圆x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面
x 2y 2
积最小时，切点为P （如图），双曲线C 1:2-2=1过点P
a b
（1）求C 1的方程；
（2）椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程
.
2. （福建）（本小题满分13分）
x 2y 2
已知双曲线E :2-2=1(a >0, b >0) 的两条渐近线分别为l 1:y =2x , l 2:y =-2x .
a b
（1）求双曲线E 的离心率；
（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1, l 2于A , B 两点（A , B 分别在第一， 四象限），且∆OAB 的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由。
x 2y 2
设椭圆2+2=1（a >b >0）的左、右焦点为F 1, F 2，右顶点为A ，上顶点为B .
a b
已知AB =
1F 2. （Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点的直线l 与该圆相切. 求直线的斜率.
4. （江苏）(本小题满分14分)
如图, 在平面直角坐标系xOy 中, F 1, F 2分别是椭圆
x 2a 2
+y 3b 2
=1(a >b >0) 的左、右
焦点，顶点B 的坐标为(0, b ) ，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的
垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C .
41
(1)若点C 的坐标为(, ) , 且BF 2=2, 求椭圆的方程；
33
(2)若F 1C ⊥AB , 求椭圆离心率e 的值.
5（陕西）（本小题满分13分）
y 2x 2
如图，曲线C 由上半椭圆C 1:2+2=1(a >b >0, y ≥0)
a b
和部分抛物线C 2:y =-x 2+1(y ≤0) 连接而成，C 1, C 2的公共点为A , B ，其中C
1的离心率为（1）求a , b 的值；
. 2
（2）过点B 的直线l 与C 1, C 2分别交于P , Q （均异于点A , B ），若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程
.
6. （新课标二20. ）（本小题满分12分）
2y 2设F 1, F 2分别是椭圆2+2=1(a >b >0)的左右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x a b
轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N.
（Ⅰ）若直线MN 的斜率为，求C 的离心率；
4
（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且MN =5F 1N ，求a,b . 7. （北京19）（本小题14分） 已知椭圆C :x 2+2y 2=4， （1）求椭圆C 的离心率.
（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y =2上，且OA ⊥OB ，求直线AB 与圆x 2+y 2=2的位置关系，并证明你的结论.
x 2y 2
+2=1(a >b >0) 2
b 8. （重庆21）如题（21）图，设椭圆a 的左右焦点分别为F 1, F 2，|F 1F 2|=点D 在椭圆上，DF 1⊥
F 1F 2，|DF 1|∆
DF 1F 2的面积为2.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..
x 2y 2
9. （广东20）（14分）已知椭圆C :2+2=1(a >b >
0) 的一个焦点为，离
a b
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若动点P (x 0, y 0) 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.
10. （湖北）（满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C. (1)求轨迹为C 的方程
(2)设斜率为k 的直线l 过定点p (-2,1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围。
参考答案
1. 解：（Ⅰ）设切点坐标为(x 0, y 0)(x 0>0, y 0>0) ，则切线斜率为-
x 0
，切线方程y 0
为y -y 0=-
x 0
(x -x 0) ，即x 0x +y 0y =4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成y 0
1448
的三角形面积为S =⋅⋅=. 由x 02+y 02=4≥
2x 0y 0知当且仅当
2x 0y 0x 0y 0
x 0=y 0=时x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P
得坐标为 ， 由题意知
⎧22
y 2⎪2-2=1222
=1. 解得a =1, b =2，故C 1方程为x -⎨a b
2⎪a 2+b 2=3a 2
⎩
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C 2的焦点坐标
为(，由此C 2的方程为
x 2y 2
+2=1，其中b 1>0.
2
3+b 1b 1
由P 在C 2上，得
22
+=1， 22
3+b 1b 1
x 2y 2
=1 解得b 1=3，因此C 2方程为+
63
2
显然，l 不是直线y =0.设l 的方程为x =my
A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)
⎧x =my ⎪
由⎨x 2y 2
得(m 2+2) y 2+-3=0，又y 1, y 2是方程的根，因
此
=1⎪+3⎩6
⎧y 1+y 2=⎪⎪⎨
⎪y y =-312⎪m 2+2⎩
①
，
由
x 1=y ,
2
得3+2m
y
②
⎧x +x =m (y +y ) +=⎪12⎪12m 2+2⎨2⎪x x =m 2y y (y +y ) +3=6-6m 121212⎪m 2+2⎩
③
④
因AP =x 1y 1), BP =
x 2y 2) 由题
意知A P ⋅B P =0，所以
x
1x 2(x 1+x 2) +y 1
(y +y ) ⑤ ，将①，②，③，④代入⑤
12+4=0式整理得2m 2-+
11=0，解得m =
1或
m =1，因此直线l
的方程为x -
-1) y =0，或x +-1) y =0. 2. 解法一：
(1)因为双曲线E 的渐近线分别为和y =2
x , y =-2x .
b 所以=2, =2,
∴c =,
a 从而双曲线E 的离心率e =x 2y 2
(2)由(1)知, 双曲线E 的方程为2-2=1.
a 4a
设直线l 与x 轴相交于点C.
当l ⊥x 轴时, 若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点, 则OC =a , AB =4a , 又因为∆OAB 的面积为8, 所以
11
OC AB =8, ∴a ⋅4a =8, ∴a =2. 22
x 2y 2
=1. 此时双曲线E 的方程为-
416
x 2y 2
=1. 若存在满足条件的双曲线E, 则E 的方程只能为-
416
x 2y 2
=1也满足条件. 以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：-
416
设直线l 的方程为y =kx +m , 依题意, 得k>2或k
m
,0) ，记A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) . k
⎧y =2x 2m 2m 1由⎨, 得y 1=, 同理得y 2=. 由S ∆OAB =OC y 1-y 2得,
2-k 2+k 2⎩y =kx +m
1m 2m 2m
-⋅-=8即m 2=44-k 2=4(k 2-4) . 2k 2-k 2+k
⎧y =kx +m ⎪
由⎨x 2y 2得, (4-k 2) x 2-2kmx -m 2-16=0. 因为4-k 2
=1⎪-
416⎩所以∆=4k 2m 2+4(4-k 2)(m 2+16) =-16(4k 2-m 2-16) ,
又因为m 2=4(k 2-4) . 所以∆=0, 即l 与双曲线E 有且只有一个公共点.
x 2y 2
=1. 因此, 存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E, 且E 的方程为-
416
3. 解：（Ⅰ）解：设椭圆的右焦点F 2的坐标为(c ,0) .
由AB =
1F 2，可得c 21a +b =3c ，又b =a -c ，则2=.
所以，椭圆的离心率e =
.
a 22
2
2
2
2
2
2
，所以2a 2-c 2=
3c 2，解得a =
，e =
. 2
x 2y 2
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a =2c ，b =c . 故椭圆方程为2+2=1.
2c c
2
2
2
2
设P (x 0, y 0) . 由F 1(-c ,0) ，B (0, c ) ，有FP 1=(x 0+c , y 0) ，FB 1=(c , c ) . 由已知，有FP 1? FB 1
0，即(x 0+c ) c +y 0c =0. 又c ¹0，故有
x 0+y 0+c =0. ① 又因为点P 在椭圆上，故
x 02y 02
+2=1. ② 2c 2c
由①和②可得3x 02+4cx 0=0. 而点P 不是椭圆的顶点，故x 0=-y 0=
4c
，代入①得3
骣4c c ÷c
，即点P 的坐标为ç. -, ÷ç÷ç桫333
设圆的圆心为T (x 1, y 1) ，则x 1=径
r =
-
4c
c +0+c
22=-c ，y 1==c ，进而圆的半
2323
. 3
设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y =kx .
由l
=r =
， 3
整理得k 2-8k
+1=0，解得k =4
所以，直线l 的斜率为
4+4- 4
5. 【解析】（1）
c 2 抛物线y =-x 2+1交于点(-1, 0), (1, 0) ，∴b =1. 又 =, a =b 2+c 2
a 2 2
y
∴联立解得a =2, b =1, c 2=3, +x 2=1
4
y 2
设过B (1, 0) 的直线方程为y =k (x -1), P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2), 与+x 2=1联立得
4
k 2(x 2-2x +1) +4x 2=4, 即(k 2+4) x 2-2k 2x +k 2-4=0，
k 2-4-8k k 2-4-8k
由韦达定理得x 1=2, y 1=k (x 1-1) =2, 即P (2, 2)
k +4k +4k +4k +4
与y =-x 2+1联立得:x 2+kx -k -1=0,
（2）由韦达定理得x 2=-k -1, y 2=k (x 2-1) =-k 2-2k , 即Q (-k -1, -k 2-2k )
k 2-4-8k
A (-1, 0), AP ⊥AQ ∴AP •AQ =0, 即(2+1, 2) •(-k, -k 2-2k ) =0,
k +4k +4
8
即(k , -4)(1, k +2) =k -4(k +2) =0, 解得k =-.
3
8
所以，所求直线方程为y =-(x -1)
36. 解：（1）
MF 13b 213
=∴•=, 且a 2=b 2+c 2. 联立整理得：2e 2+3e -2=0，
F 1F 24a 2c 4
11
解得e =. ∴C .
22
（2）
b 2
由三角形中位线知识可知，MF 2=2•2，即=4.
a
设F 1N =m , 由题可知MF 1=4m . 由两直角三角形相似，可得
3M , N 两点横坐标分别为c , -c . 由焦半径公式可得:
23c
MF 1=a +ec , NF 1=a +e (-c ) ，且MF 1:NF 1=4:1, e =,
2a
a 2=b 2+c 2. 联立解得a =7, b =27. 所以，a =7, b =27
8. 解：（Ⅰ）设F 1(-c ,0), F 2(c ,0)，其中c 2=a 2-b 2，
由
F 1F 2=
DF 1==c
2DF 112DF 1⋅F 1F 2==, 故c =1.
222
9222
DF 1⊥F 1F 2得DF 2=DF 1+F 1F 2=
，因此DF 2=.
222
从而S ∆DF 1F 2=
从而DF 1=
所以2a =DF 1+DF 2=
a =b 2=a 2-c 2=1
x 2
因此，所求椭圆的标准方程为：+y 2=
1
2
x 2
（Ⅱ）如答（21）图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆+y 2=1相交，
2C 的切线，且P 1P 1, F 2P 2是圆1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)是两个交点，y 1>0, y 2>0，F
F 1P 1⊥F 2P 2由圆和椭圆的对称性，易知x 2=-x 1, y 1=y 2
PP 12=2|x 1|.，
由（Ⅰ）知F 1(-1,0), F 2(1,0)，所以F 1P 1=(x 1+1, y 1), F 2P 2=(-x 1-1, y 1)，再由
x 122
-x +1+y =01-=x +1得，由椭圆方程得，即3x 12+4x 1=0，F 1P F P ()⊥()11122
2
2
21
4
解得x 1=-或x 1=0.
3
当x 1=0时，P 1, P 2重合，此时题设要求的圆不存在.
4
C . 当x 1=-时，过P 1, P 2分别与F 1P 1, F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心3
C 的切线，且F 1P C 的
由F 1P 知CP 2⊥CP 又|CP 1, F 2P 1⊥F 2P 2是圆2，1，1|=|CP 2|故圆
半径CP 1=
==
121
3
解:(1)c =e =
c ==∴a =3, b 2=a 2-c 2=9-5=4, a x 2y 2
∴椭圆C 的标准方程为:+=1.
94
(2)若一切线垂直x 轴, 则另一切线垂直于y 轴, 则这样的点P 共4个, 它们的坐标分别为(-3, ±2),(3,±2).
若两切线不垂直于坐标轴, 设切线方程为y -y 0=k (x -x 0), x 2y 2
即y =k (x -x 0) +y 0, 将之代入椭圆方程+=1中并整理得:
942
(9k 2+4) x 2+18k (y 0-kx 0) x +9⎡(y -kx ) -4⎤00⎣⎦=0, 依题意, ∆=0,
2222
⎤即:(18k ) 2(y 0-kx 0) 2-36⎡(y -kx ) -4(9k +4) =0, 即4(y -kx ) -4(9k +4) =0, 0000⎣⎦
y 02-4
∴(x 0-9) k -2x 0y 0k +y 0-4=0, 两切线相互垂直, ∴k 1k 2=-1, 即:2=-1,
x 0-9
2
2
2
∴x 02+y 02=13, 显然(-3, ±2),(3,±2) 这四点也满足以上方程, ∴点P 的轨迹方程为x 2+y 2=13.
10. 解：（I ）设点M (x , y ) ，依题意，|MF |=|x |+1，即(x -1) 2+y 2=|x |+1， 整理的y 2=2(|x |+x ) ，
⎧4x (x ≥0) 所以点M 的轨迹C 的方程为y 2=⎨.
⎩o , (x
（II ）在点M 的轨迹C 中，记C 1:y 2=4x (x ≥0) ，C 2:y =0(x
⎧y -1=k (x +2)
由方程组⎨2得ky 2-4y +4(2k +1) =0 ①
⎩y =4x
当k =0时，此时y =1，把y =1代入轨迹C 的方程得x =
1， 4
1
所以此时直线l 与轨迹C 恰有一个公共点(, 1) .
4
当k ≠0时，方程①的判别式为∆=-16(2k 2+k -1) ②
设直线l 与x 轴的交点为(x 0, 0) ，则由y -1=k (x +2) ，令y =0，得x 0=
⎧∆.
2⎩x 0
2k +1
③ k
1
即当k ∈(-∞, -1) (, +∞) 时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点，
2故此时直线l 与轨迹C 恰有一个公共点.
⎧∆=0⎧∆>011
（ii ）若⎨或⎨，由②③解得k ∈{-1, 或-≤k
22⎩x 0
1
即当k ∈{-1, 时，直线l 与C 1有一个共点，与C 2有一个公共点.
21
当k ∈[-, 0) 时 ，直线l 与C 1有两个共点，与C 2没有公共点.
2
11
故当k ∈{-1, [-, 0) 时，故此时直线l 与轨迹C 恰有两个公共点.
22
⎧∆>011
（iii ）若⎨，由②③解得-1
22⎩x 0
11
即当k ∈(-1) (0, ) 时，直线l 与C 1有两个共点，与C 2有一个公共点.
22故此时直线l 与轨迹C 恰有三个公共点.
1
综上所述，当k ∈(-∞, -1) (, +∞) 时直线l 与轨迹C 恰有一个公共点；
211
当k ∈{-1, [-, 0) 时，故此时直线l 与轨迹C 恰有两个公共点；
2211
当k ∈(-1) (0, ) 时，故此时直线l 与轨迹C 恰有三个公共点.
22
圆x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面
x 2y 2
积最小时，切点为P （如图），双曲线C 1:2-2=1过点P
a b
（1）求C 1的方程；
（2）椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程
.
2. （福建）（本小题满分13分）
x 2y 2
已知双曲线E :2-2=1(a >0, b >0) 的两条渐近线分别为l 1:y =2x , l 2:y =-2x .
a b
（1）求双曲线E 的离心率；
（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1, l 2于A , B 两点（A , B 分别在第一， 四象限），且∆OAB 的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由。
x 2y 2
设椭圆2+2=1（a >b >0）的左、右焦点为F 1, F 2，右顶点为A ，上顶点为B .
a b
已知AB =
1F 2. （Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点的直线l 与该圆相切. 求直线的斜率.
4. （江苏）(本小题满分14分)
如图, 在平面直角坐标系xOy 中, F 1, F 2分别是椭圆
x 2a 2
+y 3b 2
=1(a >b >0) 的左、右
焦点，顶点B 的坐标为(0, b ) ，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的
垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C .
41
(1)若点C 的坐标为(, ) , 且BF 2=2, 求椭圆的方程；
33
(2)若F 1C ⊥AB , 求椭圆离心率e 的值.
5（陕西）（本小题满分13分）
y 2x 2
如图，曲线C 由上半椭圆C 1:2+2=1(a >b >0, y ≥0)
a b
和部分抛物线C 2:y =-x 2+1(y ≤0) 连接而成，C 1, C 2的公共点为A , B ，其中C
1的离心率为（1）求a , b 的值；
. 2
（2）过点B 的直线l 与C 1, C 2分别交于P , Q （均异于点A , B ），若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程
.
6. （新课标二20. ）（本小题满分12分）
2y 2设F 1, F 2分别是椭圆2+2=1(a >b >0)的左右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x a b
轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N.
（Ⅰ）若直线MN 的斜率为，求C 的离心率；
4
（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且MN =5F 1N ，求a,b . 7. （北京19）（本小题14分） 已知椭圆C :x 2+2y 2=4， （1）求椭圆C 的离心率.
（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y =2上，且OA ⊥OB ，求直线AB 与圆x 2+y 2=2的位置关系，并证明你的结论.
x 2y 2
+2=1(a >b >0) 2
b 8. （重庆21）如题（21）图，设椭圆a 的左右焦点分别为F 1, F 2，|F 1F 2|=点D 在椭圆上，DF 1⊥
F 1F 2，|DF 1|∆
DF 1F 2的面积为2.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..
x 2y 2
9. （广东20）（14分）已知椭圆C :2+2=1(a >b >
0) 的一个焦点为，离
a b
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若动点P (x 0, y 0) 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.
10. （湖北）（满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C. (1)求轨迹为C 的方程
(2)设斜率为k 的直线l 过定点p (-2,1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围。
参考答案
1. 解：（Ⅰ）设切点坐标为(x 0, y 0)(x 0>0, y 0>0) ，则切线斜率为-
x 0
，切线方程y 0
为y -y 0=-
x 0
(x -x 0) ，即x 0x +y 0y =4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成y 0
1448
的三角形面积为S =⋅⋅=. 由x 02+y 02=4≥
2x 0y 0知当且仅当
2x 0y 0x 0y 0
x 0=y 0=时x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P
得坐标为 ， 由题意知
⎧22
y 2⎪2-2=1222
=1. 解得a =1, b =2，故C 1方程为x -⎨a b
2⎪a 2+b 2=3a 2
⎩
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C 2的焦点坐标
为(，由此C 2的方程为
x 2y 2
+2=1，其中b 1>0.
2
3+b 1b 1
由P 在C 2上，得
22
+=1， 22
3+b 1b 1
x 2y 2
=1 解得b 1=3，因此C 2方程为+
63
2
显然，l 不是直线y =0.设l 的方程为x =my
A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)
⎧x =my ⎪
由⎨x 2y 2
得(m 2+2) y 2+-3=0，又y 1, y 2是方程的根，因
此
=1⎪+3⎩6
⎧y 1+y 2=⎪⎪⎨
⎪y y =-312⎪m 2+2⎩
①
，
由
x 1=y ,
2
得3+2m
y
②
⎧x +x =m (y +y ) +=⎪12⎪12m 2+2⎨2⎪x x =m 2y y (y +y ) +3=6-6m 121212⎪m 2+2⎩
③
④
因AP =x 1y 1), BP =
x 2y 2) 由题
意知A P ⋅B P =0，所以
x
1x 2(x 1+x 2) +y 1
(y +y ) ⑤ ，将①，②，③，④代入⑤
12+4=0式整理得2m 2-+
11=0，解得m =
1或
m =1，因此直线l
的方程为x -
-1) y =0，或x +-1) y =0. 2. 解法一：
(1)因为双曲线E 的渐近线分别为和y =2
x , y =-2x .
b 所以=2, =2,
∴c =,
a 从而双曲线E 的离心率e =x 2y 2
(2)由(1)知, 双曲线E 的方程为2-2=1.
a 4a
设直线l 与x 轴相交于点C.
当l ⊥x 轴时, 若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点, 则OC =a , AB =4a , 又因为∆OAB 的面积为8, 所以
11
OC AB =8, ∴a ⋅4a =8, ∴a =2. 22
x 2y 2
=1. 此时双曲线E 的方程为-
416
x 2y 2
=1. 若存在满足条件的双曲线E, 则E 的方程只能为-
416
x 2y 2
=1也满足条件. 以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：-
416
设直线l 的方程为y =kx +m , 依题意, 得k>2或k
m
,0) ，记A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) . k
⎧y =2x 2m 2m 1由⎨, 得y 1=, 同理得y 2=. 由S ∆OAB =OC y 1-y 2得,
2-k 2+k 2⎩y =kx +m
1m 2m 2m
-⋅-=8即m 2=44-k 2=4(k 2-4) . 2k 2-k 2+k
⎧y =kx +m ⎪
由⎨x 2y 2得, (4-k 2) x 2-2kmx -m 2-16=0. 因为4-k 2
=1⎪-
416⎩所以∆=4k 2m 2+4(4-k 2)(m 2+16) =-16(4k 2-m 2-16) ,
又因为m 2=4(k 2-4) . 所以∆=0, 即l 与双曲线E 有且只有一个公共点.
x 2y 2
=1. 因此, 存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E, 且E 的方程为-
416
3. 解：（Ⅰ）解：设椭圆的右焦点F 2的坐标为(c ,0) .
由AB =
1F 2，可得c 21a +b =3c ，又b =a -c ，则2=.
所以，椭圆的离心率e =
.
a 22
2
2
2
2
2
2
，所以2a 2-c 2=
3c 2，解得a =
，e =
. 2
x 2y 2
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a =2c ，b =c . 故椭圆方程为2+2=1.
2c c
2
2
2
2
设P (x 0, y 0) . 由F 1(-c ,0) ，B (0, c ) ，有FP 1=(x 0+c , y 0) ，FB 1=(c , c ) . 由已知，有FP 1? FB 1
0，即(x 0+c ) c +y 0c =0. 又c ¹0，故有
x 0+y 0+c =0. ① 又因为点P 在椭圆上，故
x 02y 02
+2=1. ② 2c 2c
由①和②可得3x 02+4cx 0=0. 而点P 不是椭圆的顶点，故x 0=-y 0=
4c
，代入①得3
骣4c c ÷c
，即点P 的坐标为ç. -, ÷ç÷ç桫333
设圆的圆心为T (x 1, y 1) ，则x 1=径
r =
-
4c
c +0+c
22=-c ，y 1==c ，进而圆的半
2323
. 3
设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y =kx .
由l
=r =
， 3
整理得k 2-8k
+1=0，解得k =4
所以，直线l 的斜率为
4+4- 4
5. 【解析】（1）
c 2 抛物线y =-x 2+1交于点(-1, 0), (1, 0) ，∴b =1. 又 =, a =b 2+c 2
a 2 2
y
∴联立解得a =2, b =1, c 2=3, +x 2=1
4
y 2
设过B (1, 0) 的直线方程为y =k (x -1), P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2), 与+x 2=1联立得
4
k 2(x 2-2x +1) +4x 2=4, 即(k 2+4) x 2-2k 2x +k 2-4=0，
k 2-4-8k k 2-4-8k
由韦达定理得x 1=2, y 1=k (x 1-1) =2, 即P (2, 2)
k +4k +4k +4k +4
与y =-x 2+1联立得:x 2+kx -k -1=0,
（2）由韦达定理得x 2=-k -1, y 2=k (x 2-1) =-k 2-2k , 即Q (-k -1, -k 2-2k )
k 2-4-8k
A (-1, 0), AP ⊥AQ ∴AP •AQ =0, 即(2+1, 2) •(-k, -k 2-2k ) =0,
k +4k +4
8
即(k , -4)(1, k +2) =k -4(k +2) =0, 解得k =-.
3
8
所以，所求直线方程为y =-(x -1)
36. 解：（1）
MF 13b 213
=∴•=, 且a 2=b 2+c 2. 联立整理得：2e 2+3e -2=0，
F 1F 24a 2c 4
11
解得e =. ∴C .
22
（2）
b 2
由三角形中位线知识可知，MF 2=2•2，即=4.
a
设F 1N =m , 由题可知MF 1=4m . 由两直角三角形相似，可得
3M , N 两点横坐标分别为c , -c . 由焦半径公式可得:
23c
MF 1=a +ec , NF 1=a +e (-c ) ，且MF 1:NF 1=4:1, e =,
2a
a 2=b 2+c 2. 联立解得a =7, b =27. 所以，a =7, b =27
8. 解：（Ⅰ）设F 1(-c ,0), F 2(c ,0)，其中c 2=a 2-b 2，
由
F 1F 2=
DF 1==c
2DF 112DF 1⋅F 1F 2==, 故c =1.
222
9222
DF 1⊥F 1F 2得DF 2=DF 1+F 1F 2=
，因此DF 2=.
222
从而S ∆DF 1F 2=
从而DF 1=
所以2a =DF 1+DF 2=
a =b 2=a 2-c 2=1
x 2
因此，所求椭圆的标准方程为：+y 2=
1
2
x 2
（Ⅱ）如答（21）图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆+y 2=1相交，
2C 的切线，且P 1P 1, F 2P 2是圆1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)是两个交点，y 1>0, y 2>0，F
F 1P 1⊥F 2P 2由圆和椭圆的对称性，易知x 2=-x 1, y 1=y 2
PP 12=2|x 1|.，
由（Ⅰ）知F 1(-1,0), F 2(1,0)，所以F 1P 1=(x 1+1, y 1), F 2P 2=(-x 1-1, y 1)，再由
x 122
-x +1+y =01-=x +1得，由椭圆方程得，即3x 12+4x 1=0，F 1P F P ()⊥()11122
2
2
21
4
解得x 1=-或x 1=0.
3
当x 1=0时，P 1, P 2重合，此时题设要求的圆不存在.
4
C . 当x 1=-时，过P 1, P 2分别与F 1P 1, F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心3
C 的切线，且F 1P C 的
由F 1P 知CP 2⊥CP 又|CP 1, F 2P 1⊥F 2P 2是圆2，1，1|=|CP 2|故圆
半径CP 1=
==
121
3
解:(1)c =e =
c ==∴a =3, b 2=a 2-c 2=9-5=4, a x 2y 2
∴椭圆C 的标准方程为:+=1.
94
(2)若一切线垂直x 轴, 则另一切线垂直于y 轴, 则这样的点P 共4个, 它们的坐标分别为(-3, ±2),(3,±2).
若两切线不垂直于坐标轴, 设切线方程为y -y 0=k (x -x 0), x 2y 2
即y =k (x -x 0) +y 0, 将之代入椭圆方程+=1中并整理得:
942
(9k 2+4) x 2+18k (y 0-kx 0) x +9⎡(y -kx ) -4⎤00⎣⎦=0, 依题意, ∆=0,
2222
⎤即:(18k ) 2(y 0-kx 0) 2-36⎡(y -kx ) -4(9k +4) =0, 即4(y -kx ) -4(9k +4) =0, 0000⎣⎦
y 02-4
∴(x 0-9) k -2x 0y 0k +y 0-4=0, 两切线相互垂直, ∴k 1k 2=-1, 即:2=-1,
x 0-9
2
2
2
∴x 02+y 02=13, 显然(-3, ±2),(3,±2) 这四点也满足以上方程, ∴点P 的轨迹方程为x 2+y 2=13.
10. 解：（I ）设点M (x , y ) ，依题意，|MF |=|x |+1，即(x -1) 2+y 2=|x |+1， 整理的y 2=2(|x |+x ) ，
⎧4x (x ≥0) 所以点M 的轨迹C 的方程为y 2=⎨.
⎩o , (x
（II ）在点M 的轨迹C 中，记C 1:y 2=4x (x ≥0) ，C 2:y =0(x
⎧y -1=k (x +2)
由方程组⎨2得ky 2-4y +4(2k +1) =0 ①
⎩y =4x
当k =0时，此时y =1，把y =1代入轨迹C 的方程得x =
1， 4
1
所以此时直线l 与轨迹C 恰有一个公共点(, 1) .
4
当k ≠0时，方程①的判别式为∆=-16(2k 2+k -1) ②
设直线l 与x 轴的交点为(x 0, 0) ，则由y -1=k (x +2) ，令y =0，得x 0=
⎧∆.
2⎩x 0
2k +1
③ k
1
即当k ∈(-∞, -1) (, +∞) 时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点，
2故此时直线l 与轨迹C 恰有一个公共点.
⎧∆=0⎧∆>011
（ii ）若⎨或⎨，由②③解得k ∈{-1, 或-≤k
22⎩x 0
1
即当k ∈{-1, 时，直线l 与C 1有一个共点，与C 2有一个公共点.
21
当k ∈[-, 0) 时 ，直线l 与C 1有两个共点，与C 2没有公共点.
2
11
故当k ∈{-1, [-, 0) 时，故此时直线l 与轨迹C 恰有两个公共点.
22
⎧∆>011
（iii ）若⎨，由②③解得-1
22⎩x 0
11
即当k ∈(-1) (0, ) 时，直线l 与C 1有两个共点，与C 2有一个公共点.
22故此时直线l 与轨迹C 恰有三个公共点.
1
综上所述，当k ∈(-∞, -1) (, +∞) 时直线l 与轨迹C 恰有一个公共点；
211
当k ∈{-1, [-, 0) 时，故此时直线l 与轨迹C 恰有两个公共点；
2211
当k ∈(-1) (0, ) 时，故此时直线l 与轨迹C 恰有三个公共点.
22