【镭霆数学】平行四边形专题复习
一、平行四边形与等腰三角形专题
例题1 已知：如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，BE的延长
线交CD的延长线于点F．
（1）求证：CD=DF；
（2）若AD=2CD，请写出图中所有的直角三角形和等腰三角形．
训练一
1．如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（ ）
①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE． A．只有①②
B．只有①②③
C
．只有③④
D．①②③④
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B′C相交于点O，连接BB′．
（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；
（2）求证：△AB′O≌△CDO．
3.如图，已知AD和BC交于点O，且△OAB和△OCD均为等边三角形，以OD和OB为边作平行四边形ODEB，连接AC、AE和CE，CE和AD相交于点F．
求证：△ACE为等边三角形．
4.如图，已知：平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线CE交边AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G．求证：AE=DG．
1
二、平行四边形与面积专题
例题2 已知平行四边形ABCD，AD=a，AB=b，∠ABC=α．点F为线段BC上一点（端点B，C除外），连接AF，AC，连接DF，并延长DF交AB的延长线于点E，连接CE．
（1）当F为BC的中点时，求证：△EFC与△ABF的面积相
等；
（2）当F为BC上任意一点时，△EFC与△ABF的面积还相
等吗？说明理由．
训练二
1. 如图，过▱ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的▱AEMG的面积S1与▱HCFM的面积S2的大小关系是（ ）
A. S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1=S2 D．2S1=S2 2．
农业技术员在一块平行四边形的实验田里种植四种不同的农作物，
现需将该实验田划成四个平行
四边形地块（如图）
，已知其中三块田的面积分别是14m，10m，36m，则第四块田的面积为
3．如图，AE∥BD，BE∥DF，AB∥CD，下面给出四个结论：（1）AB=CD；（2）BE=DF；（3）SABDC=SBDFE；
（4）S△ABE=S△DCF．其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
222
4．在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB=5，BC=6，则CE+CF的值为（ ）
A．11333333 B．11 C．11或11 D．11或1 222222
5.平行四边形ABCD的周长为20cm，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
AE=2cm，AF=3cm，求ABCD的面积．
2
6．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交
AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．
（1）求证：PA=PC．
（2）若BD=12，AB=15，∠DBA=45°，求四边形ABCD的面积．
7．如图，平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（ ）
A．3：4 B．：5 C．：6 D．：
三、平行四边形与角度专题
例题3 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=32°．分别以BC、CD
为边向外作△BCE和△DCF，使BE=BC，DF=DC，∠EBC=∠CDF，延长
AB交边EC于点G，点G在E、C两点之间，连接AE、AF．
（1）求证：△ABE≌△FDA；
（2）当AE⊥AF时，求∠EBG的度数．
训练三
1. 如图，将一平行四边形纸片ABCD沿AE，EF折叠，使点E，B′，C′在同一直线上，则∠AEF=
度．
3
2.
如图，已知平行四边形
ABCD
，
DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．
（1）求证：CD=CE；
（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．
3.如图，E、F是▱ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）∠1=∠2．
四、平行四边形与线段专题
例题4 如图，ABCD为平行四边形，AD=2，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点．
（1）求证：EF=DF；
（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求DE的长．
训练四
1. 如图，□ABCD的对角线相交于点O，过点O任引直线交AD于E，交BC于F，则OE OF（填“＞”“=”“＜”），并说明理由．
4 2．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=14，BD=8，AB=x，那么x的取值范围是
3．已知：如图，在▱ABCD中，∠ADC、∠DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点F、E，DF与AE相交于点G．
（1）求证：AE⊥DF；
（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长．
4. 如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；
（2）若BF=EF，求证：AE=AD．
5．如图，E、F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，且AE=CF，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H，求证：EF和GH互相平分．
6．已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：（1）BE⊥AC；（2）EG=EF．
5
7. 如图，▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的F点，若△FDE的周长为8 cm，△FCB的周长为20 cm，则FC的长为 cm．
8. 如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=
BC、AC的中点．求证：DF=BE．
1AB，点G、E、F分别为边AB、2
五、三角形中位线专题
例题5 如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，
∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直
于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（ ）
A．35 B． C．3 D．4 22
训练五
1. 如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠PFE的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
3．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．7
B
．9
C．10 D．11
6
六、平行四边形综合探究专题
例题6 如图所示，在□ABCD中，AB＞BC，∠A与∠D的平分线交于点E，∠B与∠C的平分线交于F点，连接EF．
（1）延长DE交AB于M点，则图中与线段EM一定相等的线段有哪几条？说明理由；（不再另外添加字母和辅助线）
（2）EF、BC与AB之间有怎样的数量关系？为什么？
（3）如果将条件“AB＞BC”改为“AB＜BC”，其它条件不变，EF、BC与AB的关系又如何？请画出图形并证明你的结论．
训练六
1.如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD
和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC=30°，下列
结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③AD=4AG；④△DBF
≌△EFA．其中正确结论的序号是
2．如图所示，△ABC为等边三角形，P是△ABC内任一点，PD∥AB，
PE
∥
BC
，PF
∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF=
3.如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为
4．点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．
（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；
（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．
7
6. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线EF过点O，分别交AD、BC于E、F，如图①
（1）求证：AE=CF；
（2）将图①中▱ABCD沿直线EF折叠，使得点A落在A1处，点B落在B1处，如图②设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD、DE于点P、Q，求证：EQ=FG．
7．如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．
（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）
问题一：如图2，在四边形
ADBC中，AB与CD
相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；
问题二：如图3，在△ABC中，AB，ACE、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA，判断△AGD的形状并证明．
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【镭霆数学】平行四边形专题复习
一、平行四边形与等腰三角形专题
例题1 已知：如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，BE的延长
线交CD的延长线于点F．
（1）求证：CD=DF；
（2）若AD=2CD，请写出图中所有的直角三角形和等腰三角形．
训练一
1．如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（ ）
①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE． A．只有①②
B．只有①②③
C
．只有③④
D．①②③④
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B′C相交于点O，连接BB′．
（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；
（2）求证：△AB′O≌△CDO．
3.如图，已知AD和BC交于点O，且△OAB和△OCD均为等边三角形，以OD和OB为边作平行四边形ODEB，连接AC、AE和CE，CE和AD相交于点F．
求证：△ACE为等边三角形．
4.如图，已知：平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线CE交边AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G．求证：AE=DG．
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二、平行四边形与面积专题
例题2 已知平行四边形ABCD，AD=a，AB=b，∠ABC=α．点F为线段BC上一点（端点B，C除外），连接AF，AC，连接DF，并延长DF交AB的延长线于点E，连接CE．
（1）当F为BC的中点时，求证：△EFC与△ABF的面积相
等；
（2）当F为BC上任意一点时，△EFC与△ABF的面积还相
等吗？说明理由．
训练二
1. 如图，过▱ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的▱AEMG的面积S1与▱HCFM的面积S2的大小关系是（ ）
A. S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1=S2 D．2S1=S2 2．
农业技术员在一块平行四边形的实验田里种植四种不同的农作物，
现需将该实验田划成四个平行
四边形地块（如图）
，已知其中三块田的面积分别是14m，10m，36m，则第四块田的面积为
3．如图，AE∥BD，BE∥DF，AB∥CD，下面给出四个结论：（1）AB=CD；（2）BE=DF；（3）SABDC=SBDFE；
（4）S△ABE=S△DCF．其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
222
4．在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB=5，BC=6，则CE+CF的值为（ ）
A．11333333 B．11 C．11或11 D．11或1 222222
5.平行四边形ABCD的周长为20cm，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
AE=2cm，AF=3cm，求ABCD的面积．
2
6．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交
AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．
（1）求证：PA=PC．
（2）若BD=12，AB=15，∠DBA=45°，求四边形ABCD的面积．
7．如图，平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（ ）
A．3：4 B．：5 C．：6 D．：
三、平行四边形与角度专题
例题3 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=32°．分别以BC、CD
为边向外作△BCE和△DCF，使BE=BC，DF=DC，∠EBC=∠CDF，延长
AB交边EC于点G，点G在E、C两点之间，连接AE、AF．
（1）求证：△ABE≌△FDA；
（2）当AE⊥AF时，求∠EBG的度数．
训练三
1. 如图，将一平行四边形纸片ABCD沿AE，EF折叠，使点E，B′，C′在同一直线上，则∠AEF=
度．
3
2.
如图，已知平行四边形
ABCD
，
DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．
（1）求证：CD=CE；
（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．
3.如图，E、F是▱ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）∠1=∠2．
四、平行四边形与线段专题
例题4 如图，ABCD为平行四边形，AD=2，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点．
（1）求证：EF=DF；
（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求DE的长．
训练四
1. 如图，□ABCD的对角线相交于点O，过点O任引直线交AD于E，交BC于F，则OE OF（填“＞”“=”“＜”），并说明理由．
4 2．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=14，BD=8，AB=x，那么x的取值范围是
3．已知：如图，在▱ABCD中，∠ADC、∠DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点F、E，DF与AE相交于点G．
（1）求证：AE⊥DF；
（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长．
4. 如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；
（2）若BF=EF，求证：AE=AD．
5．如图，E、F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，且AE=CF，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H，求证：EF和GH互相平分．
6．已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：（1）BE⊥AC；（2）EG=EF．
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7. 如图，▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的F点，若△FDE的周长为8 cm，△FCB的周长为20 cm，则FC的长为 cm．
8. 如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=
BC、AC的中点．求证：DF=BE．
1AB，点G、E、F分别为边AB、2
五、三角形中位线专题
例题5 如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，
∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直
于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（ ）
A．35 B． C．3 D．4 22
训练五
1. 如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠PFE的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
3．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．7
B
．9
C．10 D．11
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六、平行四边形综合探究专题
例题6 如图所示，在□ABCD中，AB＞BC，∠A与∠D的平分线交于点E，∠B与∠C的平分线交于F点，连接EF．
（1）延长DE交AB于M点，则图中与线段EM一定相等的线段有哪几条？说明理由；（不再另外添加字母和辅助线）
（2）EF、BC与AB之间有怎样的数量关系？为什么？
（3）如果将条件“AB＞BC”改为“AB＜BC”，其它条件不变，EF、BC与AB的关系又如何？请画出图形并证明你的结论．
训练六
1.如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD
和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC=30°，下列
结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③AD=4AG；④△DBF
≌△EFA．其中正确结论的序号是
2．如图所示，△ABC为等边三角形，P是△ABC内任一点，PD∥AB，
PE
∥
BC
，PF
∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF=
3.如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为
4．点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．
（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；
（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．
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6. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线EF过点O，分别交AD、BC于E、F，如图①
（1）求证：AE=CF；
（2）将图①中▱ABCD沿直线EF折叠，使得点A落在A1处，点B落在B1处，如图②设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD、DE于点P、Q，求证：EQ=FG．
7．如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．
（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）
问题一：如图2，在四边形
ADBC中，AB与CD
相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；
问题二：如图3，在△ABC中，AB，ACE、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA，判断△AGD的形状并证明．
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