数列常见题型分析与做法
一、等差、等比数列的概念与性质
1、已知等比数列{a n }中, a 2, a 3, a 4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且a 1=64, 公比q ≠1，求a n ；
（I ）依题意a 2=a 4+3(a 3-a 4), 即2a 4-3a 2+a 2=0 ∴2a 1q 3-3a 1q 3+a 1q =0
∴2q -3q +1=0⇒q =1或q =
2
12
q ≠1∴q =
12
故a n =64⨯() n -1
2
1
二、求数列的通项 类型1 a n +1=a n +f (n )
解法：把原递推公式转化为a n +1-a n =f (n ) ，利用累加法(逐差相加法) 求解。 例:已知数列{a n }满足a 1=类型2 a n +1=f (n ) a n 解法：把原递推公式转化为例:已知数列{a n }满足a 1=
2312
，a n +1=a n +
1n +n
2
，求a n 答案：∴a n =
12
+1-
1n
=
32
-
1n
a n +1a n
=f (n ) ，利用累乘法(逐商相乘法) 求解。
n n +1
23n
，a n +1=
a n
，求a n 答案：∴a n =
类型3 a n +1=pa n +q （其中p ，q 均为常数，(pq (p -1) ≠0) ）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：a n +1-t =p (a n -t ) ，其中t =法转化为等比数列求解。
例:已知数列{a n }中，a 1=1，a n +1=2a n +3，求a n . 提示：a n +1+3=2(a n +3) 答案：a n =2n +1-3. 类型4 递推公式为S n 与a n 的关系式。(或S n =f (a n ) )
⎧S 1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(n =1)
a =解法：这种类型一般利用n ⎨与a n =S n -S n -1=f (a n ) -f (a n -1) 消去S n
⎩S n -S n -1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(n ≥2)
(n ≥2) 或与S n =f (S n -S n -1) (n ≥2) 消去a n 进行求解。
q 1-p
，再利用换元
例：已知数列{a n }前n 项和S n =4-a n -解：（1）由S n =4-a n -
12
n -2
12
n -2
. （1）求a n +1与a n 的关系；（2）求通项公式a n .
12
n
n -1
得：S n +1=4-a n +1-
1
n -1
于是S n +1-S n =(a n -a n +1) +(
12
n -2
-
12
n -1
)
所以a n +1=a n -a n +1+
2
⇒a n +1=
12
a n +
12
.
（2）⇒a n +1=
12
a n +
12
12
n
两边同乘以2n +1得：2n +1a n +1=2n a n +2
⇒a 1=1. 于是数列{2a n }是以
n
由a 1=S 1=4-a 1-
n
1-2
2为首项，2为公差的等差数列，所以
2a n =2+2(n -1) =2n ⇒a n =
n 2
n -1
}的前
三、数列求和
公式法、分组求和、错位相减求和、裂项求和、倒序相加求和、累加累积
1、设已知b n =3⋅2n -1(n ∈N *)且C n =
b n 31n (n +1)
1
log
2
b n 3
, T n 为数列{
1
log 2C n +1⋅log 2C n +2
1
n 项和，求T n .
解：C n =
=2
n -1
, ∴
C n +1⋅log
2
C n +2
12
=
log 12
2
2⋅log 13
13
n
2
2
n +1
=
1n (n +1)
1n
,
1
1n +1
而
=
1n
-
1n +1
, ∴T n =(1-
) +(-) +(-
14
) + +(-
n +1
) =1-
.
2、求和： . 答案：
3
、求数列a n =
的前n 项和
答案：1
4、已知集合A ＝{a|a＝2n ＋9n －4，n ∈N 且a ＜2000}，求A 中元素的个数，以及这些元素的和
提示：210＝1024，211＝2048 答案：10 ； 2501
12n n
+5C n +⋅⋅⋅+(2n +1) C n =(n +1) 2 倒序相加 5、求证：C n 0+3C n
6、求数列
11⨯3
，
12⨯4
，
13⨯5
，…，
1n (n +2)
，…的前n 项和S
7、求数5，55，555，…，的前n 项和S n
解： 因为(10n -1)
95
所以 S n =5+55+555+…59
[(10-1) +(10
2
-1) +⋅⋅⋅+(10
n
-1)
]
n
⎤5⎡10(10-1) 50550n -n ⎥ =⨯10-n - =⎢
819819⎣10-1⎦
一、选择题 1．在数列1, 1, 2, 3, 5, 8, x , 21, 34, 55中，x 等于（ ）
A ．11 B ．12 C ．13 D ．14
2．等差数列{a n }中, a 1+a 4+a 7=39, a 3+a 6+a 9=27, 则数列{a n }前9项
的和S 9等于（ ） A ．66B ．99 C ．144 D ．297 3．等比数列{a n }中, a 2=9, a 5=243, 则{a n }的前4项和为（ ）
A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 4．2+1与2-1，两数的等比中项是（ ）
A ．1 B ．-1 C ．±1 D ．
12
12
5．已知一等比数列的前三项依次为x , 2x +2, 3x +3，那么-13 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
是此数列的第（ ）项
6．在公比为整数的等比数列{a n }中，如果a 1+a 4=18, a 2+a 3=12, 那么该数列的前8项之和为（ ）A ．513 B ．512 C ．510 D ．二、填空题
1．等差数列{a n }中, a 2=9, a 5=33, 则{a n }的公差为______________。 2．数列{a n }是等差数列，a 4=7，则s 7=_________ 3．两个等差数列{a n }, {b n },
a 1+a 2+... +a n b 1+b 2+... +b n
=7n +2n +3
, 则
a 5b 5
2258
=___________.
4．在等比数列{a n }中, 若a 3=3, a 9=75, 则a 10=___________.
5．在等比数列{a n }中, 若a 1, a 10是方程3x 2-2x -6=0的两根，则a 4⋅a 7=___________. 6
．计算log 3
=___________. n
三、解答题1. 成等差数列的四个数的和为26，第二数与第三数之积为40，求这四个数。 2. 在等差数列{a n }中, a 5=0. 3, a 12=3. 1, 求a 18+a 19+a 20+a 21+a 22的值。 3. 求和：(a -1) +(a -2) +... +(a -n ), (a ≠0)
4. 设等比数列{a n }前n 项和为S n ，若S 3+S 6=2S 9，求数列的公比q
2
n
《数列》参考答案
一、选择题 1.C a n +a n +1=a n +2
2.B a 1+a 4+a 7=39, a 3+a 6+a 9=27, 3a 4=39, 3a 6=27, a 4=13, a 6=9 S 9=3.B
a 5a 2
92
(a 1+a 9) 3
9
9
(a 4+a 6) (13+9) = 9922
=27=q , q =3, a 1=
a 2q
=3, S 4=
3(1-3) 1-31
4
=120
2
4.C x =12=1) x =1±,
5.B x (3x +3) =(2x +2) 2, ⇒x =-4 q =
1+q q +q
8
3x +32x +2
=
32
, -13
1
3n -1
=-4⨯() , n =4 22
32
6.C a 1(1+q ) =18, a 1(q +q ) =12,
32
=
32
, q =
12
或q =2,
而q ∈Z , q =2, a 1=2, S 8=二、填空题 1. 8
a 5-a 25-2
=33-95-2
2(1-2) 1-2
=2-2=510
9
=d =8 2. 49 S 7=
72
(a 1+a 7) =7a 4=4 9
(a 1+a 9)
S 7⨯9+2653. ====" 9==
912b 52b 5b 1+b 9S 99+312(b 1+b 9) 2
65
9
a 52a 5a 1+a 9
4. ±753
q 6=25, q =a 10=a 9⋅q =± 5. -2 a 4a 7=a 1a 1=-2 06．1-
12
n
111
n
log 3
=log 3(32⋅34⋅⋅⋅32) =log 3(3
n
111
++... +
n
242
)
1n
[1-() ]
1111 =+2+... +n ==1-n
122221-
2
三、解答题
1
1. 解：设四数为a -3d , a -d , a +d , a +3d ，则4a =26, a 2-d 2=40 即a =
132, d =
32或-
32
，当d =
32
时，四数为2, 5, 8,11当d =-
32
时，四数为11, 8, 5, 2
2. 解：a 18+a 19+a 20+a 21+a 22=5a 20, a 12-a 5=7d =2.8, d =0.4
a 20=a 12+8d =3.1+3.2=6.3 ∴a 18+a 19+a
20
+a
21
+a
5=a 226=. 3⨯520
=31 . 5
⎧a (1-a n ) n (n +1)
-(a ≠1) ⎪
⎪1-a 22n
3. 解：原式=(a +a +... +a ) -(1+2+... +n ) =⎨2
⎪n -n (a =1) ⎪⎩22
4. 解：显然q ≠1，若q =1则S 3+S 6=9a 1, 而2S 9=18a 1, 与S 3+S 6=2S 9矛盾
a 1(1-q ) 1-q
3
由S 3+S 6=2S 9⇒
+
a 1(1-q ) 1-q
6
=
2a 1(1-q ) 1-q
12
9
3
2q -q -q =0, 2(q ) -q -1=0, 得q =-
9633233
, 或q =1, 而q ≠1，∴q =-
3
42
数列常见题型分析与做法
一、等差、等比数列的概念与性质
1、已知等比数列{a n }中, a 2, a 3, a 4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且a 1=64, 公比q ≠1，求a n ；
（I ）依题意a 2=a 4+3(a 3-a 4), 即2a 4-3a 2+a 2=0 ∴2a 1q 3-3a 1q 3+a 1q =0
∴2q -3q +1=0⇒q =1或q =
2
12
q ≠1∴q =
12
故a n =64⨯() n -1
2
1
二、求数列的通项 类型1 a n +1=a n +f (n )
解法：把原递推公式转化为a n +1-a n =f (n ) ，利用累加法(逐差相加法) 求解。 例:已知数列{a n }满足a 1=类型2 a n +1=f (n ) a n 解法：把原递推公式转化为例:已知数列{a n }满足a 1=
2312
，a n +1=a n +
1n +n
2
，求a n 答案：∴a n =
12
+1-
1n
=
32
-
1n
a n +1a n
=f (n ) ，利用累乘法(逐商相乘法) 求解。
n n +1
23n
，a n +1=
a n
，求a n 答案：∴a n =
类型3 a n +1=pa n +q （其中p ，q 均为常数，(pq (p -1) ≠0) ）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：a n +1-t =p (a n -t ) ，其中t =法转化为等比数列求解。
例:已知数列{a n }中，a 1=1，a n +1=2a n +3，求a n . 提示：a n +1+3=2(a n +3) 答案：a n =2n +1-3. 类型4 递推公式为S n 与a n 的关系式。(或S n =f (a n ) )
⎧S 1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(n =1)
a =解法：这种类型一般利用n ⎨与a n =S n -S n -1=f (a n ) -f (a n -1) 消去S n
⎩S n -S n -1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(n ≥2)
(n ≥2) 或与S n =f (S n -S n -1) (n ≥2) 消去a n 进行求解。
q 1-p
，再利用换元
例：已知数列{a n }前n 项和S n =4-a n -解：（1）由S n =4-a n -
12
n -2
12
n -2
. （1）求a n +1与a n 的关系；（2）求通项公式a n .
12
n
n -1
得：S n +1=4-a n +1-
1
n -1
于是S n +1-S n =(a n -a n +1) +(
12
n -2
-
12
n -1
)
所以a n +1=a n -a n +1+
2
⇒a n +1=
12
a n +
12
.
（2）⇒a n +1=
12
a n +
12
12
n
两边同乘以2n +1得：2n +1a n +1=2n a n +2
⇒a 1=1. 于是数列{2a n }是以
n
由a 1=S 1=4-a 1-
n
1-2
2为首项，2为公差的等差数列，所以
2a n =2+2(n -1) =2n ⇒a n =
n 2
n -1
}的前
三、数列求和
公式法、分组求和、错位相减求和、裂项求和、倒序相加求和、累加累积
1、设已知b n =3⋅2n -1(n ∈N *)且C n =
b n 31n (n +1)
1
log
2
b n 3
, T n 为数列{
1
log 2C n +1⋅log 2C n +2
1
n 项和，求T n .
解：C n =
=2
n -1
, ∴
C n +1⋅log
2
C n +2
12
=
log 12
2
2⋅log 13
13
n
2
2
n +1
=
1n (n +1)
1n
,
1
1n +1
而
=
1n
-
1n +1
, ∴T n =(1-
) +(-) +(-
14
) + +(-
n +1
) =1-
.
2、求和： . 答案：
3
、求数列a n =
的前n 项和
答案：1
4、已知集合A ＝{a|a＝2n ＋9n －4，n ∈N 且a ＜2000}，求A 中元素的个数，以及这些元素的和
提示：210＝1024，211＝2048 答案：10 ； 2501
12n n
+5C n +⋅⋅⋅+(2n +1) C n =(n +1) 2 倒序相加 5、求证：C n 0+3C n
6、求数列
11⨯3
，
12⨯4
，
13⨯5
，…，
1n (n +2)
，…的前n 项和S
7、求数5，55，555，…，的前n 项和S n
解： 因为(10n -1)
95
所以 S n =5+55+555+…59
[(10-1) +(10
2
-1) +⋅⋅⋅+(10
n
-1)
]
n
⎤5⎡10(10-1) 50550n -n ⎥ =⨯10-n - =⎢
819819⎣10-1⎦
一、选择题 1．在数列1, 1, 2, 3, 5, 8, x , 21, 34, 55中，x 等于（ ）
A ．11 B ．12 C ．13 D ．14
2．等差数列{a n }中, a 1+a 4+a 7=39, a 3+a 6+a 9=27, 则数列{a n }前9项
的和S 9等于（ ） A ．66B ．99 C ．144 D ．297 3．等比数列{a n }中, a 2=9, a 5=243, 则{a n }的前4项和为（ ）
A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 4．2+1与2-1，两数的等比中项是（ ）
A ．1 B ．-1 C ．±1 D ．
12
12
5．已知一等比数列的前三项依次为x , 2x +2, 3x +3，那么-13 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
是此数列的第（ ）项
6．在公比为整数的等比数列{a n }中，如果a 1+a 4=18, a 2+a 3=12, 那么该数列的前8项之和为（ ）A ．513 B ．512 C ．510 D ．二、填空题
1．等差数列{a n }中, a 2=9, a 5=33, 则{a n }的公差为______________。 2．数列{a n }是等差数列，a 4=7，则s 7=_________ 3．两个等差数列{a n }, {b n },
a 1+a 2+... +a n b 1+b 2+... +b n
=7n +2n +3
, 则
a 5b 5
2258
=___________.
4．在等比数列{a n }中, 若a 3=3, a 9=75, 则a 10=___________.
5．在等比数列{a n }中, 若a 1, a 10是方程3x 2-2x -6=0的两根，则a 4⋅a 7=___________. 6
．计算log 3
=___________. n
三、解答题1. 成等差数列的四个数的和为26，第二数与第三数之积为40，求这四个数。 2. 在等差数列{a n }中, a 5=0. 3, a 12=3. 1, 求a 18+a 19+a 20+a 21+a 22的值。 3. 求和：(a -1) +(a -2) +... +(a -n ), (a ≠0)
4. 设等比数列{a n }前n 项和为S n ，若S 3+S 6=2S 9，求数列的公比q
2
n
《数列》参考答案
一、选择题 1.C a n +a n +1=a n +2
2.B a 1+a 4+a 7=39, a 3+a 6+a 9=27, 3a 4=39, 3a 6=27, a 4=13, a 6=9 S 9=3.B
a 5a 2
92
(a 1+a 9) 3
9
9
(a 4+a 6) (13+9) = 9922
=27=q , q =3, a 1=
a 2q
=3, S 4=
3(1-3) 1-31
4
=120
2
4.C x =12=1) x =1±,
5.B x (3x +3) =(2x +2) 2, ⇒x =-4 q =
1+q q +q
8
3x +32x +2
=
32
, -13
1
3n -1
=-4⨯() , n =4 22
32
6.C a 1(1+q ) =18, a 1(q +q ) =12,
32
=
32
, q =
12
或q =2,
而q ∈Z , q =2, a 1=2, S 8=二、填空题 1. 8
a 5-a 25-2
=33-95-2
2(1-2) 1-2
=2-2=510
9
=d =8 2. 49 S 7=
72
(a 1+a 7) =7a 4=4 9
(a 1+a 9)
S 7⨯9+2653. ====" 9==
912b 52b 5b 1+b 9S 99+312(b 1+b 9) 2
65
9
a 52a 5a 1+a 9
4. ±753
q 6=25, q =a 10=a 9⋅q =± 5. -2 a 4a 7=a 1a 1=-2 06．1-
12
n
111
n
log 3
=log 3(32⋅34⋅⋅⋅32) =log 3(3
n
111
++... +
n
242
)
1n
[1-() ]
1111 =+2+... +n ==1-n
122221-
2
三、解答题
1
1. 解：设四数为a -3d , a -d , a +d , a +3d ，则4a =26, a 2-d 2=40 即a =
132, d =
32或-
32
，当d =
32
时，四数为2, 5, 8,11当d =-
32
时，四数为11, 8, 5, 2
2. 解：a 18+a 19+a 20+a 21+a 22=5a 20, a 12-a 5=7d =2.8, d =0.4
a 20=a 12+8d =3.1+3.2=6.3 ∴a 18+a 19+a
20
+a
21
+a
5=a 226=. 3⨯520
=31 . 5
⎧a (1-a n ) n (n +1)
-(a ≠1) ⎪
⎪1-a 22n
3. 解：原式=(a +a +... +a ) -(1+2+... +n ) =⎨2
⎪n -n (a =1) ⎪⎩22
4. 解：显然q ≠1，若q =1则S 3+S 6=9a 1, 而2S 9=18a 1, 与S 3+S 6=2S 9矛盾
a 1(1-q ) 1-q
3
由S 3+S 6=2S 9⇒
+
a 1(1-q ) 1-q
6
=
2a 1(1-q ) 1-q
12
9
3
2q -q -q =0, 2(q ) -q -1=0, 得q =-
9633233
, 或q =1, 而q ≠1，∴q =-
3
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