二桃杀三士
《晏子春秋》里记载了这样一个故事：
齐景公蓄养着三名勇士，他们名叫田开疆、公孙接和古冶子。 这三名勇士都力大无比，武功超群，为齐景公立下过不少功劳。但他们也刚愎自用，目中无人，连齐国的宰相晏婴都不放在眼里，终于得罪了晏婴。晏子便劝齐景公杀掉他们。齐景公对晏子言听计从，但却心存疑虑，恐怕用武力制服不了三人，如果他们联合起来反抗，问题就麻烦了。晏子便献上一计：以齐景公的名义赏赐三名勇士两个桃子，让他们自己评功，按功劳的大小吃桃。
三名勇士都认为自己的功劳很大，应该单独吃一个桃子。于是，公孙接讲了自己的打虎功，拿了一只桃；田开疆讲了自己的杀敌功，拿起了另一只桃。两人正准备要吃桃子，古冶子说出了自己更大的功劳。公孙接、田开疆都觉得自己的功劳确实不如古冶子大，感到羞愧难当，赶忙让出桃子，说：“咱本领不如人家，却抢着要吃桃子，实在丢人，是好汉就没有脸再活下去！”说罢都拔剑自刎了。古冶子见了，后悔不迭。心想：“如果放弃桃子而隐瞒功劳，则有失勇士的威严；为了满足自己而羞辱同伴，又有损哥们的义气。如今两个伙伴都为此而死了，我独自活着，算什么勇士？”便仰天长叹一声，也拔剑自杀了。
这就是“二桃杀三士”的故事。
晏子采用借“桃”杀人的办法，不费吹灰之力，便达到了他预定的目的，可说是善于运用权谋。汉朝无名氏在一首乐府诗中，曾不无讽刺地写道：“„„一朝被谗言，二桃杀三士。谁能为此谋，相国齐晏子！”
有趣的是，在这个故事中，晏子除了运用权谋之外，还运用了数学中一个重要的原理——抽屉原理。
抽屉原理又名鸽笼原理或狄里克雷原理。这个原理形象的说法就是：
把3件物品放到2个抽屉里,一定有一个抽屉里至少有两件物品；
把7件物品放到3个抽屉里,一定有一个抽屉里至少有3件物品,等等。
一般地说，把m×n+1件物品放到m个抽屉里，一定有一个抽屉里至少有n+1件物品。
这个原理虽然简单，但在数学中却有广泛而深刻的运用。19世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet，1805～1859)首先利用它来建立有理数的理论(所以现在抽屉原理又称狄利克雷原理)，以后被逐渐地应用到许多不同的数学分支中，如在数论、集合论、组合论等学科中都有许多
重要的应用。
1947年，匈牙利数学家把这一原理引进到中学生数学竞赛中，当年全匈数学竞赛有一道试题是：
“证明：在任何6个人中，一定可以找到3个互相认识的人，或者3个互不认识的人。”
这个问题乍看起来，似乎令人难以想象，感到十分玄妙而无从下手。其实，只要你懂得抽屉原理，这道题的证明是十分简单的。
为方便计，我们用A、B、C、D、E、F来代表6个人。从中随便找一个，例如A吧，其余的5个人，或者与A认识，或者与A不认识。现在把“与A认识”和“与A不认识”当作两个“抽屉”，把5个人放到这两个抽屉里，根据抽屉原理，有一个抽屉里至少有3个人。不妨假定在“与A认识”这个抽屉里有3个人，例如
B、C、D在这一抽屉里。用平面上的4个点来代表A、B、C、D4人，如果两人互相认识，就在代表它们的两点之间联一条线，于是，便得到图1：
再看B、C、D3人，如果他们3个人两两互不认识，我们就在这6个人中找到了3个互不认识的人，本题的结论已经获证。如果B、C、D3个人中，至少有两人互相认识，例如B与C互相认识，在B、C之间就要连一条线，如图2。这时，在6个人中就有A、B、C3人互相认识，同样证明了问题的结论。按照一样的方法，如果一开始假定在“与A不认识”这个抽屉里有3个人，同样可证明问题的结论成立。
这道试题由于它的形式优美，解法巧妙，很快引起数学界的兴趣，被许多国家的数学杂志转载，它的一些变形或推广题，不断地被用作新的数学竞赛试题。几十年如一日，半个世纪以来长盛不衰。
例如，1964年在莫斯科举行的国际中学生数学竞赛中有一道试题是：
“17个学者中每个学者都与其余学者通信，他们在通信中一
共讨论了3个不同的问题，但每两个学者在通信中只讨论同一个问题。证明：至少有3个学者在彼此通信中都讨论同一问题。” 这个问题就是上述问题的直接推广。
在17名学者中任取一名，例如A，其余16名学者与他通信分别讨论3个问题中的某一个。根据抽屉原理，对于3个问题x、y、z，在16人中必有6个人与A讨论某一个，例如x。如果这6个人中还有B与C两人也通信讨论x，则A、B、C三人都彼此讨论同一问题x，命题的结论获证。如果这6个人中没有任何两个人是互相讨论x的，则他们只讨论y与z两个问题。把两个讨论问题y的人看作互相认识，讨论问题z的人看作互不认识，就变成了匈牙利的那道试题。也就证明了命题的结论。
又例如，1963年北京市中学生数学竞赛有一道试题是： “边长为1的正方形中任意放入9个点，证明：在以这些点为顶点的各个三角形中，必有一个三角形，它的面积不大于(若81三点共线，则认为这个三角形的面积为零)。
的小正方形，把9个点放进4个小正方形内，有一个小正方形里至少有
现在让我们再回到“二桃杀三士”的故事。两个桃子可看作两个“抽屉”，根据抽屉原理，把3名勇士放到两个抽屉里，有一个抽屉里至少有两名勇士，即至少有两名勇士要合吃一个桃子。由于3名勇士都争强好胜，做事走极端的性格弱点，就决定了悲剧结局的不可避免，老谋深算的晏子自然就稳操胜券了。
在我国古代文献中，还有不少成功地运用抽屉原理的例子。例如，近年来迷信活动有所抬头，算命先生充满街头巷尾，“看相”、“算命”。那一套你相信吗？清朝乾隆年间的学者阮葵生在《茶余客话》中就曾利用抽屉原理来分析、批驳“算八字”之类的活动，
认为这类活动是断然不可相信的。他写道：
人命八字，共计五十一万八千四百，天下恒河沙数何止于此，富贵贫贱寿夭势不能同，即以上四刻下四刻论，亦止(只)一百三万六千(八百)尽之，天下之人何止千万，亦不能不同。且以薄海之遥，民物之众，等差之分，谓一日止(只)生十二种人或二十四种人，岂不谓诬？
这段话的大意是：算八字的方法按一个人出生的年、月、日、时来排定“八字”。用六十甲子纪年，不同的年份只有60种；一年12个月，不同的月份只有12种；再用六十甲子纪日，不同的日也只有60种；一日分为12个时辰，因此，不同的年、月、日、时所组成的“八字”，总数只有
60×12×60×12=518400(种)
即使每个时辰有两个小时，再分成上半时辰和下半时辰，不同的“八字”也只有
518400×2=1036800(种)
把不同的“八字”看作“抽屉”，抽屉数不超过104万，而作为“物品”的人则有如恒河沙数，远远大于此。因此落在同一个“抽屉”里的人千千万万，这许多贫富、贵贱、寿夭、成败等等都互不相同的人，因为有相同的“八字”(落在同一个“抽屉”里)而不能不有相同的命运，这是何等的荒唐。再者同一天出生的人，由于出生的年、月、日已经相同，他们“八字”的差别，就只决定于出生的时辰，一天的时辰只有12种或24种(分上半时辰和下半时辰)。天下如此广大，人民这样众多，硬说同一天内只能出生12种或24种命运不同的人，岂不是胡说八道吗？所以，“算八字”之类的事是绝对不能相信的。
阮葵生的议论，对当前的一些迷信活动，仍然是十分有力的批判。
然而令人不无遗憾的是：我国历史上虽然有不少运用抽屉原理的具体例子，很早就留下了“二桃杀三士”之类的寓言，但却没有人将它抽象概括为一条普遍的原理，最后还不得不冠以狄利克雷的名字。学术界曾经认为，我国古代学者长于形象思维而短于抽象思维，难道这两者之间，真会咫尺天涯，“鸡犬之声相闻”，却“老死不相往来”吗？
二桃杀三士
《晏子春秋》里记载了这样一个故事：
齐景公蓄养着三名勇士，他们名叫田开疆、公孙接和古冶子。 这三名勇士都力大无比，武功超群，为齐景公立下过不少功劳。但他们也刚愎自用，目中无人，连齐国的宰相晏婴都不放在眼里，终于得罪了晏婴。晏子便劝齐景公杀掉他们。齐景公对晏子言听计从，但却心存疑虑，恐怕用武力制服不了三人，如果他们联合起来反抗，问题就麻烦了。晏子便献上一计：以齐景公的名义赏赐三名勇士两个桃子，让他们自己评功，按功劳的大小吃桃。
三名勇士都认为自己的功劳很大，应该单独吃一个桃子。于是，公孙接讲了自己的打虎功，拿了一只桃；田开疆讲了自己的杀敌功，拿起了另一只桃。两人正准备要吃桃子，古冶子说出了自己更大的功劳。公孙接、田开疆都觉得自己的功劳确实不如古冶子大，感到羞愧难当，赶忙让出桃子，说：“咱本领不如人家，却抢着要吃桃子，实在丢人，是好汉就没有脸再活下去！”说罢都拔剑自刎了。古冶子见了，后悔不迭。心想：“如果放弃桃子而隐瞒功劳，则有失勇士的威严；为了满足自己而羞辱同伴，又有损哥们的义气。如今两个伙伴都为此而死了，我独自活着，算什么勇士？”便仰天长叹一声，也拔剑自杀了。
这就是“二桃杀三士”的故事。
晏子采用借“桃”杀人的办法，不费吹灰之力，便达到了他预定的目的，可说是善于运用权谋。汉朝无名氏在一首乐府诗中，曾不无讽刺地写道：“„„一朝被谗言，二桃杀三士。谁能为此谋，相国齐晏子！”
有趣的是，在这个故事中，晏子除了运用权谋之外，还运用了数学中一个重要的原理——抽屉原理。
抽屉原理又名鸽笼原理或狄里克雷原理。这个原理形象的说法就是：
把3件物品放到2个抽屉里,一定有一个抽屉里至少有两件物品；
把7件物品放到3个抽屉里,一定有一个抽屉里至少有3件物品,等等。
一般地说，把m×n+1件物品放到m个抽屉里，一定有一个抽屉里至少有n+1件物品。
这个原理虽然简单，但在数学中却有广泛而深刻的运用。19世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet，1805～1859)首先利用它来建立有理数的理论(所以现在抽屉原理又称狄利克雷原理)，以后被逐渐地应用到许多不同的数学分支中，如在数论、集合论、组合论等学科中都有许多
重要的应用。
1947年，匈牙利数学家把这一原理引进到中学生数学竞赛中，当年全匈数学竞赛有一道试题是：
“证明：在任何6个人中，一定可以找到3个互相认识的人，或者3个互不认识的人。”
这个问题乍看起来，似乎令人难以想象，感到十分玄妙而无从下手。其实，只要你懂得抽屉原理，这道题的证明是十分简单的。
为方便计，我们用A、B、C、D、E、F来代表6个人。从中随便找一个，例如A吧，其余的5个人，或者与A认识，或者与A不认识。现在把“与A认识”和“与A不认识”当作两个“抽屉”，把5个人放到这两个抽屉里，根据抽屉原理，有一个抽屉里至少有3个人。不妨假定在“与A认识”这个抽屉里有3个人，例如
B、C、D在这一抽屉里。用平面上的4个点来代表A、B、C、D4人，如果两人互相认识，就在代表它们的两点之间联一条线，于是，便得到图1：
再看B、C、D3人，如果他们3个人两两互不认识，我们就在这6个人中找到了3个互不认识的人，本题的结论已经获证。如果B、C、D3个人中，至少有两人互相认识，例如B与C互相认识，在B、C之间就要连一条线，如图2。这时，在6个人中就有A、B、C3人互相认识，同样证明了问题的结论。按照一样的方法，如果一开始假定在“与A不认识”这个抽屉里有3个人，同样可证明问题的结论成立。
这道试题由于它的形式优美，解法巧妙，很快引起数学界的兴趣，被许多国家的数学杂志转载，它的一些变形或推广题，不断地被用作新的数学竞赛试题。几十年如一日，半个世纪以来长盛不衰。
例如，1964年在莫斯科举行的国际中学生数学竞赛中有一道试题是：
“17个学者中每个学者都与其余学者通信，他们在通信中一
共讨论了3个不同的问题，但每两个学者在通信中只讨论同一个问题。证明：至少有3个学者在彼此通信中都讨论同一问题。” 这个问题就是上述问题的直接推广。
在17名学者中任取一名，例如A，其余16名学者与他通信分别讨论3个问题中的某一个。根据抽屉原理，对于3个问题x、y、z，在16人中必有6个人与A讨论某一个，例如x。如果这6个人中还有B与C两人也通信讨论x，则A、B、C三人都彼此讨论同一问题x，命题的结论获证。如果这6个人中没有任何两个人是互相讨论x的，则他们只讨论y与z两个问题。把两个讨论问题y的人看作互相认识，讨论问题z的人看作互不认识，就变成了匈牙利的那道试题。也就证明了命题的结论。
又例如，1963年北京市中学生数学竞赛有一道试题是： “边长为1的正方形中任意放入9个点，证明：在以这些点为顶点的各个三角形中，必有一个三角形，它的面积不大于(若81三点共线，则认为这个三角形的面积为零)。
的小正方形，把9个点放进4个小正方形内，有一个小正方形里至少有
现在让我们再回到“二桃杀三士”的故事。两个桃子可看作两个“抽屉”，根据抽屉原理，把3名勇士放到两个抽屉里，有一个抽屉里至少有两名勇士，即至少有两名勇士要合吃一个桃子。由于3名勇士都争强好胜，做事走极端的性格弱点，就决定了悲剧结局的不可避免，老谋深算的晏子自然就稳操胜券了。
在我国古代文献中，还有不少成功地运用抽屉原理的例子。例如，近年来迷信活动有所抬头，算命先生充满街头巷尾，“看相”、“算命”。那一套你相信吗？清朝乾隆年间的学者阮葵生在《茶余客话》中就曾利用抽屉原理来分析、批驳“算八字”之类的活动，
认为这类活动是断然不可相信的。他写道：
人命八字，共计五十一万八千四百，天下恒河沙数何止于此，富贵贫贱寿夭势不能同，即以上四刻下四刻论，亦止(只)一百三万六千(八百)尽之，天下之人何止千万，亦不能不同。且以薄海之遥，民物之众，等差之分，谓一日止(只)生十二种人或二十四种人，岂不谓诬？
这段话的大意是：算八字的方法按一个人出生的年、月、日、时来排定“八字”。用六十甲子纪年，不同的年份只有60种；一年12个月，不同的月份只有12种；再用六十甲子纪日，不同的日也只有60种；一日分为12个时辰，因此，不同的年、月、日、时所组成的“八字”，总数只有
60×12×60×12=518400(种)
即使每个时辰有两个小时，再分成上半时辰和下半时辰，不同的“八字”也只有
518400×2=1036800(种)
把不同的“八字”看作“抽屉”，抽屉数不超过104万，而作为“物品”的人则有如恒河沙数，远远大于此。因此落在同一个“抽屉”里的人千千万万，这许多贫富、贵贱、寿夭、成败等等都互不相同的人，因为有相同的“八字”(落在同一个“抽屉”里)而不能不有相同的命运，这是何等的荒唐。再者同一天出生的人，由于出生的年、月、日已经相同，他们“八字”的差别，就只决定于出生的时辰，一天的时辰只有12种或24种(分上半时辰和下半时辰)。天下如此广大，人民这样众多，硬说同一天内只能出生12种或24种命运不同的人，岂不是胡说八道吗？所以，“算八字”之类的事是绝对不能相信的。
阮葵生的议论，对当前的一些迷信活动，仍然是十分有力的批判。
然而令人不无遗憾的是：我国历史上虽然有不少运用抽屉原理的具体例子，很早就留下了“二桃杀三士”之类的寓言，但却没有人将它抽象概括为一条普遍的原理，最后还不得不冠以狄利克雷的名字。学术界曾经认为，我国古代学者长于形象思维而短于抽象思维，难道这两者之间，真会咫尺天涯，“鸡犬之声相闻”，却“老死不相往来”吗？