为了使变压变频器输出交流电压的波形近似为正弦波，使电动机的输出转矩平稳，从而获得优秀的工作性能，现代通用变压变频器中的逆变器都是由全控型电力电子开关器件构成，采用脉宽调制(pulse width modulation, 简称pwm ) 控制的，只有在全控器件尚未能及的特大容量时才采用晶闸管变频器。应用最早而且作为pwm 控制基础的是正弦脉宽调制(sinusoidal pulse width modulation, 简称spwm) 。
图3-1 与正弦波等效的等宽不等幅矩形脉冲波序列
3.1 正弦脉宽调制原理
一个连续函数是可以用无限多个离散函数逼近或替代的，因而可以设想用多个不同幅值的矩形脉冲波来替代正弦波，如图3-1所示。图中，在一个正弦半波上分割出多个等宽不等幅的波形(假设分出的波形数目n=12)，如果每一个矩形波的面积都与相应时间段内正弦波的面积相等，则这一系列矩形波的合成面积就等于正弦波的面积，也即有等效的作用。为了提高等效的精度，矩形波的个数越多越好，显然，矩形波的数 目受到开关器件允许开关频率的限制。
在通用变频器采用的交-直-交变频装置中，前级整流器是不可控的，给逆变器供电的是直流电源，其幅值恒定。从这点出发，设想把上述一系列等宽不等幅的矩形波用一系列等幅不等宽的矩形脉冲波来替代(见图3-2) ，只要每个脉冲波的面积都相等，也应该能实现与正弦波等效的功能，称作正弦脉宽调制(spwm)波形。例如，把正弦半波分作n 等分(在图3-2中，n=9)，把每一等分的正弦曲线与横轴所包围的面积都用一个与此面积相等的矩形脉冲来代替，矩形脉冲的幅值不变，各脉冲的中点与正弦波每一等分的中点相重合，这样就形成spwm 波形。同样，正弦波的负半周也可用相同的方法与一系列负脉冲波等效。这种正弦波正、负半周分别用正、负脉冲等效的spwm 波形称作单极式spwm 。
图3-2 spwm 波形
图3-3是spwm 变压变频器主电路的原理图，图中vt 1~vt 6是逆变器的六个全控型功率开关器件，它们各有一个续流二极管(vd1~vd 6) 和它反并联接。整个逆变器由三相不可控整流器供电，所提供的直流恒值电压为u d 。
图3-3 spwm 变压变频器主电路原理图
某一相的单极式spwm 波形是由逆变器该相上(或下) 桥臂中一个功率开关器件反复导通和关断形成的。在正弦脉宽调制方法中，利用正弦波作调制波(modulation wave)，受它调制的信号称为载波(carrier wave)，常用等腰三角波作载波。当调制波与载波相交时(见图3-4a) ，其交点决定了逆变器开关器件的通断时刻。例如：当a 相的调制波电压u ra 高于载波电压u t 时，使开关器件vt 1导通，输出正的脉冲电压(见图3-4b) ；当u ra 低于u t 时，使vt 1关断，输出电压下降为零。在u ra 的负半周中，可用类似的方法控制下桥臂的vt 4，输出负的脉冲电压序列。若改变调制波的频率，输出电压基波的频率也随之改变；降低调制波的幅值时，如图中的 ，各段脉冲宽度变窄，输出电压的基波幅值也相应减小。
a) 正弦调制波与三角载波
b) 输出的spwm 波
图3-4 单极式脉宽调制波的形成
上述单极式spwm 波形在半周内的脉冲电压只在“正”(或“负”) 和“零”之间变化，主电路每相只有一个开关器件反复通断。如果让同一桥臂上、下两个开关器件互补地导通与关断，则输出脉冲在“正”和“负”之间变化，就得到双极式的spwm 波形。图3-5绘出了三相双极式正弦脉宽调制波形，其调制方法和单极式相似，只是输出脉冲电压的极性不同。当a 相调制波u ra >ut 时，vt 1导通，vt 4关断，节点a 与直流电源中点o`间的相电压为u a0’=+ud /2(图3-5b) ；当u ra
图3-5 三相桥式pwm 逆变器的双极性spwm 波形
图5-20中的u ao `、u bo `与u co `是逆变器输出端a 、b 、c 分别与直流电源中点o`之间的电压，o`点与负载的零点o 并不一定是等电位的，u ao `等并不代表负载上的相电压。令负载零点o 与直流电源中点o`之间的电压为u oo `，则负载各相的相电压分别为
(3-1)
将式(3-1)中各式相加并整理后得
一般负载三相对称，则u ao +ubo +uco =0，故有
(3-2)
由此可求得a 相负载电压为
(3-3)
在图3-5f 中绘出了相应的负载a 相电压波形，u bo 和u co 波形与此相似。
3.2 spwm 波的基波电压
对电动机来说，有用的是电压的基波，希望spwm 波形中基波的成分越大越好。为了找出基波电压，须将spwm 脉冲序列波u(t)展开成傅氏级数，由于各相电压正、负半波及其左、右均对称，它是一个奇次正弦周期函数，其一般表达式为
式中
(3-4)
要把包含n 个矩形脉冲的u(t)代入上式，必须先求得每个脉冲的起始相位和终了相位。在图3-5中，由于在原点处三角波是从负的顶点开始出现的，所以第i 个脉冲中心点的相位应为
(3-5)
于是，第i 个脉冲的起始相位为
终了相位为
其中δi 是第i 个脉冲的宽度。把各脉冲起始和终了相位代入式(3-4)中，可得
(3-6)
故
(3-7)
以k=1代入式(3-7)，可得输出电压的基波幅值。当半个周期内的脉冲数n 不太少时，各脉冲的宽度δi 都不大，可以近似地认为sin δi /2≈δi /2，因此
(3-8)
可见输出基波电压幅值u 1m 与各段脉宽δi 有着直接的关系，它说明调节参考信号的幅值从而改变各个脉冲的宽度时，就可实现对逆变器输出电压基波幅值的平滑调节。
根据脉冲与相关段正弦波面积相等的等效原则可以导出
(3-9)
将式(3-5)、式(3-9)代入式(3-8)，得
(3-10)
可以证明，除n=1以外，有限项三角级数
而n=1是没有意义的，因此由式(3-10)可得
u 1m =um
也就是说，spwm 逆变器输出脉冲波序列的基波电压正是调制时所要求的正弦波幅值电压。当然，这个结论是在作出前述的近似条件下得到的，即n 不太少，sin π/2n≈π/2n，且sin δi /2≈δi /2。当这些条件成立时，spwm 变压变频器能很好地满足异步电动机变压变频调速的要求。 要注意到，spwm 逆变器输出相电压的基波和常规六拍阶梯波的交-直-交变压变频器相比要小一些，据有关资料介绍，仅为其86%~90%，这样就影响了电机额定电压的充分利用。为了弥补这个不足，在spwm 逆变器的直流回路中常并联相当大的滤波电容，以抬高逆变器的直流电源电压u d 。
3.3 脉宽调制的制约条件
根据脉宽调制的特点，逆变器主电路的功率开关器件在其输出电压半周内要开关n 次。如果把期望的正弦波分段越多，则n 越大，脉冲波序列的脉宽δi 越小，上述分析结论的准确性越高，spwm 波的基波就更接近期望的正弦波。但是，功率开关器件本身的开关能力是有限的，因此，在应用脉宽调制技术时必然要受到一定条件的制约，这主要表现在以下两个方面。
3.3.1 功率开关器件的开关频率
各种电力电子器件的开关频率受到其固有的开关时间和开关损耗的限制，全控型器件常用的开关频率如下：双极型电力晶体管(bjt)开关频率可达1~5khz ，可关断晶闸管(gto)开关频率为1~2khz ，功率场效应管(p-mosfet)开关频率可达50khz ，而目前最常用的绝缘栅双极晶体管(igbt)开关频率为5～20khz 。
定义载波频率f t 与参考调制波频率f r 之比为载波比n(carrier ratio)，即
(3-11)
相对于前述spwm 波形半个周期内的脉冲数 n来说，应有n=2n。为了使逆变器的输出尽量接近正弦波，应尽可能增大载波比，但若从功率开关器件本身的允许开关频率来看，载波比又不能太大。n 值应受到下列条件的制约：
(3-12)
式(3-12)中的分母实际上就是spwm 变频器的最高输出频率。
3.3.2 最小间歇时间与调制度
为保证主电路开关器件的安全工作，必须使调制的脉冲波有个最小脉宽与最小间歇的限制，以保证最小脉冲宽度大于开关器件的导通时间t on ，而最小脉冲间歇大于器件的关断时间t off 。在脉宽调制时，若n 为偶数，调制信号的幅值u rm 与三角载波相交的两点恰好是一个脉冲的间歇。为了保证最小间歇时间大于t off ，必须使u rm 低于三角载波的峰值u tm 。为此，定义u rm 与u tm 之比为调制度m ，即
(3-13)
在理想情况下，m 值可在0~1之间变化，以调节逆变器输出电压的大小。实际上，m 总是小于1的，在n 较大时，一般取最高的m=0.8~0.9。
3.4 同步调制与异步调制
在实行spwm 时，视载波比n 的变化与否，有同步调制与异步调制之分。
3.4.1 同步调制
在同步调制方式中，n ＝常数，变频时三角载波的频率与正弦调制波的频率同步改变，因而输出电压半波内的矩形脉冲数是固定不变的。如果取n 等于3的倍数，则同步调制能保证输出波形的正、负半波始终对称，并能严格保证三相输出波形间具有互差 120°的对称关系。但是，当输出频率很低时，由于相邻两脉冲间的间距增大，谐波会显著增加，使负载电动机产生较大脉动转矩和较强的噪声，这是同步调制方式的主要缺点。
3.4.2 异步调制
为了消除同步调制的缺点，可以采用异步调制方式。顾名思义，异步调制时，在变压变频器的整个变频范围内，载波比n 不等于常数。一般在改变调制波频率fr 时保持三角载波频率ft 不变，因而提高了低频时的载波比。这样输出电压半波内的矩形脉冲数可随输出频率的降低而增加，从而减少负载电动机的转矩脉动与噪声，改善了系统的低频工作性能。
有一利必有一弊，异步调制方式在改善低频工作性能的同时，又失去了同步调制的优点。当载波比n 随着输出频率的降低而连续变化时，它不可能总是3的倍数，势必使输出电压波形及其相位都发生变化，难以保持三相输出的对称性，可能引起电动机工作的不平稳。
3.4.3 分段同步调制
为了扬长避短，可将同步调制和异步调制结合起来，成为分段同步调制方式，实用的spwm 变压变频器多采用这种方式。
在一定频率范围内采用同步调制，可保持输出波形对称的优点，但频率降低较多时，如果仍保持载波比n 不变，输出电压谐波将会增大。为了避免这个缺点，可以采纳异步调制的长处，使载波比分段有级地加大，这就是分段同步调制方式。具体地说，把整个变频范围划分成若干频段，在每个频段内都维持载波比n 恒定，而对不同的频段取不同的n 值，频率低时，n 值取大些，一般大致按等比级数安排。表3-1给出了一个系统的频段和载波比的分配，以资参考。
图3-6所示是与表3-1相应的f 1与f t 的关系曲线。由图可见，在输出频率f 1的不同频段内用不同的n 值进行同步调制，使各频段开关频率的变化范围基本一致，以适应功率开关器件对开关频率的限制。
图3-6 分段同步调制时输出频率与开关频率的关系曲线
上述图表的设计计算方法如下：已知变频器要求的输出频率范围为5~60hz ，用igbt 作开关器件，取最大开关频率为5.5khz 左右，最小开关频率在最大开关频率的1/2~2/3之间，视分段数要求而定。
现取输出频率上限为62hz ，则第一段载波比为
取n 为3的整数倍数，则n 1=90，修正后，
若取 ，计算后得
取整数，则 f1min =41hz,ftmin =41×90=3690hz。以下各段依此类推，可得表3-1中各行的数据。 分段同步调制虽然比较麻烦，但在微电子技术迅速发展的今天，这种调制方式是很容易实现的。
3.5 spwm 控制方法
采用高开关频率的全控型电力电子器件组成逆变电路时，先假定器件的开与关均无延时，于是可将要求变频器输出三相spwm 波的问题转化为如何获得与其形状相同的三相spwm 控制信号问题，用这些信号作为变频器中各电力电子器件的基极(栅极) 驱动信号。
原始的spwm 是由模拟控制实现的。图3-7是spwm 变压变频器的模拟控制电路框图。三相对称的参考正弦电压调制信号u ra 、u rb 、u rc 由参考信号发生器提供，其频率和幅值都可调。三角载波信号ut 由三角波发生器提供，各相共用。它分别与每相调制信号进行比较，给出“正” 的饱和输出或“零”输出，产生spwm 脉冲波序列u da 、u db 、u dc ，作为变压变频器功率开关器件的驱动信号。spwm 的模拟控制现在已很少应用，但它的原理仍是其它控制方法的基础。
图3-7 spwm 变压变频器的模拟控制电路
目前常用的spwm 控制方法是数字控制。可以采用微机存储预先计算好的spwm 波形数据表格，控制时根据指令调出；或者通过软件实时生成spwm
波形；也可以采用大规模集成电路专用芯片中
产生的spwm 信号。下面介绍几种常用的方法。
3.5.1 自然采样法
完全按照模拟控制的方法，计算正弦调制波与三角载波的交点，从而求出相应的脉宽和脉冲间歇时刻，生成spwm 波形，称为自然采样法(natural sampling)，如图3-8所示。在图中截取了任意一段正弦调制波与三角载波的相交情况。交点a 是发出脉冲的时刻，b 点是结束脉冲的时刻。图3-7spwm 变压变频器的模拟控制电路t c 为三角载波的周期；t 1为在t c 时间段内在脉冲发生以前(即a 点以前) 的间歇时间；t 2为ab 之间的脉宽时间；t 3为在t c 时间段以内b 点以后的间歇时间。显然，t c =t1+t2+t3。
图3-8 生成spwm 波形的自然采样法
若以单位1代表三角载波的幅值u tm ，则正弦调制波的幅值u rm 就表示调制度m ，正弦调制波可写作u r =msinω1t
式中，ω1是调制频率，也就是变压变频器的输出频率
由于a 、b 两点对三角载波的中心线并不对称，须把脉宽时间t 2分成t`2和t``2两部分(见图3-8) 。按相似直角三角形的几何关系，可知
经整理得
(3-14)
这是一个超越方程，其中t a 、t b 与载波比n 、调制度m 都有关系，求解困难，而且t 1≠t 3，分别计算更增加了困难。因此，自然采样法虽能确切反映正弦脉宽调制的原始方法，计算结果正确，却不适于微机实时控制。
3.5.2 规则采样法
自然采样法的关键问题是，spwm 波形每一个脉冲的起始和终了时刻t a 和t b 对三角波的中心线不对称，因而求解困难。工程上实用的方法要求算法简单，只要误差不大，允许作一些近似处理。这样就提出了各种规则采样法(regular sampling)。
规则采样法的出发点是设法在三角载波的特定时刻处确定正弦调制波的采样电压值，使脉冲的起始和终了时刻对称，这样就比较容易计算求出对应于每一个spwm 波的采样时刻。图3-9所示是一种规则采样法，以三角载波的负峰值(e点) 作为采样时刻，对应的采样电压为u re 。在三角载波上由u re 水平线截得a 、b 两点，以此确定了脉宽时间t 2。由于在两个三角载波波形正峰值之间的时刻即为t c ，因此a 点、b 点与载波各正峰值的间隔时间分别为t 1和t 3，且t 1=t3，而相应的spwm 波形相对于t c 的中间时刻(载波负峰值对应的时刻) 对称，这就大大简化了计算。需要指出的是，上述规则采样法所得spwm 波形的起始时刻、终了时刻以及脉宽大小都不如自然采样法准确，脉冲起始时刻a 点比自然采样法提前了，终了时刻b 点也提前了，虽然两者提前的时间不尽相同，但终究相互之间有了一些补偿，对脉冲宽度的影响不大，所造成的误差是工程上能够允许的，毕竟规则采样法的算法简单多了。由图3-9可以看出，规则采样法的实质是用阶梯波来代替正弦波(图中粗实线所示) ，从而简化了算法。只要载波比足够大，不同的阶梯波都很逼近正弦波，所造成的误差可以忽略不计。
图3-9 生成spwm 波的一种规则采样法
在规则采样法中，三角载波每个周期的采样时刻都是确定的，都在负峰值处，不必作图就可计算出相应时刻的正弦波值。例如采样值应依次为 msinω1t e ，msin(ω1t e +tc ) ， msin(ω
1t e +2tc ），„„„，因而脉宽时间和间歇时间都可以很容易计算出来。由图3-9可得规则采样法的计算公式：
脉宽时间
(3-15)
间歇时间
(3-16)
实用的变频器多是三相的，因此还应形成三相的spwm 波形。三相正弦调制波在时间上互差2π/3，而三角载波是共用的，这样就可在同一个三角载波周期内获得图3-10所示的三相spwm 脉冲波形。在图中，每相的脉宽时间t a2、t b2和tc2都可用式(3-15)计算，求三相脉宽时间的总和时，等式右边第一项相同，加起来是其三倍，第二项之和则为零，因此
(3-17)
图3-10 三相spwm 波形的生成
三相间歇时间总和为
脉冲两侧的间歇时间相等，所以
(3-18)
式中，下角标a 、b 、c 分别表示a 、b 、c 三相。
在数字控制中，一般可以离线先在计算机上算出不同ω1与m 时的脉宽时间t 2或
后，写入eprom ，然后由调速系统的微机通过查表和加减法运算求出各
相脉宽时间和间歇时间，这就是查表法。也可以在内存中存储正弦函数和t c /2值，控制时，先取出正弦值与调速系统所需的调制度m 作乘法运算，再根据给定的载波频率取出对应的t c /2值，与 msinω1t e 作乘法运算，然后运用加、减、移位即可算出脉宽时间t2和间歇时间t 1、t 3，此即实时计算法。按查表法或实时计算法所得的脉冲数据都送入定时器，利用定时中断向接口电路送出相应的高、低电平，以实时产生spwm 波形的一系列脉冲。对于开环控制系统，在某一给定转速下其调制度m 与频率ω1都有确定值，所以宜采用查表法。对于闭环控制的调速系统，在系统运行中调制度m 值须随时被反馈控制调节，所以用实时计算法更为宜。
3.5.3 spwm 专用集成电路芯片与微处理器
应用单片微机产生spwm 波形时，其效果受到指令功能、运算速度、存储容量和兼顾其它控制算法功能的限制，有时难以有很好的实时性。特别是在高频电力电子器件的应用以及在闭环调速系统中，完全依靠软件生成spwm 波形的方法实际上很难适应其要求。
随着微电子技术的发展，早期曾陆续开发了一些专门用于发生spwm 控制信号的集成电路芯片，如mullard 公司的hef4752、philips 公司的mk ⅱ、siemens 公司的sle4520、sanken 公司的mb63h110，以及我国研制的zps-110等，应用这类专用芯片当然比用单片微机生成spwm 信号要方便得多。近来更出现了多种用于电动机调速控制的专用单片微处理器，如intel 公司的
8xc196mc 系列、tl 公司的tms320系列、日立公司的sh7000系列等。这些微处理器一般都具有以下功能：(1) 有pwm 波形生成硬件及较宽的调频调制范围；(2) 为了对变频器及所组成调速系统的运行参数(如电压、电流、转速等) 进行实时检测与故障保护，微处理器具有很强的中断功能与较多的中断通道；(3) 具有将外部的模拟量控制信号及通过各种传感器送来的模拟反馈、检测信号进行a/d转换的接口，且一般为8位转换器；(4) 具有较高的运算速度、能完成复杂运算的指令、内存容量较大；(5) 有用于外围通信的同步、异步串行接口的硬件或软件单元。由于这些功能的支持，所以上述微处理器能方便地用于开发基于pwm 控制技术的电动机调速系统，微处理器除能产生可调频率的pwm 控制信号外，还能完成必需的保护、控制等功能。现代spwm 变频器的控制电路大都是以微处理器为核心的数字控制电路。
为了使变压变频器输出交流电压的波形近似为正弦波，使电动机的输出转矩平稳，从而获得优秀的工作性能，现代通用变压变频器中的逆变器都是由全控型电力电子开关器件构成，采用脉宽调制(pulse width modulation, 简称pwm ) 控制的，只有在全控器件尚未能及的特大容量时才采用晶闸管变频器。应用最早而且作为pwm 控制基础的是正弦脉宽调制(sinusoidal pulse width modulation, 简称spwm) 。
图3-1 与正弦波等效的等宽不等幅矩形脉冲波序列
3.1 正弦脉宽调制原理
一个连续函数是可以用无限多个离散函数逼近或替代的，因而可以设想用多个不同幅值的矩形脉冲波来替代正弦波，如图3-1所示。图中，在一个正弦半波上分割出多个等宽不等幅的波形(假设分出的波形数目n=12)，如果每一个矩形波的面积都与相应时间段内正弦波的面积相等，则这一系列矩形波的合成面积就等于正弦波的面积，也即有等效的作用。为了提高等效的精度，矩形波的个数越多越好，显然，矩形波的数 目受到开关器件允许开关频率的限制。
在通用变频器采用的交-直-交变频装置中，前级整流器是不可控的，给逆变器供电的是直流电源，其幅值恒定。从这点出发，设想把上述一系列等宽不等幅的矩形波用一系列等幅不等宽的矩形脉冲波来替代(见图3-2) ，只要每个脉冲波的面积都相等，也应该能实现与正弦波等效的功能，称作正弦脉宽调制(spwm)波形。例如，把正弦半波分作n 等分(在图3-2中，n=9)，把每一等分的正弦曲线与横轴所包围的面积都用一个与此面积相等的矩形脉冲来代替，矩形脉冲的幅值不变，各脉冲的中点与正弦波每一等分的中点相重合，这样就形成spwm 波形。同样，正弦波的负半周也可用相同的方法与一系列负脉冲波等效。这种正弦波正、负半周分别用正、负脉冲等效的spwm 波形称作单极式spwm 。
图3-2 spwm 波形
图3-3是spwm 变压变频器主电路的原理图，图中vt 1~vt 6是逆变器的六个全控型功率开关器件，它们各有一个续流二极管(vd1~vd 6) 和它反并联接。整个逆变器由三相不可控整流器供电，所提供的直流恒值电压为u d 。
图3-3 spwm 变压变频器主电路原理图
某一相的单极式spwm 波形是由逆变器该相上(或下) 桥臂中一个功率开关器件反复导通和关断形成的。在正弦脉宽调制方法中，利用正弦波作调制波(modulation wave)，受它调制的信号称为载波(carrier wave)，常用等腰三角波作载波。当调制波与载波相交时(见图3-4a) ，其交点决定了逆变器开关器件的通断时刻。例如：当a 相的调制波电压u ra 高于载波电压u t 时，使开关器件vt 1导通，输出正的脉冲电压(见图3-4b) ；当u ra 低于u t 时，使vt 1关断，输出电压下降为零。在u ra 的负半周中，可用类似的方法控制下桥臂的vt 4，输出负的脉冲电压序列。若改变调制波的频率，输出电压基波的频率也随之改变；降低调制波的幅值时，如图中的 ，各段脉冲宽度变窄，输出电压的基波幅值也相应减小。
a) 正弦调制波与三角载波
b) 输出的spwm 波
图3-4 单极式脉宽调制波的形成
上述单极式spwm 波形在半周内的脉冲电压只在“正”(或“负”) 和“零”之间变化，主电路每相只有一个开关器件反复通断。如果让同一桥臂上、下两个开关器件互补地导通与关断，则输出脉冲在“正”和“负”之间变化，就得到双极式的spwm 波形。图3-5绘出了三相双极式正弦脉宽调制波形，其调制方法和单极式相似，只是输出脉冲电压的极性不同。当a 相调制波u ra >ut 时，vt 1导通，vt 4关断，节点a 与直流电源中点o`间的相电压为u a0’=+ud /2(图3-5b) ；当u ra
图3-5 三相桥式pwm 逆变器的双极性spwm 波形
图5-20中的u ao `、u bo `与u co `是逆变器输出端a 、b 、c 分别与直流电源中点o`之间的电压，o`点与负载的零点o 并不一定是等电位的，u ao `等并不代表负载上的相电压。令负载零点o 与直流电源中点o`之间的电压为u oo `，则负载各相的相电压分别为
(3-1)
将式(3-1)中各式相加并整理后得
一般负载三相对称，则u ao +ubo +uco =0，故有
(3-2)
由此可求得a 相负载电压为
(3-3)
在图3-5f 中绘出了相应的负载a 相电压波形，u bo 和u co 波形与此相似。
3.2 spwm 波的基波电压
对电动机来说，有用的是电压的基波，希望spwm 波形中基波的成分越大越好。为了找出基波电压，须将spwm 脉冲序列波u(t)展开成傅氏级数，由于各相电压正、负半波及其左、右均对称，它是一个奇次正弦周期函数，其一般表达式为
式中
(3-4)
要把包含n 个矩形脉冲的u(t)代入上式，必须先求得每个脉冲的起始相位和终了相位。在图3-5中，由于在原点处三角波是从负的顶点开始出现的，所以第i 个脉冲中心点的相位应为
(3-5)
于是，第i 个脉冲的起始相位为
终了相位为
其中δi 是第i 个脉冲的宽度。把各脉冲起始和终了相位代入式(3-4)中，可得
(3-6)
故
(3-7)
以k=1代入式(3-7)，可得输出电压的基波幅值。当半个周期内的脉冲数n 不太少时，各脉冲的宽度δi 都不大，可以近似地认为sin δi /2≈δi /2，因此
(3-8)
可见输出基波电压幅值u 1m 与各段脉宽δi 有着直接的关系，它说明调节参考信号的幅值从而改变各个脉冲的宽度时，就可实现对逆变器输出电压基波幅值的平滑调节。
根据脉冲与相关段正弦波面积相等的等效原则可以导出
(3-9)
将式(3-5)、式(3-9)代入式(3-8)，得
(3-10)
可以证明，除n=1以外，有限项三角级数
而n=1是没有意义的，因此由式(3-10)可得
u 1m =um
也就是说，spwm 逆变器输出脉冲波序列的基波电压正是调制时所要求的正弦波幅值电压。当然，这个结论是在作出前述的近似条件下得到的，即n 不太少，sin π/2n≈π/2n，且sin δi /2≈δi /2。当这些条件成立时，spwm 变压变频器能很好地满足异步电动机变压变频调速的要求。 要注意到，spwm 逆变器输出相电压的基波和常规六拍阶梯波的交-直-交变压变频器相比要小一些，据有关资料介绍，仅为其86%~90%，这样就影响了电机额定电压的充分利用。为了弥补这个不足，在spwm 逆变器的直流回路中常并联相当大的滤波电容，以抬高逆变器的直流电源电压u d 。
3.3 脉宽调制的制约条件
根据脉宽调制的特点，逆变器主电路的功率开关器件在其输出电压半周内要开关n 次。如果把期望的正弦波分段越多，则n 越大，脉冲波序列的脉宽δi 越小，上述分析结论的准确性越高，spwm 波的基波就更接近期望的正弦波。但是，功率开关器件本身的开关能力是有限的，因此，在应用脉宽调制技术时必然要受到一定条件的制约，这主要表现在以下两个方面。
3.3.1 功率开关器件的开关频率
各种电力电子器件的开关频率受到其固有的开关时间和开关损耗的限制，全控型器件常用的开关频率如下：双极型电力晶体管(bjt)开关频率可达1~5khz ，可关断晶闸管(gto)开关频率为1~2khz ，功率场效应管(p-mosfet)开关频率可达50khz ，而目前最常用的绝缘栅双极晶体管(igbt)开关频率为5～20khz 。
定义载波频率f t 与参考调制波频率f r 之比为载波比n(carrier ratio)，即
(3-11)
相对于前述spwm 波形半个周期内的脉冲数 n来说，应有n=2n。为了使逆变器的输出尽量接近正弦波，应尽可能增大载波比，但若从功率开关器件本身的允许开关频率来看，载波比又不能太大。n 值应受到下列条件的制约：
(3-12)
式(3-12)中的分母实际上就是spwm 变频器的最高输出频率。
3.3.2 最小间歇时间与调制度
为保证主电路开关器件的安全工作，必须使调制的脉冲波有个最小脉宽与最小间歇的限制，以保证最小脉冲宽度大于开关器件的导通时间t on ，而最小脉冲间歇大于器件的关断时间t off 。在脉宽调制时，若n 为偶数，调制信号的幅值u rm 与三角载波相交的两点恰好是一个脉冲的间歇。为了保证最小间歇时间大于t off ，必须使u rm 低于三角载波的峰值u tm 。为此，定义u rm 与u tm 之比为调制度m ，即
(3-13)
在理想情况下，m 值可在0~1之间变化，以调节逆变器输出电压的大小。实际上，m 总是小于1的，在n 较大时，一般取最高的m=0.8~0.9。
3.4 同步调制与异步调制
在实行spwm 时，视载波比n 的变化与否，有同步调制与异步调制之分。
3.4.1 同步调制
在同步调制方式中，n ＝常数，变频时三角载波的频率与正弦调制波的频率同步改变，因而输出电压半波内的矩形脉冲数是固定不变的。如果取n 等于3的倍数，则同步调制能保证输出波形的正、负半波始终对称，并能严格保证三相输出波形间具有互差 120°的对称关系。但是，当输出频率很低时，由于相邻两脉冲间的间距增大，谐波会显著增加，使负载电动机产生较大脉动转矩和较强的噪声，这是同步调制方式的主要缺点。
3.4.2 异步调制
为了消除同步调制的缺点，可以采用异步调制方式。顾名思义，异步调制时，在变压变频器的整个变频范围内，载波比n 不等于常数。一般在改变调制波频率fr 时保持三角载波频率ft 不变，因而提高了低频时的载波比。这样输出电压半波内的矩形脉冲数可随输出频率的降低而增加，从而减少负载电动机的转矩脉动与噪声，改善了系统的低频工作性能。
有一利必有一弊，异步调制方式在改善低频工作性能的同时，又失去了同步调制的优点。当载波比n 随着输出频率的降低而连续变化时，它不可能总是3的倍数，势必使输出电压波形及其相位都发生变化，难以保持三相输出的对称性，可能引起电动机工作的不平稳。
3.4.3 分段同步调制
为了扬长避短，可将同步调制和异步调制结合起来，成为分段同步调制方式，实用的spwm 变压变频器多采用这种方式。
在一定频率范围内采用同步调制，可保持输出波形对称的优点，但频率降低较多时，如果仍保持载波比n 不变，输出电压谐波将会增大。为了避免这个缺点，可以采纳异步调制的长处，使载波比分段有级地加大，这就是分段同步调制方式。具体地说，把整个变频范围划分成若干频段，在每个频段内都维持载波比n 恒定，而对不同的频段取不同的n 值，频率低时，n 值取大些，一般大致按等比级数安排。表3-1给出了一个系统的频段和载波比的分配，以资参考。
图3-6所示是与表3-1相应的f 1与f t 的关系曲线。由图可见，在输出频率f 1的不同频段内用不同的n 值进行同步调制，使各频段开关频率的变化范围基本一致，以适应功率开关器件对开关频率的限制。
图3-6 分段同步调制时输出频率与开关频率的关系曲线
上述图表的设计计算方法如下：已知变频器要求的输出频率范围为5~60hz ，用igbt 作开关器件，取最大开关频率为5.5khz 左右，最小开关频率在最大开关频率的1/2~2/3之间，视分段数要求而定。
现取输出频率上限为62hz ，则第一段载波比为
取n 为3的整数倍数，则n 1=90，修正后，
若取 ，计算后得
取整数，则 f1min =41hz,ftmin =41×90=3690hz。以下各段依此类推，可得表3-1中各行的数据。 分段同步调制虽然比较麻烦，但在微电子技术迅速发展的今天，这种调制方式是很容易实现的。
3.5 spwm 控制方法
采用高开关频率的全控型电力电子器件组成逆变电路时，先假定器件的开与关均无延时，于是可将要求变频器输出三相spwm 波的问题转化为如何获得与其形状相同的三相spwm 控制信号问题，用这些信号作为变频器中各电力电子器件的基极(栅极) 驱动信号。
原始的spwm 是由模拟控制实现的。图3-7是spwm 变压变频器的模拟控制电路框图。三相对称的参考正弦电压调制信号u ra 、u rb 、u rc 由参考信号发生器提供，其频率和幅值都可调。三角载波信号ut 由三角波发生器提供，各相共用。它分别与每相调制信号进行比较，给出“正” 的饱和输出或“零”输出，产生spwm 脉冲波序列u da 、u db 、u dc ，作为变压变频器功率开关器件的驱动信号。spwm 的模拟控制现在已很少应用，但它的原理仍是其它控制方法的基础。
图3-7 spwm 变压变频器的模拟控制电路
目前常用的spwm 控制方法是数字控制。可以采用微机存储预先计算好的spwm 波形数据表格，控制时根据指令调出；或者通过软件实时生成spwm
波形；也可以采用大规模集成电路专用芯片中
产生的spwm 信号。下面介绍几种常用的方法。
3.5.1 自然采样法
完全按照模拟控制的方法，计算正弦调制波与三角载波的交点，从而求出相应的脉宽和脉冲间歇时刻，生成spwm 波形，称为自然采样法(natural sampling)，如图3-8所示。在图中截取了任意一段正弦调制波与三角载波的相交情况。交点a 是发出脉冲的时刻，b 点是结束脉冲的时刻。图3-7spwm 变压变频器的模拟控制电路t c 为三角载波的周期；t 1为在t c 时间段内在脉冲发生以前(即a 点以前) 的间歇时间；t 2为ab 之间的脉宽时间；t 3为在t c 时间段以内b 点以后的间歇时间。显然，t c =t1+t2+t3。
图3-8 生成spwm 波形的自然采样法
若以单位1代表三角载波的幅值u tm ，则正弦调制波的幅值u rm 就表示调制度m ，正弦调制波可写作u r =msinω1t
式中，ω1是调制频率，也就是变压变频器的输出频率
由于a 、b 两点对三角载波的中心线并不对称，须把脉宽时间t 2分成t`2和t``2两部分(见图3-8) 。按相似直角三角形的几何关系，可知
经整理得
(3-14)
这是一个超越方程，其中t a 、t b 与载波比n 、调制度m 都有关系，求解困难，而且t 1≠t 3，分别计算更增加了困难。因此，自然采样法虽能确切反映正弦脉宽调制的原始方法，计算结果正确，却不适于微机实时控制。
3.5.2 规则采样法
自然采样法的关键问题是，spwm 波形每一个脉冲的起始和终了时刻t a 和t b 对三角波的中心线不对称，因而求解困难。工程上实用的方法要求算法简单，只要误差不大，允许作一些近似处理。这样就提出了各种规则采样法(regular sampling)。
规则采样法的出发点是设法在三角载波的特定时刻处确定正弦调制波的采样电压值，使脉冲的起始和终了时刻对称，这样就比较容易计算求出对应于每一个spwm 波的采样时刻。图3-9所示是一种规则采样法，以三角载波的负峰值(e点) 作为采样时刻，对应的采样电压为u re 。在三角载波上由u re 水平线截得a 、b 两点，以此确定了脉宽时间t 2。由于在两个三角载波波形正峰值之间的时刻即为t c ，因此a 点、b 点与载波各正峰值的间隔时间分别为t 1和t 3，且t 1=t3，而相应的spwm 波形相对于t c 的中间时刻(载波负峰值对应的时刻) 对称，这就大大简化了计算。需要指出的是，上述规则采样法所得spwm 波形的起始时刻、终了时刻以及脉宽大小都不如自然采样法准确，脉冲起始时刻a 点比自然采样法提前了，终了时刻b 点也提前了，虽然两者提前的时间不尽相同，但终究相互之间有了一些补偿，对脉冲宽度的影响不大，所造成的误差是工程上能够允许的，毕竟规则采样法的算法简单多了。由图3-9可以看出，规则采样法的实质是用阶梯波来代替正弦波(图中粗实线所示) ，从而简化了算法。只要载波比足够大，不同的阶梯波都很逼近正弦波，所造成的误差可以忽略不计。
图3-9 生成spwm 波的一种规则采样法
在规则采样法中，三角载波每个周期的采样时刻都是确定的，都在负峰值处，不必作图就可计算出相应时刻的正弦波值。例如采样值应依次为 msinω1t e ，msin(ω1t e +tc ) ， msin(ω
1t e +2tc ），„„„，因而脉宽时间和间歇时间都可以很容易计算出来。由图3-9可得规则采样法的计算公式：
脉宽时间
(3-15)
间歇时间
(3-16)
实用的变频器多是三相的，因此还应形成三相的spwm 波形。三相正弦调制波在时间上互差2π/3，而三角载波是共用的，这样就可在同一个三角载波周期内获得图3-10所示的三相spwm 脉冲波形。在图中，每相的脉宽时间t a2、t b2和tc2都可用式(3-15)计算，求三相脉宽时间的总和时，等式右边第一项相同，加起来是其三倍，第二项之和则为零，因此
(3-17)
图3-10 三相spwm 波形的生成
三相间歇时间总和为
脉冲两侧的间歇时间相等，所以
(3-18)
式中，下角标a 、b 、c 分别表示a 、b 、c 三相。
在数字控制中，一般可以离线先在计算机上算出不同ω1与m 时的脉宽时间t 2或
后，写入eprom ，然后由调速系统的微机通过查表和加减法运算求出各
相脉宽时间和间歇时间，这就是查表法。也可以在内存中存储正弦函数和t c /2值，控制时，先取出正弦值与调速系统所需的调制度m 作乘法运算，再根据给定的载波频率取出对应的t c /2值，与 msinω1t e 作乘法运算，然后运用加、减、移位即可算出脉宽时间t2和间歇时间t 1、t 3，此即实时计算法。按查表法或实时计算法所得的脉冲数据都送入定时器，利用定时中断向接口电路送出相应的高、低电平，以实时产生spwm 波形的一系列脉冲。对于开环控制系统，在某一给定转速下其调制度m 与频率ω1都有确定值，所以宜采用查表法。对于闭环控制的调速系统，在系统运行中调制度m 值须随时被反馈控制调节，所以用实时计算法更为宜。
3.5.3 spwm 专用集成电路芯片与微处理器
应用单片微机产生spwm 波形时，其效果受到指令功能、运算速度、存储容量和兼顾其它控制算法功能的限制，有时难以有很好的实时性。特别是在高频电力电子器件的应用以及在闭环调速系统中，完全依靠软件生成spwm 波形的方法实际上很难适应其要求。
随着微电子技术的发展，早期曾陆续开发了一些专门用于发生spwm 控制信号的集成电路芯片，如mullard 公司的hef4752、philips 公司的mk ⅱ、siemens 公司的sle4520、sanken 公司的mb63h110，以及我国研制的zps-110等，应用这类专用芯片当然比用单片微机生成spwm 信号要方便得多。近来更出现了多种用于电动机调速控制的专用单片微处理器，如intel 公司的
8xc196mc 系列、tl 公司的tms320系列、日立公司的sh7000系列等。这些微处理器一般都具有以下功能：(1) 有pwm 波形生成硬件及较宽的调频调制范围；(2) 为了对变频器及所组成调速系统的运行参数(如电压、电流、转速等) 进行实时检测与故障保护，微处理器具有很强的中断功能与较多的中断通道；(3) 具有将外部的模拟量控制信号及通过各种传感器送来的模拟反馈、检测信号进行a/d转换的接口，且一般为8位转换器；(4) 具有较高的运算速度、能完成复杂运算的指令、内存容量较大；(5) 有用于外围通信的同步、异步串行接口的硬件或软件单元。由于这些功能的支持，所以上述微处理器能方便地用于开发基于pwm 控制技术的电动机调速系统，微处理器除能产生可调频率的pwm 控制信号外，还能完成必需的保护、控制等功能。现代spwm 变频器的控制电路大都是以微处理器为核心的数字控制电路。