抽象函数的对称性与周期性
一、抽象函数的对称性
性质1 若函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价：
（1）f(a＋x) ＝f(a－x) （2）f(2a－x) ＝f(x) （3）f(2a＋x) ＝f(－x)
性质2 若函数y ＝f(x)关于点（a ，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：
（1）f(a＋x) ＝－f(a－x) （2）f(2a－x) ＝－f(x) （3）f(2a＋x) ＝－f(－x)
易知，y ＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a ＝0时的特例。
二、复合函数的奇偶性
定义1 若对于定义域内的任一变量x ，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y ＝f[g(x)]为偶函数。 定义2 若对于定义域内的任一变量x ，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y ＝f[g(x)]为奇函数。 说明：
（1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y ＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。
（2）两个特例：y ＝f(x＋a) 为偶函数，则f(x＋a) ＝f(－x ＋a) ；y ＝f(x＋a) 为奇函数，则f(－x ＋a) ＝－f(a＋x)
（3）y ＝f(x＋a) 为偶（或奇）函数，等价于单层函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 轴对称（或关于点（a ，0）中心对称）
三、复合函数的对称性
性质3 复合函数y ＝f(a＋x) 与y ＝f(b－x) 关于直线x ＝（b －a ）/2轴对称
性质4 复合函数y ＝f(a＋x) 与y ＝－f(b－x) 关于点（（b －a ）/2，0）中心对称
证明 性质3： 令（m ，n ）为y ＝f(a＋x) 上任一点，则n ＝f(a＋m)
令b －x ＝m ＋a ，x ＝b －m －a 则（b －m －a ，n ）为y ＝f(b－x) 上相应的一点
又点（m ，n ）与点（b －m －a ，n ）关于直线x ＝＝轴对称
∴y ＝f(a＋x) 与y ＝f(b－x) 关于直线x ＝（b －a ）/2轴对称
性质4 令（m ，n ）为y ＝f(a＋x) 上任一点，则n ＝f(a＋m)
则（b －m －a ，－n ）为y ＝f(b－x) 上相应一点
点（m ，n ）与点（b －m －a ，－n ）关于点（(m＋b －m －a)/2，0）
即（(b-a)/2，0）中心对称
∴y ＝f(a＋x) 与y ＝－f(b－x) 关于点（（b －a ）/2，0）中心对称
推论1 复合函数y ＝f(a＋x) 与y ＝f(a－x) 关于y 轴轴对称
推论2 复合函数y ＝f(a＋x) 与y ＝－f(a－x) 关于原点中心对称
四、函数的周期性
若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x)定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
①f(x＋a) ＝f(x－a) ②f(x＋a) ＝－f(x)
③f(x＋a) ＝1/f(x) ④f(x＋a) ＝－1/f(x)
五、函数的对称性与周期性
性质4 若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a－b|
性质5 若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a－b|
性质6 若函数y ＝f(x)既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝4|a－b|
下证性质6
f(x)关于点（a ，0）中心对称，∴f(2a－x) ＝－f(x)
f(x)关于直线x ＝b 轴对称，∴f(2b－x) ＝f(x) ∴f(2a－x) ＝－f(2b－x)
令t ＝2a －x 则x ＝2a －t f(t)＝－f[(2b－2a) ＋t]＝f(t＋4b －4a)
∴f(x)为周期函数且T ＝4|a－b|
例题与应用
例1 函数y ＝f(x)是定义在实数集R 上的函数，那么y ＝－f(x＋4) 与y ＝f(6－x) 的图象之间（ ） （2002年3＋X 高考预测试题（四月卷））
A ．关于直线x ＝5对称 B ．关于直线x ＝1对称
C ．关于点（5，0）对称 D ．关于点（1，0）对称
解：据复合函数的对称性知函数y ＝－f(x＋4) 与y ＝f(6－x) 之间关于
点（（6－4）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D 。（原卷错选为C ）
例2 设f(x)是定义在R 上的偶函数，其图象关于x ＝1对称，证明f(x)是周期函数。（2001年理工类第22题）
证明：∵f(x)关于x ＝0和x ＝1轴对称 ∴f(x)为周期函数且T ＝2
例3 设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2) ＝－f(x)，当0≤x≤1时f(x)＝x ，则f(7.5)等于（ ）（1996年理工类第15题）
A ．0.5 B．－0.5 C．1.5 D．－1.5
解：∵f(x)＝－f(x＋2) ＝－[－f(x＋4)]＝f(x＋4)
∴f(x)为周期为4的周期函数
f(7.5)＝f(－0.5) ＝－f(0.5)＝－0.5，故选B 。
例4 设f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(10＋x) ＝f(10－x) ，f(20－x) ＝－f(20＋x) ，则f(x)是（ ）
A ．偶函数，又是周期函数 B ．偶函数，但不是周期函数
C ．奇函数，又是周期函数 D ．奇函数，但不是周期函数
解：f(x)关于x ＝10轴对称，关于（20，0）中心对称，∴f(x)为周期函数，且T ＝40，∴f(x)也关于点（0，0）中心对称，即f(x)为奇函数，故选C 。
抽象函数的对称性与周期性
一、抽象函数的对称性
性质1 若函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价：
（1）f(a＋x) ＝f(a－x) （2）f(2a－x) ＝f(x) （3）f(2a＋x) ＝f(－x)
性质2 若函数y ＝f(x)关于点（a ，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：
（1）f(a＋x) ＝－f(a－x) （2）f(2a－x) ＝－f(x) （3）f(2a＋x) ＝－f(－x)
易知，y ＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a ＝0时的特例。
二、复合函数的奇偶性
定义1 若对于定义域内的任一变量x ，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y ＝f[g(x)]为偶函数。 定义2 若对于定义域内的任一变量x ，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y ＝f[g(x)]为奇函数。 说明：
（1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y ＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。
（2）两个特例：y ＝f(x＋a) 为偶函数，则f(x＋a) ＝f(－x ＋a) ；y ＝f(x＋a) 为奇函数，则f(－x ＋a) ＝－f(a＋x)
（3）y ＝f(x＋a) 为偶（或奇）函数，等价于单层函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 轴对称（或关于点（a ，0）中心对称）
三、复合函数的对称性
性质3 复合函数y ＝f(a＋x) 与y ＝f(b－x) 关于直线x ＝（b －a ）/2轴对称
性质4 复合函数y ＝f(a＋x) 与y ＝－f(b－x) 关于点（（b －a ）/2，0）中心对称
证明 性质3： 令（m ，n ）为y ＝f(a＋x) 上任一点，则n ＝f(a＋m)
令b －x ＝m ＋a ，x ＝b －m －a 则（b －m －a ，n ）为y ＝f(b－x) 上相应的一点
又点（m ，n ）与点（b －m －a ，n ）关于直线x ＝＝轴对称
∴y ＝f(a＋x) 与y ＝f(b－x) 关于直线x ＝（b －a ）/2轴对称
性质4 令（m ，n ）为y ＝f(a＋x) 上任一点，则n ＝f(a＋m)
则（b －m －a ，－n ）为y ＝f(b－x) 上相应一点
点（m ，n ）与点（b －m －a ，－n ）关于点（(m＋b －m －a)/2，0）
即（(b-a)/2，0）中心对称
∴y ＝f(a＋x) 与y ＝－f(b－x) 关于点（（b －a ）/2，0）中心对称
推论1 复合函数y ＝f(a＋x) 与y ＝f(a－x) 关于y 轴轴对称
推论2 复合函数y ＝f(a＋x) 与y ＝－f(a－x) 关于原点中心对称
四、函数的周期性
若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x)定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
①f(x＋a) ＝f(x－a) ②f(x＋a) ＝－f(x)
③f(x＋a) ＝1/f(x) ④f(x＋a) ＝－1/f(x)
五、函数的对称性与周期性
性质4 若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a－b|
性质5 若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a－b|
性质6 若函数y ＝f(x)既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝4|a－b|
下证性质6
f(x)关于点（a ，0）中心对称，∴f(2a－x) ＝－f(x)
f(x)关于直线x ＝b 轴对称，∴f(2b－x) ＝f(x) ∴f(2a－x) ＝－f(2b－x)
令t ＝2a －x 则x ＝2a －t f(t)＝－f[(2b－2a) ＋t]＝f(t＋4b －4a)
∴f(x)为周期函数且T ＝4|a－b|
例题与应用
例1 函数y ＝f(x)是定义在实数集R 上的函数，那么y ＝－f(x＋4) 与y ＝f(6－x) 的图象之间（ ） （2002年3＋X 高考预测试题（四月卷））
A ．关于直线x ＝5对称 B ．关于直线x ＝1对称
C ．关于点（5，0）对称 D ．关于点（1，0）对称
解：据复合函数的对称性知函数y ＝－f(x＋4) 与y ＝f(6－x) 之间关于
点（（6－4）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D 。（原卷错选为C ）
例2 设f(x)是定义在R 上的偶函数，其图象关于x ＝1对称，证明f(x)是周期函数。（2001年理工类第22题）
证明：∵f(x)关于x ＝0和x ＝1轴对称 ∴f(x)为周期函数且T ＝2
例3 设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2) ＝－f(x)，当0≤x≤1时f(x)＝x ，则f(7.5)等于（ ）（1996年理工类第15题）
A ．0.5 B．－0.5 C．1.5 D．－1.5
解：∵f(x)＝－f(x＋2) ＝－[－f(x＋4)]＝f(x＋4)
∴f(x)为周期为4的周期函数
f(7.5)＝f(－0.5) ＝－f(0.5)＝－0.5，故选B 。
例4 设f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(10＋x) ＝f(10－x) ，f(20－x) ＝－f(20＋x) ，则f(x)是（ ）
A ．偶函数，又是周期函数 B ．偶函数，但不是周期函数
C ．奇函数，又是周期函数 D ．奇函数，但不是周期函数
解：f(x)关于x ＝10轴对称，关于（20，0）中心对称，∴f(x)为周期函数，且T ＝40，∴f(x)也关于点（0，0）中心对称，即f(x)为奇函数，故选C 。