切线长定理
教材分析：
本节内容是切线长的概念和切线长定理。通过本节教学应使学生理解切线长的概念，掌握切线长定理并会运用它解决有关问题。切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，这个定理经常用到，因此，它是本节的重点。灵活运用图形语言、文字语言、符号语言三种语言表述切线长定理，学生感觉困难;用切线长定理解决有关问题中，准确应用数学语言进行表述，学生感觉困难;从实际情境中抽象出切线长定理模型解决问题，学生感觉困难;在综合题中迅速找出切线长定理模型, 学生感觉困难;因此,综合应用切线长定理及有关知识解决问题，是本节的难点。本节内容是在学习了“切线的判定和性质”之后，并进一步了解了“三角形的内切圆”这一内容的基础上进行研究的。是前面内容的必然延伸，也是后面学习切割线定理等重要内容的基础。切线长定理的出现，可以让我们对直线与圆位置关系的研究由定性分析深入到定量研究。再次让我们感触到了圆的轴对称性。它为我们证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据。通过本节内容的学习，会让学生更客观地认识切线的有关问题。同时，该定理的学习对我们解决一些实际问题很有指导意义。因此，本节内容在这部分中具
有非常重要的作用，是“直线与圆的位置关系”这部分内容的纽带和桥梁。同时,它综合运用等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、四边形等知识解决问题。切线长定理及其研究方法又是研究两圆相切问题的基础，因此，本节内容在整个初中几何教材体系中，起着承上启下的作用。 学生分析：
1、经过前面几节的学习，学生对圆的轴对称性已经有了初步了解，掌握了等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、四边形等知识，具备了学习本节内容的知识基础。
2、经过前面的学习，学生已经对合情推理和逻辑推理都有了一定的认识,具备了证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等的基本技能。
3、初三学生已经具备了一定的探索解决问题方法的经验，从心理学的角度分析：他们正处于想成为大人，想得到别人肯定的年龄阶段，因此，他们会不遗余力地提出他们自己的看法并能较有条例地申述自己的理由，这些是很必要的情感准备；但由于特定年龄阶段的关系，他们对问题的分析还不是很全面，用数学语言表述看法，有时还欠准确贴切。有待于教师不断地加以培养。
设计理念：
1、本着“人人都能学好数学”，“人人都学有价值的数
学”的理念，我将本节的问题情境设置为两个小朋友玩滚圈游戏，目的是想通过游戏营造一种氛围，在一开始就抓住学生，激发他们解决问题的愿望，让他们体验到：数学源于生活，生活中处处有数学，建立数学模型能解决实际问题；感受到数学探索的乐趣。
2、按照建构主义的理念，本节课试图让学生经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的基本过程，体验数学与生活的内在联系，获得方法与经验，发展思维能力，增强应用数学的自信心。
3、本着“数学学习最根本的是数学思想和方法的学习”，“只有亲身经历过，才会是印象最深刻的，哪怕他的探索没有成功，他也会获得很多。”的理念，本节课在设计时，注重给学生探究的机会，在教师的引导下，让学生自主探索解决问题的途径，通过学生动手实验、观察图形、发现并解决问题培养他们主动获取知识的能力、抽象概括的能力及提出问题的能力。从而，锻炼学生百折不挠克服困难的精神，增强他们学习数学的内驱力，让他们体会从特殊到一般，从一般到特殊的数学思想方法。
教学目标：
知识与技能目标：
1、理解切线长的概念，掌握切线长定理并会运用它解决有关问题。
2、通过学生动手实验、观察图形、发现并解决问题培养他们主动获取知识的能力、抽象概括的能力及提出问题的能力。 过程与方法目标：
1、经历，领悟从实际问题情境中抽象出数学模型，从而解决实际问题的方法。
2、运用这种方法解决有关实际问题。
情感、态度、价值观目标：
1、 在切线长定理模型的探索过程中，经历概括、分析、提
出问题、
克服困难解决问题等阶段，体验成功的喜悦。
2、 通过这节课的学习，培养学生热爱生活的积极人生态度,
锻炼学
生百折不挠克服困难的精神，增强他们学习数学的内驱力，激发学习兴趣。
3、 经过本节课的探索，在建立数学模型解决问题的过程中，
体会从特殊
到一般，从一般到特殊的数学思想方法。
教学准备：
1、 教师准备：本节教学课件。
2、 学生准备：一个圆形硬纸片、一把刻度尺、一副三角板、
一个圆规，课本，练习本。
教学过程：
一、 问题情境：（大屏幕展示动画）
小明和小亮在玩滚圈游戏，小亮一不小心把小明的铁圈弄坏了，小明说：“我不用你赔了，但你要用我们近期所学的数学知识，设计出方案测出这个铁圈的直径，以便在做一个和它一样的铁圈。”小亮用手挠了挠头，有点发愁，聪明的同学们，请你们开动脑筋，帮小亮解决这个问题，好吗？老师相信你们一定能行！赶快动手吧。
[设计目的：通过游戏营造一种氛围，挖掘学生内心乐于助人的潜能，激发他们解决问题的愿望，让他们体验到数学与生活的联系，鼓励他们自己动手，自主探究。] 师：想帮小亮解决这个问题，我们第一步该怎样做？ 生1：将该问题抽象为数学问题。
师：怎样抽象？抽象出的数学问题又是怎样的？
生2：认真阅读，把有关大小、形状、位置等的语言用数学语言翻译出来。例如，本问题中的铁圈可抽象为一个圆。这样，抽象出的数学问题是：利用刻度尺、三角板、圆规，运用已学知识，设计一个测量已知圆的直径的方案。
[设计目的：引导学生用数学的眼光看待周围的一切，增强他们数学地解决问题的意识；探索将实际问题抽象为数学问题的方法：关注实际问题中的数量、形状、位置等语言，将其翻译成符号语言、图形语言。]
A
P
B
O
师：刚才，这两位同学说得很好，下面我们就分小组利用准备的材料，探索设计出这个方案吧！（学生分组活动，教师巡回参与、指导。）
学生们通过探讨提出的方案有：
生3：方案（一）： 如图(1)将铁圈卡在墙角,可用刻度尺测得AP的长度.
图(1)
理由是: 设铁圈所在的圆的圆心为O,连结OA,OB,由切线的性质得OA⊥ AP,OB⊥ PB,
B
A
D
E
C
又AP ⊥BP,OB=OA,则四边形APBO为正方形.那么,铁圈半径OB=AP,这样就可求出铁圈的直径.
图(2)
生4：方案（二）：如图(2),把三角板顶点A放在铁圈边缘,设三角板一边与铁圈边缘交于点B,另一边交于点C,(若三角板另一边无法达到铁圈边缘, 延长另一边与铁圈边缘交于点C),度量BC长即为直径.
二、 问题拓展探究：
探索问题1
师问：方案（一）中由四边形APBO为正方形易得PA=PB，∠BPA如果不是90°，PA=PB还成立吗？做出判断，并
说明理由。请同学们运用任何工具和方法（如：观察、测量、比较、对折、猜想、论证等）研究这个问题。（分小组研究探索，一个小组确定一个发言人。）
[设计目的：让学生体验数学研究的一种方法：变化其中的特殊条件为一般条件，观察、分析出变中不变的结论，作为规律。体验从特殊到一般的数学思想方法。请同学们运用任何工具和方法（如：观察、测量、比较、对折、猜想、论证等）研究这个问题。目的是想促使学生人人参与，提高参与度。让他们发现更多的方法，明确逻辑推理是建立在合情推理的基础上的；而合情推理是在观察、对折等实际操作的基础上，加以分析得来的。]
展示探索结果：
图（3）
生5：第一种证法：如图（3）连结OP，则OP是整个图形的对称轴，沿OP折叠，两侧的部分能够互相重合，可证PA=PB。
教师强调：合情推理也是数学说理的一种方法，运用时语言要简洁明确。
生6：第二种证法：连结OP,OA,OB，
由切线的性质得OA⊥ AP,OB⊥ PB,OB=OA,
又∵OP=OP
∴Rt△APO≌Rt△BPO
∴PA=PB
教师给出切线长的定义：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 教师强调：
切线是直线，切线长是切线上一条线段的长。
问：在图（3）中利用三角形全等你还发现那些特性？请用语言叙述出来。（叙述时用上切线长这个概念。）
生7：∠OPA=∠OPB，用语言叙述为：在圆外找一点， 作圆的两条切线，可得切线长相等，OP平分两切线的夹角。
师：说得好，将OP改换成文字，再简化一下，就更好了。下面老师板书
图（4）
定理，请同学们认真体会一下自己的说法与定理叙述间的差距，做好自我教育，提高语言叙述水平。
[设计目的：训练学生的数学表达，体会定理的语言叙述，就是将定理的应用情境及结论用数学语言明确表达。] 教师板书：
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
教师强调：
（1） 此定理用于证明线段相等、角相等、弧相等、垂直
关系等
（2） 此定理有三种表达方式：文字表达（板书的定理）、
图形表达（如图4）、符号表达（如下）
∵PA、PB切圆O于A点B点
∴PA=PB ∠OPA=∠OPB
三、理解应用━━巩固练习、变式训练
例1、已知：如图 PA、PB是圆O的两条切线，A、B为切点，直线OP交圆于 点D、E，交AB于C
⑴写出图中所有的垂直关系；
⑵写出图中所有的全等三角形；
⑶如果PA=4cm，PD=2cm，
P
A
B
C
D
O
E
求半径OA的长 （一位同学板演，其他同学在练习本上做。）
[设计目的：本例题较简单，学生能够独立完成，想用它训练学生的规范书写。]
解：⑴OA⊥PA， OB⊥PB，
OP⊥AB；
图5
⑵ △OAP≌△OBP，
△OCA≌△OCB，
△ACP≌△BCP
⑶设OA=xcm；
在Rt△OAP中，OA=xcm，OP=OD+PD=x+2(cm)，PA=4cm，
由勾股定理，得PA2+OA2=OP2 即42+x2=(x+2)2
解得，x=3cm
所以，OA的长为3cm
反馈练习：
图6
1、填 空：已知如图4，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO与⊙O相交于点D，
（1）若PA=12，则PB= ；
（2）若∠APB=80º，则∠APO= ，
∠AOB=
（3）∠APO=30º， OA = 2，则PB=
[设计目的：让学生体会一般到特殊的数学思想方法，体会应用切线长定理的关键是读出该定理的应用情境，即定理的前提，得出定理的结论。初步感受该定理与垂直、三角形全等、
解直角三角形的综合应用。]
生8：（1）∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B ∴PA=PB=12
1
1
2
生9：（2）∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B 2
∴∠OPA=∠OPB= —∠APB = — 80°= 40°
OA⊥ AP,OB⊥ PB
∴∠AOP = 50°同理，∠BOP = 50° ∴∠AOB = ∠AOP + ∠BOP = 100° 师：还有其他方法吗？
生10：还可用四边形内角和为360°，得 ∠AOB = 360°- 90° - 90°- ∠APB = 100°
生11：（3）∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B ∴PA = PB，OA⊥ AP
∵∠APO=30º， OA = 2
∴OP = 4,
由勾股定理，得
3
PA = 2
3
PA = PB = 2
师：还有其他方法吗？
生12：还可用30°角的余弦值来求。
师：请同学们课下，自己做一做。
2、实际问题：
小亮经过冥思苦想设计了一个方案:如图7
测得AB=3cm,请你帮助小亮计算一下铁圈的直径.（找学生板演）
A
B
C
O
7
[设计目的：呼应问题情境,展示该问题的另一种方案设计，让学生体验切线长定理的实际应用,进一步感受该定理与解直角三角形的综合应用。]
解：由题意，得∠ABC = 120°,BC,BA为⊙O的切线，连结OA,OB,
OA
则OA⊥OB, ∠OBA = 60°
AB
∵Rt△OAB 中， tan∠OBA=
∴OA = AB tan∠OBA
= 3 tan60°
3
= 3 (cm)
3
∴2OA = 6 (cm)
3
答：这个铁圈的直径为6 cm.
变式训练：
师：图7中的三角板换成含45°角的三角板可以吗？ 生13：可以。
师：小亮没有用含45°角的三角板, 你认为为什么呢？ 生13：因为，如果用含45°角的三角板，∠ABC = 135°，则∠OBA = 67.5°
不是特殊角，计算不方便。
师：三角板在该设计中所起的主要作用是什么呢？
生14：提供∠ABC的度数。
3、探索问题2：
1、连结图3中的两个切点AB交OP于点C，如图（5），又能得出什么结论？并把它们分类。
[设计目的：使学生深刻体会切线长定理与有关知识的综合应用，学会“把书读厚”。]
生15：相等的角：∠POA = ∠ POB, ∠OAB = ∠OBA, ∠PAB = ∠PBA,
∠ACP = ∠BCP = ∠ACE = ∠BCE = ∠OAP = ∠OBP = 90°
相等的线段：AC = BC,OA = OB = OC = OE
相等的弧：弧 AD = 弧BD, 弧AE = 弧BE
相似三角形：△ACO∽△PAO∽△BCO∽△PBO
成比例的线段：根据三角形相似，可以得到许多成比例的线段，在计算中非常有用的是有关射影定理的、有关面积的。
2、 师：思考一下，这些结论都源于该图形的那个性质呢？
[设计目的：让学生体验如何透过现象抓住本质，学会“把书读薄”。]
生16：源于该图形是以直线OP为轴的轴对称图形。 课堂小结:
通过本节课的实践、探索、交流，你有哪些收获？
[设计目的：关注学生的体验，提高参与度。]
生17：我学会了切线长的概念，掌握了切线长定理并会运用它解决有关问题。
生18：我知道了应用定理最主要的是深刻理解定理的应用情境，即定理的前提条件,得出定理的结论；应用定理解决实际问题最主要的是将实际问题抽象为数学问题。
生19：我明白了学习数学也不是很难，但仍需要百折不挠克服困难的精神。
生20：将实际问题抽象为数学问题的方法：关注实际问题中的数量、形状、位置等语言，将其翻译成符号语言、图形语言。]
生21：观察、测量、比较、对折、猜想、论证等都是研究数学问题的方法。
师：同学们说得都很好，由于时间关系，就交流到这儿，谁还有自己的见解，请在今天的数学日记中与老师交流。这节课我们所探索的有关切线长的知识是在给出圆的两条切线的情况下得出的，那么要是圆的三条切线两两相交，又会有什么样的结论呢？如果有四条切线呢？这些问题有待于我们课后去研究，请看课外作业。
布置作业:
一、探索问题3：
已知：如图5，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
（1）图中共有几对相等线段？
（2）若AD=4，BC=5，CF=6，
则△ABC的周长是＿＿；
（3）若AB=4，BC=5，AC=6，
则AD=＿＿，BE=＿＿，CF=＿＿.
二、探索问题4： 图8
已知：如图6，四边形ABCD的边AB、
BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P.
想一想： AB+CD与
AD+BC之间有什么关系？
说明你结论的正确性。 图9
[设计目的：本着“数学学习最根本的是数学思想和方法的学习”，“只有亲身经历过，才会是印象最深刻的，哪怕他的探索没有成功，他也会获得很多。”的理念，将本节的学习引向课外，为同学们提供利用本节所获得的经验方法解决问题的机会，让他们获得更多的成功体验，积累更丰富的探索经验：在复杂图形中寻找几个基本图形解决问题。]
课后反思：
较成功之处：
（1）从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境（如概念的具体形象化、定理的猜想与证明、实际问题的探索等），引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习。
（2）充分运用现代教学技术和手段提高教学效益。数学知识是抽象的，有很多难懂的地方，而信息技术的运用可以解决这些难点，使抽象枯燥的数学知识变得直观形象，使乏味的数学学习变得生动有趣，学生乐于接受、易于接受，节省教学时间，提高教学效益，起到事半功倍的效果。
（3）培育和发展学生的信息素养。在本课教学中，注重培育学生捕捉信息的敏锐性、筛选信息的果断性、评估信息的准确性、交流信息的自如性和应用信息的独创性。
（4）培养学生参与意识，提高参与度。在本节教学中，努力做到学生的全员参与、全程参与和有效参与。首先用游戏吸引学生的目光，以由游戏抽象出来的几何图形为切入点，引导学生参与数学知识的学习，进而通过问题的探索激活学生的思维，一环紧扣一环的情境创设使学生欲罢不能，从而主动参与到知识的探索过程中来。
（5）注重学生的体验。真正的学习不只是纯粹智力增长，学习的主要意义取决于学生的课堂体验。本节课教学中让学生亲身经历数学知识的形成与应用过程，在问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排上等都尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题
的策略，并尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平，使每个学生都能获得丰富的内心感受，体验到数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，锻炼克服困难的意志。
（6）优化课堂评价，激励学生学习热情，促进学生全面发展。在教学中，教师要更加注意观察学生基础知识与基本技能的掌握状况，在学习过程中的主动性、独立思考与认真程度，解决问题的能力，与他人合作交流的情况等，并适时进行恰当的评价，从而帮助学生树立学习数学的自信心，提高学习数学的兴趣，促进学生的发展。
不足之处：
（1） 问题情境中可用来探索的数学信息较少，问题情境的设计不是很成功。
（2） 学习的最终目的是解决问题，解决问题的
最好方法是最简单的方法。本节课在出示并
解决完小亮的设计方案后，应该安排一点时
间，用于方案择优。
（3） 四十五分钟时间有限，尽管努力面向全体
学生，但对于基础特差的学困生和学有余力
的优生的关注仍然不够，需利用数学日记、特殊作业等形式给与特殊关注。
切线长定理
教材分析：
本节内容是切线长的概念和切线长定理。通过本节教学应使学生理解切线长的概念，掌握切线长定理并会运用它解决有关问题。切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，这个定理经常用到，因此，它是本节的重点。灵活运用图形语言、文字语言、符号语言三种语言表述切线长定理，学生感觉困难;用切线长定理解决有关问题中，准确应用数学语言进行表述，学生感觉困难;从实际情境中抽象出切线长定理模型解决问题，学生感觉困难;在综合题中迅速找出切线长定理模型, 学生感觉困难;因此,综合应用切线长定理及有关知识解决问题，是本节的难点。本节内容是在学习了“切线的判定和性质”之后，并进一步了解了“三角形的内切圆”这一内容的基础上进行研究的。是前面内容的必然延伸，也是后面学习切割线定理等重要内容的基础。切线长定理的出现，可以让我们对直线与圆位置关系的研究由定性分析深入到定量研究。再次让我们感触到了圆的轴对称性。它为我们证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据。通过本节内容的学习，会让学生更客观地认识切线的有关问题。同时，该定理的学习对我们解决一些实际问题很有指导意义。因此，本节内容在这部分中具
有非常重要的作用，是“直线与圆的位置关系”这部分内容的纽带和桥梁。同时,它综合运用等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、四边形等知识解决问题。切线长定理及其研究方法又是研究两圆相切问题的基础，因此，本节内容在整个初中几何教材体系中，起着承上启下的作用。 学生分析：
1、经过前面几节的学习，学生对圆的轴对称性已经有了初步了解，掌握了等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、四边形等知识，具备了学习本节内容的知识基础。
2、经过前面的学习，学生已经对合情推理和逻辑推理都有了一定的认识,具备了证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等的基本技能。
3、初三学生已经具备了一定的探索解决问题方法的经验，从心理学的角度分析：他们正处于想成为大人，想得到别人肯定的年龄阶段，因此，他们会不遗余力地提出他们自己的看法并能较有条例地申述自己的理由，这些是很必要的情感准备；但由于特定年龄阶段的关系，他们对问题的分析还不是很全面，用数学语言表述看法，有时还欠准确贴切。有待于教师不断地加以培养。
设计理念：
1、本着“人人都能学好数学”，“人人都学有价值的数
学”的理念，我将本节的问题情境设置为两个小朋友玩滚圈游戏，目的是想通过游戏营造一种氛围，在一开始就抓住学生，激发他们解决问题的愿望，让他们体验到：数学源于生活，生活中处处有数学，建立数学模型能解决实际问题；感受到数学探索的乐趣。
2、按照建构主义的理念，本节课试图让学生经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的基本过程，体验数学与生活的内在联系，获得方法与经验，发展思维能力，增强应用数学的自信心。
3、本着“数学学习最根本的是数学思想和方法的学习”，“只有亲身经历过，才会是印象最深刻的，哪怕他的探索没有成功，他也会获得很多。”的理念，本节课在设计时，注重给学生探究的机会，在教师的引导下，让学生自主探索解决问题的途径，通过学生动手实验、观察图形、发现并解决问题培养他们主动获取知识的能力、抽象概括的能力及提出问题的能力。从而，锻炼学生百折不挠克服困难的精神，增强他们学习数学的内驱力，让他们体会从特殊到一般，从一般到特殊的数学思想方法。
教学目标：
知识与技能目标：
1、理解切线长的概念，掌握切线长定理并会运用它解决有关问题。
2、通过学生动手实验、观察图形、发现并解决问题培养他们主动获取知识的能力、抽象概括的能力及提出问题的能力。 过程与方法目标：
1、经历，领悟从实际问题情境中抽象出数学模型，从而解决实际问题的方法。
2、运用这种方法解决有关实际问题。
情感、态度、价值观目标：
1、 在切线长定理模型的探索过程中，经历概括、分析、提
出问题、
克服困难解决问题等阶段，体验成功的喜悦。
2、 通过这节课的学习，培养学生热爱生活的积极人生态度,
锻炼学
生百折不挠克服困难的精神，增强他们学习数学的内驱力，激发学习兴趣。
3、 经过本节课的探索，在建立数学模型解决问题的过程中，
体会从特殊
到一般，从一般到特殊的数学思想方法。
教学准备：
1、 教师准备：本节教学课件。
2、 学生准备：一个圆形硬纸片、一把刻度尺、一副三角板、
一个圆规，课本，练习本。
教学过程：
一、 问题情境：（大屏幕展示动画）
小明和小亮在玩滚圈游戏，小亮一不小心把小明的铁圈弄坏了，小明说：“我不用你赔了，但你要用我们近期所学的数学知识，设计出方案测出这个铁圈的直径，以便在做一个和它一样的铁圈。”小亮用手挠了挠头，有点发愁，聪明的同学们，请你们开动脑筋，帮小亮解决这个问题，好吗？老师相信你们一定能行！赶快动手吧。
[设计目的：通过游戏营造一种氛围，挖掘学生内心乐于助人的潜能，激发他们解决问题的愿望，让他们体验到数学与生活的联系，鼓励他们自己动手，自主探究。] 师：想帮小亮解决这个问题，我们第一步该怎样做？ 生1：将该问题抽象为数学问题。
师：怎样抽象？抽象出的数学问题又是怎样的？
生2：认真阅读，把有关大小、形状、位置等的语言用数学语言翻译出来。例如，本问题中的铁圈可抽象为一个圆。这样，抽象出的数学问题是：利用刻度尺、三角板、圆规，运用已学知识，设计一个测量已知圆的直径的方案。
[设计目的：引导学生用数学的眼光看待周围的一切，增强他们数学地解决问题的意识；探索将实际问题抽象为数学问题的方法：关注实际问题中的数量、形状、位置等语言，将其翻译成符号语言、图形语言。]
A
P
B
O
师：刚才，这两位同学说得很好，下面我们就分小组利用准备的材料，探索设计出这个方案吧！（学生分组活动，教师巡回参与、指导。）
学生们通过探讨提出的方案有：
生3：方案（一）： 如图(1)将铁圈卡在墙角,可用刻度尺测得AP的长度.
图(1)
理由是: 设铁圈所在的圆的圆心为O,连结OA,OB,由切线的性质得OA⊥ AP,OB⊥ PB,
B
A
D
E
C
又AP ⊥BP,OB=OA,则四边形APBO为正方形.那么,铁圈半径OB=AP,这样就可求出铁圈的直径.
图(2)
生4：方案（二）：如图(2),把三角板顶点A放在铁圈边缘,设三角板一边与铁圈边缘交于点B,另一边交于点C,(若三角板另一边无法达到铁圈边缘, 延长另一边与铁圈边缘交于点C),度量BC长即为直径.
二、 问题拓展探究：
探索问题1
师问：方案（一）中由四边形APBO为正方形易得PA=PB，∠BPA如果不是90°，PA=PB还成立吗？做出判断，并
说明理由。请同学们运用任何工具和方法（如：观察、测量、比较、对折、猜想、论证等）研究这个问题。（分小组研究探索，一个小组确定一个发言人。）
[设计目的：让学生体验数学研究的一种方法：变化其中的特殊条件为一般条件，观察、分析出变中不变的结论，作为规律。体验从特殊到一般的数学思想方法。请同学们运用任何工具和方法（如：观察、测量、比较、对折、猜想、论证等）研究这个问题。目的是想促使学生人人参与，提高参与度。让他们发现更多的方法，明确逻辑推理是建立在合情推理的基础上的；而合情推理是在观察、对折等实际操作的基础上，加以分析得来的。]
展示探索结果：
图（3）
生5：第一种证法：如图（3）连结OP，则OP是整个图形的对称轴，沿OP折叠，两侧的部分能够互相重合，可证PA=PB。
教师强调：合情推理也是数学说理的一种方法，运用时语言要简洁明确。
生6：第二种证法：连结OP,OA,OB，
由切线的性质得OA⊥ AP,OB⊥ PB,OB=OA,
又∵OP=OP
∴Rt△APO≌Rt△BPO
∴PA=PB
教师给出切线长的定义：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 教师强调：
切线是直线，切线长是切线上一条线段的长。
问：在图（3）中利用三角形全等你还发现那些特性？请用语言叙述出来。（叙述时用上切线长这个概念。）
生7：∠OPA=∠OPB，用语言叙述为：在圆外找一点， 作圆的两条切线，可得切线长相等，OP平分两切线的夹角。
师：说得好，将OP改换成文字，再简化一下，就更好了。下面老师板书
图（4）
定理，请同学们认真体会一下自己的说法与定理叙述间的差距，做好自我教育，提高语言叙述水平。
[设计目的：训练学生的数学表达，体会定理的语言叙述，就是将定理的应用情境及结论用数学语言明确表达。] 教师板书：
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
教师强调：
（1） 此定理用于证明线段相等、角相等、弧相等、垂直
关系等
（2） 此定理有三种表达方式：文字表达（板书的定理）、
图形表达（如图4）、符号表达（如下）
∵PA、PB切圆O于A点B点
∴PA=PB ∠OPA=∠OPB
三、理解应用━━巩固练习、变式训练
例1、已知：如图 PA、PB是圆O的两条切线，A、B为切点，直线OP交圆于 点D、E，交AB于C
⑴写出图中所有的垂直关系；
⑵写出图中所有的全等三角形；
⑶如果PA=4cm，PD=2cm，
P
A
B
C
D
O
E
求半径OA的长 （一位同学板演，其他同学在练习本上做。）
[设计目的：本例题较简单，学生能够独立完成，想用它训练学生的规范书写。]
解：⑴OA⊥PA， OB⊥PB，
OP⊥AB；
图5
⑵ △OAP≌△OBP，
△OCA≌△OCB，
△ACP≌△BCP
⑶设OA=xcm；
在Rt△OAP中，OA=xcm，OP=OD+PD=x+2(cm)，PA=4cm，
由勾股定理，得PA2+OA2=OP2 即42+x2=(x+2)2
解得，x=3cm
所以，OA的长为3cm
反馈练习：
图6
1、填 空：已知如图4，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO与⊙O相交于点D，
（1）若PA=12，则PB= ；
（2）若∠APB=80º，则∠APO= ，
∠AOB=
（3）∠APO=30º， OA = 2，则PB=
[设计目的：让学生体会一般到特殊的数学思想方法，体会应用切线长定理的关键是读出该定理的应用情境，即定理的前提，得出定理的结论。初步感受该定理与垂直、三角形全等、
解直角三角形的综合应用。]
生8：（1）∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B ∴PA=PB=12
1
1
2
生9：（2）∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B 2
∴∠OPA=∠OPB= —∠APB = — 80°= 40°
OA⊥ AP,OB⊥ PB
∴∠AOP = 50°同理，∠BOP = 50° ∴∠AOB = ∠AOP + ∠BOP = 100° 师：还有其他方法吗？
生10：还可用四边形内角和为360°，得 ∠AOB = 360°- 90° - 90°- ∠APB = 100°
生11：（3）∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B ∴PA = PB，OA⊥ AP
∵∠APO=30º， OA = 2
∴OP = 4,
由勾股定理，得
3
PA = 2
3
PA = PB = 2
师：还有其他方法吗？
生12：还可用30°角的余弦值来求。
师：请同学们课下，自己做一做。
2、实际问题：
小亮经过冥思苦想设计了一个方案:如图7
测得AB=3cm,请你帮助小亮计算一下铁圈的直径.（找学生板演）
A
B
C
O
7
[设计目的：呼应问题情境,展示该问题的另一种方案设计，让学生体验切线长定理的实际应用,进一步感受该定理与解直角三角形的综合应用。]
解：由题意，得∠ABC = 120°,BC,BA为⊙O的切线，连结OA,OB,
OA
则OA⊥OB, ∠OBA = 60°
AB
∵Rt△OAB 中， tan∠OBA=
∴OA = AB tan∠OBA
= 3 tan60°
3
= 3 (cm)
3
∴2OA = 6 (cm)
3
答：这个铁圈的直径为6 cm.
变式训练：
师：图7中的三角板换成含45°角的三角板可以吗？ 生13：可以。
师：小亮没有用含45°角的三角板, 你认为为什么呢？ 生13：因为，如果用含45°角的三角板，∠ABC = 135°，则∠OBA = 67.5°
不是特殊角，计算不方便。
师：三角板在该设计中所起的主要作用是什么呢？
生14：提供∠ABC的度数。
3、探索问题2：
1、连结图3中的两个切点AB交OP于点C，如图（5），又能得出什么结论？并把它们分类。
[设计目的：使学生深刻体会切线长定理与有关知识的综合应用，学会“把书读厚”。]
生15：相等的角：∠POA = ∠ POB, ∠OAB = ∠OBA, ∠PAB = ∠PBA,
∠ACP = ∠BCP = ∠ACE = ∠BCE = ∠OAP = ∠OBP = 90°
相等的线段：AC = BC,OA = OB = OC = OE
相等的弧：弧 AD = 弧BD, 弧AE = 弧BE
相似三角形：△ACO∽△PAO∽△BCO∽△PBO
成比例的线段：根据三角形相似，可以得到许多成比例的线段，在计算中非常有用的是有关射影定理的、有关面积的。
2、 师：思考一下，这些结论都源于该图形的那个性质呢？
[设计目的：让学生体验如何透过现象抓住本质，学会“把书读薄”。]
生16：源于该图形是以直线OP为轴的轴对称图形。 课堂小结:
通过本节课的实践、探索、交流，你有哪些收获？
[设计目的：关注学生的体验，提高参与度。]
生17：我学会了切线长的概念，掌握了切线长定理并会运用它解决有关问题。
生18：我知道了应用定理最主要的是深刻理解定理的应用情境，即定理的前提条件,得出定理的结论；应用定理解决实际问题最主要的是将实际问题抽象为数学问题。
生19：我明白了学习数学也不是很难，但仍需要百折不挠克服困难的精神。
生20：将实际问题抽象为数学问题的方法：关注实际问题中的数量、形状、位置等语言，将其翻译成符号语言、图形语言。]
生21：观察、测量、比较、对折、猜想、论证等都是研究数学问题的方法。
师：同学们说得都很好，由于时间关系，就交流到这儿，谁还有自己的见解，请在今天的数学日记中与老师交流。这节课我们所探索的有关切线长的知识是在给出圆的两条切线的情况下得出的，那么要是圆的三条切线两两相交，又会有什么样的结论呢？如果有四条切线呢？这些问题有待于我们课后去研究，请看课外作业。
布置作业:
一、探索问题3：
已知：如图5，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
（1）图中共有几对相等线段？
（2）若AD=4，BC=5，CF=6，
则△ABC的周长是＿＿；
（3）若AB=4，BC=5，AC=6，
则AD=＿＿，BE=＿＿，CF=＿＿.
二、探索问题4： 图8
已知：如图6，四边形ABCD的边AB、
BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P.
想一想： AB+CD与
AD+BC之间有什么关系？
说明你结论的正确性。 图9
[设计目的：本着“数学学习最根本的是数学思想和方法的学习”，“只有亲身经历过，才会是印象最深刻的，哪怕他的探索没有成功，他也会获得很多。”的理念，将本节的学习引向课外，为同学们提供利用本节所获得的经验方法解决问题的机会，让他们获得更多的成功体验，积累更丰富的探索经验：在复杂图形中寻找几个基本图形解决问题。]
课后反思：
较成功之处：
（1）从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境（如概念的具体形象化、定理的猜想与证明、实际问题的探索等），引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习。
（2）充分运用现代教学技术和手段提高教学效益。数学知识是抽象的，有很多难懂的地方，而信息技术的运用可以解决这些难点，使抽象枯燥的数学知识变得直观形象，使乏味的数学学习变得生动有趣，学生乐于接受、易于接受，节省教学时间，提高教学效益，起到事半功倍的效果。
（3）培育和发展学生的信息素养。在本课教学中，注重培育学生捕捉信息的敏锐性、筛选信息的果断性、评估信息的准确性、交流信息的自如性和应用信息的独创性。
（4）培养学生参与意识，提高参与度。在本节教学中，努力做到学生的全员参与、全程参与和有效参与。首先用游戏吸引学生的目光，以由游戏抽象出来的几何图形为切入点，引导学生参与数学知识的学习，进而通过问题的探索激活学生的思维，一环紧扣一环的情境创设使学生欲罢不能，从而主动参与到知识的探索过程中来。
（5）注重学生的体验。真正的学习不只是纯粹智力增长，学习的主要意义取决于学生的课堂体验。本节课教学中让学生亲身经历数学知识的形成与应用过程，在问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排上等都尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题
的策略，并尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平，使每个学生都能获得丰富的内心感受，体验到数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，锻炼克服困难的意志。
（6）优化课堂评价，激励学生学习热情，促进学生全面发展。在教学中，教师要更加注意观察学生基础知识与基本技能的掌握状况，在学习过程中的主动性、独立思考与认真程度，解决问题的能力，与他人合作交流的情况等，并适时进行恰当的评价，从而帮助学生树立学习数学的自信心，提高学习数学的兴趣，促进学生的发展。
不足之处：
（1） 问题情境中可用来探索的数学信息较少，问题情境的设计不是很成功。
（2） 学习的最终目的是解决问题，解决问题的
最好方法是最简单的方法。本节课在出示并
解决完小亮的设计方案后，应该安排一点时
间，用于方案择优。
（3） 四十五分钟时间有限，尽管努力面向全体
学生，但对于基础特差的学困生和学有余力
的优生的关注仍然不够，需利用数学日记、特殊作业等形式给与特殊关注。