5.求异面直线距离的几种方法

编号

学士学位论文

学生姓名：阿依古丽·阿瓦克

学号：[1**********]

系部：数学系

专业：信息与计算科学

年级：指导教师：阿布拉江·阿布都瓦克

完成日期： 2011 年 5 月 19 日

摘要

本论文主要用举例法来介绍求异面直线距离的定义法，直接法，线面平行

法, 面面平行法，公垂线法，射影法，二面角法，补行法，极值法，体积法，公

式法，平面法向量法等一些方法。

关键词：异面直线 ; 距离

摘要 ............................................................................................................................ 1

引言 ............................................................................................................................ 1

1. 定义法 .................................................................................................................... 1

2. 直接法 .................................................................................................................... 2

3. 线面平行法 ............................................................................................................ 2

4. 面面平行法 ............................................................................................................ 4

5. 公垂线法 ................................................................................................................ 5

6. 摄影法 .................................................................................................................... 6

7. 二面角法 ................................................................................................................ 6

8. 补形法 .................................................................................................................... 8

9. 极值法 .................................................................................................................... 9

10. 体积法 ................................................................................................................ 10

11. 公式法 ................................................................................................................ 11

12. 平面法向量法 .................................................................................................... 12

总结 .......................................................................................................................... 14

参考文献 .................................................................................................................. 15

致谢 .......................................................................................................................... 16

引言

如果两条直线不在同一平面内, 即它们既不相交, 又不平行, 那么这两条直线

称为异面直线.

空间的两条直线一般不相交, 但在任何情况下，它们的彼此的点与点之间的

距离总有一个最短的, 称为两条异面直线间的最短距离（或距离），下面我们来

讨论求异面直线距离的几种方法。

1. 定义法

两条异面直线的公垂线在两条异面直线间线段的长度, 叫做两条异面直线

的距离. 按照这个定义作出或找出两条异面直线的公垂线, 解这个公垂线所在的

矩形或三角形, 求出这个公垂线的长度, 就可得到两条异面直线的距离

例1. 如图1所示, 正方体ABCD -A ' B ' C ' D ' 中, 棱长为a , 求:

(1）AB 与B'C 之间的距离

（2）AB 与B'D 之间的距离

解:（1）连接BC ' 交B ' C 于O , 则BO ⊥B ' C , 又因为

AB ⊥平面BB ' C ' C , 所以AB ⊥BO ,

∴BO 是异面直线 AB 与 B ' C 之间的公垂线段求得BO =即 AB 与 2a . 2B ' C 之间的距离为

（2）∵AB ∥DC , AB ⊄

平面B ' DC , DC ⊂平面B ' DC , 图1

∴AB ∥平面B ' DC , 从而AB 与平面B ' DC 间的距离即为AB 与 B ' D 间

的距离.

∵BO ⊥B ' C , CD ⊥BO , B ' C DC =C

∴BO ⊥平面DB ' C , BO 的长为B 到平面

B ' DC 间的距离, 解得BO =

a . 2a ,

即AB 与B ' D 间的距离为

2. 直接法

分析图形的特征, 通过辅助线将空间线段转化为同一平面中的相关关系, 可

以直接求出异面直线间的距离.

例2．在棱长为a 的正方

体ABCD -A ' B ' C ' D ' 中, 求BD ' 和 B ' C 间的距离.

解:如图2, 由B ' C ⊥BC ' , B ' C ⊥C ' D ' , 知B ' C ⊥平面BC ' D '

且B ' C 面BC ' D ' =G ，作GH ⊥BD ' , 则GH 为所求距离 .

GH BG 由Rt ∆BGH ∼Rt ∆BC ' D ' 有, 图2 =C ' D ' BD '

a ⋅a BG ⋅C ' D ' ∴GH === BD ' 3. 线面平行法

如图3, 若平面α过直线b ,

且有直线a ∥α, A ∈a , 过A 到平面α的距离AB 就是异面

直线a ，b 的距离

例3. 三棱锥P -ABC 底面ABC 是直角三角形，斜边AB =10 , 图3

2 作α的垂线，垂足为B , 则

侧面PAB 和PAC 都垂直于底面, 它们的二面角是30º, 侧面PBC 和底面成60º的

角, 求三棱锥相对棱AC 和PB 之间的距离。

解:如图4, 把Rt ∆ABC 补成矩形ACBD 。由A C ∥B D , 知AC ∥平面PBD , AC

和PB 之间的距离, 即AC 和平面PBD 之间的距离, 设为h .

由侧面PAB , PAC 都垂直

于底面ABC , 知PA ⊥面ABC , ∠BAC =30 .

∵AC 是PC 在平面ABC 上的射影, 且BC ⊥AC , 由三垂线定理得 BC ⊥PC , 即侧面PBC 和底面成60º 角, 所以∠PCA =60 ，图4

∵AB =10, ∴BC =5, AC =PA =ACtg 60 ==15.

故PD ==∴AD 是PD 在底面上的射影, 且BD ⊥AD , 由三垂线定理得BD ⊥PD

11∴V P -ABD =⋅15⋅⋅5⋅=32111V A -PBD =h ⋅S ∆PBD =h ⋅⋅= 332∵V P -ABD =V A -PBD

∴= 26

故h =111V A -PBD =h ⋅S ∆PBD =h ⋅⋅= 332∵V P -ABD =V A -PBD

故h =4. 面面平行法

如图5, 若两个平面α, β分

别过直线a b , 且α∥

β, A ∈a ,

过A 作β的垂线, 垂足为B ,

则平行平面α, β间的距离

AB 就是异面直线a , b 间的距. 图5

例4. 求棱长为a 的正方体相邻两个面上不相交的对角线BC ' 和B ' D ' 间的距

离. 解:如图6, 平面

AB ' D ' ∥平面C ' BD , 且A ' C 与平面AB ' D ' , 平面C ' BD 分别交

于G , H .

在平面ABB ' A ' 上的射影, ∵AB ' ⊥A ' B , 而A ' B 是A ' C 由三垂线定理有AB ' ⊥A ' C , 同理AD ' ⊥A ' C . 图6

∴A ' C ⊥面AB ' D ' , 同理可得A ' C ⊥面C ' BD . 所以GH 为异面直线BC ' 和

B ' D ' 间的距离.

11由C ' C ⋅S ∆BCD =CH ⋅S ∆C ' BD , ∆BCD 是直角三角形, ∆C ' BD 是长为的33

正三角形. 可解得CH =a , 同理可得A ' G = . 故GH =

5. 公垂线法

如果AB ⊥a 于A , AB ⊥b 于B , 那么AB 的长就是异面直线a , b 间的距离.

例5. 已知平行四边形ABCD 的一个锐角∠A =60 , AB >BC , 两对角线

AC , BD 的平方比是7:3, 现将平行四边形所在平面沿对角线BD 翻折成为直二

面角, 翻折后A , C 两点间的距离为, 求异面直线AC 与BD 间的距离.

解：在图7中, 由

AB 2+BC 2-2AB ⋅BC cos120 7=, 有(2AB -BC )(AB -2BC ) =0 AB 2+BC 2-2AB ⋅BC cos 60 3

∴AB =2BC , 从而∠ADB =∠CBD =90 , 即CB ⊥BD

图7 图8 在图8中, 取AC 的中点F ,

∵EA =EC , ∴EF ⊥AC , 又由FB =FD 知FE ⊥BD , 故EF 是异面直线

AC , BD 的公垂线. 由于∆AFE 是直角三角形, AE 是斜边, 故只只须求EF . 在Rt ∆ABC 中, 由AB =2BC , AC =, 可得AB =4a , BC =2a , 把这个关

系用于图7中, 由余弦定理得AC =, 即AE =, 故异面直线AC , BD 间的

距离EF =.

6. 摄影法

如图9, 对于异面直线a , b , 作辅助平面——正投影α, 使a ⊥α, 设a , b 在α上

的射影分别为 A ' 和直线b ' , 公垂线AB 在 α上的射影为A ' B ' , 则A ' B ' ∥AB , 于是射影A ' B ' 之长即为a , b 间的距离

图9 图10 例6. 在长方体ABCD -A ' B ' C ' D ' 中, AA ' =a , AB =b , AD =c , 求AA ' 与B ' D

的距离

解：在图10中, 由AA ' ⊥平面AC , BB ' ⊥平面AC , 可知AA ' , B ' D 在平面AC

内的射影分别是A 点和BD , 从而A 点到BD 的距离就是 AA ' 到B ' D 的距离.

在Rt ∆ABD 中, 作BD 上的高线AE , 由AE ⋅BD =AB ⋅AD , BD = 得AE =故AA ' 与B ' D 。

7. 二面角法

若异面直线a , b 所在平面成θ度的二面角α-ι-β, 且b ∥ι, ｂ与ι间的距离

为c , 则以异面直线a , b 间的离d =c sin θ.

证 : 设a ⊂α, b ⊂β, 在b 上任取一点P , 作PM ⊥ι, PN ⊥α, M , N 为垂足,

⎛π⎫连结MN , 由三垂线定理知MN ⊥ι, 当θ∈ , π⎪时由图11知∠PMN =π-θ; 当⎝2⎭⎛π⎤θ∈ 0, ⎥时, 由图12知∠PMN =θ. ⎝

2⎦

图11

图12 又sin(π-θ) =sin θ, 所以b 到平面α的距离即为异面直线a , b 间的距离d =PN =PM sin θ=c sin θ

例7. 在长方体AC ' 中, AB =a , AD =b , AA ' =c , 求AC 与BD ' 间的距离. 标解:如图13, 易证面 ACC ' A ' 经过D ' B 的中点O , 过O 作EF ∥AC , 设EF AA ' =E , EF CC ' =F , 结BE , BF , 则 ∆ABC 为∆EBF 在面AC 内的射影, 若面ABC 与面EBF 的夹角为θ, 因为图13

BE =BF =EF = 且EF 2=BE 2+BF 2-2BE ⋅BF cos ∠EBF ,

所以cos ∠EBF =2

∴S ∆EBF =

1. 又S ∆ABC =ab , 2

∴cos θ=

∴sin θ= , 过B 作BG

⊥AC 于G ，则BG =

故

AC 与BD ' 间的距离d =

8. 补形法

有些里立几题目, 若采用添补配置, 使原有图形成为正（长）方体, 三棱柱（锥）……等等我们所熟知的图形, 可以较为简捷地求出异面直线间的距离.

例8. 已知直线ι上有两定点A , B , 线段AC ⊥ι, BD ⊥ι, 如AC =BD =a , 且

AC 与BD 所成角为120 , 求AB 与CD 间的距离. （如图14）

解：如图15. 以AB 为棱作一个三棱柱，使AC , BD 各位底面的一边, 则

∠DBF =120

图14 图15 过A 作AH ⊥EC 于H , 又DE ⊥面ACE , ∴DE ⊥AH ,

∴AH ⊥面CEDF . 从而计算AB , CD 之间的距离, 转化为求AB 与平面

CEDF 之间的距离.

∵∠EAC =120 , AC =AE =a

∴∆ACE 为顶角等于120 的等腰三角形. 从而知 ∠ACE =30 , 在Rt ∆AHC 中AH =

1a a AC =. 故异面直线AB , CD 间的距离为 222

9. 极值法

由于”两条异面直线的距离, 是分别在两条异面直线上的两点的距离中最小的”, 由此, 可将这类几何问题转化为代数中函数的最值问题.

例9. 已知定边圆锥的底面半径为R , 轴截面SAB 的底角A 的平分线为AC , 又BD 为底面的一条弦, ∠ABD =30 , 求异面直线AC 和BD 间的距离.

解:如图16, 取AC 上任一点P , 过P 作PQ ⊥AB , EQ ⊥BD ，连结PE 由平面

SAB ⊥底面,

知PQ ⊥底面，Q 在AB 上, 且QE 为PE 在平面ABD 上的射影, 由三垂线定理有BD ⊥PE . 设PQ =x ，则AQ =

=, tg 30

QB =2R -AQ =2R ,

QE =QB sin 30 =

QB =R x

图16 2 在Rt ∆PQE 中,

PE === 9

当x =

R 时, PE min =

故异面直线AC 与BD 10. 体积法

如图17, 在四面体S -ABC 中，若 SB =a , AC =b , SB 与AC 间的距离为 h ,

且SB 与AC 所成的角为θ, 则V S -ABC =abh sin θ.

证; 取AC 的中点O , 连结BO 并延长至D , 使OD =BO ，为四棱锥，在面SBD 内作OE ∥BS , 连EA , EC , 则SB ∥面EAC , 所以 SB 与平面EAC 的距离就是异面直则ABCD 为平行四边形, S -ABCD

线SB 与AC 间的距离h , SB 与SB 所

成的角θ=∠EOC , 1

由O , E 是BD , SD 的中点, 知OE =a . 2

设S 到平面ABCD 间的距离为d , 则E 到平面ABCD 的距离为d .

∴V S -ABC =2V E -ABC =2V B -EAC =

h ⋅S ∆EAC =h (S ∆EOA +S ∆EOC ) 33

（1）

211

=h ⋅(AO +OC ) OE sin θ=h ⋅AC ⋅SB sin θ=abh ⋅sin θ366

例10. 正四面体ABCD 棱长为a ,

求对棱BC 和AD 间的距离. （如图18）

解：取BC 中点E , 连AE 和DE , 则BC ⊥AE , BC ⊥DE .

∴BC ⊥面AED . 从而BC ⊥AD , 即BC 与AD 所成的角θ=90 , 过A 作AO ⊥面BCD , 点O 在 DE 上.

∵AE =

11, , EO

=DE =AE =

33∴AO =

, ∴由公式（1） 3

有V A -

BCD =

BC ⋅AD ⋅h sin 90 ,

121

⋅a =⋅a ⋅a ⋅h sin 90

即⋅3436

从而h =

a ,

故对棱BC 与AD 间的距 2

离为

a 图18 2

11. 公式法

如图19, 设m , n 是异面直线, A , B ∈m , A , n 确定平面α; B , n 确定平面

β, α β=n ,

过B 作BC ∥n , 在α内作AD ⊥n 与D , 在β内作DC ⊥n 与D , BC DC =C , 连AC , 在面ADC 内过D 作DE ⊥AC 与E , 设AD =a ,

CD =b , α-n -β的平面角为θ,

则DE 就是异面直线m , n 间的距离; 图19

DE =

证:由n ∥BC 知n ∥面ABC , 即n 与面ABC 间的距离就等于异面直线m , n 间的距离.

AD ⊥n ⎫n ⊥面ADC ⎫BC ⊥面ADC ⎫面ADC ⊥面ABC ⎫

⎬⇒⎬⇒⎬⇒⎬⇒DE ⊥面ABC

DC ⊥n ⎭n ∥BC ⎭BC ⊂面ABC ⎭DE ⊥AC ⎭

, 即DE 就是异面即直线

m , n 间的距离。

∴DE =h =

(1)

当θ=90 时h =

(2)

当a =b 时h =a cos

例11:如图20, 底面半径为R 的圆柱,

（3）

两底面半径OM , O ' N ' 成60 角, 求异

面直线MN ' 与圆柱轴OO ' 的距离. 图20

解：图20中N ' N 相当于图19中的BC , ∠MON 相当于∠ADC , 从而OM =ON =R , ∠MON =60 , 由公式（3）得异面直线MN ' 于OO '

60 =R 间的距离h =R cos 22

12. 平面法向量法

用法向量法求异面直线a 与b 之间的距离的一般方法是:(1)作直线a , b 的方向向量a , b , 求a , b 的法向量n , 即为异面直线a , b 公垂线的方向向量:（2）在直

线a , b 上各取一点A , B ，作向量AB ; （3）求向量AB 在n 上的射影d , 此即异面直线a 与b 之间的距离.

例12. 在长方体ABCD -A ' B ' C ' D ' 中, AB =4, AD =3, AA ' =2, M , N 分别为DC , BB ' 的中点, 求异面直线MN 与A ' B 的距离.

解:以A 为原点, 以AD , AB , AA ' 为坐标轴, 建立直角坐标系, 如图21, 则

M (3,2,0),

N (0,4,1), 即 MN =(-3, 2,1) ,

A ' B =(0,4, -2) , 设MN , A ' B 公垂线的方向向量为

n =(x , y , z ) , 则有

⎧⎪n ⋅MN =0⎧-3x +2y +z =0

⇒⎨ ⎨

⎪⎩n ⋅A ' B =0⎩4y -2z =044

令y =1, 则z =2, x =, 即n =(,1, 2) , 图21

MA ' ⋅n =n =, MA ' =(-3, -2, 2) 在n 上的射影的长度为d =. 即异面直n 613

线MN 与A ' B

. 13

总结

求异面直线间距离的问题是一个经常碰到而又比较困难的问题. 学习求异面直线距离的几种方法后, 用这些方法求异面直线的距离, 不仅开拓了题思路, 还能促进对异面直线的深刻理解, 建立运动和变化观点.

参考文献

[1] 熊光汉. 异面直线间距离求法种种[J].中学数学, 高等教育出版.1994.1-12 ,

(6页).

[2] 周国富. 异面直线的距离[J].中学数学, 北京教育出版社. 1994.1-12,(23页). [3] 周华生. 异面直线距离的求法探讨[J].数学教学通讯, 北京教育出

社.2000.1-12,(36页).

[4] 刘桃春. 求异面直线的距离的几种方法[J].中学数学教学参考, 高等教育出版社, 1993.1-12,(18页).

[5] 胡炳生. 空间两条直线[j].数学教学通讯. 南京大学出版社.2006.9

(45页)

致谢

在喀什师范学院经过五年的学习, 使我在做人, 做事等各种方面得到了很大的提进和完善.

首先感谢我的指导老师阿布拉江. 阿布都瓦克老师! 在写论文期间老师给予我舒心的知道和很大的帮助, 在我完成毕业论文期间无论工作有多忙, 老师以最快的速度仔细阅读我的论文, 对我的论文做出悉心的指导, 提出修改方面的宝贵意见和建议. 老师严谨的治学态度和认真的工作作风, 让我终身受益. 在老师的关心和帮助下, 我的论文才能够顺利的完成. 再次表示哀心的感谢, 在以后的学习和工作生涯中以他们为榜样, 学习他们的认真, 刻苦工作的态度. 此致

敬礼:

阿依古丽. 阿瓦克 2011年5月 19日