函数专题
2014年全国各地高考题导数大题汇总
【2014全国新课标卷I 】
be x -1
, 曲线y =f (x ) 在(1, f (1)) 处的切线方程为设函数f (x ) =ae ln x +x x
y =e (x -1) +2.
（1）求a , b ;
（2）证明f (x ) >1.
【2014全国新课标卷II 】
已知函数f (x ) =e x -e -x -2x .
（1）讨论f (x ) 的单调性；
（2）设g (x ) =f (2x ) -4bf (x ) ，当x >0时，g (x ) >0，求b 的最大值；
（3）已知1. 4142
【2014全国大纲卷】 函数f (x ) =ln(x +1) -ax (a >1). x +a
（1）讨论f (x ) 的单调性；
（2）设a 1=1，a n +1=ln(a n +1) ，证明：
【2014湖南卷】
已知常数a >0，函数f (x ) =ln(1+ax ) -2x . x +223
（1）讨论f (x ) 在区间(0, +∞) 上的单调性；
（2）若f (x ) 存在两个极值点x 1，x 2，且f (x 1) +f (x 2) >0，求a 的取值范围.
【2014四川卷】
已知函数f (x ) =e x -ax 2-bx -1，其中a , b ∈R ，e =2. 71828…为自然对数的底数.
(1)设g (x ) 是函数f (x ) 的导函数，求函数g (x ) 在区间[0, 1]上的最小值；
(2)若f (1) =0，函数f (x ) 在（0，1）内有零点，求a 的取值范围.
【2014浙江卷】 已知函数f (x ) =x 3+3x -a (a ∈R ) /
（1）若f (x ) 在[-1, 1]上的最大值和最小值分别记为M (a ) ，求M (a ) -m (a ) ； m (a ) ，
（2）设b ∈R . 若[f (x ) +b ]2≤4对x ∈[-1, 1]恒成立，求3a +b 的取值范围.
【2014浙江卷】
π为圆周率，e =2. 71828…为自然对数的底数.
ln x （1）求函数f (x ) =的单调性； x
（2）求e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；
（3）将e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.
【2014陕西卷】
设函数f (x ) =ln(x +1) ，g (x ) =x f '(x ) ，x ≥0，其中f '(x ) 是f (x ) 的导函数.
（1）令g 1(x ) =g (x ) ，g n +1(x ) =g (g n (x )) ，n ∈N ，求g n (x ) 的表达式；
（2）若f (x ) ≥ag (x ) 恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）设n ∈N +，比较g (1) +g (2) +…+g (n ) 与n -f (n ) 的大小，并加以证明.
【2014江西卷】 已知函数f (x ) =(x 2+bx +b ) -2x (b ∈R ).
（1）b =4时，求f (x ) 的极值；
1（2）若f (x ) 在区间（0，）上单调递增，求b 的取值范围. 3
【2014重庆卷】
已知函数f (x ) =ae 2x -be -2x -cx (a , b , c ∈R ) 的导函数f '(x ) 为偶函数，且曲线y =f (x ) 在（0，f (0) ）处的切线斜率为4-c .
（1）确定a , b 的值；
（2）若c =3，判断f (x ) 的单调性；
（3）若f (x ) 有极值，求c 的取值范围.
【2014山东卷】 e x 2设函数f (x ) =2-k (+ln x ) （k 为常数，e =2. 71828…为自然对数的底数. ） x x
（1）当k ≤0时，求函数f (x ) 的单调区间；
（2）若函数f (x ) 在（0,2）内存在两个极值点，求k 的取值范围.
【2014福建卷】
已知函数f (x ) =e x -ax （a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线y =f (x ) 在点A 处的切线斜率为-1.
（1）求a 的值及函数f (x ) 的极值；
（2）证明：当x >0时，x 2
（3）证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0, +∞) 时，恒有x 2
【2014北京卷】
⎡π⎤已知函数f (x ) =x cos x -sin x ，x ∈⎢0, ⎥. ⎣2⎦
（1）求证：f (x ) ≤0；
sin x π
【2014天津卷】 （2）若a
设f (x ) =x -ae x (a ∈R ) . 已知函数y =f (x ) 有两个零点x 1，x 2，且x 1
（1）求a 的取值范围；
（2）证明：x 1随着a 的减小而增大； x 2
（3）证明：x 1+x 2随着a 的减小而增大.
【2014江苏卷】
已知函数f (x ) =e x +e -x ，其中e 为自然对数的底数.
（1）证明：f (x ) 是R 上的偶函数；
（2）若关于x 的不等式mf (x ) ≤e -x +m -1在（0，+∞）上恒成立，求实数m 的
取值范围；
3（3）已知正数a 满足：存在x 0∈[1, +∞)，使f (x 0)
a e -1的大小，并证明你的结论.
2015年函数解答题汇编
全国卷1理科
1已知函数f (x ) ＝x 3＋ax g (x ) ＝－lnx ． 4
(Ⅰ) 当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x ) 的切线；
(Ⅱ) 用min {m , n } 表示m ，n 中的最小值，设函数h (x ) ＝min{f (x ) ，g (x )} (x ＞0) ，讨论h (x ) 零点的个数．
全国卷2理科
设函数f(x)=emx ＋x 2－mx .
(Ⅰ) 证明：f (x)在（－∞，0）单调递减，在（0，＋∞）单调递增；
（Ⅱ）若对于任意x 1, x 2∈[-1,1],都有｜f (x 1)- f (x 2) ｜≤e-1, 求m 的取值范围 全国卷2文科
已知函数f （x ）=ln x +a（1- x）
（I ）
（II ）
北京理
已知函数f (x )=ln
讨论f （x ）的单调性； 当f （x ）有最大值，且最大值大于2a-2时，求a 的取值范围. 1+x ． 1-x （Ⅰ）求曲线y =f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；
⎛x 3⎫1)时，f (x )>2 x +⎪； （Ⅱ）求证：当x ∈(0，3⎭⎝
⎛x 3⎫1)恒成立，求k 的最大值． （Ⅲ）设实数k 使得f (x )>k x +⎪对x ∈(0，3⎝⎭
北京文
x 2
-k ln x , k >0. 设函数f (x )=2
（1）求f (x )的单调区间和极值；
（2）证明：若f (x )存在零点，则f
(x )在区间上仅有一个零点. (
天津文
已知函数f (x ) =4x -x , x ? R , 其中n ÎN *，且n ³2.
(1)求f (x ) 的单调性；
(2)设曲线y =f (x ) 与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y =g (x ) ，求证：对于任意的正实数x ，都有f (x ) £g (x ) ; 4
a 1
(3)若方程f (x )=a (a 为实数) 有两个正实数根x 1，x 2，且x 1
重庆理 3x 2+ax 设函数f (x ) =(a ∈R ) e x
（1）若f (x ) 在x =0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))处的切线方程；
（2）若f (x ) 在[3,+∞) 上为减函数，求a 的取值范围；
重庆文
已知函数f (x )=-2ln x +x -2ax +a ，其中a >0，设g (x )是f (x )的导函数. 22
（Ⅰ）讨论g (x )的单调性；
（Ⅱ）证明：存在a ∈(0,1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )=0在区间(1，+∞) 内有唯一解。
函数专题
2014年全国各地高考题导数大题汇总
【2014全国新课标卷I 】
be x -1
, 曲线y =f (x ) 在(1, f (1)) 处的切线方程为设函数f (x ) =ae ln x +x x
y =e (x -1) +2.
（1）求a , b ;
（2）证明f (x ) >1.
【2014全国新课标卷II 】
已知函数f (x ) =e x -e -x -2x .
（1）讨论f (x ) 的单调性；
（2）设g (x ) =f (2x ) -4bf (x ) ，当x >0时，g (x ) >0，求b 的最大值；
（3）已知1. 4142
【2014全国大纲卷】 函数f (x ) =ln(x +1) -ax (a >1). x +a
（1）讨论f (x ) 的单调性；
（2）设a 1=1，a n +1=ln(a n +1) ，证明：
【2014湖南卷】
已知常数a >0，函数f (x ) =ln(1+ax ) -2x . x +223
（1）讨论f (x ) 在区间(0, +∞) 上的单调性；
（2）若f (x ) 存在两个极值点x 1，x 2，且f (x 1) +f (x 2) >0，求a 的取值范围.
【2014四川卷】
已知函数f (x ) =e x -ax 2-bx -1，其中a , b ∈R ，e =2. 71828…为自然对数的底数.
(1)设g (x ) 是函数f (x ) 的导函数，求函数g (x ) 在区间[0, 1]上的最小值；
(2)若f (1) =0，函数f (x ) 在（0，1）内有零点，求a 的取值范围.
【2014浙江卷】 已知函数f (x ) =x 3+3x -a (a ∈R ) /
（1）若f (x ) 在[-1, 1]上的最大值和最小值分别记为M (a ) ，求M (a ) -m (a ) ； m (a ) ，
（2）设b ∈R . 若[f (x ) +b ]2≤4对x ∈[-1, 1]恒成立，求3a +b 的取值范围.
【2014浙江卷】
π为圆周率，e =2. 71828…为自然对数的底数.
ln x （1）求函数f (x ) =的单调性； x
（2）求e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；
（3）将e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.
【2014陕西卷】
设函数f (x ) =ln(x +1) ，g (x ) =x f '(x ) ，x ≥0，其中f '(x ) 是f (x ) 的导函数.
（1）令g 1(x ) =g (x ) ，g n +1(x ) =g (g n (x )) ，n ∈N ，求g n (x ) 的表达式；
（2）若f (x ) ≥ag (x ) 恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）设n ∈N +，比较g (1) +g (2) +…+g (n ) 与n -f (n ) 的大小，并加以证明.
【2014江西卷】 已知函数f (x ) =(x 2+bx +b ) -2x (b ∈R ).
（1）b =4时，求f (x ) 的极值；
1（2）若f (x ) 在区间（0，）上单调递增，求b 的取值范围. 3
【2014重庆卷】
已知函数f (x ) =ae 2x -be -2x -cx (a , b , c ∈R ) 的导函数f '(x ) 为偶函数，且曲线y =f (x ) 在（0，f (0) ）处的切线斜率为4-c .
（1）确定a , b 的值；
（2）若c =3，判断f (x ) 的单调性；
（3）若f (x ) 有极值，求c 的取值范围.
【2014山东卷】 e x 2设函数f (x ) =2-k (+ln x ) （k 为常数，e =2. 71828…为自然对数的底数. ） x x
（1）当k ≤0时，求函数f (x ) 的单调区间；
（2）若函数f (x ) 在（0,2）内存在两个极值点，求k 的取值范围.
【2014福建卷】
已知函数f (x ) =e x -ax （a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线y =f (x ) 在点A 处的切线斜率为-1.
（1）求a 的值及函数f (x ) 的极值；
（2）证明：当x >0时，x 2
（3）证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0, +∞) 时，恒有x 2
【2014北京卷】
⎡π⎤已知函数f (x ) =x cos x -sin x ，x ∈⎢0, ⎥. ⎣2⎦
（1）求证：f (x ) ≤0；
sin x π
【2014天津卷】 （2）若a
设f (x ) =x -ae x (a ∈R ) . 已知函数y =f (x ) 有两个零点x 1，x 2，且x 1
（1）求a 的取值范围；
（2）证明：x 1随着a 的减小而增大； x 2
（3）证明：x 1+x 2随着a 的减小而增大.
【2014江苏卷】
已知函数f (x ) =e x +e -x ，其中e 为自然对数的底数.
（1）证明：f (x ) 是R 上的偶函数；
（2）若关于x 的不等式mf (x ) ≤e -x +m -1在（0，+∞）上恒成立，求实数m 的
取值范围；
3（3）已知正数a 满足：存在x 0∈[1, +∞)，使f (x 0)
a e -1的大小，并证明你的结论.
2015年函数解答题汇编
全国卷1理科
1已知函数f (x ) ＝x 3＋ax g (x ) ＝－lnx ． 4
(Ⅰ) 当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x ) 的切线；
(Ⅱ) 用min {m , n } 表示m ，n 中的最小值，设函数h (x ) ＝min{f (x ) ，g (x )} (x ＞0) ，讨论h (x ) 零点的个数．
全国卷2理科
设函数f(x)=emx ＋x 2－mx .
(Ⅰ) 证明：f (x)在（－∞，0）单调递减，在（0，＋∞）单调递增；
（Ⅱ）若对于任意x 1, x 2∈[-1,1],都有｜f (x 1)- f (x 2) ｜≤e-1, 求m 的取值范围 全国卷2文科
已知函数f （x ）=ln x +a（1- x）
（I ）
（II ）
北京理
已知函数f (x )=ln
讨论f （x ）的单调性； 当f （x ）有最大值，且最大值大于2a-2时，求a 的取值范围. 1+x ． 1-x （Ⅰ）求曲线y =f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；
⎛x 3⎫1)时，f (x )>2 x +⎪； （Ⅱ）求证：当x ∈(0，3⎭⎝
⎛x 3⎫1)恒成立，求k 的最大值． （Ⅲ）设实数k 使得f (x )>k x +⎪对x ∈(0，3⎝⎭
北京文
x 2
-k ln x , k >0. 设函数f (x )=2
（1）求f (x )的单调区间和极值；
（2）证明：若f (x )存在零点，则f
(x )在区间上仅有一个零点. (
天津文
已知函数f (x ) =4x -x , x ? R , 其中n ÎN *，且n ³2.
(1)求f (x ) 的单调性；
(2)设曲线y =f (x ) 与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y =g (x ) ，求证：对于任意的正实数x ，都有f (x ) £g (x ) ; 4
a 1
(3)若方程f (x )=a (a 为实数) 有两个正实数根x 1，x 2，且x 1
重庆理 3x 2+ax 设函数f (x ) =(a ∈R ) e x
（1）若f (x ) 在x =0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))处的切线方程；
（2）若f (x ) 在[3,+∞) 上为减函数，求a 的取值范围；
重庆文
已知函数f (x )=-2ln x +x -2ax +a ，其中a >0，设g (x )是f (x )的导函数. 22
（Ⅰ）讨论g (x )的单调性；
（Ⅱ）证明：存在a ∈(0,1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )=0在区间(1，+∞) 内有唯一解。