂｉｇ（ｘ）～ｇ（ｙ）］，ｚ—ｙ＞｝，则当Ｈ＜０时，（２．９）有唯一平稳分布且依分布指数稳定（其中（－，・＞表示Ｒ。上的内积）．由文［９］定理１并经简单计算，此时有Ｌ（Ｐ，厂）≤ｅＨｔＬ（厂），ｆ∈２。，故由定理２．１结
例２．１考虑三维随机神经网络
ｒｄＸ－（￡）＝［一Ｘ１（￡）一０．４９ｌ（Ｘ１（￡））＋０．５９２（Ｘｚ（￡））＋０．６９。（Ｋ（￡））］出＋２．４Ｘｌ（ｔ）ｄＢｌ（￡），Ｊｄ％（￡）一［一１．１ｘ２（￡）＋１．１９ｌ（ｘ１（￡））一０．６９２（ｘ２（￡））＋０．２９。（ｘ３（￡））］出＋２．５托（ｔ）ｄＢ２（￡），Ｉｄｘ。（ｆ）＝［一０．８ｘ。（￡）＋０．３９ｌ（ｘ１（￡））＋０．７９２（Ｘ２（ｆ））一０．５９ｓ（ｘ。（￡））］出＋２．４Ｘ。（ｔ）ｃｌＢ。（￡），其中Ⅱ向应函数ｇ。（“）＝薹｛芝三，ｉ＝ｌ，２，３．由于此时ｏ＜ｇ７（“）＝１一ｅｕ＿ｅ－Ｕ）２＜１．易知
７１８应用数学２０ｌＯ方程有唯一解，且不难得到Ｋ＝ｍａｘ（一１＋０．７，一１．１＋０．７，一０．８＋０．５）一一０．３．由定理２．２，Ｘ（￡）依分布指数稳定，指数阶为０．１５．
例２．２考虑二维随机神经网络
，ｄＸｌ（￡）＝［一０．９Ｘｌ（￡）＋１．２９（Ｘ２（￡））］ｄ￡＋０．２ＸＩ（ｔ）ｄＷｌ（￡），
其中响应函数ｇ（“）满足Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件，如ｇ（摊）＝Ｌ型＿』掣或ｇ（“）一雨ｅｕ＿ｅ－ｕ．１ｄｘ２（￡）一［一１．１ｘ２（ｆ）＋０．４９（Ｘｌ（ｔ））］ｄｔ＋０．２５Ｘ２（￡）ｄＷ２（￡）．
通过计算不难得到上界估计：Ｈ＜０．２５２—０．２２／２—０．９＋１．６／２一一０．０５７５＜０，由定理２．３，Ｘ（￡）依分布指数稳定，指数阶为ｏ．０２８．
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ＳｔａｂｉｌｉｔｙｉｎＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｆｏｒＳｏｍｅＤｉｆｆｕｓｉｏｎＰｒｏｃｅｓｓｅｓ
ＸＬ厂Ｌｉｆｅｎｇ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ
ｎａ）ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＨｕｂｅｉＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｕａｎｇｓｈｉ４３５００２．Ｃｈｉ—
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｏｕｐｌｉｎｇｍｅｔｈｏｄｉｓｕｓｅｄ
ｔｈｅｄｕａｌｉｔｙｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｏｆｔｏｓｔｕｄｙｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｓｏｍｅｄｉｆｆｕｓｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓｅｓ．ＢｙｏｆｓｔａｔｉｏｎａｒｙＫＲＷ—ｍｅｔｒｉｃｗｅｐｒｏｖｅｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅａｎｄｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ
ｒａｔｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，ａｎｄｔｈｅｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｉｓｏｂｔａｉｎｅｄｔｏｏ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｄｉｆｆｕｓｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓｅｓ；Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｓｔａｔｉｏｎａｒｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；Ｓｔａｂｉｌｉｔｙｉｎｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；Ｃｏｕｐｌｉｎｇ
扩散过程平稳分布的存在唯一性与稳定性
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：徐立峰， XU Lifeng湖北师范学院数学与统计学院,湖北,黄石,435002应用数学MATHEMATICA APPLICATA2010,23(4)
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本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_yingysx201004004.aspx