向量法求异面直线的距离解法探求

向量法求异面直线的距离解法探求

湖南 黄爱民

空间异面直线的距离问题是立体几何的重点，难点，同时也是历届高考试题的热点问题。

如何很好地利用向量法求解这类问题又是一个值得探讨与研究的问题。下举例谈谈向量法求

解这类问题的基本方法与策略。

一、 定义法：

0例1、如图1，正方形ABCD与ABEF成60的二面角，且

正大光明方形的边长为，M，N分别为BD，EF的中点，求异

面直线BD与EF的距离。

解析：选取为AD,AF,AB,基向量。显然AD,AF的夹角为60，AB,AD的夹角为90，AB,AF的夹角为90，11111MNMDDFFNBDDFFE(ADAB)(AFAD)ABAF

AD22222

2111MNBD(AFAD)（ADAB）AFADADAFABADAB222

11a2cos600a2000,MNBD,即MNBD.又MNFE(AFAD)AB22

1AFABADAB0MNEF,即MNEF2000从而MN为异面直线BD与EF的公垂线。

22211133||2()2a2a2cos600a2a2||a,24442

异面直线BD与EF的距离为3a。 2

点评：本题利用向量数量积定义，很好地证明MN为异面直线的公垂线。然后利用向量

模与数量积的关系，巧妙进行了模与向量的转化，解法自然，回味无穷。

二、射影法：

分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为，与这两条异面直线都垂直的

法向量为，则两异面直线间的距离是在方向上的正射影向量的模设为d，从而由公式

d

例2、如图2，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，

PA底面ABCD,PA3AB3a，求异面直线AB与PC的距离。

解析：以A为坐标原点，AB为x轴建立如图所示的直角坐标系，则B

（a,0,0）,C(a,a,o),P(0,0,3a)，则AB(a,0,0),PC(a,a,3a)，

设AB,PC的公垂线的方向向量为n(x,y,z)由

x0nABax0，不妨令x=0,y=1,z=3则有y3znPCaxay3az0

n(0,1,3)，又AP(0,0,3a)，∴AB与PC间的距离为：d9a9a。 10点评：异面直线公垂线难于确定时，可用向量法求异面间的距离。这种方法的关键是利

用待定系数法确定公垂线的方向向量n。

三、公式法

设异面直线AE，BF所成的角为，设d为异面直线的公垂线，E，F为直线AE，BF上

任一点，若能求出

||的长，从而有：

d例３、如图，已知二面角的大小为60, A ，C分0

别为平面,内一点，过Ａ、Ｃ分别作棱的垂线，垂足为Ｂ，

Ｄ，若ＡＣ＝６，ＣＤ＝ＡＢ＝４，求异面直线ＡＢ与ＣＤ的

距离。

解析：由已知异面直线ＡＢ，ＣＤ所成的角为６００,BDAB,BDCDBD从而知ＢＤ为异面直线的公垂线。

|AC|2ACAC(ABBDDC)(ABBDDC)

ABBDDC2(ABBDABDC•BDCD）

ABBDDC2ABDC|AB|2|BD|2|DC|22|AB||DC|cos600

|BD|2|AC|2(|AB|2|DC|22|AB||DC|cos600)20,|BD|2Ｂ与ＣＤ的距离为25。

点评：利用异面直线两点的距离公式求异面直线的距离主要是理解公式中的具体涵义，

特别要注意“±”的确定及两异面直线所成的角与二面角的大小关系。

四、转化法

如图4，过其中一条异面直线b上的一点A作与另一条a平

行的直线a1，于是异面直线的距离就可转化为直线 a到平面

的距离，最后可转化为在直线 a上取一点到平面的距离。从

而可借用向量的射影法求解。

例４、如图5，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠

0222222即异面直线ＡABC=60，PA=AB=a，PB=PD=2a,点E在PD上，且PE:ED=2:1.

求异面直线PB与CE的距离。

解析：由PE:ED=2:1知，在BD上取点F使BF：BD=2：1，易知

PB//EF，从而PB//平面CEF，于是只需求直线PB到平面CEF的距离，

即可求点P到平面CEF的距离。以A为坐标原点，AD为y轴,建立

如图所示的直角坐标系，由已知, P（0,0,a）C(2111a,a,0), F(a,a,0),E(0,a,a)则332262

223113PE(0,a,a),CE(a,a,a),CF(a,0,0)，332633

11nCEaxayaz0x023设平面CEF的法向量为n(x,y,z)则，于是y2z0nCFax03

令

dx=0,y=－2,z=1，则n(0,2,1)∴PB|到平面CEF间的距离为：4a2a|252a，从而异面直线PB与CE的距离为5

55a

。

点评：本题较好地通过线面平行将异面直线的距离转化为线面距，进而利用平面内任斜

线方向向量到平面一法向量的投影成功求得点面距即为所求的异面直线的距离。转化巧妙，

关键是构造法向量。

五、最值法

在两异面直线a,b上分别任取两点A，B，建立AB的模的目标函数，函数的最小值即为所求。

例５、设正方体AC1的棱长为1，E，F，M分别为B1C1， C1 D1，

A1B1的中点，求异面直线EF与AM 的距离。

解析：设N为A1D1的中点，连MN， AN，BE，FD，BD，易证平面BDEF//平面ＡＭＮ，于是问题转化成Ａ点到平面ＢＥＦＤ的距离。如图6，以Ｃ为坐标原点，ＣＢ为x 轴建立直角坐标系。设Ｐ为平面ＢＥＦＤ内任一点。由Ｐ、Ｂ、Ｄ、Ｅ四点共面，则有：

11APaABbADcAEa(0,1,0)b(1,0,0)c(,1,1)(bc,ac,c)22 1bcac1924且abc1,|AP|2(bc)2(ac)2c22[]2c2(c)222899

422,|AP|..933

点评：本题在利用空间图形间的距离定义的基础上构建图形上任意两点所在方向向量模的目标函数，转求函数的最小值，匠心独运，值得欣赏。 六、待定系数法 将异面直线通过转化成面面距或线面距，最终转求点面距时，关键是求作垂足点的位置即平面的垂线。由空间向量的基本定理方向可采用待定系数法设法求得垂线段所在的方向向量使问题加以解决。 如例题5可作ＰＡ⊥平面ＥＦＤＢ于Ｐ，由Ｐ、Ｂ、Ｄ、Ｅ四点共面，则有：

11a

bca(0,1,0)b(1,0,0)c(,1,1)(bc,ac,c)22

5且abc1......①又由0bc......②0a3c......③ 2

2122由①②③得:c,(bc,ac,c)(2,2,1),||9293

点评：当异面直线的距离转化为点面距时，垂足点的位置不好确定时，可结合共面向量定理、向量垂直的充要条件等转化成方程组来求解，往往会起到意想不到的效果。

向量法求异面直线的距离解法探求

湖南 黄爱民

空间异面直线的距离问题是立体几何的重点，难点，同时也是历届高考试题的热点问题。

如何很好地利用向量法求解这类问题又是一个值得探讨与研究的问题。下举例谈谈向量法求

解这类问题的基本方法与策略。

一、 定义法：

0例1、如图1，正方形ABCD与ABEF成60的二面角，且

正大光明方形的边长为，M，N分别为BD，EF的中点，求异

面直线BD与EF的距离。

解析：选取为AD,AF,AB,基向量。显然AD,AF的夹角为60，AB,AD的夹角为90，AB,AF的夹角为90，11111MNMDDFFNBDDFFE(ADAB)(AFAD)ABAF

AD22222

2111MNBD(AFAD)（ADAB）AFADADAFABADAB222

11a2cos600a2000,MNBD,即MNBD.又MNFE(AFAD)AB22

1AFABADAB0MNEF,即MNEF2000从而MN为异面直线BD与EF的公垂线。

22211133||2()2a2a2cos600a2a2||a,24442

异面直线BD与EF的距离为3a。 2

点评：本题利用向量数量积定义，很好地证明MN为异面直线的公垂线。然后利用向量

模与数量积的关系，巧妙进行了模与向量的转化，解法自然，回味无穷。

二、射影法：

分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为，与这两条异面直线都垂直的

法向量为，则两异面直线间的距离是在方向上的正射影向量的模设为d，从而由公式

d

例2、如图2，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，

PA底面ABCD,PA3AB3a，求异面直线AB与PC的距离。

解析：以A为坐标原点，AB为x轴建立如图所示的直角坐标系，则B

（a,0,0）,C(a,a,o),P(0,0,3a)，则AB(a,0,0),PC(a,a,3a)，

设AB,PC的公垂线的方向向量为n(x,y,z)由

x0nABax0，不妨令x=0,y=1,z=3则有y3znPCaxay3az0

n(0,1,3)，又AP(0,0,3a)，∴AB与PC间的距离为：d9a9a。 10点评：异面直线公垂线难于确定时，可用向量法求异面间的距离。这种方法的关键是利

用待定系数法确定公垂线的方向向量n。

三、公式法

设异面直线AE，BF所成的角为，设d为异面直线的公垂线，E，F为直线AE，BF上

任一点，若能求出

||的长，从而有：

d例３、如图，已知二面角的大小为60, A ，C分0

别为平面,内一点，过Ａ、Ｃ分别作棱的垂线，垂足为Ｂ，

Ｄ，若ＡＣ＝６，ＣＤ＝ＡＢ＝４，求异面直线ＡＢ与ＣＤ的

距离。

解析：由已知异面直线ＡＢ，ＣＤ所成的角为６００,BDAB,BDCDBD从而知ＢＤ为异面直线的公垂线。

|AC|2ACAC(ABBDDC)(ABBDDC)

ABBDDC2(ABBDABDC•BDCD）

ABBDDC2ABDC|AB|2|BD|2|DC|22|AB||DC|cos600

|BD|2|AC|2(|AB|2|DC|22|AB||DC|cos600)20,|BD|2Ｂ与ＣＤ的距离为25。

点评：利用异面直线两点的距离公式求异面直线的距离主要是理解公式中的具体涵义，

特别要注意“±”的确定及两异面直线所成的角与二面角的大小关系。

四、转化法

如图4，过其中一条异面直线b上的一点A作与另一条a平

行的直线a1，于是异面直线的距离就可转化为直线 a到平面

的距离，最后可转化为在直线 a上取一点到平面的距离。从

而可借用向量的射影法求解。

例４、如图5，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠

0222222即异面直线ＡABC=60，PA=AB=a，PB=PD=2a,点E在PD上，且PE:ED=2:1.

求异面直线PB与CE的距离。

解析：由PE:ED=2:1知，在BD上取点F使BF：BD=2：1，易知

PB//EF，从而PB//平面CEF，于是只需求直线PB到平面CEF的距离，

即可求点P到平面CEF的距离。以A为坐标原点，AD为y轴,建立

如图所示的直角坐标系，由已知, P（0,0,a）C(2111a,a,0), F(a,a,0),E(0,a,a)则332262

223113PE(0,a,a),CE(a,a,a),CF(a,0,0)，332633

11nCEaxayaz0x023设平面CEF的法向量为n(x,y,z)则，于是y2z0nCFax03

令

dx=0,y=－2,z=1，则n(0,2,1)∴PB|到平面CEF间的距离为：4a2a|252a，从而异面直线PB与CE的距离为5

55a

。

点评：本题较好地通过线面平行将异面直线的距离转化为线面距，进而利用平面内任斜

线方向向量到平面一法向量的投影成功求得点面距即为所求的异面直线的距离。转化巧妙，

关键是构造法向量。

五、最值法

在两异面直线a,b上分别任取两点A，B，建立AB的模的目标函数，函数的最小值即为所求。

例５、设正方体AC1的棱长为1，E，F，M分别为B1C1， C1 D1，

A1B1的中点，求异面直线EF与AM 的距离。

解析：设N为A1D1的中点，连MN， AN，BE，FD，BD，易证平面BDEF//平面ＡＭＮ，于是问题转化成Ａ点到平面ＢＥＦＤ的距离。如图6，以Ｃ为坐标原点，ＣＢ为x 轴建立直角坐标系。设Ｐ为平面ＢＥＦＤ内任一点。由Ｐ、Ｂ、Ｄ、Ｅ四点共面，则有：

11APaABbADcAEa(0,1,0)b(1,0,0)c(,1,1)(bc,ac,c)22 1bcac1924且abc1,|AP|2(bc)2(ac)2c22[]2c2(c)222899

422,|AP|..933

点评：本题在利用空间图形间的距离定义的基础上构建图形上任意两点所在方向向量模的目标函数，转求函数的最小值，匠心独运，值得欣赏。 六、待定系数法 将异面直线通过转化成面面距或线面距，最终转求点面距时，关键是求作垂足点的位置即平面的垂线。由空间向量的基本定理方向可采用待定系数法设法求得垂线段所在的方向向量使问题加以解决。 如例题5可作ＰＡ⊥平面ＥＦＤＢ于Ｐ，由Ｐ、Ｂ、Ｄ、Ｅ四点共面，则有：

11a

bca(0,1,0)b(1,0,0)c(,1,1)(bc,ac,c)22

5且abc1......①又由0bc......②0a3c......③ 2

2122由①②③得:c,(bc,ac,c)(2,2,1),||9293

点评：当异面直线的距离转化为点面距时，垂足点的位置不好确定时，可结合共面向量定理、向量垂直的充要条件等转化成方程组来求解，往往会起到意想不到的效果。