第一章 绪论
1.1 概率论的发展
人类认识到随机现象的存在是很早的。从太古时代起，估计各种可能性就一直是人类的一件要事。早在古希腊哲学家就已经注意到必然性与偶然性问题；我国春秋时期也已有可考词语（辞海）；即使提到数学家记事日程上的可考记载，也至少可推到中世纪。有史记载15世纪上半叶，就已有数学家在考虑这类问题了。如在意大利数学家帕乔利（L.pacioli）1494年出版的《算术》一书中就有以下问题：两人进行赌博，规定谁先获胜6场谁为胜者。一次，当甲已获胜5场，乙也获胜2场时，比赛因故中断。那么，赌注该如何分配呢？所给答案为将赌注分成7份，按5：2分给甲乙两人。当卡丹(Cardan Jerome，1501—1576)看到上述问题时，以为所给分法不妥。他考虑到接下去比赛的几种可能结果，并确定赌注应按10：1来分配（现在看来，其分法也是错误的）。卡丹著有《论赌博》一书，其中提出一些概率计算问题。如掷两颗骰子出现的点数和的各种可能性等。此外，卡丹与塔塔利亚（Tartaglia Niccolo，1500—1557）还考虑了人口统计、保险业等问题。但是他们的研究工作，对数学家来说，赌博味道太浓了一些，以致数学家们对其嗤之以鼻。近代自然科学创始人之一—伽利略（Galileo，1564—1642）解决了以下问题：同时投下三颗骰子，点数和为9的情形有6种：（1、2、6）、（1、3、5）、（1、4、4）、（2、2、5）、（2、3、4）和（3、3、3）。点数和为10的情形也有6种：（1、3、6）、（1、4、5）、（2、2、6）、（2、3、5）、（2、4、4）和（3、3、4），那么出现点数和为9与10的机会应相同，而经验告知，出现10的机会比出现9的机会要多，原因何在？伽利略利用列举法得出同时掷三颗骰子出现点数和为9的情形有25种，而出现点数和为10的情形却有27种。可见，已经产生了概率论的某些萌芽。
概率概念的要旨只是在17世纪中叶法国数学家帕斯卡与费马的讨论中才比较明确。他们在往来的信函中讨论"合理分配赌注问题"。该问题可以简化为：
甲、乙两人同掷一枚硬币。规定：正面朝上，甲得一点；若反面朝上，乙得一点，先积满3点者赢取全部赌注。假定在甲得2点、乙得1点时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理。
帕斯卡：若在掷一次，甲胜，甲获全部赌注，两种情况可能性相同，所以这两种情况平均一下，
乙胜，甲、乙平分赌注
甲应得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。
费马：结束赌局至多还要2局，结果为四种等可能情况：
情况１２３４
胜者甲甲甲乙乙甲乙乙
前3种情况，甲获全部赌金，仅第四种情况，乙获全部赌注。所以甲分得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。
帕斯卡与费马用各自不同的方法解决了这个问题。虽然他们在解答中没有明确定义概念，但是，他们定义了使某赌徒取胜的机遇，也就是赢得情况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率，所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费马开始的。正如对概率论有卓越贡献的法国数学家泊松（poisson，1781—1840）后来所说：“由一位广有交游的人向一位严肃的冉森派所提出的一个关于机会游戏的问题乃是概率演算的起源”。
莱布尼兹（Leibniz，1646—1716）于1672—1676年侨居巴黎时读到帕斯卡概率方面的研究成果，深刻地认识到这门“新逻辑学”的重要性，并且进行了认真的研究。
在帕斯卡与费马通信讨论赌博问题的那一年，雅各·伯努利（Jacob
Bernoulli，1654—1705）诞生了。在1713年出版的其遗著《猜度术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理：若在一系列独立试验中，事件发生的概率为常数P，那么对>0以及充分大的试验次数n，有
kkn-k， Pn(k)=Cnpq
其中k为事件A在n次试验中事件出现的次数，伯努利定理刻画了大量经验观测中呈现的稳定性，作为大数定律的最早形式而在概率论发展史上占有重要地位。
伯努利认为：先前人们对概率概念，多半从主观方面来解释，即说成是一种“期望”，这种期望是先验的等可能性的假设，是以古典概型为依据的。这种方法有极大的局限性，也许只在赌博中可用；在更多的场合，由于无法数清所有的可能情况，也无法确定不同情况的可能性彼此间的大小，这种方法就不可行。他提出，为了处理更大范围的问题，必须选择另一条道路，那就是“后验地去探知我们所无法先验地确定的东西，也就是从大量相关事例的观察结果中去探知它”。这样一来，就从主观的“期望”解释转到了客观的“频率”解释。大数定律可以说明目前的大多数概率应用。由于有了它，任一种预测的准确程度将随着例数增多而提高。这就是为什么承得一个特殊事件的保险费的收费标准，要高于大量的一般事件的保险费标准的原因。
伯努利之后，棣莫弗（A.De Moivre，1667—1754）于1733年和高斯
（Gauss,1777—1857）于1809年各自独立引进了正态分布；蒲丰（G.L.L Buffon，1707—1778）于1777年提出了投针问题的几何概率；泊松于1837年陈述了泊松大数定律等。特别是拉普拉斯（P.S.Laplace，1749—1827）1812年出版的《概率的分析理论》以强有力的分析工具处理概率论的基本内容，使以往零散的结果系统化。拉普拉斯的著作实现了从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概率论发展的新时期。正是在这部著作中，拉普拉斯给出了概率的古典定义：
事件的概率等于一次试验中有利于事件A的可能结果数与该试验中所有可能结果数之比。
籍此拉普拉斯曾以“中立原理”计算出第二天太阳升起的概率为1/826214。值得说明的是，拉普拉斯认为世界是决定性的，偶然性只是出于人们的无知．如果我们能预知一切情况，以后的发展使可全知。关于这点拉普拉斯在其《概率论的哲学试验》中说的很明确：“智慧如果能在某一瞬间知道转动着自然的一切力量，知道大自然所有组成部分的相对位置，再者，如果它是如此浩瀚，足以分析这些材料，并能把上到庞大的天体、下至微小的原子的所有运动悉数囊括在一个公式之中，那末，对于它来说，就没有什么东西是不可靠的了，无论是将来或过去，在它面前都会昭然若揭”。按此观点，宇宙的一切发展，早在混沌初开时就完全决定下来，岂不荒唐！
19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫在这方面作出了重要贡献。他在1866年建立了关于独立随机变量序列的大数定律，使伯努利定理和泊松大数定理成为其特例。切比雪夫还将棣莫弗--拉普拉斯极限定理推广为更一般的中心极限定理。切比雪夫的成果后又被他的学生马尔可夫（A.A.Makpob,1856—1922）发扬光大，推进了20世纪概率论发展的进程。
19世纪末，概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需要。另外，科学家们在这一时期发现的一些概率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在的矛盾与含糊之处，其中最著名的是所谓“贝特朗悖论”。1899年由法国学者贝特朗（J.Bertrand）提出：在半径为r的圆内随机选择弦，计算弦长超过圆内接正三角形边长的概率根据“随机选择”的不同意义，可以得到不同的答案。
这类悖论说明概率的概念是以某种确定的实验为前提的，这种实验有时由问题本身所明确规定，有时则不然。因此，贝特朗等悖论的矛头直指概率概念本身，尤其是拉普拉斯的古典概率定义开始受到猛烈批评。
这样，到19世纪，无论是概率论的实际应用还是其自身发展，都强烈地要求对概率论的逻辑基础作出更加严格的考察。鉴此，1900年夏，38岁的德国代表希尔伯特（D.Hilbort，1862—1943）在世界数学家大会上提出了建立概率公理系统的问题。这就是著名的希尔伯特23问题之中的第6个问题。这就引导一批数学家投入了这方面的工作。
最早对概率论来严格化进行尝试的，是俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯·米西斯（R.von Mises,1883—1953）。他们都提出了一些公理来作为概率论的前提，但他们的公理理论都是不完善的。
作为测度论的奠基人，博雷尔（Borel）在1905年指出概率论理论如果采用测度论术语来表述将会方便许多，并首先将测度论方法引入概率论重要问题的研究，特别是1909年他提出并在特殊情形下解决了随机变量序列，服从强大数定律的条件问题．博雷尔的工作激起了数学家们沿这一崭新方向的一系列探索，其中尤以原苏联数学家科尔莫戈罗夫（A.H.Kolmogorov，1903—1987）的研究最为卓著。
从二十世纪二十年代中期起，科尔莫戈罗夫开始从测度论途径探讨整个概率论理论的严格表述。1926年，他推导了弱大数定律成立的主要条件，后又对博雷尔提出的强大数定律问题给出了一般的结果，推广了切比雪夫不等式，提出了科尔莫戈罗夫不等式，创立了可数集马尔可夫链理论，他最著名的工作是1933年以德文出版的经典性著作《概率论基础》。科尔莫戈罗夫是莫斯科函数论学派领导人鲁金的学生，对实际函数论的运用可以说是炉火纯青。他在这部著作中建立起集合测度与事件概率的类比、积分与数学期望的类比、函数正交性与随机变量独立性的类比，等等。这种广泛的类比终于赋予了概率论以演绎数学的特征。科尔莫戈罗夫的公理系统逐渐获得了数学家们的普遍承认，由于公理化，概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其他数学分支同等的地位。
科尔莫戈罗夫热爱教育事业，经常在大学生和进修生中挑选人才，参加讨论班。1934年，他与概率论另一位创始人辛钦共同主持概率论讨论班。在他们培养的学生中有6位成为前苏联科学院院士或通信院士。1980年科尔莫戈罗夫荣获沃尔夫奖。
公理化概率论首先使随机过程的研究获得了新的起点，随机过程作为随时间变化的偶然量的数学模型，是现代概率论研究的重要主题。
莱维（P.Levy）从1938年开始创立研究随机过程的新方法，即着眼于轨道性质的概率方法。1948年出版的《随机过程与布朗运动》，提出了独立增量过程的一般理论，并以其为基础极大地推进了对作为一类特殊马尔可夫过程的布朗运动的研究。1939年维尔(J.Ville)引进“鞅”这个名称，但鞅论的奠基人是美国概率论学派的代表人物杜布(J.LDoob)。杜布从1950年开始对鞅概念进行了系统的研究而使鞅论成为一门独立的分支。鞅论使随机过程的研究进一步抽象化,不仅丰富了概率论的内容,而且为其他数学分支如调和分析、复变函数、位势理论等提供了有力的工具。从1942年开始,日本数学家伊藤清引进了随机积分与随机微分方程,为一门意义深远的数学新分支——随机分析的创立与发展奠定基础。
1.2 随机现象与概率
在自然界和现实生活中, 一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此
间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成两大类:一类是确定性的现象，指在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。如，在标准大气压下，水加热到100℃，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。另一类是不确定性的现象。这类现象在一定条件下的结果是不确定的。例如，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如，在同样条件下进行小麦品种的人工催芽试验，各颗种子的发芽情况也不尽相同有强弱和早晚之别等。为什么在相同的情况下会出现这种不确定的结果呢?这是因为,人们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素是人们无法事先预料的。这类现象，人们无法用必然性的因果关系，对现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。
概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。比如:太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生。而太阳西升东落的概率就是0,因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生,也有可能不发生的,比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等,这类事件的概率就介于0和100%之间, 或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌,还是发生某类事故,但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件,都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦,同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。
第二章 概率知识的应用
概率论研究随机现象的统计规律性:数理统计研究样本数据的搜集、整理、分析和推断的各种统计方法,这其中又包含两方面的内容:试验设计与统计推断。试验设计研究合理而有效地获得数据资料的方法。统计推断则是对已经获得的数据资料进行分析,从而对所关心的问题做出尽可能精确的估计与判断。
概率论是一门与现实生活紧密相连的学科,不过大多数人对这门学科的理解还是很平凡的:投一枚硬币,0.5的概率正面朝上,0.5的概率反面朝上,这就是概率论嘛。学过概率论的人又多以为这门课较为理论化,特别是像母函数,极限定理等内容与现实脱节很大,专业性很强。其实如果我们用概率论的方法对日常生活中的一些看起来比较平凡的内容做些分析,常常会得到深刻的结果。
本文中通过对具体的事例的分析讨论，体会概率论的知识在体育，经济，农业，风险决策，博采中的应用。
2.1从北京奥运会看概率在体育项目中的体现和应用
举世瞩目的北京奥运会已经圆满落下帷幕,但精彩的奥运会比赛给我们留下了美好的回忆。而在充满变数的奥运竞赛里面,隐藏着很多概率方面的问题,并且起了非常重要的作用。“绿色奥运,人文奥运,科技奥运”是北京奥运会的理念, 奥运会涉及到概率方面的应用也是科技奥运的体现。
2.1.1 运用几何概率分析射箭比赛成绩的高低
射箭比赛中使用的环靶为圆形（图2.1）所示,环靶自中心向外分别为黄、红、蓝、黑和白五种颜色的等宽同心圆区。每一色区内又以一条细线分为两个等宽区,这样就构成了10个等宽的环区。中心“+”标出,称为针孔。环心至环边,10个环区依次记为10环,9环,8环,„射中某环区即的相应环分。箭杆与环线之间没有距离时,按射中高环区计分。直观理解,越靠近靶心的位置得分越高的原因是因为越靠近靶心的位置越难射中。下面从概率的角度来描述射中靶位不同地方的难易程度。
图2.1 圆形环靶
假设这10个同心圆最内层的黄色的小圆的半径为r,外层同心圆的半径依次为2r,3r,r,„,10r。从而最内层的黄色小圆的面积为πr2,外层的同心圆环的面积依次为3πr2,5πr2，7πr2，9πr2，11πr2，13πr2，15πr2，17πr2，19πr2。为便于说明,假设运动员射箭的时候不会脱靶,并且射中环靶上的位置是随机的,则由几何概率的定义,射中最内环的十环的概率为0.01,射中九环的概率为0.03。 环数逐渐降低,射中该环数的概率却依次增加,分别为0.05,0.07,0.09，
0.11,0.13,0.15,0.17,0.19。可见利用几何概率的方式,我们可以更简便地理解越靠近靶心的位置越难射中,越靠近靶心分数越高。
2.1.2 从小概率原理看埃蒙斯再次上演雅典失误
美国射击名将马特·埃蒙斯继雅典奥运会因脱靶而痛失金牌之后,北京奥运会,他再次失误,只打出4.4环的“业余成绩”,再次与金牌无缘。不考虑心理因素、现场因素等其他问题,在奥运会射击大赛中,高手如林,出现此等失误并且两次失误的可能非常小,但确确实实地发生了,并且在同一个人身上发生了。从概率论的角度上来理解,虽然脱靶可能性非常小(其概率记为p),但仍发生了。这就验证了“小概率事件在多次实验后有可能发生”的论断。
如果用p表示某小概率事件A在一次试验中发生的概率,则一次试验中事件A不发生的概率是1-p。为便于说明, 假设运动员在射击过程中每一枪是否射中靶位都是相互独立的。则n次试验中小概率事件A都不发生的概率是(1-p)，由性质p(A)=1-pA,在这n 次试验中小概率事件A 至少发生一次的概率是1-(1-p)。又因为0
nn Lim⎡1-(1-p)⎤=1-Lim(1-p)=1 ⎦n→∞⎣n→∞nn()
即在足够多次试验后,小概率事件A肯定要发生,并且这种可能性随着试验次数的增加越来越大。
通过以上分析,如果再考虑在历届奥运会射击比赛中所进行的射击总次数非常多,在高手如林的奥运会比赛中出现脱靶的小概率事件也就不足为奇了。
2.1.3 概率知识保证了奥运会篮球抽签的分组方式的公平性
奥运中很多项目采取抽签的方式进行分组,如篮球、足球等。因为各球队的实力不一样,对一个球队或个人而言,除了自己的实力以外,分组也十分重要。如北京奥运会男篮分组是通过抽签的方式将所有参加比赛的12支队伍分成A、B两组,每组6支球队进行单循环赛。中国男篮抽签进入的B组包含了2006年世锦赛的前三名:西班牙、希腊、美国队,以及第六名德国队,还有非洲冠军安哥拉队。面对这样的分组形势,篮管中心副主任胡加时称‘这是各种预料中结果最糟的,中国队这次抽到了下下签”,而媒体称之为“这个小组成了名副其实的死亡之组”。“历史上最齐整的中国男篮”虽然在比赛中打出了士气,但终因实力差距,并没有打破第八名的历史记录。那么这种抽签的分组方式是否能够保证公平?抽签顺序的调整对于结果是否有影响?
因为一组抽签中,抽中两个球队之中任何一个的概率是一样的,即把美国和阿根廷两者组成的组合放到任意一个次序,美国队和中国队分入同一组的概率都是0.5,即改变抽签顺序并不能保证中国肯定能避开美国队。
为便于说明,我们将问题简化一下,用取球的方式代表。假设某一个不透明袋子里面放有5个大小形状都相同的球,其中4个黑色,1个白色,试说明每次摸出白球的概率是一样的。我们用Ai表示“第i次摸出的球是白球”,其中i=1,2,3,4,5,14则Ai表示“第i次摸出的球是黑球”。显然p(Ai)=,pAi=即第一次抽到白55
1球的概率是。若第二次摸出白球,第一次只能摸出黑球,即p(A2)=pA1A2利5()()
用乘法公式可得
411p(A2)=pA1A2=PA1PA2|A1=⨯= 545
1类似可得p(A3)=p(A4)=p(A5)= 5()()()
即抽签不分先后,从而也可以说明无论怎么调换顺序,都不能保证中国队避开实
力较强的美国队。因此,对于中国男篮而言,唯一的出路就是不断地提高自己的技战术,以增加自己的实力。
2.1.4 概率知识在奥运会上药检方面的应用
现代奥林匹克的精神就是“更高、更快、更强”,然而诸多因素导致了兴奋剂在各种赛场上的出现。为了保证竞赛的公平和公正,并维护运动员的身体健康,兴奋剂检测也成为各大赛事保证公平竞争的重要环节。目前,兴奋剂检测有尿样检查与血液检查两种方式,尿样仍是主要方式。作为判断运动员是否服用违禁药品的兴奋剂检测,其公平性尤为重要。加拿大短跑运动员本·约翰逊在被判服用兴奋剂并作出判罚决定以后,曾声称还有很多运动员服用兴奋剂,只是他们的运气比较好,没有检测出来,因此对他的处罚是不公平的。我们从概率论的角度来考察只进行了一次兴奋剂检测时的准确程度。
假设根据以往统计,在奥运会上服用兴奋剂的运动员占所有运用员总数的0.005。某种尿样检查,如果运动员确实服用了兴奋剂,则检测呈阳性的概率是0.99,而没有服用兴奋剂的运动员检测呈阳性的概率是0.01。现抽查了一个人,检测结果呈阳性, 则该运动员确实服用兴奋剂的概率是多少?
首先,令
A ={检测结果呈阳性},B ={被抽查的运动员服用了兴奋剂},则
P(B)=0.005,PB=0.995,P(A|B)=0.99,PA|B=0.01,
利用贝叶斯公式 ()()
p(B|A)=P(B)P(A|B)
P(B)P(A|B)+PBP(A|B)
可得p(B|A)≈0.3322
即使某运动员兴奋剂检测呈阳性,但他真正服用兴奋剂的可能性并不大。尽管如此,这种检测也是有意义的,因为不检测时,他用服兴奋剂的可能性只有0.005,但一旦检测呈阳性,他服用兴奋剂的可能性则上升到0.3322,增加了约66倍。
除提高兴奋剂检测技术外,兴奋剂检测一般需要准备两份样品,比如尿样检测。若第一份检测呈阳性,再由相关检测机构对第二份样品进行检测,若第二份结果仍然呈阳性,则该运动员就被判服用兴奋剂因为两次试验选取的样品是相同的
条件下选取的两份样品,并且检测手段一样,则两次检测可以认为是相互独立的。因此可以从概率学中事件的独立性的角度来进行分析。
令Ci表示第i次检测结果呈阳性的运动员并没有服用兴奋剂,则可知检测结
果呈阳性的运动员并没有服用兴奋剂的概率是
p(Ci)=pB|A=1-P(B|A)=0.6788 ()
两次检测都呈阳性却没服用兴奋剂的事件表示为
D=C1C2 则事件D的概率为
pD=1-p(D)=1-P(C1
=1-0.6678≈0.5542()C2)=1-P(C1)P(C2)
可见两次检测结果都呈阳性的运动员服用兴奋剂的概率0.554>0.3322,即经过第二次检测就可以进一步确认该运动员是否服用兴奋剂。因此对于第一次测结果呈阳性的运动员进行第二次检测是非常有必要的。但是也要注意到,虽然经过两次检测,但准确度却依然有待进一步提高,只是限于药检成本较高,不适合进行大量的反复实验。因此,为提高检测准确度,保障运动的竞争公平,还必须从科技上进行完善。
恩格斯曾指出在表面上是偶然性在起作用的地方,这种偶然性始终是受内部隐藏着的规律支配的,而问题只是在于发现这些规律。同样,在充满着诸多变数的奥运体育盛会中,概率论也在或客观或主观地起到独特的作用,而了解这些背后所隐藏的概率知识对于我们更好的理解体育运动的魅力具有重要的作用,并且也可以通过更好地发挥概率所起到的作用。
2.2 概率论知识在经济生活中的应用
2.2.1 概率统计思想在防范金融风险中的应用
在现实经济生活中，经济的发展决定着一个国家的命脉。如何防范金融风险也成为各国经济学家研究的重点。
例1.设某公司拥有三支获利是独立的股票，且三种股票获利的概率分(2)三
种股票至少有一种股票获利的概率别为0.8、0.6、0.5，求(1)任两种股票至少有一种获利的概率；(2)三种股票至少有一种股票获利的概率；
解 设A、B、C 分别表示三种股票获利，依题意A、B、C 相互独立。
P(A)=0.8,P(B)=0.6,P(C)=0.5，则由乘法公式与加法公式：
(1) 任两种股票至少有一种获利等价于三种股票至少有两种获利的概率。 P1=P(AB+AC+BC)
=P(AB)+P(AC)+P(BC)-2P(ABC)
=P(A)P(B)+P(A)P(C)+P(B)P(C)-2P(A)P(B)P(C)
=0.8×0.6+0.8×0.5+0.6×0.5-2×0.8×0.6×0.5=0.7
(2)三种股票至少有一种股票获利的概率。
P2=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)
-P(AC)-P(BC)+P (ABC)
=0.8+0.6+0.5-0.8×0.6-0.8×0.5-0.6×0.5+0.8×0.6×0.5
=0.96
计算结果表明：投资于多只股票获利的概率大于投资于单只股票获利的概率这就是投资决策中分散风险的一种策略。
2.2.2 小概率原理在工业生产中的应用
小概率事件原理是作为在统计推断的理论及应用中有着重要作用的一个基本原理。
例2．某厂每天的产品分3 批包装，规定每批产品的次品率都低于0.01才能出厂。假定产品符合出厂要求，若某日用上述方法抽查到了次品，问该日产品能否出厂?
解 把从3批产品中各抽1件看作3次独立试验，于是可把问题归结为贝努利概型。若产品符合要求，则次品率小于0.01，令p=0.01，q=1-p=0.99。
抽3件产品恰有0件次品的概率为：
0p3(0)=C3(0.01)0(0.09)3=0.970299
若产品符合要求，从3批产品中各抽1件，至少抽到1件次品的概率小于
∑p(k)=1-p(0)=1-q33
k=133=1-(0.99)≈0.03 3
这是一个概率很小的事件。在概率论中将概率很小(小于0.05)的事件叫做小概率事件。小概率事件原理是：如果一个事件发生的概率很小，那么，在一次试验中，可以把它看成是不可能事件。由这一原理可知，如果在一次试验中某个小概率事件发生了，那么就可认为这是一种反常现象。本例中，从3批产品中各抽1件至少抽到1件次品的概率小于0.03， 这是小概率事件。抽到次品的事竟然发生了，这说明该日产品次品率不止0.01，故可判断该日产品不能出厂。
2.2.3 概率论在资产组合方面的应用
在金融市场上规避风险是任何投资者首要考虑的目标，而多样化投资是降低风险的一种途径，这也是资产组合理论的核心内容。我们举一个太阳镜和雨衣的例子来分析资产组合在降低风险方面的作用，所用到的概率论知识也是很简单的期望收益。这也是笔者在日常教学中一个深刻的体验，现代经济学虽然所用到的数学知识越来越深奥，但是一些简单的数学概念却能够揭露经济学深刻的内涵。假设在当前的市场上，一副太阳镜与一件雨衣的价格都是10元，如果未来的夏季是雨季，雨衣的价格会涨到20元，太阳镜的价格会跌到5元。但是，如果未来的天气是炎炎夏日，则太阳镜的价格会涨到20元，而雨衣的价格会降到5元。如果天气是雨季还是酷暑的概率各位50%，你要投资100元。如果你把100元全投资于雨衣(买下10件雨衣，因为现价是10元一件)，那么你有50%的概率获得200元，有50的概率获得50元。如果你把100元投资于太阳镜，结果也是一样的。最后，你的期望收入是125元。但是若你在太阳镜和雨衣上各投资于一半，那么当是雨季时，你会从雨衣上获得100元，在太阳镜上获得25元；当是酷暑时，你会在太阳镜上获得100元，在雨衣上只获得25元。但不管怎么样，你一定可以得到125元。多元化投资和单一投资的差别在于：在后面的多元化投资中，125元是一个确定的收入，而在前面的单一投资中，125只是个期望收入。对于风险厌恶者而言，多元化的投资可以降低风险，提高确定性，从而提高效用。这也是在金融市场上资产组合理论的核心内容。
2.2.4 概率与经营
泊阿松分布在经济决策中,占有很重要的位置。而运筹学中考虑最优化问题需要进行概率估计。通过分析进行最优选择。在经营中也需要进行选择问题,在选择时自然要考虑经营的策略问题。
例3. 某商店根据以往的资料得知, 某种商品每月的销售额可以用参数λ=4的泊松分布来描述。试问该商品在月底一次至少要进货多少件才能有90%以上的把握, 保证下个月的该种商品不致脱销?
解 设该商店每月销售某种商品ξ件,月底进货m件,当ξ≤m时不会脱销。由题意有P(ξ≤m)≥0.90 由泊松分布表可得,P(ξ≥7)=0.1107,P(ξ≥
8)=0.0511即P(ξ≤6)=1-P(ξ≥7)=0.8893;P(ξ≤7) =1-P(ξ≥8) =0.9489>0.9。故这家商店如果月底没有存货只要进货7件就可有90%以上的把握,保证下个月的该种商品不致脱销。
2.2.5 概率与库存
库存是经济规律中一种普遍现象,是人们生产和生活中不可缺少的一个环节。目前,库存问题研究不仅涉及到原材料,半成品,成品,商品等等。而且还有信息存贮,人才储备等这样一些领域。在经济活动中,库存量的多少直接影响到经营单位的成本,效益,因此合理恰当的库存,有着直接的重要经济意义。
例4. 某商店由多年的经验发现本店每月出售某种商品的件数D是一个随机变量,由以往的统计资料可知,它近似的服从区间[0,12]上的均匀分布,设每出售这种商品一件,可获利300元,如果不能出售,造成积压,则每件需付库存费用100元。问该商场月初购进多少件该商品才能使月平均收益最大。
解 设该商品月初购进数量为u,月收益为R,则R是随机变量D的函数R=g(D)，
⎧1⎪0≤x≤12随机变量D的密度函数为f(x)=⎨12
⎪0⎩
300u→D≥u⎧即R=g(D)=⎨ 其中0≤u≤12 300D-100u-D→D
根据随机变量函数的数学期望公式
E(R)=⎰1-x
xg(x)f(x)dx
12⎤1⎡u=⎢⎰(400x-100u)dx+⎰(300u)dx⎥u12⎣0⎦
u11122⎡⎤200x-100ux+300ux[]⎦012u12⎣
1=(-200u2+3600u)12
1''令E'(R)=(-400u+3600)=0，解得u=9又E(R)≤0故当u=9时, E(R)取12=
得最大值。即该商场月初购9件该产品收益最大。
2.3 概率论在农业中的应用
2.3.1全概率公式在农业中的应用举例
对于农业技术人员来说,确定一批种子所结的麦穗含有一定数目麦粒的概率是很重要的。例如,已知一等麦种中混入2.0%的二等麦种,1.5%的三等麦种,1.0%的四等麦种。一、二、三、四等麦种结50粒以上麦粒的麦穗的概率又分别0.50、0.15、0.10、0.05,那么就可以用全概率公式求出这批种子所结的麦穗含有50粒以上麦粒的概率。设Ai=“任取一粒麦种为i等麦种(i=1,2,3,4)”,B=“所结的麦穗含有50粒以上麦粒”。因A1、A2、A3、A4两两互斥,且A1+A2+A3+A4=Ω,故由全概率公式得
p(B)=∑i=14p(Ai)p(B|Ai)
=(1-0.2-0.015-0.01)⨯0.5+0.02⨯0.15
+0.015⨯0.1+0.01⨯0.05=0.4825
2.3.2二项分布在农业中的应用举例
在药效试验中,可以利用二项分布比较疫苗的有效性。例如,某种鸭在正常情况下感染某种传染病的概率为0.2。现新发明2种疫苗,疫苗A注射给9只健康鸭后无1只感染传染病,疫苗B注射给25只健康鸭后仅有1只感染,那么(1)应如何评价
这2种疫苗,能否初步估计哪种较为有效?(2)在此药效试验问题中,求在正常情况下,没有注射疫苗时9只健康鸭与25只健康鸭当中分别最可能感染传染病的鸭数。
(1)若疫苗A完全无效,则注射后鸭受感染的概率仍为0.2,故9只鸭中无1 只感染的概率为(1-0.2)=0.1342。同理,若疫苗B完全无效,则25只鸭中至多有1只
10.2(1-0.2)=0.274。因为概率0.0274很小,并且受感染的概率为(1-0.2)+C2525249
比概率0.1342小得多,因此可以初步认为疫苗B是有效的,并且比疫苗A有效。
kkp(1-p)(2)设二项分布B(n,p)的通项为b(k,n,p)=Cnn-k，则因当(n+1)p=m
为正整数时,b(m;n,p)=b(m-1;n,p)为通项的最大值;当(n+1)p不是正整数时,满足(n+1)p-1
2.3.3 事件的独立性在农业中的应用
在播种育苗时,可以利用事件的独立性确定种子的发芽率。例如,某种子的发芽率为0.4,播种育苗时,一穴点播3粒种子,求一穴至少有1粒种子发芽的概率。 设Ai=“第i粒种子发芽”（i=1,2,3,4）,B=“至少有一粒种子发芽”，则
B=A1
独立,故A2A3,则B=A1A2A3因A1、A2、A3相互独立,所以A1、A2、A3也相互
p(B)=1-PB=1-PA1A2A3=1-pA1pA2pA3=1-(1-0.4)=0.784 ()()()()()3
2.3.4 切比雪夫不等式在农业中的应用举例
利用切比雪夫不等式,可以估计良种数所在的范围,对指导农业生产有一定
1意义。例如,现有一批种子,其中良种占,今任取6000粒种子,试以0.99的概率推6
1断,在这6000粒种子中良种所占的比例与的差是多少?这时相应的良种数在哪6
个范围内?
1⎫⎛若以X表示6000粒种子中良种的个数,则X~B 6000,⎪,则6⎭⎝
E(X)=1000,D(X)=50005000，则E(X)=1000,D(X)=，故由契比雪夫不等66
式有
⎛X1⎫p -≤ε⎪=⎝60006⎭
得ε≈0.048。又由⎛p ⎝⎛X⎫5D ⎪⎫X⎛X⎫⎝6000⎭=1-=0.99,-E ≤ε≥1-⎪⎪6000ε2ε2⎝6000⎭⎭X1-≤0.048,得712≤X≤1288。即以0.99的概率推断,60006
1在这6000粒种子中良种所占的比例与的差大约是0.048,这时相应的良种数大6
致在区间[712,1288]。
2.3.5 极大似然估计在农业中的应用举例
在渔业中,可以利用极大似然估计估计湖中的鱼数,从而指导渔业生产。设湖中有鱼N条,现钓出r条,做上记号后放回湖中。一段时间后,再钓出s条(s≥r),结果其中有t条(0≤t≤r)标有记号。据此信息估计湖中鱼数N的值。
若以X 表示钓出的s条鱼中标有记号的鱼数,则X=0,
ts-tCrCN-r1,2,„,r,并且p(X=t)==f(N,t) SCN
现要估计湖中鱼数N的值,而钓出s条即已有t条标有记号,故由极大似然估计的思想应认为N应该使P(X=t)达到最大,即应取N^使f(N^,t)=maxf(N,t)。为此考虑函数f(N,t)的单调性。由于
R(N,t)=
=ff(N,t)N-1,t(N-r)(N-s)
NN-r-s+tts-tsCrCNC-rN-1=sts-tCNCrCN-1-r=N-Nr-Ns+rs
N2-Nr-Ns+Nt2
故当rsNt时,R(N,t)>1。故当N>
减；当N
数N的估计值。
直观来看,湖中有标记的鱼所占的比例应和钓出的s条鱼中有标记的鱼所占
rs的比例相一致, 即应有r:N=t:s,故应有N^=。估计值正好与直观的结果相符,t
说明用极大似然估计的思想估计湖中鱼数N的方法是正确的。
2.4 概率论在决策分析中的应用
所谓决策，就是决策者为解决当前或未来可能发生的问题，在若干可供选择的行动方案中选择一个最佳方案的过程。因此，决策者应学会科学的决策分析，选择最优策略，避免产生重大损失。在此过程中，概率论是有效的工具之一。它为决策分析提供了新的手段，有助于提高管理水平和经济效益。
2.4.1 保险投保问题
为了满足人们日常生活中的投保需求，保险公司常根据相关事故发生概率的大小来制定有关的投保规则，然后再根据投保规则及协议的有关要素对投保人进行赔偿。这既要考虑投保方的经济利益，又要考虑保险公司的盈利预期。解决此类问题离不开概率论与数理统计的相关知识。
例5.据统计，一位40岁的健康（一般体检未发现病症）者，在5年之内活着或自杀死亡的概率为p（0＜p
解：设ξi表示公司从第i个参加者身上所得的收益，则ξi是一个随机变量，其分布如下
表2.1 公司期望收益E(ξi)>0，即E(ξi)=ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p)>0
所以，当保险公司期望获益时，b应满足a
当m个人参加保险时，设保险公司获益ξ元，则a 1-p
ξ=∑ξi,E(ξ)=∑E(ξi)=ma-mb(1-p)
i=1i=1mm
所以有m人参加保险时，公司可期望从中获益ma-mb（1－p）元。
例6.已知一个危险单位万元以上的某项保险发生事故的概率为p=1/100,保险公司开办一年期万元以上该项保险。参加者需要交保险费100元。若在一年内该项保险发生,保险公司赔偿a(a>100 )元。为使保险公司收益的期望值不低于a 的百分之七,问最大的赔偿值应为多少?
解 设ξ表示保险公司在参保单位的收益,则ξ=100和ξ=100-a且
P(ξ=100)=0.99,P(ξ=100-a)=0.01
保险公司获益的期望值为E(ξ)=0.99⨯100+0.1⨯(100-a)=100-0.01a
要使保险公司获益的期望值不低于a的百分之七即100-0.01a≥0.07a,
解得a≤1250
既最大赔偿值为1250元。
2.4.2 商品供求问题
在商品销售过程中，商品的进货量是一个很重要的因素。若商品卖不出去，则店主要支付银行的借款利息及商品的保管费用；若商品脱销，则减少店主的盈利额。故在商品的销售过程中既要保证其不积压又要保证其不脱销，因此商品销售者控制好进货量是至关重要的。
例7.一家商店采用科学管理的方法经销高价商品，店家追踪前24
个月的销售记录如下表2.2
表2.3
问商店在本月初至少进货多少件才能以95%以上的把握保证这个月商品不脱销？
解：在实际生活中，我们认为每月的商品销售数服从泊松分布。故先求泊松分布中的参数λ。
λ=1(5⨯2+3⨯3+4⨯4+3⨯5+3⨯6+1⨯7+1⨯8+3⨯9+1⨯10)=5 24
设该商品每月的销售数为X，则X~P(5)。假如商店在月初应进该种商品m
e-55k
件，此问题即求满足P{X≤m}>0.95的最小m，即∑>0.95 k!k=0m
8e-55ke-55k
查泊送分布表，得∑≈0.968172,∑≈0.931906 k!k!k=0k=09
于是得m=9件。
例8.某商场计划在盛夏来临之前，完成一批某种夏装的采购。根据经验，如果进货量太小，最后可能会出现无货可卖的局面，从而失去获利的机会；如果进货量太大，很可能夏季已经过去了，该批夏装还有剩余，最后只能降价处理甚至赔本甩卖，因为放到第二年再卖，增加了商场的保管成本，万一到了第二年服装的样式过时，损失会更大。
解 假设基于往年的情况和专业人员对近期市场形势的评估，在夏季，该商场至少能卖出500件该种夏装，至多1000件，卖出的件数近似均匀分布，可知夏
⎧1,500≤x≤1000⎪装销售件数的概率密度函数为：f(x)=⎨500。假设在夏季每卖出
⎪0,qita⎩
一件平均获利150元，夏季内没有卖出去的衣服平均每件亏损60元。现在要确定进货的件数y，使得商场的平均利润最大。显然，y肯定介于500到1000之间。设x为实际销售件数，当x≥y时，也就是当实际销售量大于等于进货量时，衣服不会有剩余，每件衣服都可获利；当x
150y,x≥y⎧
，利润的数学期望为L(x)=⎨
⎩150x-60(y-x),x
E(L)=
+∞
-∞
⎰L(x)f(x)dx
y
1000
1⎡=150x-60(y-x)⎤dx+⎢⎰⎡⎣⎦500⎢⎣500=-0.21y2+360y-52500
''
⎰
y
⎤'
150ydy⎥对y求导，并令⎡EL⎤⎣()⎦y=0，
⎥⎦
得y=857.14。又因为⎡⎣E(L)⎤⎦y=-0.42
对于损害国家及人民利益的突发事件，全体人民会全力以赴阻止其进一步的恶化发展。但有限的财力及物力又不得不让人考虑具体方法的可行性。这就涉及到科学决策的问题，科学决策同样离不开概率论知识。
例9.为了防止“甲型H1N1流感”病情的进一步蔓延，我校积极出台了一系列的预防措施。设我校可实际采用的四个预防措施为甲、乙、丙、丁，并且认为它们是相互独立的。经过多方论证，可得下表2.3：
表2.3
注：（1）P 表示单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发 生的概率
（2）“费用”表示单独采取相应措施的花费。由于财力有限，我校所能提供的资金只有12万元。问：我们应采用怎样的预防方案，可使“甲型H1N1流感”不发生的概率最大？（预防方案可单独采用一种或联合采用若干）
解：由所给条件，我们仅可以得到如下几个方案：
方案1：在总费用不超过12万元前提下单独采用一种预防措施。由表2.3可知，
单独采用甲措施可使此事件不发生的概率最大，其值为0.95。
方案2：在总费用不超过12 万元前提下联合采用两种预防措施。由表可知，联合甲、丙两种措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其值为
1-（1－0.95）（1－0.75）＝0.9875。
方案3：在总费用不超过12 万元前提下联合采用三种预防措施。 由表可2.3知，只能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时，突发事件不发生的概率为：1-（1-0.85）（1-0.75）（1-0.65）＝0.986875。
综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过12 万元的前提下，联合乙、丙、丁三种预防措施可使突发事件不发生的概率最大，其概率为0.986875。 2.4.4 承包工程的决策
数学期望是概率统计中随机变量最基本的数学特征之一，是随机变量按概率的加权平均，又称期望或均值，它是简单算术平均的一种推广。在生活中，有许多问题可以利用数学期望来解决。应用数学期望可以在在决策上选择最优化的方案。
例10.某工程队计划承包一项工程。若三天完成可获利8000元，四天完成可获利5000元，五天完成要被罚款10000元。由以往经验知，该工程队三天、四天、五天完成此项工程的概率分别为0.3、0.5、0.2，获利金额的概率分布见下表。问，如果你是经理，愿意承包这项工程吗？计算出利润的数学期望就知道答案了。
表2.4
承包此项工程获利的数学期望是：8000×0.3+5000×0.5-10000×0.2=2900元，就是说，虽然有被罚款的可能，但平均说来，承包这样的工程是可以获利的。 2.4.5 抽签决策问题
抽签问题在古代已经存在，其对公平决策意义非凡。下面我们从概率的方面来说明抽签次序对抽签结果无影响。
例11.某专业研究生复试时10个考签中有4个难签，甲、乙、丙3人参加抽签考试，不重复抽取，每人一次，问：那个人抽到难签的概率最大？
解：设事件A、B、C 分别表示甲、乙、丙抽到难签。 则有B=AB
AB,ABABC
AB=∅
ABC ABC,ABC,ABC,ABC两两互斥
C=ABC
则P(A)=
ABC
2 5
23342
P(B)=P(AB)+PAB=⨯+⨯=
59595
()
P(C)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)
[1**********]42 =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=[**************]85
故P（A）=P（B）=P（C）
一般地，如果在n 个签中有m（m
mm
，即每个抽签者抽到难签的概率都是，也就是说，并未因抽签nn
的顺序不同而影响到其公平性。
2.5 通过概率认清博彩
很多时候我们会在某个街头发现一群人围在一起参与摸彩。由于本钱较小，许多围观者都跃跃欲试，有的竟连续数十次，结果获奖者却是寥寥无几。这是怎么一回事?
例12．某市某公园门口有一赌摊，一个摆地摊的赌主，他拿了8个白的，8个黑的围棋子放在一个签袋里。他规定：凡自愿摸彩者需要交1元的“手续费”，然后一次从袋中摸出5个棋子，摸到5个白子奖20元，摸到4个白子奖2元，摸到3个白子奖价值5角的纪念品，摸到其它无奖。请计算能获得20元奖金的概率是多少？能获得2元的概率是多少？假如每天摸1000次计算，赌主一天可净赚多少钱？
5
解 从16个棋子中摸出5个棋子共有C16种可能情形，其中摸出5个棋子均为白
5C8
子的情况有C种，因此摸到5个白子的概率为5≈0.0128,其中摸出5 个棋子中
C16
58
1
C84C8
有4个白子的情况为CC种，因此摸到4个白子的概率为5≈0.1282；获得纪
C16
4818
32C8C
念品的概率为58≈0.3590于是按每天摸1000次计算，约有13人次获20元，128
C16
人次获2元，359人次获纪念品，赌主支付的彩金是695.5元。而“手续费”的收入为1000 元，故赌主一天获得300多元。从中我们不难看出，博彩是一种欺诈行为，赌主保赢不输。
例13.下表2.5是2000年江苏省第二十五期体育彩票的中奖情况, 请算出每个奖项的中奖概率。
表2.5
表说明1 购买江苏体育彩票时,需选取一个六位数作为彩票号码,第一位可以是0,数字也允许重复,如666666等。可以购买指定号码,也可以由电脑随机选号,购买数量不限（一个号码2元）另外,选定六位数的号码后,还要在0，1,2,3,4）这五个数中挑选一个所谓的“特别号” ,以兑特等奖之用
解 用P表示中特等奖的概率,Pi表示获i等奖（i=1,2,3,4,5）,因为六位数共
1
有106个,特别号有5种选择,故P=10-6⨯=2⨯10-7即特等奖的中奖率为五百万
5
之一。
-6
P1=10⨯
4
=8⨯10-7 5
P2=2⨯
9
=1.8⨯10-5 6
10
-6-4
P3=10(9⨯10+9⨯9+10⨯9)=2.61⨯10
P4=10-6(9⨯102+92⨯10+10⨯92+102⨯9)=3.42⨯⨯10-3 P5=10-6(5⨯194+12⨯93+3⨯92+3⨯92)=4.2039⨯10-2
从以上计算不难看出,中特等奖、一等奖和二等奖的概率极低,要想在一夜之间成为“巨富”简直比登天还难。买彩票要有一颗平常心,买彩票的主要目的是献爱心,而不是赢利,倘若孤注一掷,极有可能得不偿失,后悔莫及。
本章从体育、经济、农业、风险决策、博彩四个方面着笔，通过其中一些常见问题的分析。利用概率知识对解决具体问题上的应用，解析事件所代表的常规规律的，认清事件背后的本质，找到最直接、最经济、最有效的方法。
第三章 结语
20世纪以来，由于物理学、生物学、工程技术、农业技术和军事技术发展的推动，概率论飞速发展，理论课题不断扩大与深入，应用范围大大拓宽。在最近几十年中，概率论的方法被引入各个工程技术学科和社会学科。目前，概率论在近代物理、自动控制、地震预报和气象预报、工厂产品质量控制、农业试验和公用事业等方面都得到了重要应用。有越来越多的概率论方法被引入导经济、金融和管理科学，概率论成为它们的有力工具。
现在，概率论已发展成为一门与实际紧密相连的理论严谨的数学科学。它内容丰富，结论深刻，有别开生面的研究课题，由自己独特的概念和方法，已经成为了近代数学一个有特色的分支。
人们在生活和工作中,无论做什么事都要脚踏实地,对生活中的某些偶然事件要理性的分析、对待。一位哲学家曾经说过:“概率是人生的真正指南”。随着生产的发展和科学技术水平的提高,概率已渗透到我们生活的各个领域，众所周知的保险、邮电系统发行有奖明信片的利润计算、招工考试录取分数线的预测甚至利用脚印长度估计犯人身高等无不充分利用概率知识。如今“降水概率”已经赫然于电视和报端。有人设想，不久的将来，新闻报道中每一条消息旁都会注明“真实概率”，电视节目的预告中，每个节目旁都会写上“可视度概率”。另外，还有西瓜成熟概率、火车正点概率、药方疗效概率、广告可靠概率等等。又由于概率是等可能性的表现，从某种意义上来说是民主与平等的体现，因此，社会生活中的很多竞争机制都能用概率来解释起公平合理性。
本文所涉及的仅仅是概率论知识在生活中应用的一小部分。本文通过对具体例子的解析，应用概率论知识知识解释生活中的具体问题。通过概率知识认清具体问题的本质，可以让我们再处理问题的是后跟简便、高效，同时还能预测事件的发展情况，能够对即将发生事情做出预测，规避风险，采取最优化的面对风险的处理方法。总之,由于随机现象在现实世界中大量存在,概率必将越来越显示出它巨大的威力。
致 谢
非常感谢xx老师在我大学的最后学习阶段——毕业设计阶段给自己的指导。在本论文的写作过程中，我的指导老师倾注了大量的心血，从选题到开题报告，从写作提纲，到一次又一次地指出每稿的具体问题，严格把关，循循善诱从最初的定题，到资料收集，到写作、修改，到论文定稿，她们给了我耐心的指导和无私的帮助，再次我向她们表示诚挚的谢意。同时，感谢所有任课老师和所有同学在这四年来给自己的指导和帮助，是他们教会了我如何学习，教会了我如何做人。正是由于他们，我们才能在各方面取得显著的进步，在此向他们表示我由衷的谢意,并祝所有的老师培养出越来越多的优秀人才，桃李满天下！
参考文献：
[1]张田勘. 兴奋剂检测: 科学能够保证公平[J] . 民主与法制.2008(14):49(51)
[2]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，1989. [3]威廉·费勒.概率论及其应用.人民邮电出版社，2006.
[4]梁之舜,邓集贤,杨维权,等.概率论及数理统计(上) [M ]. 北京: 高等教育出版社, 2005: 76- 82.
[5]张芳.日常生活中概率的应用[J].山西财经大学学报: 高等教育版,2007,10(1):243.
[6]高鸿业.西方经济学［M］.北京：中国人民大学出版社，2004. [7]孙荣恒.应用数理统计(第2 版)［M］.北京：科学出版社，2003. [8]魏文元.概率论与数理统计［M］.天津：天津教育出版社，1996.
[9]恩格斯. 路德维希∀ 费尔巴哈和德国古典哲学的终结[M] . 北京: 人民出版社, 1972: 38.
[10]孙慧钧.数学期望与平均指标[J].统计与咨询，2007(4)：14-15.
[11]吴赣昌．概率论与数理统计（经管类）[M].北京：中国人大出版社，2006. [12]杨忠连，等.小概率原理在日常生活中的应用.科技信息,2008,30. [13]徐林.经济学专业概率论与数理统计教学初探.科技信息,2008,35
[14]马文斌，等.概率论与数理统计的教学体会与教法探讨.内蒙古财经学院学 报：综合版,2009,7(3).
[15]张孝理.经济应用数学[M].长沙:湖南科学技术出版社，2008:7. [16]高铁梅编著，计量经济分析方法与建模[M]，清华大学出版社 2006年(第3-27页)
[17] 王文华， 经济学研究中数学模型的应用[ J ] , 中州学刊， 2007(4):39-40.
[18]姚升保. 基于随机优势与概率优势的风险型多属性决策方法[ J] . 预测, 2007( 3): 26- 28.
第一章 绪论
1.1 概率论的发展
人类认识到随机现象的存在是很早的。从太古时代起，估计各种可能性就一直是人类的一件要事。早在古希腊哲学家就已经注意到必然性与偶然性问题；我国春秋时期也已有可考词语（辞海）；即使提到数学家记事日程上的可考记载，也至少可推到中世纪。有史记载15世纪上半叶，就已有数学家在考虑这类问题了。如在意大利数学家帕乔利（L.pacioli）1494年出版的《算术》一书中就有以下问题：两人进行赌博，规定谁先获胜6场谁为胜者。一次，当甲已获胜5场，乙也获胜2场时，比赛因故中断。那么，赌注该如何分配呢？所给答案为将赌注分成7份，按5：2分给甲乙两人。当卡丹(Cardan Jerome，1501—1576)看到上述问题时，以为所给分法不妥。他考虑到接下去比赛的几种可能结果，并确定赌注应按10：1来分配（现在看来，其分法也是错误的）。卡丹著有《论赌博》一书，其中提出一些概率计算问题。如掷两颗骰子出现的点数和的各种可能性等。此外，卡丹与塔塔利亚（Tartaglia Niccolo，1500—1557）还考虑了人口统计、保险业等问题。但是他们的研究工作，对数学家来说，赌博味道太浓了一些，以致数学家们对其嗤之以鼻。近代自然科学创始人之一—伽利略（Galileo，1564—1642）解决了以下问题：同时投下三颗骰子，点数和为9的情形有6种：（1、2、6）、（1、3、5）、（1、4、4）、（2、2、5）、（2、3、4）和（3、3、3）。点数和为10的情形也有6种：（1、3、6）、（1、4、5）、（2、2、6）、（2、3、5）、（2、4、4）和（3、3、4），那么出现点数和为9与10的机会应相同，而经验告知，出现10的机会比出现9的机会要多，原因何在？伽利略利用列举法得出同时掷三颗骰子出现点数和为9的情形有25种，而出现点数和为10的情形却有27种。可见，已经产生了概率论的某些萌芽。
概率概念的要旨只是在17世纪中叶法国数学家帕斯卡与费马的讨论中才比较明确。他们在往来的信函中讨论"合理分配赌注问题"。该问题可以简化为：
甲、乙两人同掷一枚硬币。规定：正面朝上，甲得一点；若反面朝上，乙得一点，先积满3点者赢取全部赌注。假定在甲得2点、乙得1点时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理。
帕斯卡：若在掷一次，甲胜，甲获全部赌注，两种情况可能性相同，所以这两种情况平均一下，
乙胜，甲、乙平分赌注
甲应得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。
费马：结束赌局至多还要2局，结果为四种等可能情况：
情况１２３４
胜者甲甲甲乙乙甲乙乙
前3种情况，甲获全部赌金，仅第四种情况，乙获全部赌注。所以甲分得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。
帕斯卡与费马用各自不同的方法解决了这个问题。虽然他们在解答中没有明确定义概念，但是，他们定义了使某赌徒取胜的机遇，也就是赢得情况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率，所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费马开始的。正如对概率论有卓越贡献的法国数学家泊松（poisson，1781—1840）后来所说：“由一位广有交游的人向一位严肃的冉森派所提出的一个关于机会游戏的问题乃是概率演算的起源”。
莱布尼兹（Leibniz，1646—1716）于1672—1676年侨居巴黎时读到帕斯卡概率方面的研究成果，深刻地认识到这门“新逻辑学”的重要性，并且进行了认真的研究。
在帕斯卡与费马通信讨论赌博问题的那一年，雅各·伯努利（Jacob
Bernoulli，1654—1705）诞生了。在1713年出版的其遗著《猜度术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理：若在一系列独立试验中，事件发生的概率为常数P，那么对>0以及充分大的试验次数n，有
kkn-k， Pn(k)=Cnpq
其中k为事件A在n次试验中事件出现的次数，伯努利定理刻画了大量经验观测中呈现的稳定性，作为大数定律的最早形式而在概率论发展史上占有重要地位。
伯努利认为：先前人们对概率概念，多半从主观方面来解释，即说成是一种“期望”，这种期望是先验的等可能性的假设，是以古典概型为依据的。这种方法有极大的局限性，也许只在赌博中可用；在更多的场合，由于无法数清所有的可能情况，也无法确定不同情况的可能性彼此间的大小，这种方法就不可行。他提出，为了处理更大范围的问题，必须选择另一条道路，那就是“后验地去探知我们所无法先验地确定的东西，也就是从大量相关事例的观察结果中去探知它”。这样一来，就从主观的“期望”解释转到了客观的“频率”解释。大数定律可以说明目前的大多数概率应用。由于有了它，任一种预测的准确程度将随着例数增多而提高。这就是为什么承得一个特殊事件的保险费的收费标准，要高于大量的一般事件的保险费标准的原因。
伯努利之后，棣莫弗（A.De Moivre，1667—1754）于1733年和高斯
（Gauss,1777—1857）于1809年各自独立引进了正态分布；蒲丰（G.L.L Buffon，1707—1778）于1777年提出了投针问题的几何概率；泊松于1837年陈述了泊松大数定律等。特别是拉普拉斯（P.S.Laplace，1749—1827）1812年出版的《概率的分析理论》以强有力的分析工具处理概率论的基本内容，使以往零散的结果系统化。拉普拉斯的著作实现了从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概率论发展的新时期。正是在这部著作中，拉普拉斯给出了概率的古典定义：
事件的概率等于一次试验中有利于事件A的可能结果数与该试验中所有可能结果数之比。
籍此拉普拉斯曾以“中立原理”计算出第二天太阳升起的概率为1/826214。值得说明的是，拉普拉斯认为世界是决定性的，偶然性只是出于人们的无知．如果我们能预知一切情况，以后的发展使可全知。关于这点拉普拉斯在其《概率论的哲学试验》中说的很明确：“智慧如果能在某一瞬间知道转动着自然的一切力量，知道大自然所有组成部分的相对位置，再者，如果它是如此浩瀚，足以分析这些材料，并能把上到庞大的天体、下至微小的原子的所有运动悉数囊括在一个公式之中，那末，对于它来说，就没有什么东西是不可靠的了，无论是将来或过去，在它面前都会昭然若揭”。按此观点，宇宙的一切发展，早在混沌初开时就完全决定下来，岂不荒唐！
19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫在这方面作出了重要贡献。他在1866年建立了关于独立随机变量序列的大数定律，使伯努利定理和泊松大数定理成为其特例。切比雪夫还将棣莫弗--拉普拉斯极限定理推广为更一般的中心极限定理。切比雪夫的成果后又被他的学生马尔可夫（A.A.Makpob,1856—1922）发扬光大，推进了20世纪概率论发展的进程。
19世纪末，概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需要。另外，科学家们在这一时期发现的一些概率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在的矛盾与含糊之处，其中最著名的是所谓“贝特朗悖论”。1899年由法国学者贝特朗（J.Bertrand）提出：在半径为r的圆内随机选择弦，计算弦长超过圆内接正三角形边长的概率根据“随机选择”的不同意义，可以得到不同的答案。
这类悖论说明概率的概念是以某种确定的实验为前提的，这种实验有时由问题本身所明确规定，有时则不然。因此，贝特朗等悖论的矛头直指概率概念本身，尤其是拉普拉斯的古典概率定义开始受到猛烈批评。
这样，到19世纪，无论是概率论的实际应用还是其自身发展，都强烈地要求对概率论的逻辑基础作出更加严格的考察。鉴此，1900年夏，38岁的德国代表希尔伯特（D.Hilbort，1862—1943）在世界数学家大会上提出了建立概率公理系统的问题。这就是著名的希尔伯特23问题之中的第6个问题。这就引导一批数学家投入了这方面的工作。
最早对概率论来严格化进行尝试的，是俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯·米西斯（R.von Mises,1883—1953）。他们都提出了一些公理来作为概率论的前提，但他们的公理理论都是不完善的。
作为测度论的奠基人，博雷尔（Borel）在1905年指出概率论理论如果采用测度论术语来表述将会方便许多，并首先将测度论方法引入概率论重要问题的研究，特别是1909年他提出并在特殊情形下解决了随机变量序列，服从强大数定律的条件问题．博雷尔的工作激起了数学家们沿这一崭新方向的一系列探索，其中尤以原苏联数学家科尔莫戈罗夫（A.H.Kolmogorov，1903—1987）的研究最为卓著。
从二十世纪二十年代中期起，科尔莫戈罗夫开始从测度论途径探讨整个概率论理论的严格表述。1926年，他推导了弱大数定律成立的主要条件，后又对博雷尔提出的强大数定律问题给出了一般的结果，推广了切比雪夫不等式，提出了科尔莫戈罗夫不等式，创立了可数集马尔可夫链理论，他最著名的工作是1933年以德文出版的经典性著作《概率论基础》。科尔莫戈罗夫是莫斯科函数论学派领导人鲁金的学生，对实际函数论的运用可以说是炉火纯青。他在这部著作中建立起集合测度与事件概率的类比、积分与数学期望的类比、函数正交性与随机变量独立性的类比，等等。这种广泛的类比终于赋予了概率论以演绎数学的特征。科尔莫戈罗夫的公理系统逐渐获得了数学家们的普遍承认，由于公理化，概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其他数学分支同等的地位。
科尔莫戈罗夫热爱教育事业，经常在大学生和进修生中挑选人才，参加讨论班。1934年，他与概率论另一位创始人辛钦共同主持概率论讨论班。在他们培养的学生中有6位成为前苏联科学院院士或通信院士。1980年科尔莫戈罗夫荣获沃尔夫奖。
公理化概率论首先使随机过程的研究获得了新的起点，随机过程作为随时间变化的偶然量的数学模型，是现代概率论研究的重要主题。
莱维（P.Levy）从1938年开始创立研究随机过程的新方法，即着眼于轨道性质的概率方法。1948年出版的《随机过程与布朗运动》，提出了独立增量过程的一般理论，并以其为基础极大地推进了对作为一类特殊马尔可夫过程的布朗运动的研究。1939年维尔(J.Ville)引进“鞅”这个名称，但鞅论的奠基人是美国概率论学派的代表人物杜布(J.LDoob)。杜布从1950年开始对鞅概念进行了系统的研究而使鞅论成为一门独立的分支。鞅论使随机过程的研究进一步抽象化,不仅丰富了概率论的内容,而且为其他数学分支如调和分析、复变函数、位势理论等提供了有力的工具。从1942年开始,日本数学家伊藤清引进了随机积分与随机微分方程,为一门意义深远的数学新分支——随机分析的创立与发展奠定基础。
1.2 随机现象与概率
在自然界和现实生活中, 一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此
间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成两大类:一类是确定性的现象，指在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。如，在标准大气压下，水加热到100℃，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。另一类是不确定性的现象。这类现象在一定条件下的结果是不确定的。例如，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如，在同样条件下进行小麦品种的人工催芽试验，各颗种子的发芽情况也不尽相同有强弱和早晚之别等。为什么在相同的情况下会出现这种不确定的结果呢?这是因为,人们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素是人们无法事先预料的。这类现象，人们无法用必然性的因果关系，对现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。
概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。比如:太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生。而太阳西升东落的概率就是0,因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生,也有可能不发生的,比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等,这类事件的概率就介于0和100%之间, 或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌,还是发生某类事故,但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件,都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦,同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。
第二章 概率知识的应用
概率论研究随机现象的统计规律性:数理统计研究样本数据的搜集、整理、分析和推断的各种统计方法,这其中又包含两方面的内容:试验设计与统计推断。试验设计研究合理而有效地获得数据资料的方法。统计推断则是对已经获得的数据资料进行分析,从而对所关心的问题做出尽可能精确的估计与判断。
概率论是一门与现实生活紧密相连的学科,不过大多数人对这门学科的理解还是很平凡的:投一枚硬币,0.5的概率正面朝上,0.5的概率反面朝上,这就是概率论嘛。学过概率论的人又多以为这门课较为理论化,特别是像母函数,极限定理等内容与现实脱节很大,专业性很强。其实如果我们用概率论的方法对日常生活中的一些看起来比较平凡的内容做些分析,常常会得到深刻的结果。
本文中通过对具体的事例的分析讨论，体会概率论的知识在体育，经济，农业，风险决策，博采中的应用。
2.1从北京奥运会看概率在体育项目中的体现和应用
举世瞩目的北京奥运会已经圆满落下帷幕,但精彩的奥运会比赛给我们留下了美好的回忆。而在充满变数的奥运竞赛里面,隐藏着很多概率方面的问题,并且起了非常重要的作用。“绿色奥运,人文奥运,科技奥运”是北京奥运会的理念, 奥运会涉及到概率方面的应用也是科技奥运的体现。
2.1.1 运用几何概率分析射箭比赛成绩的高低
射箭比赛中使用的环靶为圆形（图2.1）所示,环靶自中心向外分别为黄、红、蓝、黑和白五种颜色的等宽同心圆区。每一色区内又以一条细线分为两个等宽区,这样就构成了10个等宽的环区。中心“+”标出,称为针孔。环心至环边,10个环区依次记为10环,9环,8环,„射中某环区即的相应环分。箭杆与环线之间没有距离时,按射中高环区计分。直观理解,越靠近靶心的位置得分越高的原因是因为越靠近靶心的位置越难射中。下面从概率的角度来描述射中靶位不同地方的难易程度。
图2.1 圆形环靶
假设这10个同心圆最内层的黄色的小圆的半径为r,外层同心圆的半径依次为2r,3r,r,„,10r。从而最内层的黄色小圆的面积为πr2,外层的同心圆环的面积依次为3πr2,5πr2，7πr2，9πr2，11πr2，13πr2，15πr2，17πr2，19πr2。为便于说明,假设运动员射箭的时候不会脱靶,并且射中环靶上的位置是随机的,则由几何概率的定义,射中最内环的十环的概率为0.01,射中九环的概率为0.03。 环数逐渐降低,射中该环数的概率却依次增加,分别为0.05,0.07,0.09，
0.11,0.13,0.15,0.17,0.19。可见利用几何概率的方式,我们可以更简便地理解越靠近靶心的位置越难射中,越靠近靶心分数越高。
2.1.2 从小概率原理看埃蒙斯再次上演雅典失误
美国射击名将马特·埃蒙斯继雅典奥运会因脱靶而痛失金牌之后,北京奥运会,他再次失误,只打出4.4环的“业余成绩”,再次与金牌无缘。不考虑心理因素、现场因素等其他问题,在奥运会射击大赛中,高手如林,出现此等失误并且两次失误的可能非常小,但确确实实地发生了,并且在同一个人身上发生了。从概率论的角度上来理解,虽然脱靶可能性非常小(其概率记为p),但仍发生了。这就验证了“小概率事件在多次实验后有可能发生”的论断。
如果用p表示某小概率事件A在一次试验中发生的概率,则一次试验中事件A不发生的概率是1-p。为便于说明, 假设运动员在射击过程中每一枪是否射中靶位都是相互独立的。则n次试验中小概率事件A都不发生的概率是(1-p)，由性质p(A)=1-pA,在这n 次试验中小概率事件A 至少发生一次的概率是1-(1-p)。又因为0
nn Lim⎡1-(1-p)⎤=1-Lim(1-p)=1 ⎦n→∞⎣n→∞nn()
即在足够多次试验后,小概率事件A肯定要发生,并且这种可能性随着试验次数的增加越来越大。
通过以上分析,如果再考虑在历届奥运会射击比赛中所进行的射击总次数非常多,在高手如林的奥运会比赛中出现脱靶的小概率事件也就不足为奇了。
2.1.3 概率知识保证了奥运会篮球抽签的分组方式的公平性
奥运中很多项目采取抽签的方式进行分组,如篮球、足球等。因为各球队的实力不一样,对一个球队或个人而言,除了自己的实力以外,分组也十分重要。如北京奥运会男篮分组是通过抽签的方式将所有参加比赛的12支队伍分成A、B两组,每组6支球队进行单循环赛。中国男篮抽签进入的B组包含了2006年世锦赛的前三名:西班牙、希腊、美国队,以及第六名德国队,还有非洲冠军安哥拉队。面对这样的分组形势,篮管中心副主任胡加时称‘这是各种预料中结果最糟的,中国队这次抽到了下下签”,而媒体称之为“这个小组成了名副其实的死亡之组”。“历史上最齐整的中国男篮”虽然在比赛中打出了士气,但终因实力差距,并没有打破第八名的历史记录。那么这种抽签的分组方式是否能够保证公平?抽签顺序的调整对于结果是否有影响?
因为一组抽签中,抽中两个球队之中任何一个的概率是一样的,即把美国和阿根廷两者组成的组合放到任意一个次序,美国队和中国队分入同一组的概率都是0.5,即改变抽签顺序并不能保证中国肯定能避开美国队。
为便于说明,我们将问题简化一下,用取球的方式代表。假设某一个不透明袋子里面放有5个大小形状都相同的球,其中4个黑色,1个白色,试说明每次摸出白球的概率是一样的。我们用Ai表示“第i次摸出的球是白球”,其中i=1,2,3,4,5,14则Ai表示“第i次摸出的球是黑球”。显然p(Ai)=,pAi=即第一次抽到白55
1球的概率是。若第二次摸出白球,第一次只能摸出黑球,即p(A2)=pA1A2利5()()
用乘法公式可得
411p(A2)=pA1A2=PA1PA2|A1=⨯= 545
1类似可得p(A3)=p(A4)=p(A5)= 5()()()
即抽签不分先后,从而也可以说明无论怎么调换顺序,都不能保证中国队避开实
力较强的美国队。因此,对于中国男篮而言,唯一的出路就是不断地提高自己的技战术,以增加自己的实力。
2.1.4 概率知识在奥运会上药检方面的应用
现代奥林匹克的精神就是“更高、更快、更强”,然而诸多因素导致了兴奋剂在各种赛场上的出现。为了保证竞赛的公平和公正,并维护运动员的身体健康,兴奋剂检测也成为各大赛事保证公平竞争的重要环节。目前,兴奋剂检测有尿样检查与血液检查两种方式,尿样仍是主要方式。作为判断运动员是否服用违禁药品的兴奋剂检测,其公平性尤为重要。加拿大短跑运动员本·约翰逊在被判服用兴奋剂并作出判罚决定以后,曾声称还有很多运动员服用兴奋剂,只是他们的运气比较好,没有检测出来,因此对他的处罚是不公平的。我们从概率论的角度来考察只进行了一次兴奋剂检测时的准确程度。
假设根据以往统计,在奥运会上服用兴奋剂的运动员占所有运用员总数的0.005。某种尿样检查,如果运动员确实服用了兴奋剂,则检测呈阳性的概率是0.99,而没有服用兴奋剂的运动员检测呈阳性的概率是0.01。现抽查了一个人,检测结果呈阳性, 则该运动员确实服用兴奋剂的概率是多少?
首先,令
A ={检测结果呈阳性},B ={被抽查的运动员服用了兴奋剂},则
P(B)=0.005,PB=0.995,P(A|B)=0.99,PA|B=0.01,
利用贝叶斯公式 ()()
p(B|A)=P(B)P(A|B)
P(B)P(A|B)+PBP(A|B)
可得p(B|A)≈0.3322
即使某运动员兴奋剂检测呈阳性,但他真正服用兴奋剂的可能性并不大。尽管如此,这种检测也是有意义的,因为不检测时,他用服兴奋剂的可能性只有0.005,但一旦检测呈阳性,他服用兴奋剂的可能性则上升到0.3322,增加了约66倍。
除提高兴奋剂检测技术外,兴奋剂检测一般需要准备两份样品,比如尿样检测。若第一份检测呈阳性,再由相关检测机构对第二份样品进行检测,若第二份结果仍然呈阳性,则该运动员就被判服用兴奋剂因为两次试验选取的样品是相同的
条件下选取的两份样品,并且检测手段一样,则两次检测可以认为是相互独立的。因此可以从概率学中事件的独立性的角度来进行分析。
令Ci表示第i次检测结果呈阳性的运动员并没有服用兴奋剂,则可知检测结
果呈阳性的运动员并没有服用兴奋剂的概率是
p(Ci)=pB|A=1-P(B|A)=0.6788 ()
两次检测都呈阳性却没服用兴奋剂的事件表示为
D=C1C2 则事件D的概率为
pD=1-p(D)=1-P(C1
=1-0.6678≈0.5542()C2)=1-P(C1)P(C2)
可见两次检测结果都呈阳性的运动员服用兴奋剂的概率0.554>0.3322,即经过第二次检测就可以进一步确认该运动员是否服用兴奋剂。因此对于第一次测结果呈阳性的运动员进行第二次检测是非常有必要的。但是也要注意到,虽然经过两次检测,但准确度却依然有待进一步提高,只是限于药检成本较高,不适合进行大量的反复实验。因此,为提高检测准确度,保障运动的竞争公平,还必须从科技上进行完善。
恩格斯曾指出在表面上是偶然性在起作用的地方,这种偶然性始终是受内部隐藏着的规律支配的,而问题只是在于发现这些规律。同样,在充满着诸多变数的奥运体育盛会中,概率论也在或客观或主观地起到独特的作用,而了解这些背后所隐藏的概率知识对于我们更好的理解体育运动的魅力具有重要的作用,并且也可以通过更好地发挥概率所起到的作用。
2.2 概率论知识在经济生活中的应用
2.2.1 概率统计思想在防范金融风险中的应用
在现实经济生活中，经济的发展决定着一个国家的命脉。如何防范金融风险也成为各国经济学家研究的重点。
例1.设某公司拥有三支获利是独立的股票，且三种股票获利的概率分(2)三
种股票至少有一种股票获利的概率别为0.8、0.6、0.5，求(1)任两种股票至少有一种获利的概率；(2)三种股票至少有一种股票获利的概率；
解 设A、B、C 分别表示三种股票获利，依题意A、B、C 相互独立。
P(A)=0.8,P(B)=0.6,P(C)=0.5，则由乘法公式与加法公式：
(1) 任两种股票至少有一种获利等价于三种股票至少有两种获利的概率。 P1=P(AB+AC+BC)
=P(AB)+P(AC)+P(BC)-2P(ABC)
=P(A)P(B)+P(A)P(C)+P(B)P(C)-2P(A)P(B)P(C)
=0.8×0.6+0.8×0.5+0.6×0.5-2×0.8×0.6×0.5=0.7
(2)三种股票至少有一种股票获利的概率。
P2=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)
-P(AC)-P(BC)+P (ABC)
=0.8+0.6+0.5-0.8×0.6-0.8×0.5-0.6×0.5+0.8×0.6×0.5
=0.96
计算结果表明：投资于多只股票获利的概率大于投资于单只股票获利的概率这就是投资决策中分散风险的一种策略。
2.2.2 小概率原理在工业生产中的应用
小概率事件原理是作为在统计推断的理论及应用中有着重要作用的一个基本原理。
例2．某厂每天的产品分3 批包装，规定每批产品的次品率都低于0.01才能出厂。假定产品符合出厂要求，若某日用上述方法抽查到了次品，问该日产品能否出厂?
解 把从3批产品中各抽1件看作3次独立试验，于是可把问题归结为贝努利概型。若产品符合要求，则次品率小于0.01，令p=0.01，q=1-p=0.99。
抽3件产品恰有0件次品的概率为：
0p3(0)=C3(0.01)0(0.09)3=0.970299
若产品符合要求，从3批产品中各抽1件，至少抽到1件次品的概率小于
∑p(k)=1-p(0)=1-q33
k=133=1-(0.99)≈0.03 3
这是一个概率很小的事件。在概率论中将概率很小(小于0.05)的事件叫做小概率事件。小概率事件原理是：如果一个事件发生的概率很小，那么，在一次试验中，可以把它看成是不可能事件。由这一原理可知，如果在一次试验中某个小概率事件发生了，那么就可认为这是一种反常现象。本例中，从3批产品中各抽1件至少抽到1件次品的概率小于0.03， 这是小概率事件。抽到次品的事竟然发生了，这说明该日产品次品率不止0.01，故可判断该日产品不能出厂。
2.2.3 概率论在资产组合方面的应用
在金融市场上规避风险是任何投资者首要考虑的目标，而多样化投资是降低风险的一种途径，这也是资产组合理论的核心内容。我们举一个太阳镜和雨衣的例子来分析资产组合在降低风险方面的作用，所用到的概率论知识也是很简单的期望收益。这也是笔者在日常教学中一个深刻的体验，现代经济学虽然所用到的数学知识越来越深奥，但是一些简单的数学概念却能够揭露经济学深刻的内涵。假设在当前的市场上，一副太阳镜与一件雨衣的价格都是10元，如果未来的夏季是雨季，雨衣的价格会涨到20元，太阳镜的价格会跌到5元。但是，如果未来的天气是炎炎夏日，则太阳镜的价格会涨到20元，而雨衣的价格会降到5元。如果天气是雨季还是酷暑的概率各位50%，你要投资100元。如果你把100元全投资于雨衣(买下10件雨衣，因为现价是10元一件)，那么你有50%的概率获得200元，有50的概率获得50元。如果你把100元投资于太阳镜，结果也是一样的。最后，你的期望收入是125元。但是若你在太阳镜和雨衣上各投资于一半，那么当是雨季时，你会从雨衣上获得100元，在太阳镜上获得25元；当是酷暑时，你会在太阳镜上获得100元，在雨衣上只获得25元。但不管怎么样，你一定可以得到125元。多元化投资和单一投资的差别在于：在后面的多元化投资中，125元是一个确定的收入，而在前面的单一投资中，125只是个期望收入。对于风险厌恶者而言，多元化的投资可以降低风险，提高确定性，从而提高效用。这也是在金融市场上资产组合理论的核心内容。
2.2.4 概率与经营
泊阿松分布在经济决策中,占有很重要的位置。而运筹学中考虑最优化问题需要进行概率估计。通过分析进行最优选择。在经营中也需要进行选择问题,在选择时自然要考虑经营的策略问题。
例3. 某商店根据以往的资料得知, 某种商品每月的销售额可以用参数λ=4的泊松分布来描述。试问该商品在月底一次至少要进货多少件才能有90%以上的把握, 保证下个月的该种商品不致脱销?
解 设该商店每月销售某种商品ξ件,月底进货m件,当ξ≤m时不会脱销。由题意有P(ξ≤m)≥0.90 由泊松分布表可得,P(ξ≥7)=0.1107,P(ξ≥
8)=0.0511即P(ξ≤6)=1-P(ξ≥7)=0.8893;P(ξ≤7) =1-P(ξ≥8) =0.9489>0.9。故这家商店如果月底没有存货只要进货7件就可有90%以上的把握,保证下个月的该种商品不致脱销。
2.2.5 概率与库存
库存是经济规律中一种普遍现象,是人们生产和生活中不可缺少的一个环节。目前,库存问题研究不仅涉及到原材料,半成品,成品,商品等等。而且还有信息存贮,人才储备等这样一些领域。在经济活动中,库存量的多少直接影响到经营单位的成本,效益,因此合理恰当的库存,有着直接的重要经济意义。
例4. 某商店由多年的经验发现本店每月出售某种商品的件数D是一个随机变量,由以往的统计资料可知,它近似的服从区间[0,12]上的均匀分布,设每出售这种商品一件,可获利300元,如果不能出售,造成积压,则每件需付库存费用100元。问该商场月初购进多少件该商品才能使月平均收益最大。
解 设该商品月初购进数量为u,月收益为R,则R是随机变量D的函数R=g(D)，
⎧1⎪0≤x≤12随机变量D的密度函数为f(x)=⎨12
⎪0⎩
300u→D≥u⎧即R=g(D)=⎨ 其中0≤u≤12 300D-100u-D→D
根据随机变量函数的数学期望公式
E(R)=⎰1-x
xg(x)f(x)dx
12⎤1⎡u=⎢⎰(400x-100u)dx+⎰(300u)dx⎥u12⎣0⎦
u11122⎡⎤200x-100ux+300ux[]⎦012u12⎣
1=(-200u2+3600u)12
1''令E'(R)=(-400u+3600)=0，解得u=9又E(R)≤0故当u=9时, E(R)取12=
得最大值。即该商场月初购9件该产品收益最大。
2.3 概率论在农业中的应用
2.3.1全概率公式在农业中的应用举例
对于农业技术人员来说,确定一批种子所结的麦穗含有一定数目麦粒的概率是很重要的。例如,已知一等麦种中混入2.0%的二等麦种,1.5%的三等麦种,1.0%的四等麦种。一、二、三、四等麦种结50粒以上麦粒的麦穗的概率又分别0.50、0.15、0.10、0.05,那么就可以用全概率公式求出这批种子所结的麦穗含有50粒以上麦粒的概率。设Ai=“任取一粒麦种为i等麦种(i=1,2,3,4)”,B=“所结的麦穗含有50粒以上麦粒”。因A1、A2、A3、A4两两互斥,且A1+A2+A3+A4=Ω,故由全概率公式得
p(B)=∑i=14p(Ai)p(B|Ai)
=(1-0.2-0.015-0.01)⨯0.5+0.02⨯0.15
+0.015⨯0.1+0.01⨯0.05=0.4825
2.3.2二项分布在农业中的应用举例
在药效试验中,可以利用二项分布比较疫苗的有效性。例如,某种鸭在正常情况下感染某种传染病的概率为0.2。现新发明2种疫苗,疫苗A注射给9只健康鸭后无1只感染传染病,疫苗B注射给25只健康鸭后仅有1只感染,那么(1)应如何评价
这2种疫苗,能否初步估计哪种较为有效?(2)在此药效试验问题中,求在正常情况下,没有注射疫苗时9只健康鸭与25只健康鸭当中分别最可能感染传染病的鸭数。
(1)若疫苗A完全无效,则注射后鸭受感染的概率仍为0.2,故9只鸭中无1 只感染的概率为(1-0.2)=0.1342。同理,若疫苗B完全无效,则25只鸭中至多有1只
10.2(1-0.2)=0.274。因为概率0.0274很小,并且受感染的概率为(1-0.2)+C2525249
比概率0.1342小得多,因此可以初步认为疫苗B是有效的,并且比疫苗A有效。
kkp(1-p)(2)设二项分布B(n,p)的通项为b(k,n,p)=Cnn-k，则因当(n+1)p=m
为正整数时,b(m;n,p)=b(m-1;n,p)为通项的最大值;当(n+1)p不是正整数时,满足(n+1)p-1
2.3.3 事件的独立性在农业中的应用
在播种育苗时,可以利用事件的独立性确定种子的发芽率。例如,某种子的发芽率为0.4,播种育苗时,一穴点播3粒种子,求一穴至少有1粒种子发芽的概率。 设Ai=“第i粒种子发芽”（i=1,2,3,4）,B=“至少有一粒种子发芽”，则
B=A1
独立,故A2A3,则B=A1A2A3因A1、A2、A3相互独立,所以A1、A2、A3也相互
p(B)=1-PB=1-PA1A2A3=1-pA1pA2pA3=1-(1-0.4)=0.784 ()()()()()3
2.3.4 切比雪夫不等式在农业中的应用举例
利用切比雪夫不等式,可以估计良种数所在的范围,对指导农业生产有一定
1意义。例如,现有一批种子,其中良种占,今任取6000粒种子,试以0.99的概率推6
1断,在这6000粒种子中良种所占的比例与的差是多少?这时相应的良种数在哪6
个范围内?
1⎫⎛若以X表示6000粒种子中良种的个数,则X~B 6000,⎪,则6⎭⎝
E(X)=1000,D(X)=50005000，则E(X)=1000,D(X)=，故由契比雪夫不等66
式有
⎛X1⎫p -≤ε⎪=⎝60006⎭
得ε≈0.048。又由⎛p ⎝⎛X⎫5D ⎪⎫X⎛X⎫⎝6000⎭=1-=0.99,-E ≤ε≥1-⎪⎪6000ε2ε2⎝6000⎭⎭X1-≤0.048,得712≤X≤1288。即以0.99的概率推断,60006
1在这6000粒种子中良种所占的比例与的差大约是0.048,这时相应的良种数大6
致在区间[712,1288]。
2.3.5 极大似然估计在农业中的应用举例
在渔业中,可以利用极大似然估计估计湖中的鱼数,从而指导渔业生产。设湖中有鱼N条,现钓出r条,做上记号后放回湖中。一段时间后,再钓出s条(s≥r),结果其中有t条(0≤t≤r)标有记号。据此信息估计湖中鱼数N的值。
若以X 表示钓出的s条鱼中标有记号的鱼数,则X=0,
ts-tCrCN-r1,2,„,r,并且p(X=t)==f(N,t) SCN
现要估计湖中鱼数N的值,而钓出s条即已有t条标有记号,故由极大似然估计的思想应认为N应该使P(X=t)达到最大,即应取N^使f(N^,t)=maxf(N,t)。为此考虑函数f(N,t)的单调性。由于
R(N,t)=
=ff(N,t)N-1,t(N-r)(N-s)
NN-r-s+tts-tsCrCNC-rN-1=sts-tCNCrCN-1-r=N-Nr-Ns+rs
N2-Nr-Ns+Nt2
故当rsNt时,R(N,t)>1。故当N>
减；当N
数N的估计值。
直观来看,湖中有标记的鱼所占的比例应和钓出的s条鱼中有标记的鱼所占
rs的比例相一致, 即应有r:N=t:s,故应有N^=。估计值正好与直观的结果相符,t
说明用极大似然估计的思想估计湖中鱼数N的方法是正确的。
2.4 概率论在决策分析中的应用
所谓决策，就是决策者为解决当前或未来可能发生的问题，在若干可供选择的行动方案中选择一个最佳方案的过程。因此，决策者应学会科学的决策分析，选择最优策略，避免产生重大损失。在此过程中，概率论是有效的工具之一。它为决策分析提供了新的手段，有助于提高管理水平和经济效益。
2.4.1 保险投保问题
为了满足人们日常生活中的投保需求，保险公司常根据相关事故发生概率的大小来制定有关的投保规则，然后再根据投保规则及协议的有关要素对投保人进行赔偿。这既要考虑投保方的经济利益，又要考虑保险公司的盈利预期。解决此类问题离不开概率论与数理统计的相关知识。
例5.据统计，一位40岁的健康（一般体检未发现病症）者，在5年之内活着或自杀死亡的概率为p（0＜p
解：设ξi表示公司从第i个参加者身上所得的收益，则ξi是一个随机变量，其分布如下
表2.1 公司期望收益E(ξi)>0，即E(ξi)=ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p)>0
所以，当保险公司期望获益时，b应满足a
当m个人参加保险时，设保险公司获益ξ元，则a 1-p
ξ=∑ξi,E(ξ)=∑E(ξi)=ma-mb(1-p)
i=1i=1mm
所以有m人参加保险时，公司可期望从中获益ma-mb（1－p）元。
例6.已知一个危险单位万元以上的某项保险发生事故的概率为p=1/100,保险公司开办一年期万元以上该项保险。参加者需要交保险费100元。若在一年内该项保险发生,保险公司赔偿a(a>100 )元。为使保险公司收益的期望值不低于a 的百分之七,问最大的赔偿值应为多少?
解 设ξ表示保险公司在参保单位的收益,则ξ=100和ξ=100-a且
P(ξ=100)=0.99,P(ξ=100-a)=0.01
保险公司获益的期望值为E(ξ)=0.99⨯100+0.1⨯(100-a)=100-0.01a
要使保险公司获益的期望值不低于a的百分之七即100-0.01a≥0.07a,
解得a≤1250
既最大赔偿值为1250元。
2.4.2 商品供求问题
在商品销售过程中，商品的进货量是一个很重要的因素。若商品卖不出去，则店主要支付银行的借款利息及商品的保管费用；若商品脱销，则减少店主的盈利额。故在商品的销售过程中既要保证其不积压又要保证其不脱销，因此商品销售者控制好进货量是至关重要的。
例7.一家商店采用科学管理的方法经销高价商品，店家追踪前24
个月的销售记录如下表2.2
表2.3
问商店在本月初至少进货多少件才能以95%以上的把握保证这个月商品不脱销？
解：在实际生活中，我们认为每月的商品销售数服从泊松分布。故先求泊松分布中的参数λ。
λ=1(5⨯2+3⨯3+4⨯4+3⨯5+3⨯6+1⨯7+1⨯8+3⨯9+1⨯10)=5 24
设该商品每月的销售数为X，则X~P(5)。假如商店在月初应进该种商品m
e-55k
件，此问题即求满足P{X≤m}>0.95的最小m，即∑>0.95 k!k=0m
8e-55ke-55k
查泊送分布表，得∑≈0.968172,∑≈0.931906 k!k!k=0k=09
于是得m=9件。
例8.某商场计划在盛夏来临之前，完成一批某种夏装的采购。根据经验，如果进货量太小，最后可能会出现无货可卖的局面，从而失去获利的机会；如果进货量太大，很可能夏季已经过去了，该批夏装还有剩余，最后只能降价处理甚至赔本甩卖，因为放到第二年再卖，增加了商场的保管成本，万一到了第二年服装的样式过时，损失会更大。
解 假设基于往年的情况和专业人员对近期市场形势的评估，在夏季，该商场至少能卖出500件该种夏装，至多1000件，卖出的件数近似均匀分布，可知夏
⎧1,500≤x≤1000⎪装销售件数的概率密度函数为：f(x)=⎨500。假设在夏季每卖出
⎪0,qita⎩
一件平均获利150元，夏季内没有卖出去的衣服平均每件亏损60元。现在要确定进货的件数y，使得商场的平均利润最大。显然，y肯定介于500到1000之间。设x为实际销售件数，当x≥y时，也就是当实际销售量大于等于进货量时，衣服不会有剩余，每件衣服都可获利；当x
150y,x≥y⎧
，利润的数学期望为L(x)=⎨
⎩150x-60(y-x),x
E(L)=
+∞
-∞
⎰L(x)f(x)dx
y
1000
1⎡=150x-60(y-x)⎤dx+⎢⎰⎡⎣⎦500⎢⎣500=-0.21y2+360y-52500
''
⎰
y
⎤'
150ydy⎥对y求导，并令⎡EL⎤⎣()⎦y=0，
⎥⎦
得y=857.14。又因为⎡⎣E(L)⎤⎦y=-0.42
对于损害国家及人民利益的突发事件，全体人民会全力以赴阻止其进一步的恶化发展。但有限的财力及物力又不得不让人考虑具体方法的可行性。这就涉及到科学决策的问题，科学决策同样离不开概率论知识。
例9.为了防止“甲型H1N1流感”病情的进一步蔓延，我校积极出台了一系列的预防措施。设我校可实际采用的四个预防措施为甲、乙、丙、丁，并且认为它们是相互独立的。经过多方论证，可得下表2.3：
表2.3
注：（1）P 表示单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发 生的概率
（2）“费用”表示单独采取相应措施的花费。由于财力有限，我校所能提供的资金只有12万元。问：我们应采用怎样的预防方案，可使“甲型H1N1流感”不发生的概率最大？（预防方案可单独采用一种或联合采用若干）
解：由所给条件，我们仅可以得到如下几个方案：
方案1：在总费用不超过12万元前提下单独采用一种预防措施。由表2.3可知，
单独采用甲措施可使此事件不发生的概率最大，其值为0.95。
方案2：在总费用不超过12 万元前提下联合采用两种预防措施。由表可知，联合甲、丙两种措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其值为
1-（1－0.95）（1－0.75）＝0.9875。
方案3：在总费用不超过12 万元前提下联合采用三种预防措施。 由表可2.3知，只能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时，突发事件不发生的概率为：1-（1-0.85）（1-0.75）（1-0.65）＝0.986875。
综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过12 万元的前提下，联合乙、丙、丁三种预防措施可使突发事件不发生的概率最大，其概率为0.986875。 2.4.4 承包工程的决策
数学期望是概率统计中随机变量最基本的数学特征之一，是随机变量按概率的加权平均，又称期望或均值，它是简单算术平均的一种推广。在生活中，有许多问题可以利用数学期望来解决。应用数学期望可以在在决策上选择最优化的方案。
例10.某工程队计划承包一项工程。若三天完成可获利8000元，四天完成可获利5000元，五天完成要被罚款10000元。由以往经验知，该工程队三天、四天、五天完成此项工程的概率分别为0.3、0.5、0.2，获利金额的概率分布见下表。问，如果你是经理，愿意承包这项工程吗？计算出利润的数学期望就知道答案了。
表2.4
承包此项工程获利的数学期望是：8000×0.3+5000×0.5-10000×0.2=2900元，就是说，虽然有被罚款的可能，但平均说来，承包这样的工程是可以获利的。 2.4.5 抽签决策问题
抽签问题在古代已经存在，其对公平决策意义非凡。下面我们从概率的方面来说明抽签次序对抽签结果无影响。
例11.某专业研究生复试时10个考签中有4个难签，甲、乙、丙3人参加抽签考试，不重复抽取，每人一次，问：那个人抽到难签的概率最大？
解：设事件A、B、C 分别表示甲、乙、丙抽到难签。 则有B=AB
AB,ABABC
AB=∅
ABC ABC,ABC,ABC,ABC两两互斥
C=ABC
则P(A)=
ABC
2 5
23342
P(B)=P(AB)+PAB=⨯+⨯=
59595
()
P(C)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)
[1**********]42 =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=[**************]85
故P（A）=P（B）=P（C）
一般地，如果在n 个签中有m（m
mm
，即每个抽签者抽到难签的概率都是，也就是说，并未因抽签nn
的顺序不同而影响到其公平性。
2.5 通过概率认清博彩
很多时候我们会在某个街头发现一群人围在一起参与摸彩。由于本钱较小，许多围观者都跃跃欲试，有的竟连续数十次，结果获奖者却是寥寥无几。这是怎么一回事?
例12．某市某公园门口有一赌摊，一个摆地摊的赌主，他拿了8个白的，8个黑的围棋子放在一个签袋里。他规定：凡自愿摸彩者需要交1元的“手续费”，然后一次从袋中摸出5个棋子，摸到5个白子奖20元，摸到4个白子奖2元，摸到3个白子奖价值5角的纪念品，摸到其它无奖。请计算能获得20元奖金的概率是多少？能获得2元的概率是多少？假如每天摸1000次计算，赌主一天可净赚多少钱？
5
解 从16个棋子中摸出5个棋子共有C16种可能情形，其中摸出5个棋子均为白
5C8
子的情况有C种，因此摸到5个白子的概率为5≈0.0128,其中摸出5 个棋子中
C16
58
1
C84C8
有4个白子的情况为CC种，因此摸到4个白子的概率为5≈0.1282；获得纪
C16
4818
32C8C
念品的概率为58≈0.3590于是按每天摸1000次计算，约有13人次获20元，128
C16
人次获2元，359人次获纪念品，赌主支付的彩金是695.5元。而“手续费”的收入为1000 元，故赌主一天获得300多元。从中我们不难看出，博彩是一种欺诈行为，赌主保赢不输。
例13.下表2.5是2000年江苏省第二十五期体育彩票的中奖情况, 请算出每个奖项的中奖概率。
表2.5
表说明1 购买江苏体育彩票时,需选取一个六位数作为彩票号码,第一位可以是0,数字也允许重复,如666666等。可以购买指定号码,也可以由电脑随机选号,购买数量不限（一个号码2元）另外,选定六位数的号码后,还要在0，1,2,3,4）这五个数中挑选一个所谓的“特别号” ,以兑特等奖之用
解 用P表示中特等奖的概率,Pi表示获i等奖（i=1,2,3,4,5）,因为六位数共
1
有106个,特别号有5种选择,故P=10-6⨯=2⨯10-7即特等奖的中奖率为五百万
5
之一。
-6
P1=10⨯
4
=8⨯10-7 5
P2=2⨯
9
=1.8⨯10-5 6
10
-6-4
P3=10(9⨯10+9⨯9+10⨯9)=2.61⨯10
P4=10-6(9⨯102+92⨯10+10⨯92+102⨯9)=3.42⨯⨯10-3 P5=10-6(5⨯194+12⨯93+3⨯92+3⨯92)=4.2039⨯10-2
从以上计算不难看出,中特等奖、一等奖和二等奖的概率极低,要想在一夜之间成为“巨富”简直比登天还难。买彩票要有一颗平常心,买彩票的主要目的是献爱心,而不是赢利,倘若孤注一掷,极有可能得不偿失,后悔莫及。
本章从体育、经济、农业、风险决策、博彩四个方面着笔，通过其中一些常见问题的分析。利用概率知识对解决具体问题上的应用，解析事件所代表的常规规律的，认清事件背后的本质，找到最直接、最经济、最有效的方法。
第三章 结语
20世纪以来，由于物理学、生物学、工程技术、农业技术和军事技术发展的推动，概率论飞速发展，理论课题不断扩大与深入，应用范围大大拓宽。在最近几十年中，概率论的方法被引入各个工程技术学科和社会学科。目前，概率论在近代物理、自动控制、地震预报和气象预报、工厂产品质量控制、农业试验和公用事业等方面都得到了重要应用。有越来越多的概率论方法被引入导经济、金融和管理科学，概率论成为它们的有力工具。
现在，概率论已发展成为一门与实际紧密相连的理论严谨的数学科学。它内容丰富，结论深刻，有别开生面的研究课题，由自己独特的概念和方法，已经成为了近代数学一个有特色的分支。
人们在生活和工作中,无论做什么事都要脚踏实地,对生活中的某些偶然事件要理性的分析、对待。一位哲学家曾经说过:“概率是人生的真正指南”。随着生产的发展和科学技术水平的提高,概率已渗透到我们生活的各个领域，众所周知的保险、邮电系统发行有奖明信片的利润计算、招工考试录取分数线的预测甚至利用脚印长度估计犯人身高等无不充分利用概率知识。如今“降水概率”已经赫然于电视和报端。有人设想，不久的将来，新闻报道中每一条消息旁都会注明“真实概率”，电视节目的预告中，每个节目旁都会写上“可视度概率”。另外，还有西瓜成熟概率、火车正点概率、药方疗效概率、广告可靠概率等等。又由于概率是等可能性的表现，从某种意义上来说是民主与平等的体现，因此，社会生活中的很多竞争机制都能用概率来解释起公平合理性。
本文所涉及的仅仅是概率论知识在生活中应用的一小部分。本文通过对具体例子的解析，应用概率论知识知识解释生活中的具体问题。通过概率知识认清具体问题的本质，可以让我们再处理问题的是后跟简便、高效，同时还能预测事件的发展情况，能够对即将发生事情做出预测，规避风险，采取最优化的面对风险的处理方法。总之,由于随机现象在现实世界中大量存在,概率必将越来越显示出它巨大的威力。
致 谢
非常感谢xx老师在我大学的最后学习阶段——毕业设计阶段给自己的指导。在本论文的写作过程中，我的指导老师倾注了大量的心血，从选题到开题报告，从写作提纲，到一次又一次地指出每稿的具体问题，严格把关，循循善诱从最初的定题，到资料收集，到写作、修改，到论文定稿，她们给了我耐心的指导和无私的帮助，再次我向她们表示诚挚的谢意。同时，感谢所有任课老师和所有同学在这四年来给自己的指导和帮助，是他们教会了我如何学习，教会了我如何做人。正是由于他们，我们才能在各方面取得显著的进步，在此向他们表示我由衷的谢意,并祝所有的老师培养出越来越多的优秀人才，桃李满天下！
参考文献：
[1]张田勘. 兴奋剂检测: 科学能够保证公平[J] . 民主与法制.2008(14):49(51)
[2]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，1989. [3]威廉·费勒.概率论及其应用.人民邮电出版社，2006.
[4]梁之舜,邓集贤,杨维权,等.概率论及数理统计(上) [M ]. 北京: 高等教育出版社, 2005: 76- 82.
[5]张芳.日常生活中概率的应用[J].山西财经大学学报: 高等教育版,2007,10(1):243.
[6]高鸿业.西方经济学［M］.北京：中国人民大学出版社，2004. [7]孙荣恒.应用数理统计(第2 版)［M］.北京：科学出版社，2003. [8]魏文元.概率论与数理统计［M］.天津：天津教育出版社，1996.
[9]恩格斯. 路德维希∀ 费尔巴哈和德国古典哲学的终结[M] . 北京: 人民出版社, 1972: 38.
[10]孙慧钧.数学期望与平均指标[J].统计与咨询，2007(4)：14-15.
[11]吴赣昌．概率论与数理统计（经管类）[M].北京：中国人大出版社，2006. [12]杨忠连，等.小概率原理在日常生活中的应用.科技信息,2008,30. [13]徐林.经济学专业概率论与数理统计教学初探.科技信息,2008,35
[14]马文斌，等.概率论与数理统计的教学体会与教法探讨.内蒙古财经学院学 报：综合版,2009,7(3).
[15]张孝理.经济应用数学[M].长沙:湖南科学技术出版社，2008:7. [16]高铁梅编著，计量经济分析方法与建模[M]，清华大学出版社 2006年(第3-27页)
[17] 王文华， 经济学研究中数学模型的应用[ J ] , 中州学刊， 2007(4):39-40.
[18]姚升保. 基于随机优势与概率优势的风险型多属性决策方法[ J] . 预测, 2007( 3): 26- 28.