6向量法求异面直线的角与距离

6利用向量法求空间角和距离

1向量法求异面直线所成的角

【例1】 (15郑州市期末) 如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________.

【解析】以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系.

→设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则EF＝(0，

→→→－1,1)，BC1＝(2,0,2)，∴EF·BC1＝2，

21→→∴cos〈EF，BC1〉＝，∴EF和BC1所成的角为60°. 2×222

【评注】用向量求解异面直线所成角，利用坐标运算求解，公式计算

要准确. 设两异面直线a，b所成的角为，m,n分别是a，b的方向向量，则有

coscosm,nmn0mn．异面直线所成角的范围是2，因此，如果按照公式求出来的向量的数量积是一个负数，则应当取其绝对值，使之变为正值，这样求得的角就为为锐角或直角．

【变式1】正三棱锥中利用向量的坐标运算求异面直线所成的角

在正三棱锥P—ABC中，底面正△ABC的中心为O，D是PA的中点，PO=AB=2，求异面直线AC和

BD所成的角余弦值．

【解析】以O为坐标原点，OA为x轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．因ABC是正三角形，故y轴平行于BC，而PO=AB=2

，则P(0,0,2)，

0)，B(

，C(1,0)，D

是PA的中点，1,1)，CA,0)，

故D

， BD

cosBD,CA 【例2】（2012·陕西理）三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边

长和侧棱长都相等，

∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________．

→→→→→→→→→【解析】选准基底，由题意知，AB1＝AB＋AA1，BC1＝BB1＋BC＝BA＋AC＋AA1.

又∠CAA1＝∠BAA1＝∠BAC＝60°，设边长、侧棱长为1，

→2→→2→2→2→→→则AB1＝(AB＋AA1)＝AB＋AA1＋2AB·AA1＝3，所以|AB1|＝3，

→同理可得|BC1|＝2.

→→→→→→→→→→→→→AB1·BC1＝AB·BA＋AB·AC＋AB·AA1＋AA1·BA＋AA1·AC＋AA12＝1，

→→AB1·BC116→→所以cos〈AB1·BC1〉＝. →→3·26|AB1|·|BC1|【评注】求异面直线所成角可以借助向量运算求解.关键是选取合适的基底，利用基向量法

和线性运算以及数量积，沟通角与向量之间的关系求解。

【变式1】两种常用方法求异面直线所成的角

在三棱锥S – ABC中，∠SAB = ∠SAC =∠ACB = 90°，AC = 2，BC =，SB =29.则异面直线SC与AB所成的角的余弦为

【解析1】利用向量之间的转化，由题中的已知条件，容易计算得到|SC|= 4，|AB|=. 而()=||||cos∠CAB = 2 × ×2

= 4，据此有图10 cos

的坐标分别为A(2, 0, 0)、B(0,,0)。由∠SAB = ∠SAC =∠ACB = 90°，可知SA⊥面ABC，∠SCB = 90°。于是SC =SB2BC24，SA =SC2AC22，因此点S的坐标为 (2, 0,2). 由此可得= (–2, 0, – 2)，= (–2, , 0)，从而有cos ==4

4，于是异面直线SC与AB所成角的大小为arccos。 1717

2.利用向量法求解异面直线之间的距离

【例3】如图，正方体的棱长为2，C、D、P、Q分别是棱的中点，

A、B、M、N、E、F是顶点, 则CD和EQ的距离是

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，

Q(1,0,0)P(2,1,0)B(2,2,0)F(2,2,2)C(1,2,2)D(0,1,2)M(0,2,0)

QP(1,1,0)，QE(1,0,2)，AD(0,1,2),DC(1,1,0)

n1QP0,n1QE0，设截面EFPQ法向量为n1(x,y,z)，

xy0n即，可得n1(2,2,1)，而1DC0，x2z0

n1AD0，可见n1(2,2,1)也是截面ABCD的法向量．

因

|EDn1|此截面EFPQ//截面ABCDDE(0,1,0)，点D到截面EFPQ的距离是d

|n1|2 3

则CD和EQ是异面直线,所以CD和EQ的距离也是

【评注】利用向量的运算求解异面直线之间的距离，是将异面直线之间的距离转换为两平23行平面的距离，再转化点到面的距离利用斜线在法相梁上

投影的绝对值求解。设n是平面的法向量，PQ是的

斜线，Q，点P到平面的距离为d，

d|PQ|sin|PQ||cosn,PQ||PQ

||PQn|PQn

|PQ||n||||

(即PQ在n方向上投影的绝对值)