第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
教学目标：
1. 知识与技能目标
（1）通过实例分析，理解平均变化快慢程度（平均变化率）、瞬时变化快慢程度（瞬时变化率）的概念；了解这两个概念之间的关系；
（2）通过导数概念的形成过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及内涵；
（3）通过观察和动手实践培养学生的分析、比较和归纳能力，并感悟到极限思想的神奇之处。
2. 过程与方法目标
（1）通过问题的探究，体会逼近、类比、以已知求未知、从特殊到一般的数学思想方法；
（2）通过问题的探究，培养学生的探究意识与探究方法。
3. 情感、态度与价值目标
（1）通过导数概念的学习，体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点；
（2）通过了解导数产生的历史及它在实际生活、生产和科研中的广泛应用及巨大作用，认识学习导数的必要性，从而激发学生学习导数的兴趣。
教学重点：
导数概念的形成过程及导数的定义内涵，八个基本求导公式.
教学难点：
对函数导数的概念的理解.
教学方法：设疑----点拨----引导----探究---- 结论
课 型：单一型
课 时：2学时
教学过程：
一、引例
以运动会运动项目开题，吸引学生。
1．奇怪的平均速度
学生课堂活动：全体学生计算平均速度，之后，找学生回答计算结果。 课堂效果：引起学生的好奇，让学生带着问题走进课堂，激发学生的求知欲。 教师课堂活动：抛出三个思考题。
学生课堂活动：找一学生回答，其他学生补充。
教师课堂活动：教师总结，引入新课。
2．变速直线运动的瞬时速度
教师课堂活动：教师讲解、启发。
学生课堂活动：在教师启发下，全体学生笔练，一学生上讲台板演。 教师课堂活动：教师评价、讲解学生板演过程。
课堂效果：培养学生的探究意识和探究方法，培养学生的动手能力。 设有一质点作变速直线运动，其运动方程为s s (t ) ，求该质点在x 0时刻的瞬时速． 教师课堂活动：把问题推向一般，引导学生分组讨论。
学生课堂活动：学生分组讨论，推举代表展示讨论结果。
教师课堂活动：总结、评价学生讨论结果，引导学生得出导数极限式。
课堂效果：搭建平台，自主交流，培养了学生分工合作意识和由特殊到一般的数学思维方法。 结论：v (t 0) =lim
2．切线斜率问题
设平面曲线Γ的方程为y =f (x ) ，求此曲线上点M 0处的切线的斜率k ．
教师课堂活动：教师讲解要点，点明本节课题。
结论：k =tan α=lim s (t +∆t ) -s (t 0) ∆s =lim 0 ∆t →0∆t ∆t →0∆t f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y =lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x
二、导数的概念
课堂效果：水到渠成，揭示本质。
教师课堂活动：抛开具体问题的实际意义，仅仅抓住在数量关系上的本质和特性，抽象出导数的定义。
课堂效果：由签入深，由易到难，由特殊到一般，完成思维的飞跃。
学生课堂活动：全体学生根据教师的叙述，整理出导数定义。
教师课堂活动：板书导数定义。
1．函数在某一点处的导数
定义１ f (x 0) =lim
' ' f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y =lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x dy df (x ) |x =x 0, |x =x 0． dx dx 记作 y |x =x 0,
注意 （1）函数f (x ) 在点x 0处可导，也称函数f (x 0) 在点x 0处具有导数或导数存在．
（2）如果极限不存在，就说函数在点x 0处不可导．
（3）导数的定义式的具有不同的表示形式，常见的有
f ' (x 0) =lim f (x 0+h ) -f (x 0) ∆y =lim h →0∆x h →0h
f ' (x 0) =lim f (x ) -f (x 0) ∆y =lim ∆x →0∆x x →x 0x -x 0
（4）瞬时速度v (t 0) =f '(x 0) ；切线的斜率k =f '(x 0) ．
例1 设f (x ) =x ，求2dy （教师讲解） dx x =1
2．函数在一点处的左、右导数
定义2 f -(x 0) =lim -∆x →0' f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆x
f +(x 0) =lim +∆x →0' f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆x
3．函数在某一点处导数存在的充要条件
定理1 f '(x 0) 存在⇔f -' (x 0) 和f +' (x 0) 都存在
例2 判断函数y =|x |在x =0处的可导性．
4．导函数的定义
定义3 y ' =lim f (x +∆x ) -f (x )
∆x
' ∆x →0 ' 记作 y ，f (x ), dy df (x ) 或 dx dx
注意 （1）在上式极限过程中x 是常量．
（2）f (x 0) =f ' (x ) |x =x 0
5．求导数举例
学生课堂活动：总结利用定义法求导的一般步骤。
定义法求导数的一般步骤：（1）求增量 （2）算比值 （3）取极限
例3 求下列函数的导数：
（1）f (x ) =C (C 为常数) （2）f (x ) =x n (n ∈N +)
（3）f (x ) =a (a >0, a ≠1) （4）f (x ) =log a x (a >0, a ≠1)
（5）f (x ) =sin x （（2）-（5）直接给出结果）
注意 总结出八个基本求导公式
三、导数的几何意义
切线方程 y -f (x 0) =f ' (x 0)(x -x 0)
法线方程 y -f (x 0) =-x ' 1(x -x 0) ' f (x 0)
注意 （1）若f ' (x 0) =0，则切线方程为y =f (x 0) ，法线方程为 x =x 0；
（2）若f ' (x 0) =∞，则切线方程为x =x 0， 法线方程为 y =f (x 0) ．
例5 求曲线y =e 在点(0,1)处的切线方程及法线方程．
例6 求双曲线y =x 11在点(, 2) 处的切线方程及法线方程．（课堂练习） 2x
四、函数的可导性与连续性的关系
定理2 如果函数y =f (x ) 在点x 0处可导，则函数y =f (x ) 在点x 0处连续．
注意 可导必连续，但连续不一定可导，而不连续一定不可导．
例7 证明：函数y =|x |在x =0处连续但不可导．
⎧e x x
⎩a +bx x ≥0
连续且可导？（课堂练习）
课堂小结：本节课需要重点掌握的内容是：理解函数导数的定义；理解函数导数的几何意义；知道可导性与连续性的关系；熟记从例3中总结出的八个基本求导公式．
课后练习：课后习题 (P 64习题2-1)
教学后记：本节导数的定义难度大，因此采用以下授课方法效果较好：
1． 一个定义跟随一个例题的方法，使定义更加直观。
2． 抓住导数在数量上的本质与特性，深入知识的内部，对导数的定义透彻讲解。
3．注重对学生的启发诱导。
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
教学目标：
1. 知识与技能目标
（1）通过实例分析，理解平均变化快慢程度（平均变化率）、瞬时变化快慢程度（瞬时变化率）的概念；了解这两个概念之间的关系；
（2）通过导数概念的形成过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及内涵；
（3）通过观察和动手实践培养学生的分析、比较和归纳能力，并感悟到极限思想的神奇之处。
2. 过程与方法目标
（1）通过问题的探究，体会逼近、类比、以已知求未知、从特殊到一般的数学思想方法；
（2）通过问题的探究，培养学生的探究意识与探究方法。
3. 情感、态度与价值目标
（1）通过导数概念的学习，体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点；
（2）通过了解导数产生的历史及它在实际生活、生产和科研中的广泛应用及巨大作用，认识学习导数的必要性，从而激发学生学习导数的兴趣。
教学重点：
导数概念的形成过程及导数的定义内涵，八个基本求导公式.
教学难点：
对函数导数的概念的理解.
教学方法：设疑----点拨----引导----探究---- 结论
课 型：单一型
课 时：2学时
教学过程：
一、引例
以运动会运动项目开题，吸引学生。
1．奇怪的平均速度
学生课堂活动：全体学生计算平均速度，之后，找学生回答计算结果。 课堂效果：引起学生的好奇，让学生带着问题走进课堂，激发学生的求知欲。 教师课堂活动：抛出三个思考题。
学生课堂活动：找一学生回答，其他学生补充。
教师课堂活动：教师总结，引入新课。
2．变速直线运动的瞬时速度
教师课堂活动：教师讲解、启发。
学生课堂活动：在教师启发下，全体学生笔练，一学生上讲台板演。 教师课堂活动：教师评价、讲解学生板演过程。
课堂效果：培养学生的探究意识和探究方法，培养学生的动手能力。 设有一质点作变速直线运动，其运动方程为s s (t ) ，求该质点在x 0时刻的瞬时速． 教师课堂活动：把问题推向一般，引导学生分组讨论。
学生课堂活动：学生分组讨论，推举代表展示讨论结果。
教师课堂活动：总结、评价学生讨论结果，引导学生得出导数极限式。
课堂效果：搭建平台，自主交流，培养了学生分工合作意识和由特殊到一般的数学思维方法。 结论：v (t 0) =lim
2．切线斜率问题
设平面曲线Γ的方程为y =f (x ) ，求此曲线上点M 0处的切线的斜率k ．
教师课堂活动：教师讲解要点，点明本节课题。
结论：k =tan α=lim s (t +∆t ) -s (t 0) ∆s =lim 0 ∆t →0∆t ∆t →0∆t f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y =lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x
二、导数的概念
课堂效果：水到渠成，揭示本质。
教师课堂活动：抛开具体问题的实际意义，仅仅抓住在数量关系上的本质和特性，抽象出导数的定义。
课堂效果：由签入深，由易到难，由特殊到一般，完成思维的飞跃。
学生课堂活动：全体学生根据教师的叙述，整理出导数定义。
教师课堂活动：板书导数定义。
1．函数在某一点处的导数
定义１ f (x 0) =lim
' ' f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y =lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x dy df (x ) |x =x 0, |x =x 0． dx dx 记作 y |x =x 0,
注意 （1）函数f (x ) 在点x 0处可导，也称函数f (x 0) 在点x 0处具有导数或导数存在．
（2）如果极限不存在，就说函数在点x 0处不可导．
（3）导数的定义式的具有不同的表示形式，常见的有
f ' (x 0) =lim f (x 0+h ) -f (x 0) ∆y =lim h →0∆x h →0h
f ' (x 0) =lim f (x ) -f (x 0) ∆y =lim ∆x →0∆x x →x 0x -x 0
（4）瞬时速度v (t 0) =f '(x 0) ；切线的斜率k =f '(x 0) ．
例1 设f (x ) =x ，求2dy （教师讲解） dx x =1
2．函数在一点处的左、右导数
定义2 f -(x 0) =lim -∆x →0' f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆x
f +(x 0) =lim +∆x →0' f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆x
3．函数在某一点处导数存在的充要条件
定理1 f '(x 0) 存在⇔f -' (x 0) 和f +' (x 0) 都存在
例2 判断函数y =|x |在x =0处的可导性．
4．导函数的定义
定义3 y ' =lim f (x +∆x ) -f (x )
∆x
' ∆x →0 ' 记作 y ，f (x ), dy df (x ) 或 dx dx
注意 （1）在上式极限过程中x 是常量．
（2）f (x 0) =f ' (x ) |x =x 0
5．求导数举例
学生课堂活动：总结利用定义法求导的一般步骤。
定义法求导数的一般步骤：（1）求增量 （2）算比值 （3）取极限
例3 求下列函数的导数：
（1）f (x ) =C (C 为常数) （2）f (x ) =x n (n ∈N +)
（3）f (x ) =a (a >0, a ≠1) （4）f (x ) =log a x (a >0, a ≠1)
（5）f (x ) =sin x （（2）-（5）直接给出结果）
注意 总结出八个基本求导公式
三、导数的几何意义
切线方程 y -f (x 0) =f ' (x 0)(x -x 0)
法线方程 y -f (x 0) =-x ' 1(x -x 0) ' f (x 0)
注意 （1）若f ' (x 0) =0，则切线方程为y =f (x 0) ，法线方程为 x =x 0；
（2）若f ' (x 0) =∞，则切线方程为x =x 0， 法线方程为 y =f (x 0) ．
例5 求曲线y =e 在点(0,1)处的切线方程及法线方程．
例6 求双曲线y =x 11在点(, 2) 处的切线方程及法线方程．（课堂练习） 2x
四、函数的可导性与连续性的关系
定理2 如果函数y =f (x ) 在点x 0处可导，则函数y =f (x ) 在点x 0处连续．
注意 可导必连续，但连续不一定可导，而不连续一定不可导．
例7 证明：函数y =|x |在x =0处连续但不可导．
⎧e x x
⎩a +bx x ≥0
连续且可导？（课堂练习）
课堂小结：本节课需要重点掌握的内容是：理解函数导数的定义；理解函数导数的几何意义；知道可导性与连续性的关系；熟记从例3中总结出的八个基本求导公式．
课后练习：课后习题 (P 64习题2-1)
教学后记：本节导数的定义难度大，因此采用以下授课方法效果较好：
1． 一个定义跟随一个例题的方法，使定义更加直观。
2． 抓住导数在数量上的本质与特性，深入知识的内部，对导数的定义透彻讲解。
3．注重对学生的启发诱导。