1 变量代换的类型
变量代换法是指用另一些新的变量来代换某些变量的解析表达式, 从而使原有的问题转化为较简单的, 易解决的问题的方法, 这种方法也称为换元法. 在学习数学的过程中, 变量代换法不仅是一种重要的解题技巧, 也是一种重要的数学思维方法. 恰当地运用变量代换的观点方法, 常常能起到化难为易、化繁为简的作用．
变量代换有多种类型, 它在解决数学问题中发挥着不可或缺的作用. 我们只有掌握了变量代换的不同类型, 才能在解决问题时更加得心应手. 本节先给出积分运算中几种常见的变量代换, 然后给出公式变形和函数解析式中的变量代换. 1.1 算式代换
算式代换是指积分表达式中含有(ax +b ) 的代换. 例1 求定积分⎰
1
.
-2(11+5x ) 3
1
解 令11+5x =t , 则x =
t -11
. 5
当x =1时, t =16; 当x =-2时, t =1. 所以有
161-3t -11=t ⎰-2(11+5x ) 3⎰1d 5 1
=-
1-216t
110
51512
=.
1.2 根式代换
根式变换是指积分表达式中含有无理根式的代换. 例2 求定积分⎰
0-3
x +1
dx . x +4
解 令x +4=t , 则当x =-3时, t =1; 当x =0时, t =2. 则
⎰
0-3
2
2t -4+1x +1
d (t 2-4) dx =⎰1t x +4
=2⎰(t 2-3) dt
1
2
4
=-.
3
1.3 倒代换
倒代换是指积分表达式中分母的两个自变量的幂之差大于1的代换. 例3 求不定积分⎰
1
解 令=x , 则
t
x 61
⎰t (t 7+2) dt =-⎰1+2x 7 1
dt .
t (t 7+2)
1
ln +2x 7+c 1411
=-ln 2+t 7+ln t +c .
142
=-
1.4 三角代换
三角代换是指积分表达式中含有a 2-x 2, x 2-a 2等形式的代换. 例4 求⎰
a 0
a 2-x 2dx (a >0) .
解 令x =a sin t , 则当x =0时, t =0; 当x =a 时, t =
π
2
. 所以
.
⎰
1.5 指数代换
π
=a
2
⎰
2
cos tdt =
2
πa 2
4
指数代换是指积分表达式中含有e x , a x 的代换.
e x
dx . 例5 求不定积分⎰2x
1+e
解 令e x =t , 则有
e x 1x
dx =⎰1+e 2x ⎰1+t 2dt =arctan t +c =arctan e +c .
1.6 公式变形中的变量代换
在解题时, 我们常对一些形式的式子感到很难理解, 但只要仔细分析, 我们会发现它可能就是一些公式的变形形式. 因此, 我们在认识公式时, 可适当利用变量代换法来认识其变形形式．
例如 sin 2α=2sin αcos α
θ
设2α=θ, 则α=, 于是有
2
sin α=2sin cos ．
22
θθ
同样, 利用变量代换方法也可来理解其他的三角函数的公式.
sin x
又例如 lim =1.
x →0x 设x =at (a ∈R ) , 当x →0时, t →0, 于是有
lim
sin at sin at
=1, 即 lim =a .
x →0x →0at t
1
at
如果设sin x =t , 则x =arcsin t . 同理lim(1+x ) =e , 则lim(1+at ) =e ,
x →0
t →0
1x
即lim(1+at ) =e a .
t →0
1t
通过对公式进行变量代换, 我们不仅可以加深对公式的理解, 还可以看到一些我们解题时有用的式子．
例如 sin 2F (x ) =2sin F (x )cos F (x ) . 1.7 函数解析式中的变量代换 例6 已知f (x n ) =ln x , 求f (e ) .
解 由于题中函数表达式不是我们习惯的形式, 可先把函数表达式化为我们习惯的形式, 根据题意, 不妨设x =e , 则x =e . 从而有
f (x ) =f (e ) =ln e =
n
1n
n
1n
1. n
例7 已知f (x +y , x -y ) =x 2-y 2, 求f (x , y ) 表达式.
⎧u =x +y
解 令 ⎨,
v =x -y ⎩
则有
u +v ⎧x =⎪⎪2
. ⎨
⎪y =u -v ⎪⎩2
因此有
f (u , v ) =(
u +v 2u -v 2) -() =uv , 22
得f (x , y ) 的表达式
f (x , y ) =xy .
2 变量代换在数学中的应用
2.1变量代换在条件极值中的应用
条件极值是高等数学中的一项重要内容, 而变量代换法是求极值和最值的方法之一, 他可以是问题简化. 下面我们来对变量代换在极值和最值方面的应用加以探讨.
设定 y =f (u ) 为实函数, u =(u 1, u 2, ⋅⋅⋅, u m ) ∈D ⊆E m , S ⊆E m 且S ≠∅,
D ={(u 1, u 2, ⋅⋅⋅, u m ) u i =ϕi (x ), i =1, 2, ⋅⋅⋅, m ; x ∈S }. ［文献3］
引论1 对于设定, 若函数组u i =ϕi (x ) (i =1, 2, ⋅⋅⋅, m )均在S 上连续, 则由函数组
u i =ϕi (x ) (i =1, 2, ⋅⋅⋅, m )确定的S →D 的映射F 在S 上也连续．
引论2 设X , Y 是度量空间, 映射f :X →Y , 那么f 在X 上连续的充要条件是像空间Y 中的任一开集U 的原像f -1(U ) 是X 中的开集．
引论3 设X 是度量空间, A ⊆B ⊆X ,B 为开集, 则A 为X 的开集的充要条件是A 是相对于B 的开集．
结论1 设S,D 均为开集, 函数组u i =ϕi (x ) (i =1, 2, ⋅⋅⋅, m )在S 上均连续,
u 0=(ϕ1(x 0), ϕ2(x 0), ⋅⋅⋅, ϕm (x 0)) ,
若u 0是f (u ) 的极大(小) 值点, 则x 0为f (ϕ1(x ), ϕ2(x ), ⋅⋅⋅, ϕm (x )) 的极大(小) 值点．
证 设由函数组ϕi (x ) 确定的S →D 的映射为 F, 因为ϕi (x ) 均在S 上连续, 所以F 也在S 上连续(引论1) ．因为u 0为D 中极大值点, 所以总存在u 0点的某一邻域
N (u 0) ⊆D , 使∀u ∈N (u 0) 时, f (u ) ≤f (u 0) ．因为D 为开集, 所以N (u 0) 是相对于D
的开集(引论3), 又因为F 连续, 所以F -1(N (u 0)) 是相对于S 的开集(引论2), 而S 为
-1n
) ) x ∈F (N (u 0)) , 则E 开集, 所以F -1(N (u 也为的开集(引论3) ．又因为00
F -1(N (u 0)) 为点x 0的一个邻域．
对于
∀x ∈F -1(N (u 0)) ,
则有
(ϕ1(x ), ϕ2(x ), ⋅⋅⋅≤ϕm (x )) ∈N (u 0) ,
所以有
f (ϕ1(x ), ϕ2(x ), ⋅⋅⋅, ϕm (x )) ≤f (ϕ1(x 0), ϕ2(x 0), ⋅⋅⋅, ϕm (x 0)) .
同理可证极小值的情况.
结论2 在结论1中, 若由函数组u i =ϕi (x ) (i -1, 2, ⋅⋅⋅, m )确定的S →D 的映射F 为一一对应, 且F 的逆映射F -1连续(即 F 是S →D 的同胚映射), 则u 0是f (u ) 的极大(小) 值点的充要条件是x 0为f (ϕ1(x ), ϕ2(x ), ⋅⋅⋅, ϕm (x )) 的极大(小) 值点.
证 必要性可由结论1得证, 充分性仅对极大值点的情形予以证明.
设x 0是f (ϕ1(x ), ϕ2(x ), ⋅⋅⋅, ϕm (x )) 的极大值点, 则存在x 0的一个邻域N (x 0) ⊆S , 使
∀x ∈N (x 0) , f (ϕ1(x ), ϕ2(x ), ⋅⋅⋅, ϕm (x )) ≤f (ϕ1(x 0), ϕ2(x 0), ⋅⋅⋅, ϕm (x 0)) .
由F 是S →D 的同胚映射及引论3可知, F (N (x 0)) 的u 0一个邻域．设
∀u ∈F (N (x 0)) , 存在x ∈S , 使得u =(ϕ1(x ), ϕ2(x ), ⋅⋅⋅, ϕm (x )) , 对给定的u , x 是唯一存
在的, 则当x ∈(N 0) 时,
f (ϕ1(x ), ϕ2(x ), ⋅⋅⋅, ϕm (x )) ≤f (ϕ1(x 0) ϕ, 2x (0⋅) ⋅, ⋅ϕ(, ) ) m , x 0
因此有
f (u ) ≤f (u 0) .
在结论2中, 把“极大(小) 值点”都改为“严格极大(小) 值点”, 结论仍成立．
结论3 设u 0=(ϕ1(x 0), ϕ2(x 0), ⋅⋅⋅, ϕm (x 0)) , 则u 0是f (u ) 的最大(小) 值点的充要条件
是x 0是f (ϕ1(x ), ϕ2(x ), ⋅⋅⋅, ϕm (x )) 的最大(小) 值点.(证明略)
结论4 设u 0=(ϕ1(x 0), ϕ2(x 0), ⋅⋅⋅, ϕm (x 0)) , 则u 0为f (u ) 在约束条件
L j (u ) R j (j =1, 2, ⋅⋅⋅k ; u ∈D )
下的最大(小) 值点的充要条件是x 0为f (ϕ1(x ), ϕ2(x ), ⋅⋅⋅, ϕm (x )) 在约束条件
L j (ϕ1(x ), ϕ2(x ), ⋅⋅⋅, ϕm (x )) R j (j =1,2, ⋅⋅⋅k ; x ∈s )
下的最大(小) 值点(R j ∈R , j =1, 2, ⋅⋅⋅k ). (证明略)
2y x 2
+2在 D 上的极值与最值, D ={(x , y ) x >0, y >0} 例1 讨论函数z =
x y
约束条件为x 2+y 2
解 设
⎧x =r cos θ⎨
⎩y =r sin θ
(2-1) (2-2)
⎧π⎫S =⎨(r , θ) 00⎬．
2⎩⎭
由(2-1),(2-2) 确定的映射F ：S →D 是同胚映射, 所以原问题可化为函数
1
在S 上满足约束条件r
tan θ1π
在区间z =2tan θ+(0,) 内的无条件极值与最值问题. 2
tan θ2设s 1=(0,) , 令 2
t =tan θ, t ∈D 1=(0,+∞)
π
.
(2-3)
显然由(2-3) 确定的映射F 1:S 1→D 1是同胚映射．这时z =2t +
1
在(0,+∞) 内t 2
有唯一驻点t =1, 且t =1是极小值点, 从而也是最小值点．又因为驻点唯一, 所以函
ππ
数没有极大值与最大值．当t = 1时, 得θ=；再由θ=及0
44
x =
y =a (0
. 2
(2-4)
由以上结论可知(2-4) 为函数的极小值点与最小值点, 函数无极大值与最大值．
例2 设(x , y ) 为圆x +y =3上的任意一点,
求函数f (x ) =2
2
值.
这是一个在约束条件x 2+y 2=3下求f (x ) 的极值问题, 数学分析中传统求法是拉格朗日乘数法本节将利用变量代换方法来解决.
解 由(x , y ) 是x 2+y 2=3上的点,
得y = 将f (x
) y 替代得到
f (x ) =
可以看做圆x 2+y 2=
3上任一点与(--3) 连线的斜率, 本题的条
件极值就转化为这种连线斜率的最大值问题. 显然这连线斜率应为从
点
(--3) 到圆x 2+y 2=3所做切线的斜率.
不难看出, 该切线的方程为
:+y =3, 斜率
K=, 因此f (x
) 的极大值为
.
例3 设x 2+xy +y 2=3, 求f (x , y ) =x 2+y 2的最值.
1
解 设x =r cos θ, y =r sin θ, 则r 2+r 2sin 2θ=3,
2
所以
r 2=
31
1+sin 2θ2
.
因此当θ=
π
4
时, r 2取最小值
31+12
=2; 当θ=
3π3时, r 2的最大值=6.
141-2
即满足x 2+xy +y 2=3的f (x , y ) =x 2+y 2的最大值、最小值分别为6和2. 很显然, 例3可以改写为
例3' 设x 2+xy +y 2=3, 求证: 2≤x 2+y 2≤6.
此时问题就变成不等式的证明问题, 因此变量代换也可以作为不等式证明的一个非常有效的方法.
2.2 变量代换在不等式中的应用
变量代换法是一种非常有效的解题方法, 尤其是处理一些复杂的不等式问题, 效果明显．合理代换往往能简化题目的信息, 凸显隐含条件, 沟通量与量之间的关
系, 对发现解题思想, 优化解题过程有着重要的作用．
a +3c 4b 8c
例1[6] 设a 、b 、c 均为正数, 求w =的最小+-
a +2b +c a +b +2c a +b +3c 值．
解 本题涉及的三个变量a 、b 、c 不具有对称性, 且三个分式的分母都是多项式, 如果通分, 则运算量较大．因此, 我们可考虑把各分母用其他变量代换, 看看结果如何． 令
x =a +2b +c , y =a +b +2c , z =a +b +3c (x , y , z >0) ,
则有
a +3c =2y -x ,4b =4x -8y +4z ,8c =8z -8y ,
所以有
w =
2y -x 4x -8y +4z 8z -8y
+- x y z
2y 4x 4z y 8
+++-17 x y y z +-1 7 =
≥
=17. 当且仅当
2y 4x 4z 8y ==且,
即y =时, 上式取等号．
x y y z
所以当b =(1a , c =(4+a 时
, w min =17.
例2 设a 、b 、c 是三个互不相等的正数．证明: 解 设 则有
xy +yz +zx =-1.
a +b b +c c +a
++>1. a -b b -c c -a
a +b b +c c +a
=x , =y , =z , a -b b -c c -a
因为
(x +y +z ) 2≥3(xy +yz +zx ) =3,
所以
x +y +z ≥>1,
即
a +b b +c c +a
++>1. a -b b -c c -a
说明: 本题通过局部代换, 发现了隐含条件xy +yz +zx =-1, 从而应用重要不等式(x +y +z ) 2≥3(xy +yz +zx ) 使问题得到解决．
例3 设x ≥y ≥1, 求证:
x y 13++≥． y +1x +1x +y 2
解 令 x +y =a , x y =(b ≥a 2, 则有
x y 13
++≥ y +1x +1x +y 2a 2+a -2b 13⇔+≥
a +b +1a 2
) ≥b , 1
⇔2a -a -a +2≥b (7a -2) .
32
(2-5)
因为
7a -2>0, a 2=(x +y ) 2≥4xy =4b ,
所以
4(2a 3-a 2-a +2) ≥a 2(7a -2)
⇔a -2a -4a +8≥0 ⇔(a -2) (a +2) ≥0.
2
32
上面最后一个不等式显然成立, 从而不等式(2-5) 成立, 故原不等式成立． 2.3 变量代换在极限运算中的应用
(1) 利用变量代换得到第一个重要极限lim 例如 令x =f (t ) , 且lim f (t ) =0, 则有lim
t →t 0t →∞
sin x
=1的其它变形
x →0x
sin f (t )
=1．
t →t 0f (t ) t →∞
1
(2) 利用变量代换得到第二重要极限lim(1+) x =e 的变形
x →∞x
lim(1+f (x ))
1
f (x )
=e , 其中lim f (x ) =0．
x →x 0x →∞
(3) 无理根式形式的极限问题 例如
求x →4
.
3=t (也可利用有理化法求得极限) ． (4) 幂指函数求极限 例如 lim x =lim e ++
x →0
x →0x
x ln x
=e
x →0+
lim x ln x
=e 0=1．
(5) 二元及多元函数求极限可作变量代换, 转化为一元函数求出极限 例如 求lim(x 2+y 2)sin
x →0
y →0
1
. x 2+y 2
可令u =x 2+y 2, 则原式= lim u sin
u →0
1
=0 (利用无穷小量的运算法则). u
(6) 其他类型
有些函数求极限不能直接运用求极限的运算法则, 可依题意作适当变换, 转化为熟悉的形式求出极限．
例4 求lim
x →0
e +e e -e
1x
1x
-
1x 1x
-
.
解 作变量代换, 令e =t , 则有
lim
x →0
1x
e +e e -e
1x
1x
-
1x 1x
-
t 2+1
=1. =lim 2
t →+∞t -1
2.4 变量代换在导数运算中的应用 (1) 一元或多元复合函数求导
例1 设z =f (x 2+y 2, x sin y ) , 且具有连续偏导, 求
∂z . ∂x
解 令 u =x 2+y 2, v =x sin y , 则有
z =f (u , v ) .
由复合函数的链式求导法则得
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v =+=f u '2x +f v 'sin y =2xf u '+sin yf v '. ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x (2) 隐函数求导
例2 设由方程e z -xyz =1确定了一个z =f (x , y ) 函数, 求解 将z 看作关于x , y 的函数. 方程两边同时对x 求导得
e z
∂z ∂z
-(yz +xy ) =0, ∂x ∂x
∂z
. ∂x
整理得
∂z yz
. =z
∂x e -xy
(3) 变限函数求导 例3 设φ(x )=⎰
u (x ) a
f (t ) dt , 求
d φ. dx
解 令 u =u (x ) , 则函数变量之间的关系为
φ→u →x ,
由一元函数的求导法则可得
d φd φdu ==f [u (x )]u '(x ) ． dx du dx
(4) 利用函数导数求单调性、极值．
例4 已知函数f (x ) =e x
2
-2x
, 求函数单调区间．
解 函数看作由f (x ) =e u , u =x 2-2x 两个函数复合而成的．
而函数f (x ) =e u 是一个单调上升函数, 将问题转化为求函数u =x 2-2x 单调区间．
2.5 变量代换在解微分方程中的应用
在常微分方程中, 许多类型的常微分方程求解是依靠变量代换这一重要方法来完成的, 下面我们就针对变量代换在几类微分方程中的应用进行探究. 2.5.1 变量代换在解一阶显式微分方程中的应用
一阶显不微分方程如果能化成可分离变量方程求解, 问题就解决了, 很多类型的一阶微分方程通过适当的变量代换化为可分离变量方程.
dy y
(1) 齐次方程=ϕ() .
dx x y
通过变量代换u =化为以u 为未知函数的可分离变量方程.
x (2) 准齐次方程
dy ax +by +c =f () . dx a 1x +b 1y +c 1
其中a , b , c , a 1, b 1, c 1为常数. (i) ab 1≠a 1b
ax +by +c =0, a 1x +b 1y +c 1=0构成的方程组的解为x =α, y =β, 则同时作函
数y 与自变量x 的代换y =η+β, x =ξ+α, 将其化为以η为函数, 以ξ为自变量的齐次方程, 然后再将齐次方程化为可分离变量方程, 达到求解齐次方程的目的. (ii) ab 1=a 1b 不妨设
a b
==λ, a 1b 1
此时方程的形状为
λ(a 1x +b 1y ) +c dy
=f () . dx a 1x +b 1y +c 1
作变换
u =a 1x +b 1y ,
则可得分离变量方程
dy λu +c
=a 1+b 1f () . dx u +c 1
从而可以求其通解.
dy y
(3) 形如 =f (a ) x a -1 的方程(其中a 是已知实数).
dx x 作变量代换
u =
y
, x a
将方程化为分离变量方程, 将u =
y
代入方程, 整理后可得 x a du x a =(f (u ) -au )x a -1. dx
这已是分离变量方程.
dy
(4) 一阶线性方程+p (x ) y =q (x ) , 其中p (x ), q (x ) 为已知函数.
dx 该方程所对应的齐次方程的通解为
-p (x ) dx
y =ce ⎰.
作代换
-p (x ) dx y =c (x ) e ⎰,
以此作为原方程的解, 代人原方程中得
-p (x ) dx dc (x )
. =q (x ) e ⎰
dx 从而解出c (x ) , 进而完成原方程求解. (5) 伯努力方程
dc (x )
=q (x ) y +q (x ) y n , 其中n ≠0,1. dx
作代换 z =y 1-n ,
将方程化为以z 为未知函数的线性微分方程
dz
=(1-n ) p (x ) z +(1-n ) q (x ) . dx 然后再按线性微分方程作代换求解.
dz
(6) 黎卡提方程+p (x ) y =q (x ) y 2+f (x ) .
dx 若已知它的一个解为
y =y 1(x ) .
则作代换
y =u +y 1,
代入原方程化为以u 为未知函数的伯努力方程.
dy
对黎卡提方程+ay 2=bx m , 其中a , b 都是常数, 且a ≠0,
x -4k -4k
则当m =0, -2, , (k =1,2, ⋅⋅⋅) 时, 可经过适当的变量代换化为可分离变量
2k +12k -1方程.
(7) 其它形式的一阶方程
对其它形式的某些一阶微分方程, 可以根据方程自身的特点, 选取灵活的代换方法, 将其化为可分离变量方程.
例如
dy
对方程=f (ax +by +c ) , 令 z =ax +by +c ;
dx dy 1
对方程=2f (xy ) , 令 z =xy ;
dx x
y dy y
对方程=xf (2) , 令 z =2.
x dx x 2.5.2 变量代换在解某些类型高阶微分方程中的应用
在求解某些类型高阶微分方程时, 可以通过变量代换化为较低阶微分方程, 进而达到求解的目的.
(1) 形如F (y (n -1) , y (n ) ) =0的高阶方程 能从中解出
y (n ) =f (y (n -1) ) .
令 y (n -1) =z , 则有
z '=f (z ) .
分离变量积分, 可解出
c ) z =φ(x , 1,
则有
y (n -1) =φ(x , c 1) ,
再积分n -1次可求得方程通解. 如不能解出y n , 可通过代换引进参数 t , 将
y n , y (n -1) 都写成 t 的函数, 即将原方程写成参数方程
(n -1) ⎧=g (t ) ⎪y
, ⎨(n )
⎪⎩y =φ(t )
然后由关系式
dy (n -1) g '(t ) dt dx =(n ) =,
y φ(t )
求出方程的参数形式通解.
(2) 形如F (x , y (k ) , y (k +1) , ⋅⋅⋅y (n ) ) =0的高阶方程 作代换
y (k ) =p (x ) ,
方程化为新未知函数p (x ) 的n -k 阶方程
F (x , p , p ', ⋅⋅⋅, p (n -k ) ) =0.
如能求得该方程的通解
p (x ) =Q (x , c 1c 2c n -k ) ,
再积分k 次便可得到原方程的通解. (3) 形如F (x , y , y '⋅⋅⋅, y (n ) ) =0的高阶方程
作代换y '=p (y ) , 视y 为自变量, 则可将方程化为关于新未知函数p (x ) 的
n -k 阶方程, 从而可能求出原方程的解, 特别是二阶方程F (y , y ', y '') =0, 通过上述
代换可化为一阶方程, 再利用某些一阶方程求解的方法来求解. 2.5.3 变量代换在解某些变系数齐次方程中的应用
我们知道线性方程有完整的解的构造理论, 对于常系数线性程有有效的求解方法. 而对于变系数线性方程没有普遍的求解方法. 一般可以根据线性齐次方程
x (a ) +a 1(t ) x n -1+⋅⋅⋅+a n (t ) x =0, 在自变量变换t =ϕ(z ) 和未知函数的线性齐次变换
x =p (t ) y 下, 方程的线性和齐次性保持不变的特性, 对某些系数齐次方程作适当的
变量代换, 化为常系数线性齐次方程, 从而通过常系数线性齐次方程求解. (1) 对尤拉方程x n y (n ) +a 1x (n -1) +⋅⋅⋅+a n -1+a n y =0, 其中a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n 为常数.
我们通过自变量代换x =e t 或t =ln x (这里x >0,当x
程化为常系数线性齐次方程
y (n ) +b 1y (n -1) +⋅⋅⋅+b n -1y '+b n y =0,
其中b 1, b 2, ⋅⋅⋅, b n 都是已知常数, 求出该方程的通解, 再代回原变量就可得到尤拉方程的通解.
(2) 对二阶变系数线性齐次方程y ''+p 1(x ) y '+p 2(x ) y =0. 当该方程的不变式
I (x ) =p 2(x ) -
121
p 1(x ) -p 1'(x ) 42
为常数时, 我们可以经过未知函数的线性齐次变换
y =e ⎰
-
1
p 1(x ) dx 2
,
化为关于新未知函数的不含一阶导数项的常系数二阶线性齐次方程, 从而达到求解的目的.
通过对以上几类常微分方程的分析, 不难看出, 分离变量和变量代换的结合使用是求解微分方程的重要方法之一, 而恰当的变量代换又可以使方程化简. 掌握上述微分方程的类型, 就能够适当的选取变量代换来求其通解.
下面我们来列举一些用变量方程求解常微分方程的例子. 例1[9] 解方程(2y +x +1) dx -(4y +2x +3) dy =0. 解 将方程整理后可得
dy (2y +x ) +1
. =
dx 2(2y +x ) +3
故令u =2y +x , 代入后可得
du 4u +5
. =
dx 2u +3
分离变量后, 两边积分可得
ln 4u +5+4u =8x +C .
再代回原变量, 得原方程通解为
ln 8y +4x +5=4x -8y +C ．
例2 解方程
dy 2x +3y =. dx 3x +2y
解 令u =代入方程得
y
可得y =ux , x
du 2(1-u 2) x =, dx 2u +3
分离变量, 再积分, 化简整理可得
(u -1) x 4=c (u +1) ,
再代回原变量, 得原方程的通解
(y -x ) 5=c (y +x ) .
例3 解方程
dy 2x +3y -7. =
dx 3x +2y -8
解 作平移变换
⎧x =X +k
, ⎨
y =Y +τ⎩
从而有 dx =dX , dy =dY , 原方程化为
dy 2X +3Y +(2k +3τ-7)
. =
dx 3X +2Y +(3k +2τ-8)
为了消去方程右边分子、分母的常数项, 令
⎧2k +3τ-7=0
, ⎨
3k +2τ-8=0⎩
从而求得k =2, τ=1.
⎧x =X +2
故令 ⎨,
y =Y +1⎩
原方程化为
dY 2X +3Y
. =
dX 3X +2Y
由此可知通解为
(Y -X ) 5=C (Y +X ) .
带回原变量得原方程的通解
(y -x +1)5=C (y +x -3) .
例4 解方程
dy 2x +3y +4
. =
dx 4x +6y +5
解 令u =2x +3y , 则方程可变形为
du u +4
, =2+3
dx 2u +5
整理后可得分离变量方程
du 7u +22
. =
dx 2u +5
分量变量, 再积分, 整理后得
9ln(u +
227
) =14(u -x +C ) , 72
再代回u =x +3y , 可得原方程的通解
9ln(2x +3y +
223
) =14(3y -x +C ) . 72
通过对以上几类常微分方程的分析, 我们不难看出, 将分离变量和变量代换的结合使用, 是求解微分方程的重要方法之一, 而恰当的变量代换又可以使方程化简. 掌握上述微分方程的类型, 我们就能够适当地选取变量代换来求其通解．
3 变量代换中常见的问题
变量代换法是解高等数学题时常用的一种解题方法, 在数学中扮演着非常重要的角色, 它是通过变换未知量来解题的一种方法, 在一般情况下就是要通过变量代换使形式复杂的问题转化为形式简单的问题, 生疏的问题转化为熟悉的问题正确恰当地运用变量代换会使问题简化, 易解, 起到事半功倍的作用. 但是, 如果所用的变量代换不恰当甚至不正确, 就可能导致问题变得更复杂、难解, 甚至得到错误的结果．还有些题目从形式上看似可以用变量代换法, 但在实际操作的时候可能会出现一些问题, 从而使转化以后的问题与原问题相背离, 导致最终得到错误的答案．所以, 在用变量代换法解题时一定要谨慎．
本节将分别从极限运算、导数运算、积分运算等几个方面举例说明用变量代换解题时出现错误的地方． 3.1 极限运算方面的问题
例1[11] 求极限lim(1-x )sin
x →1
1
. 1-x
解 令
1
=t , 则 1-x
1
sin t
原式=lim =lim =1.
x →1x →11t
1-x
sin
上述解法的错误在于:作变量代换后, 新的变量的趋势应为t →∞, 与第一个重要极限要求的自变量趋于0不符, 所以不能直接利用第一个重要极限来作．
1
该题的正确做法为:由于1-x 是当x →1时的无穷小量, sin 是有界函数,
1-x 利用：无穷小量与有界函数的乘积仍是无穷小量的结论即可得该题的答案为0．
通过上例我们可以看出:对于形如lim
sin f (x )
的极限, 能否用变量代换
x →x 0f (x )
u =f (x ) 把原式转化成第一个重要极限的形式来做, 要看当x →x 0时, 是否有
u =f (x ) →0, 若是, 才可按上步骤来做．
1
例2 求极限lim sin([x ]+) π.
x →+∞x 1
解 令t =[x ]+, 则当x →+∞时, t →+∞, 故
x
1
lim sin([x ]+) π=lim sin t π.
t →+∞x →+∞x
因为lim sin t π不存在, 所以原式的极限也不存在．
t →+∞
上述解法的错误在于:在求复合函数的极限lim f [ϕ(x )]时, 若lim ϕ(x ) =u 0, 且
x →x 0
x →x 0
当x ≠x 0时, ϕ(x ) ≠u 0, 作变量代换u =ϕ(x ) , 则当lim f (u ) 不存在且不是无穷大量时
u →u 0
x →x 0
lim f [ϕ(x )]可能存在．
该题的正确做法为:当n ≤x
1ππ
sin([x ]+) π=sin(n π+) =(-1) n sin →0. (x →+∞)
x x x
3.2 导数运算方面的问题 例1 设f '(x 0) 存在, 求lim
h →0
f (x 0+ah ) -f (x 0-bh )
, 其中a , b 为不等于零的常
h
数．
解 令x 1=x 0-bh , 则
原式=lim
h →0
f (x 1+(a +b ) h ) -f (x 1)
(a +b )
(a +b ) h
=(a +b ) f '(x 1) .
上述解法的错误在于:在导数的定义f '(x 0) =lim
h →0
f (x 0+h ) -f (x 0)
中, x 0是定
h
点．而在上面的解法中, 作代换x 1=x 0-bh 以后, x 1是随变量h 的变化而变化的, 不再是定点, 与导数的定义不符．
该题的正确做法为
原式=lim[
h →0
f (x 0+ah ) -f (x 0) f (x 0-bh ) -f (x 0)
a +b ]
ah -bh
=af '(x 0) +bf '(x 0) .
例2 求函数
y =. 解 令
u =x 则原函数可以看作是由
y =u =x +v =x v =x
复合而成的, 由复合函数求导的链式法则得
y '=
x '
=++.
上述解法的错误在于:
把复合关系搞错了．上面的做法实际上求的是由
y =u =x v =x +复合而成的函数的导数．
该题的正确做法为
y '=
+x ']
=++.
3.3 积分运算方面的问题
例1
求⎰
.
4
解
=t , 则x =t 2, 故
原式=⎰
2tdt
01+t 41=2⎰(1-) dt
01+t
4
=2(t -ln(1+t )
4
=8-3ln5
上述解法的错误在于:作过变量代换以后, 积分的上下限没有作相应的改变．该题的正确做法为:
=t , 则x =t 2 , 当x 从0变到4, 相应的t 从0变到2, 故
原式=⎰
2tdt
01+t 21=2⎰(1-) dt
01+t
2
=2(t -ln(1+t )
2
=4-2ln3.
例2 求⎰
π0
dx
.
4cos 2x +sin 2x
解 先求不定积分, 令t =tan t , 故
dx sec 2xdx
⎰4cos 2x +sin 2x =⎰4+tan 2x
d tan x
2
4+tan x d t
=⎰2
4+t 11t
=⎰
21+(t ) 22
2
1t
=arctan +C
22
=
=
1tan x arctan +C . 22
所以, 由牛顿—莱布尼茨公式可得
⎰
π0
dx
4cos 2x +sin 2x 1tan x πarctan
022
=
=0.
上述解法的错误在于:由于所作的变量代换t =tan x 在[0,π]上不连续, 所以函
1tan x 1
数F (x ) =arctan 不是函数在[0,π]上的原函数．故不能利用
224cos 2x +sin 2x
牛顿—莱布尼茨公式.
该题的正确做法为:首先, 令u =2x , 则
πdx 12πdu
=⎰04cos 2x +sin 2x 2⎰04cos 2+sin 2
22
πdu
=⎰
0224cos +sin
22
π
=
⎰
2
πdu du
+⎰π
u u 2u 2u 2224cos 4cos +sin +sin
2222
对第二个积分作代换 v =π-u , 则
π
上式=⎰
2
π
du du
+⎰2
0u u u u
4cos 2+sin 24sin 2+cos 2
2222
u
再作代换 t =tan , 则u =2arctan t , 故
2
12dt 12dt
上式=⎰ +⎰04+t 204t 2+1
=(arctan
t
+arctan 2t )
02
=
π
. 2
即此题的解为
⎰
π0
dx π
. =22
4cos x +sin x 2
4 结束语
本文从多个角度介绍了变量代换法在数学学习中的广泛应用, 充分显示了变量代换法是众多数学方法中易于掌握而且行之有效的方法．它不仅是一种重要的解题技巧, 也是一种重要的数学思维方法．正确恰当地运用变量代换会使问题简化、易解, 起到事半功倍的作用．
当然, 尽管变量代换法是一个应用很广的数学方法, 但并不是所有的问题都可以用该方法来解决, 在做题的时候一定要谨慎．总之, 我们应当不断总结经验, 提高根据不同问题正确恰当地使用变量代换法解决问题的能力, 不能盲目地、草率地
使用该方法, 避免出现错误．
本文仅就变量代换在数学领域的应用作了探讨. 在今后的研究中, 我们还可以进一步探讨变量代换在物理、化学和经济等方面的应用, 使变量代换法能够更好地为我们的学习和生活服务.
1 变量代换的类型
变量代换法是指用另一些新的变量来代换某些变量的解析表达式, 从而使原有的问题转化为较简单的, 易解决的问题的方法, 这种方法也称为换元法. 在学习数学的过程中, 变量代换法不仅是一种重要的解题技巧, 也是一种重要的数学思维方法. 恰当地运用变量代换的观点方法, 常常能起到化难为易、化繁为简的作用．
变量代换有多种类型, 它在解决数学问题中发挥着不可或缺的作用. 我们只有掌握了变量代换的不同类型, 才能在解决问题时更加得心应手. 本节先给出积分运算中几种常见的变量代换, 然后给出公式变形和函数解析式中的变量代换. 1.1 算式代换
算式代换是指积分表达式中含有(ax +b ) 的代换. 例1 求定积分⎰
1
.
-2(11+5x ) 3
1
解 令11+5x =t , 则x =
t -11
. 5
当x =1时, t =16; 当x =-2时, t =1. 所以有
161-3t -11=t ⎰-2(11+5x ) 3⎰1d 5 1
=-
1-216t
110
51512
=.
1.2 根式代换
根式变换是指积分表达式中含有无理根式的代换. 例2 求定积分⎰
0-3
x +1
dx . x +4
解 令x +4=t , 则当x =-3时, t =1; 当x =0时, t =2. 则
⎰
0-3
2
2t -4+1x +1
d (t 2-4) dx =⎰1t x +4
=2⎰(t 2-3) dt
1
2
4
=-.
3
1.3 倒代换
倒代换是指积分表达式中分母的两个自变量的幂之差大于1的代换. 例3 求不定积分⎰
1
解 令=x , 则
t
x 61
⎰t (t 7+2) dt =-⎰1+2x 7 1
dt .
t (t 7+2)
1
ln +2x 7+c 1411
=-ln 2+t 7+ln t +c .
142
=-
1.4 三角代换
三角代换是指积分表达式中含有a 2-x 2, x 2-a 2等形式的代换. 例4 求⎰
a 0
a 2-x 2dx (a >0) .
解 令x =a sin t , 则当x =0时, t =0; 当x =a 时, t =
π
2
. 所以
.
⎰
1.5 指数代换
π
=a
2
⎰
2
cos tdt =
2
πa 2
4
指数代换是指积分表达式中含有e x , a x 的代换.
e x
dx . 例5 求不定积分⎰2x
1+e
解 令e x =t , 则有
e x 1x
dx =⎰1+e 2x ⎰1+t 2dt =arctan t +c =arctan e +c .
1.6 公式变形中的变量代换
在解题时, 我们常对一些形式的式子感到很难理解, 但只要仔细分析, 我们会发现它可能就是一些公式的变形形式. 因此, 我们在认识公式时, 可适当利用变量代换法来认识其变形形式．
例如 sin 2α=2sin αcos α
θ
设2α=θ, 则α=, 于是有
2
sin α=2sin cos ．
22
θθ
同样, 利用变量代换方法也可来理解其他的三角函数的公式.
sin x
又例如 lim =1.
x →0x 设x =at (a ∈R ) , 当x →0时, t →0, 于是有
lim
sin at sin at
=1, 即 lim =a .
x →0x →0at t
1
at
如果设sin x =t , 则x =arcsin t . 同理lim(1+x ) =e , 则lim(1+at ) =e ,
x →0
t →0
1x
即lim(1+at ) =e a .
t →0
1t
通过对公式进行变量代换, 我们不仅可以加深对公式的理解, 还可以看到一些我们解题时有用的式子．
例如 sin 2F (x ) =2sin F (x )cos F (x ) . 1.7 函数解析式中的变量代换 例6 已知f (x n ) =ln x , 求f (e ) .
解 由于题中函数表达式不是我们习惯的形式, 可先把函数表达式化为我们习惯的形式, 根据题意, 不妨设x =e , 则x =e . 从而有
f (x ) =f (e ) =ln e =
n
1n
n
1n
1. n
例7 已知f (x +y , x -y ) =x 2-y 2, 求f (x , y ) 表达式.
⎧u =x +y
解 令 ⎨,
v =x -y ⎩
则有
u +v ⎧x =⎪⎪2
. ⎨
⎪y =u -v ⎪⎩2
因此有
f (u , v ) =(
u +v 2u -v 2) -() =uv , 22
得f (x , y ) 的表达式
f (x , y ) =xy .
2 变量代换在数学中的应用
2.1变量代换在条件极值中的应用
条件极值是高等数学中的一项重要内容, 而变量代换法是求极值和最值的方法之一, 他可以是问题简化. 下面我们来对变量代换在极值和最值方面的应用加以探讨.
设定 y =f (u ) 为实函数, u =(u 1, u 2, ⋅⋅⋅, u m ) ∈D ⊆E m , S ⊆E m 且S ≠∅,
D ={(u 1, u 2, ⋅⋅⋅, u m ) u i =ϕi (x ), i =1, 2, ⋅⋅⋅, m ; x ∈S }. ［文献3］
引论1 对于设定, 若函数组u i =ϕi (x ) (i =1, 2, ⋅⋅⋅, m )均在S 上连续, 则由函数组
u i =ϕi (x ) (i =1, 2, ⋅⋅⋅, m )确定的S →D 的映射F 在S 上也连续．
引论2 设X , Y 是度量空间, 映射f :X →Y , 那么f 在X 上连续的充要条件是像空间Y 中的任一开集U 的原像f -1(U ) 是X 中的开集．
引论3 设X 是度量空间, A ⊆B ⊆X ,B 为开集, 则A 为X 的开集的充要条件是A 是相对于B 的开集．
结论1 设S,D 均为开集, 函数组u i =ϕi (x ) (i =1, 2, ⋅⋅⋅, m )在S 上均连续,
u 0=(ϕ1(x 0), ϕ2(x 0), ⋅⋅⋅, ϕm (x 0)) ,
若u 0是f (u ) 的极大(小) 值点, 则x 0为f (ϕ1(x ), ϕ2(x ), ⋅⋅⋅, ϕm (x )) 的极大(小) 值点．
证 设由函数组ϕi (x ) 确定的S →D 的映射为 F, 因为ϕi (x ) 均在S 上连续, 所以F 也在S 上连续(引论1) ．因为u 0为D 中极大值点, 所以总存在u 0点的某一邻域
N (u 0) ⊆D , 使∀u ∈N (u 0) 时, f (u ) ≤f (u 0) ．因为D 为开集, 所以N (u 0) 是相对于D
的开集(引论3), 又因为F 连续, 所以F -1(N (u 0)) 是相对于S 的开集(引论2), 而S 为
-1n
) ) x ∈F (N (u 0)) , 则E 开集, 所以F -1(N (u 也为的开集(引论3) ．又因为00
F -1(N (u 0)) 为点x 0的一个邻域．
对于
∀x ∈F -1(N (u 0)) ,
则有
(ϕ1(x ), ϕ2(x ), ⋅⋅⋅≤ϕm (x )) ∈N (u 0) ,
所以有
f (ϕ1(x ), ϕ2(x ), ⋅⋅⋅, ϕm (x )) ≤f (ϕ1(x 0), ϕ2(x 0), ⋅⋅⋅, ϕm (x 0)) .
同理可证极小值的情况.
结论2 在结论1中, 若由函数组u i =ϕi (x ) (i -1, 2, ⋅⋅⋅, m )确定的S →D 的映射F 为一一对应, 且F 的逆映射F -1连续(即 F 是S →D 的同胚映射), 则u 0是f (u ) 的极大(小) 值点的充要条件是x 0为f (ϕ1(x ), ϕ2(x ), ⋅⋅⋅, ϕm (x )) 的极大(小) 值点.
证 必要性可由结论1得证, 充分性仅对极大值点的情形予以证明.
设x 0是f (ϕ1(x ), ϕ2(x ), ⋅⋅⋅, ϕm (x )) 的极大值点, 则存在x 0的一个邻域N (x 0) ⊆S , 使
∀x ∈N (x 0) , f (ϕ1(x ), ϕ2(x ), ⋅⋅⋅, ϕm (x )) ≤f (ϕ1(x 0), ϕ2(x 0), ⋅⋅⋅, ϕm (x 0)) .
由F 是S →D 的同胚映射及引论3可知, F (N (x 0)) 的u 0一个邻域．设
∀u ∈F (N (x 0)) , 存在x ∈S , 使得u =(ϕ1(x ), ϕ2(x ), ⋅⋅⋅, ϕm (x )) , 对给定的u , x 是唯一存
在的, 则当x ∈(N 0) 时,
f (ϕ1(x ), ϕ2(x ), ⋅⋅⋅, ϕm (x )) ≤f (ϕ1(x 0) ϕ, 2x (0⋅) ⋅, ⋅ϕ(, ) ) m , x 0
因此有
f (u ) ≤f (u 0) .
在结论2中, 把“极大(小) 值点”都改为“严格极大(小) 值点”, 结论仍成立．
结论3 设u 0=(ϕ1(x 0), ϕ2(x 0), ⋅⋅⋅, ϕm (x 0)) , 则u 0是f (u ) 的最大(小) 值点的充要条件
是x 0是f (ϕ1(x ), ϕ2(x ), ⋅⋅⋅, ϕm (x )) 的最大(小) 值点.(证明略)
结论4 设u 0=(ϕ1(x 0), ϕ2(x 0), ⋅⋅⋅, ϕm (x 0)) , 则u 0为f (u ) 在约束条件
L j (u ) R j (j =1, 2, ⋅⋅⋅k ; u ∈D )
下的最大(小) 值点的充要条件是x 0为f (ϕ1(x ), ϕ2(x ), ⋅⋅⋅, ϕm (x )) 在约束条件
L j (ϕ1(x ), ϕ2(x ), ⋅⋅⋅, ϕm (x )) R j (j =1,2, ⋅⋅⋅k ; x ∈s )
下的最大(小) 值点(R j ∈R , j =1, 2, ⋅⋅⋅k ). (证明略)
2y x 2
+2在 D 上的极值与最值, D ={(x , y ) x >0, y >0} 例1 讨论函数z =
x y
约束条件为x 2+y 2
解 设
⎧x =r cos θ⎨
⎩y =r sin θ
(2-1) (2-2)
⎧π⎫S =⎨(r , θ) 00⎬．
2⎩⎭
由(2-1),(2-2) 确定的映射F ：S →D 是同胚映射, 所以原问题可化为函数
1
在S 上满足约束条件r
tan θ1π
在区间z =2tan θ+(0,) 内的无条件极值与最值问题. 2
tan θ2设s 1=(0,) , 令 2
t =tan θ, t ∈D 1=(0,+∞)
π
.
(2-3)
显然由(2-3) 确定的映射F 1:S 1→D 1是同胚映射．这时z =2t +
1
在(0,+∞) 内t 2
有唯一驻点t =1, 且t =1是极小值点, 从而也是最小值点．又因为驻点唯一, 所以函
ππ
数没有极大值与最大值．当t = 1时, 得θ=；再由θ=及0
44
x =
y =a (0
. 2
(2-4)
由以上结论可知(2-4) 为函数的极小值点与最小值点, 函数无极大值与最大值．
例2 设(x , y ) 为圆x +y =3上的任意一点,
求函数f (x ) =2
2
值.
这是一个在约束条件x 2+y 2=3下求f (x ) 的极值问题, 数学分析中传统求法是拉格朗日乘数法本节将利用变量代换方法来解决.
解 由(x , y ) 是x 2+y 2=3上的点,
得y = 将f (x
) y 替代得到
f (x ) =
可以看做圆x 2+y 2=
3上任一点与(--3) 连线的斜率, 本题的条
件极值就转化为这种连线斜率的最大值问题. 显然这连线斜率应为从
点
(--3) 到圆x 2+y 2=3所做切线的斜率.
不难看出, 该切线的方程为
:+y =3, 斜率
K=, 因此f (x
) 的极大值为
.
例3 设x 2+xy +y 2=3, 求f (x , y ) =x 2+y 2的最值.
1
解 设x =r cos θ, y =r sin θ, 则r 2+r 2sin 2θ=3,
2
所以
r 2=
31
1+sin 2θ2
.
因此当θ=
π
4
时, r 2取最小值
31+12
=2; 当θ=
3π3时, r 2的最大值=6.
141-2
即满足x 2+xy +y 2=3的f (x , y ) =x 2+y 2的最大值、最小值分别为6和2. 很显然, 例3可以改写为
例3' 设x 2+xy +y 2=3, 求证: 2≤x 2+y 2≤6.
此时问题就变成不等式的证明问题, 因此变量代换也可以作为不等式证明的一个非常有效的方法.
2.2 变量代换在不等式中的应用
变量代换法是一种非常有效的解题方法, 尤其是处理一些复杂的不等式问题, 效果明显．合理代换往往能简化题目的信息, 凸显隐含条件, 沟通量与量之间的关
系, 对发现解题思想, 优化解题过程有着重要的作用．
a +3c 4b 8c
例1[6] 设a 、b 、c 均为正数, 求w =的最小+-
a +2b +c a +b +2c a +b +3c 值．
解 本题涉及的三个变量a 、b 、c 不具有对称性, 且三个分式的分母都是多项式, 如果通分, 则运算量较大．因此, 我们可考虑把各分母用其他变量代换, 看看结果如何． 令
x =a +2b +c , y =a +b +2c , z =a +b +3c (x , y , z >0) ,
则有
a +3c =2y -x ,4b =4x -8y +4z ,8c =8z -8y ,
所以有
w =
2y -x 4x -8y +4z 8z -8y
+- x y z
2y 4x 4z y 8
+++-17 x y y z +-1 7 =
≥
=17. 当且仅当
2y 4x 4z 8y ==且,
即y =时, 上式取等号．
x y y z
所以当b =(1a , c =(4+a 时
, w min =17.
例2 设a 、b 、c 是三个互不相等的正数．证明: 解 设 则有
xy +yz +zx =-1.
a +b b +c c +a
++>1. a -b b -c c -a
a +b b +c c +a
=x , =y , =z , a -b b -c c -a
因为
(x +y +z ) 2≥3(xy +yz +zx ) =3,
所以
x +y +z ≥>1,
即
a +b b +c c +a
++>1. a -b b -c c -a
说明: 本题通过局部代换, 发现了隐含条件xy +yz +zx =-1, 从而应用重要不等式(x +y +z ) 2≥3(xy +yz +zx ) 使问题得到解决．
例3 设x ≥y ≥1, 求证:
x y 13++≥． y +1x +1x +y 2
解 令 x +y =a , x y =(b ≥a 2, 则有
x y 13
++≥ y +1x +1x +y 2a 2+a -2b 13⇔+≥
a +b +1a 2
) ≥b , 1
⇔2a -a -a +2≥b (7a -2) .
32
(2-5)
因为
7a -2>0, a 2=(x +y ) 2≥4xy =4b ,
所以
4(2a 3-a 2-a +2) ≥a 2(7a -2)
⇔a -2a -4a +8≥0 ⇔(a -2) (a +2) ≥0.
2
32
上面最后一个不等式显然成立, 从而不等式(2-5) 成立, 故原不等式成立． 2.3 变量代换在极限运算中的应用
(1) 利用变量代换得到第一个重要极限lim 例如 令x =f (t ) , 且lim f (t ) =0, 则有lim
t →t 0t →∞
sin x
=1的其它变形
x →0x
sin f (t )
=1．
t →t 0f (t ) t →∞
1
(2) 利用变量代换得到第二重要极限lim(1+) x =e 的变形
x →∞x
lim(1+f (x ))
1
f (x )
=e , 其中lim f (x ) =0．
x →x 0x →∞
(3) 无理根式形式的极限问题 例如
求x →4
.
3=t (也可利用有理化法求得极限) ． (4) 幂指函数求极限 例如 lim x =lim e ++
x →0
x →0x
x ln x
=e
x →0+
lim x ln x
=e 0=1．
(5) 二元及多元函数求极限可作变量代换, 转化为一元函数求出极限 例如 求lim(x 2+y 2)sin
x →0
y →0
1
. x 2+y 2
可令u =x 2+y 2, 则原式= lim u sin
u →0
1
=0 (利用无穷小量的运算法则). u
(6) 其他类型
有些函数求极限不能直接运用求极限的运算法则, 可依题意作适当变换, 转化为熟悉的形式求出极限．
例4 求lim
x →0
e +e e -e
1x
1x
-
1x 1x
-
.
解 作变量代换, 令e =t , 则有
lim
x →0
1x
e +e e -e
1x
1x
-
1x 1x
-
t 2+1
=1. =lim 2
t →+∞t -1
2.4 变量代换在导数运算中的应用 (1) 一元或多元复合函数求导
例1 设z =f (x 2+y 2, x sin y ) , 且具有连续偏导, 求
∂z . ∂x
解 令 u =x 2+y 2, v =x sin y , 则有
z =f (u , v ) .
由复合函数的链式求导法则得
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v =+=f u '2x +f v 'sin y =2xf u '+sin yf v '. ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x (2) 隐函数求导
例2 设由方程e z -xyz =1确定了一个z =f (x , y ) 函数, 求解 将z 看作关于x , y 的函数. 方程两边同时对x 求导得
e z
∂z ∂z
-(yz +xy ) =0, ∂x ∂x
∂z
. ∂x
整理得
∂z yz
. =z
∂x e -xy
(3) 变限函数求导 例3 设φ(x )=⎰
u (x ) a
f (t ) dt , 求
d φ. dx
解 令 u =u (x ) , 则函数变量之间的关系为
φ→u →x ,
由一元函数的求导法则可得
d φd φdu ==f [u (x )]u '(x ) ． dx du dx
(4) 利用函数导数求单调性、极值．
例4 已知函数f (x ) =e x
2
-2x
, 求函数单调区间．
解 函数看作由f (x ) =e u , u =x 2-2x 两个函数复合而成的．
而函数f (x ) =e u 是一个单调上升函数, 将问题转化为求函数u =x 2-2x 单调区间．
2.5 变量代换在解微分方程中的应用
在常微分方程中, 许多类型的常微分方程求解是依靠变量代换这一重要方法来完成的, 下面我们就针对变量代换在几类微分方程中的应用进行探究. 2.5.1 变量代换在解一阶显式微分方程中的应用
一阶显不微分方程如果能化成可分离变量方程求解, 问题就解决了, 很多类型的一阶微分方程通过适当的变量代换化为可分离变量方程.
dy y
(1) 齐次方程=ϕ() .
dx x y
通过变量代换u =化为以u 为未知函数的可分离变量方程.
x (2) 准齐次方程
dy ax +by +c =f () . dx a 1x +b 1y +c 1
其中a , b , c , a 1, b 1, c 1为常数. (i) ab 1≠a 1b
ax +by +c =0, a 1x +b 1y +c 1=0构成的方程组的解为x =α, y =β, 则同时作函
数y 与自变量x 的代换y =η+β, x =ξ+α, 将其化为以η为函数, 以ξ为自变量的齐次方程, 然后再将齐次方程化为可分离变量方程, 达到求解齐次方程的目的. (ii) ab 1=a 1b 不妨设
a b
==λ, a 1b 1
此时方程的形状为
λ(a 1x +b 1y ) +c dy
=f () . dx a 1x +b 1y +c 1
作变换
u =a 1x +b 1y ,
则可得分离变量方程
dy λu +c
=a 1+b 1f () . dx u +c 1
从而可以求其通解.
dy y
(3) 形如 =f (a ) x a -1 的方程(其中a 是已知实数).
dx x 作变量代换
u =
y
, x a
将方程化为分离变量方程, 将u =
y
代入方程, 整理后可得 x a du x a =(f (u ) -au )x a -1. dx
这已是分离变量方程.
dy
(4) 一阶线性方程+p (x ) y =q (x ) , 其中p (x ), q (x ) 为已知函数.
dx 该方程所对应的齐次方程的通解为
-p (x ) dx
y =ce ⎰.
作代换
-p (x ) dx y =c (x ) e ⎰,
以此作为原方程的解, 代人原方程中得
-p (x ) dx dc (x )
. =q (x ) e ⎰
dx 从而解出c (x ) , 进而完成原方程求解. (5) 伯努力方程
dc (x )
=q (x ) y +q (x ) y n , 其中n ≠0,1. dx
作代换 z =y 1-n ,
将方程化为以z 为未知函数的线性微分方程
dz
=(1-n ) p (x ) z +(1-n ) q (x ) . dx 然后再按线性微分方程作代换求解.
dz
(6) 黎卡提方程+p (x ) y =q (x ) y 2+f (x ) .
dx 若已知它的一个解为
y =y 1(x ) .
则作代换
y =u +y 1,
代入原方程化为以u 为未知函数的伯努力方程.
dy
对黎卡提方程+ay 2=bx m , 其中a , b 都是常数, 且a ≠0,
x -4k -4k
则当m =0, -2, , (k =1,2, ⋅⋅⋅) 时, 可经过适当的变量代换化为可分离变量
2k +12k -1方程.
(7) 其它形式的一阶方程
对其它形式的某些一阶微分方程, 可以根据方程自身的特点, 选取灵活的代换方法, 将其化为可分离变量方程.
例如
dy
对方程=f (ax +by +c ) , 令 z =ax +by +c ;
dx dy 1
对方程=2f (xy ) , 令 z =xy ;
dx x
y dy y
对方程=xf (2) , 令 z =2.
x dx x 2.5.2 变量代换在解某些类型高阶微分方程中的应用
在求解某些类型高阶微分方程时, 可以通过变量代换化为较低阶微分方程, 进而达到求解的目的.
(1) 形如F (y (n -1) , y (n ) ) =0的高阶方程 能从中解出
y (n ) =f (y (n -1) ) .
令 y (n -1) =z , 则有
z '=f (z ) .
分离变量积分, 可解出
c ) z =φ(x , 1,
则有
y (n -1) =φ(x , c 1) ,
再积分n -1次可求得方程通解. 如不能解出y n , 可通过代换引进参数 t , 将
y n , y (n -1) 都写成 t 的函数, 即将原方程写成参数方程
(n -1) ⎧=g (t ) ⎪y
, ⎨(n )
⎪⎩y =φ(t )
然后由关系式
dy (n -1) g '(t ) dt dx =(n ) =,
y φ(t )
求出方程的参数形式通解.
(2) 形如F (x , y (k ) , y (k +1) , ⋅⋅⋅y (n ) ) =0的高阶方程 作代换
y (k ) =p (x ) ,
方程化为新未知函数p (x ) 的n -k 阶方程
F (x , p , p ', ⋅⋅⋅, p (n -k ) ) =0.
如能求得该方程的通解
p (x ) =Q (x , c 1c 2c n -k ) ,
再积分k 次便可得到原方程的通解. (3) 形如F (x , y , y '⋅⋅⋅, y (n ) ) =0的高阶方程
作代换y '=p (y ) , 视y 为自变量, 则可将方程化为关于新未知函数p (x ) 的
n -k 阶方程, 从而可能求出原方程的解, 特别是二阶方程F (y , y ', y '') =0, 通过上述
代换可化为一阶方程, 再利用某些一阶方程求解的方法来求解. 2.5.3 变量代换在解某些变系数齐次方程中的应用
我们知道线性方程有完整的解的构造理论, 对于常系数线性程有有效的求解方法. 而对于变系数线性方程没有普遍的求解方法. 一般可以根据线性齐次方程
x (a ) +a 1(t ) x n -1+⋅⋅⋅+a n (t ) x =0, 在自变量变换t =ϕ(z ) 和未知函数的线性齐次变换
x =p (t ) y 下, 方程的线性和齐次性保持不变的特性, 对某些系数齐次方程作适当的
变量代换, 化为常系数线性齐次方程, 从而通过常系数线性齐次方程求解. (1) 对尤拉方程x n y (n ) +a 1x (n -1) +⋅⋅⋅+a n -1+a n y =0, 其中a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n 为常数.
我们通过自变量代换x =e t 或t =ln x (这里x >0,当x
程化为常系数线性齐次方程
y (n ) +b 1y (n -1) +⋅⋅⋅+b n -1y '+b n y =0,
其中b 1, b 2, ⋅⋅⋅, b n 都是已知常数, 求出该方程的通解, 再代回原变量就可得到尤拉方程的通解.
(2) 对二阶变系数线性齐次方程y ''+p 1(x ) y '+p 2(x ) y =0. 当该方程的不变式
I (x ) =p 2(x ) -
121
p 1(x ) -p 1'(x ) 42
为常数时, 我们可以经过未知函数的线性齐次变换
y =e ⎰
-
1
p 1(x ) dx 2
,
化为关于新未知函数的不含一阶导数项的常系数二阶线性齐次方程, 从而达到求解的目的.
通过对以上几类常微分方程的分析, 不难看出, 分离变量和变量代换的结合使用是求解微分方程的重要方法之一, 而恰当的变量代换又可以使方程化简. 掌握上述微分方程的类型, 就能够适当的选取变量代换来求其通解.
下面我们来列举一些用变量方程求解常微分方程的例子. 例1[9] 解方程(2y +x +1) dx -(4y +2x +3) dy =0. 解 将方程整理后可得
dy (2y +x ) +1
. =
dx 2(2y +x ) +3
故令u =2y +x , 代入后可得
du 4u +5
. =
dx 2u +3
分离变量后, 两边积分可得
ln 4u +5+4u =8x +C .
再代回原变量, 得原方程通解为
ln 8y +4x +5=4x -8y +C ．
例2 解方程
dy 2x +3y =. dx 3x +2y
解 令u =代入方程得
y
可得y =ux , x
du 2(1-u 2) x =, dx 2u +3
分离变量, 再积分, 化简整理可得
(u -1) x 4=c (u +1) ,
再代回原变量, 得原方程的通解
(y -x ) 5=c (y +x ) .
例3 解方程
dy 2x +3y -7. =
dx 3x +2y -8
解 作平移变换
⎧x =X +k
, ⎨
y =Y +τ⎩
从而有 dx =dX , dy =dY , 原方程化为
dy 2X +3Y +(2k +3τ-7)
. =
dx 3X +2Y +(3k +2τ-8)
为了消去方程右边分子、分母的常数项, 令
⎧2k +3τ-7=0
, ⎨
3k +2τ-8=0⎩
从而求得k =2, τ=1.
⎧x =X +2
故令 ⎨,
y =Y +1⎩
原方程化为
dY 2X +3Y
. =
dX 3X +2Y
由此可知通解为
(Y -X ) 5=C (Y +X ) .
带回原变量得原方程的通解
(y -x +1)5=C (y +x -3) .
例4 解方程
dy 2x +3y +4
. =
dx 4x +6y +5
解 令u =2x +3y , 则方程可变形为
du u +4
, =2+3
dx 2u +5
整理后可得分离变量方程
du 7u +22
. =
dx 2u +5
分量变量, 再积分, 整理后得
9ln(u +
227
) =14(u -x +C ) , 72
再代回u =x +3y , 可得原方程的通解
9ln(2x +3y +
223
) =14(3y -x +C ) . 72
通过对以上几类常微分方程的分析, 我们不难看出, 将分离变量和变量代换的结合使用, 是求解微分方程的重要方法之一, 而恰当的变量代换又可以使方程化简. 掌握上述微分方程的类型, 我们就能够适当地选取变量代换来求其通解．
3 变量代换中常见的问题
变量代换法是解高等数学题时常用的一种解题方法, 在数学中扮演着非常重要的角色, 它是通过变换未知量来解题的一种方法, 在一般情况下就是要通过变量代换使形式复杂的问题转化为形式简单的问题, 生疏的问题转化为熟悉的问题正确恰当地运用变量代换会使问题简化, 易解, 起到事半功倍的作用. 但是, 如果所用的变量代换不恰当甚至不正确, 就可能导致问题变得更复杂、难解, 甚至得到错误的结果．还有些题目从形式上看似可以用变量代换法, 但在实际操作的时候可能会出现一些问题, 从而使转化以后的问题与原问题相背离, 导致最终得到错误的答案．所以, 在用变量代换法解题时一定要谨慎．
本节将分别从极限运算、导数运算、积分运算等几个方面举例说明用变量代换解题时出现错误的地方． 3.1 极限运算方面的问题
例1[11] 求极限lim(1-x )sin
x →1
1
. 1-x
解 令
1
=t , 则 1-x
1
sin t
原式=lim =lim =1.
x →1x →11t
1-x
sin
上述解法的错误在于:作变量代换后, 新的变量的趋势应为t →∞, 与第一个重要极限要求的自变量趋于0不符, 所以不能直接利用第一个重要极限来作．
1
该题的正确做法为:由于1-x 是当x →1时的无穷小量, sin 是有界函数,
1-x 利用：无穷小量与有界函数的乘积仍是无穷小量的结论即可得该题的答案为0．
通过上例我们可以看出:对于形如lim
sin f (x )
的极限, 能否用变量代换
x →x 0f (x )
u =f (x ) 把原式转化成第一个重要极限的形式来做, 要看当x →x 0时, 是否有
u =f (x ) →0, 若是, 才可按上步骤来做．
1
例2 求极限lim sin([x ]+) π.
x →+∞x 1
解 令t =[x ]+, 则当x →+∞时, t →+∞, 故
x
1
lim sin([x ]+) π=lim sin t π.
t →+∞x →+∞x
因为lim sin t π不存在, 所以原式的极限也不存在．
t →+∞
上述解法的错误在于:在求复合函数的极限lim f [ϕ(x )]时, 若lim ϕ(x ) =u 0, 且
x →x 0
x →x 0
当x ≠x 0时, ϕ(x ) ≠u 0, 作变量代换u =ϕ(x ) , 则当lim f (u ) 不存在且不是无穷大量时
u →u 0
x →x 0
lim f [ϕ(x )]可能存在．
该题的正确做法为:当n ≤x
1ππ
sin([x ]+) π=sin(n π+) =(-1) n sin →0. (x →+∞)
x x x
3.2 导数运算方面的问题 例1 设f '(x 0) 存在, 求lim
h →0
f (x 0+ah ) -f (x 0-bh )
, 其中a , b 为不等于零的常
h
数．
解 令x 1=x 0-bh , 则
原式=lim
h →0
f (x 1+(a +b ) h ) -f (x 1)
(a +b )
(a +b ) h
=(a +b ) f '(x 1) .
上述解法的错误在于:在导数的定义f '(x 0) =lim
h →0
f (x 0+h ) -f (x 0)
中, x 0是定
h
点．而在上面的解法中, 作代换x 1=x 0-bh 以后, x 1是随变量h 的变化而变化的, 不再是定点, 与导数的定义不符．
该题的正确做法为
原式=lim[
h →0
f (x 0+ah ) -f (x 0) f (x 0-bh ) -f (x 0)
a +b ]
ah -bh
=af '(x 0) +bf '(x 0) .
例2 求函数
y =. 解 令
u =x 则原函数可以看作是由
y =u =x +v =x v =x
复合而成的, 由复合函数求导的链式法则得
y '=
x '
=++.
上述解法的错误在于:
把复合关系搞错了．上面的做法实际上求的是由
y =u =x v =x +复合而成的函数的导数．
该题的正确做法为
y '=
+x ']
=++.
3.3 积分运算方面的问题
例1
求⎰
.
4
解
=t , 则x =t 2, 故
原式=⎰
2tdt
01+t 41=2⎰(1-) dt
01+t
4
=2(t -ln(1+t )
4
=8-3ln5
上述解法的错误在于:作过变量代换以后, 积分的上下限没有作相应的改变．该题的正确做法为:
=t , 则x =t 2 , 当x 从0变到4, 相应的t 从0变到2, 故
原式=⎰
2tdt
01+t 21=2⎰(1-) dt
01+t
2
=2(t -ln(1+t )
2
=4-2ln3.
例2 求⎰
π0
dx
.
4cos 2x +sin 2x
解 先求不定积分, 令t =tan t , 故
dx sec 2xdx
⎰4cos 2x +sin 2x =⎰4+tan 2x
d tan x
2
4+tan x d t
=⎰2
4+t 11t
=⎰
21+(t ) 22
2
1t
=arctan +C
22
=
=
1tan x arctan +C . 22
所以, 由牛顿—莱布尼茨公式可得
⎰
π0
dx
4cos 2x +sin 2x 1tan x πarctan
022
=
=0.
上述解法的错误在于:由于所作的变量代换t =tan x 在[0,π]上不连续, 所以函
1tan x 1
数F (x ) =arctan 不是函数在[0,π]上的原函数．故不能利用
224cos 2x +sin 2x
牛顿—莱布尼茨公式.
该题的正确做法为:首先, 令u =2x , 则
πdx 12πdu
=⎰04cos 2x +sin 2x 2⎰04cos 2+sin 2
22
πdu
=⎰
0224cos +sin
22
π
=
⎰
2
πdu du
+⎰π
u u 2u 2u 2224cos 4cos +sin +sin
2222
对第二个积分作代换 v =π-u , 则
π
上式=⎰
2
π
du du
+⎰2
0u u u u
4cos 2+sin 24sin 2+cos 2
2222
u
再作代换 t =tan , 则u =2arctan t , 故
2
12dt 12dt
上式=⎰ +⎰04+t 204t 2+1
=(arctan
t
+arctan 2t )
02
=
π
. 2
即此题的解为
⎰
π0
dx π
. =22
4cos x +sin x 2
4 结束语
本文从多个角度介绍了变量代换法在数学学习中的广泛应用, 充分显示了变量代换法是众多数学方法中易于掌握而且行之有效的方法．它不仅是一种重要的解题技巧, 也是一种重要的数学思维方法．正确恰当地运用变量代换会使问题简化、易解, 起到事半功倍的作用．
当然, 尽管变量代换法是一个应用很广的数学方法, 但并不是所有的问题都可以用该方法来解决, 在做题的时候一定要谨慎．总之, 我们应当不断总结经验, 提高根据不同问题正确恰当地使用变量代换法解决问题的能力, 不能盲目地、草率地
使用该方法, 避免出现错误．
本文仅就变量代换在数学领域的应用作了探讨. 在今后的研究中, 我们还可以进一步探讨变量代换在物理、化学和经济等方面的应用, 使变量代换法能够更好地为我们的学习和生活服务.