第23卷 第5期2005年10月
运城学院学报Vo.l23 No.5Oct.2005
JournalofYunchengUniversity
有疾病潜伏期的传染病动力学模型
兰晓晶,张凤琴
3
②
(①兰州交通大学数理学院,甘肃兰州730070;②运城学院应用数学系,山西运城044000)
摘 要:从不考虑种群动力学因素和添加种群动力学因素两种情形出发,在双线性发生率、标准发生率和BNASI/N(A位于0.03和0.07之间)发生率下,建立了有疾病潜伏期的等各种传染病动力学模型。
关键词:传染病模型;潜伏期;发生率;垂直传染;微分方程组
中图分类号:O175.1 文献标识码:A 文章编号:1008-8008(2005)05-0026-02
1.引言
传染病是由原微生物(病毒、立克次体、细菌、螺旋体等)和寄生虫(原虫或蠕虫)感染人体后产生的有传染性的疾病[1]。历史上传染病和寄生虫病曾给人类造成很大的灾难。近年来,随着国际贸易和交往的发展、环境污染的加剧、病原体和传播媒介抗药性的增强,原来已灭绝和被控制的许多传染病(如性病、结核、血吸虫病、登革热等)再次抬头并有蔓延的趋势,一些新出现的传染病也来势凶猛,如艾滋病等。引起了全世界各国政府和WHO的关注.因此,研究传染病动力学具有重要的实际意义。
关于传染病传播的数学模型研究是从Enko'(1889)开始的,作为奠基性的工作是1927年Kermack和McKendrick的工作.他
染病者(I)和恢复者(R)三类,利们将总人口分为易感者(S)、
用动力学的方法建立了SIR传染病模型,并对其传播规律和流行趋势进行了研究。近20年来,传染病动力学的研究进展迅速,大量的数学模型被用于各种各样的传染病问题.但以前的工作都是针对某种疾病建立相应的数学模型,讨论模型的数学特征,提出预防和控制疾病的策略或措施,而没有各种情形下关于传染病模型的形式的讨论.基于此目的,本文讨论不考虑种群动力学因素和添加种群动力学因素的有疾病潜伏期传染病动力学模型的建立(本文以人群来阐述有关概念和模型,对其它生物种群同样适用)。
2.建立模型
目前,关于有疾病潜伏期的传染病动力学模型的研究已有很多成果:在不考虑种群动力学因素的条件下,利用双线性发生率建立了SEI(患病后难以治愈)模型、SEIS(患病后可以治愈)模型、SEIR(病人康复后具有永久免疫力)模型、SEIS(病人康复后仅有暂时免疫力)模型[4][5]等;在添加种群动力学因素、总人口变动的条件下,利用双线性发生率建立了MSEIR(有先天免疫,无垂直传染)模型[5]以及具有常数移民的SEIR模型和SEIS模型[5]等。但是,到目前为止,据我们所知还没有讨论有疾病潜伏期的各种情形下传染病
模型的形式.于是我们从不考虑种群动力学因素和添加种群动力学因素两方面出发,在双线性发生率、标准发生率和A[6][7]BNSI(A位于0.03和0.07之间)发生率下,建立各种可能的有疾病潜伏期的传染病动力学模型。
2.1不考虑种群动力学因素
不考虑种群动力学因素是指不考虑出生与自然死亡等种群动力学因素,适宜于描述病程较短,从而在疾病流行期间内,种群的出生和自然死亡可以忽略不计的一些疾病.以
1
下均设疾病的平均潜伏期为SEIS(患病后可以治愈)模
型有些有疾病潜伏期的传染病,患病后可以治愈,但是康复的病人无免疫期,即康复的病人可以立即再次被感染。假设C是t时刻单位时间内移出者在病人中所占的比例。
由于疾病的传播机制如下面框图所示
:
于是我们很容易建立三种不同发生率下的传染病模型分别为:dSdSSdS=-BSI+C=-BI+C=-BNASI/N+CIdtdtNdtdEdESdE=BSI-XE=BI-XE=BNASI/N-XEdtdtNdtdIdIdI=XE-CI=XE-CI=XE-CIdtdtdt2.2添加种群动力学因素2.2.1总人口恒定
总人口恒定是指在疾病流行期间,考虑人口的出生与自然死亡等变化,但假定出生率系数(即单位时间内出生的人数在总人口数中的比例)与自然死亡率系数相等,且不考虑人口输入和输出以及因病死亡,从而总人口保持为一常数.假设出生率系数与死亡率系数均为b。
3
收稿日期:2005-09-10
基金项目:山西省自然科学基金项目资助(2005Z010)。作者简介:兰晓晶(1984-),女,山西夏县人,硕士研究生。
1)SEI模型
SEI(无垂直传染)模型有些有疾病潜伏期的传染病,母体患病,但母体的疾病不会先天传染给新生儿,故新生儿均为易感者,而且患病后难以治愈。
由于疾病的传播机制如下面框图所示
:
这里假定出生率系数为b;自然死亡率系数为d;因病死亡率系数为A;对时间的输入率为A,且均为易感者;输出率系数为B,且输出者关于易感者、潜伏者和患病者平均分配。
由于疾病的传播机制如下面框图所示:
从而可以得到三种发生率下的此类传染病模型为:dSdSS=bK-bS-BSI=bK-bS-BIdtdtNdEdES=BSI-(b+X)E =BI-(b+X)EdtdtNdIdI=X
E-bI=XE-bIdtdtdS=bK-bS-BNASI/NdtdE=BNASI/N-(b+X)EdtdI
=XE-bIdt
类似的可以建立SEIR(有垂直传染)模型。2)SEIR模型
SEIR(有垂直传染)模型有些有疾病潜伏期的传染病,母体患病,母体的疾病就会先天传染给新生儿,故新生儿均为染病者;患病后可以治愈,而且病人康复后具有永久免疫力。
因疾病的传播机制如下面框图所示:
于是可建立三种不同发生率下的这类传染病模型:dS
=A+b(S+E)-(d+B)S-BSI+CIdtdE=BSI-(d+B+X)EdtdI
=XE+(b-d-A-B-C)IdtdSS
=A+b(S+E)-(d+B)S-BI+CIdtN
SdE
=BI-(d+B+X)E
NdtdI
=XE+(b-d-A-B-C)IdtdS
=A+b(S+E)-(d+B)S-BNASI/N+CIdtdE=BNASI/N-(d+B+X)EdtdI
=XE+(b-d-A-B-C)Idt
3.结束语
本文所建立的有疾病潜伏期的传染病动力学模型的一般形式,在研究某种具体的传染病时,采用何种的发生率,应视具体疾病和环境等因素,根据所获得的数据而定。于是可以得到三种发生率下的传染病模型是:
关于有疾病潜伏期的传染病动力学模型的进一步研究,dSdSS
=b(E+R)-BSI=b(E+R)-BIdtdtN目前已取得一些成果。具有常数移民的SEIS模型(双线性dEdES发生率)的基本再生数、无病平衡点、地方性平衡点、全局渐=BSI-(b+X)E=BI-(b+X
)E[5]dtdtN近稳定性等。所用方法有构造Liapunov函数法、极限方 dIdI程理论、矩阵理论等.但本文建立的模型中大多数还没有作=XE-CI=XE-CIdtdt进一步的研究,有待于我们进一步研究.在本文的写作过程dRdR中,雒志学副教授提供了宝贵的意见,在此深表感谢!=CI-bR=CI-bRdtdt
参考文献:
dSA
[1]彭文伟.传染病学[M].北京:人民卫生出版社,2001.=b(E+R)-BNSI/N
dt
[2]布鲁克史密斯.皮特著,马永波译.未来的灾难:瘟疫
dE=BNASI/N-(b+X)E复活与人类生存之站[M].海口:海南出版社,1999.dt
[3]靳祯,马知恩.具有连续和脉冲预防接种的传染病模型dI
=XE-CI[J].华北工学院学报,2003(4).dt
[4]马知恩.种群动力学与流行病动力学[M].西安:西安dR
=CI-bR
交通大学出版社,2000.dt
[5]马知恩,周义仓,王稳地等.传染病动力学的数学建模同理可以建立SEIR(无垂直传染)模型。
与研究[M].北京:科学出版社,2004.2.2.2总人口变动
.总人口变动是指考虑因病死亡、人口的输入和输出、出[6]F.R.Gantmacher.ApplicationoftheTheoryofMatrices
IntersciencePublisherInc,NewYork,1959.生率与自然死亡率不相等、密度制约等因素(从而总人口为
ministicAspectsofMathematical时间t的函数N(t)).总人口变动可根据总人口恒定作相应[7]JImpagliazzo.Deter
Demography.Biomathematics13.Berlin:Springer-的研究,只需假设相应的参数即可.下面举总人口变动的一
verlag,1985.个特例并建立其相应模型。
(英文摘要下转第30页)SEIS(有垂直传染且有人口输入输出)模型:有些有疾病
【责任编辑 胡运红】潜伏期的传染病,不仅有垂直传染,而且有人口输入和输出。
在以上几种证法中,证法一灵活应用了几何-算术平均值不等式
1
(a1+a2+,+an)(ai>0,i=1,2,n
,),简单明了,别具一格.证法二巧妙的利用了Bernoulli不
n
总之,本文给出了第二重要极限的多种证明方法,以便大家学习或讲课时参考。
参考文献:
[1]匡继昌.常用不等式[M].长沙:湖南教育出版社,1990.[2]WalterRudin著.赵慈庚,蒋铎译.数学分析原理[M].北
京:机械工业出版社,2004.[3]何琛,史济怀,徐森林合编.数学分析[M].北京:高等教
育出版社,1985.[4]张筑生.数学分析新讲[M].北京:北京大学出版社,2003.[5]华东师范大学数学系编.数学分析[M].北京:高等教育
出版社,2001.
【责任编辑 张凤琴】
12n等式,大大地减少了计算量,不知不觉地就达到了胜利的彼
岸.证法三巧妙地利用了不等式的基本性质.这一证明方法,构思巧妙,证明该问题的思路和方法极大地调动了学生尤其是优生的求知欲望,达到了启迪思维,提高能力的目的.证法四中是用一个特殊的不等式来证明数列的单调性和有界性的,具有较高的技巧和机敏性.从思维的角度分析,它们不受某种固定逻辑模式的限制,具有鲜明的灵活性和创新性,属于灵感性的非常规方法.有利于鼓励学生进行/创新思维0和/求异思维0.采用这样的证法,对于丰富学生的思维和提高创造能力大有益处.另外,因证明过程简捷,既便于学生理解,也能节省时间.这两种方法的不妥之处主要表现在与教材前后缺乏逻辑上的必然联系.书中常用的多项式展开相对而言逻辑性强便于理解,只是过程繁琐。
n
OntheProvingoftheLimitof(1+)
n
ZHANGMin-zhen
(DepartmentofAppliedMathematics,YunchengUniversity,044000,Yuncheng,China)
n
)isoneofthemostimportantlimits.Mosthighern
mathematicstextbooksusethetheoremofbinomialspreadingtoprovemonotoneandboundedproperty.Thisessayhasprovedmonotoneandboundedpropertythroughtheotherfourinequalityinordertomakeus
n
understandthe(1+)limitprovingbetter.
n
Keywords:Sepuentiallimi;tMonotoneandBoundedproperty;Bernoulliinequality
Abstract:TheLimitofsequential(1+
(上接第27页)
EpidemicDynamicsModelswithLatency
LANXiao-jing,ZHANGFeng-qin
①
②
(①LanzhoujiaotongUniversity,Gansu,Lanzhou730070;)
(DepartmentofAppliedMathematics,YunchengUniversity,044000,Yuncheng,China)
Abstract:Inthispaper,Isetsupdifferentepidemicaldynamicmodelsofdiseasewithlatencyfrom,
whichadoptbilinearincidence,standardincidenceandtheincidenceof(between0.03and0.07).
Keywords:epidemicalmodels;latency;incidence;verticaltransmission;differentialequations
第23卷 第5期2005年10月
运城学院学报Vo.l23 No.5Oct.2005
JournalofYunchengUniversity
有疾病潜伏期的传染病动力学模型
兰晓晶,张凤琴
3
②
(①兰州交通大学数理学院,甘肃兰州730070;②运城学院应用数学系,山西运城044000)
摘 要:从不考虑种群动力学因素和添加种群动力学因素两种情形出发,在双线性发生率、标准发生率和BNASI/N(A位于0.03和0.07之间)发生率下,建立了有疾病潜伏期的等各种传染病动力学模型。
关键词:传染病模型;潜伏期;发生率;垂直传染;微分方程组
中图分类号:O175.1 文献标识码:A 文章编号:1008-8008(2005)05-0026-02
1.引言
传染病是由原微生物(病毒、立克次体、细菌、螺旋体等)和寄生虫(原虫或蠕虫)感染人体后产生的有传染性的疾病[1]。历史上传染病和寄生虫病曾给人类造成很大的灾难。近年来,随着国际贸易和交往的发展、环境污染的加剧、病原体和传播媒介抗药性的增强,原来已灭绝和被控制的许多传染病(如性病、结核、血吸虫病、登革热等)再次抬头并有蔓延的趋势,一些新出现的传染病也来势凶猛,如艾滋病等。引起了全世界各国政府和WHO的关注.因此,研究传染病动力学具有重要的实际意义。
关于传染病传播的数学模型研究是从Enko'(1889)开始的,作为奠基性的工作是1927年Kermack和McKendrick的工作.他
染病者(I)和恢复者(R)三类,利们将总人口分为易感者(S)、
用动力学的方法建立了SIR传染病模型,并对其传播规律和流行趋势进行了研究。近20年来,传染病动力学的研究进展迅速,大量的数学模型被用于各种各样的传染病问题.但以前的工作都是针对某种疾病建立相应的数学模型,讨论模型的数学特征,提出预防和控制疾病的策略或措施,而没有各种情形下关于传染病模型的形式的讨论.基于此目的,本文讨论不考虑种群动力学因素和添加种群动力学因素的有疾病潜伏期传染病动力学模型的建立(本文以人群来阐述有关概念和模型,对其它生物种群同样适用)。
2.建立模型
目前,关于有疾病潜伏期的传染病动力学模型的研究已有很多成果:在不考虑种群动力学因素的条件下,利用双线性发生率建立了SEI(患病后难以治愈)模型、SEIS(患病后可以治愈)模型、SEIR(病人康复后具有永久免疫力)模型、SEIS(病人康复后仅有暂时免疫力)模型[4][5]等;在添加种群动力学因素、总人口变动的条件下,利用双线性发生率建立了MSEIR(有先天免疫,无垂直传染)模型[5]以及具有常数移民的SEIR模型和SEIS模型[5]等。但是,到目前为止,据我们所知还没有讨论有疾病潜伏期的各种情形下传染病
模型的形式.于是我们从不考虑种群动力学因素和添加种群动力学因素两方面出发,在双线性发生率、标准发生率和A[6][7]BNSI(A位于0.03和0.07之间)发生率下,建立各种可能的有疾病潜伏期的传染病动力学模型。
2.1不考虑种群动力学因素
不考虑种群动力学因素是指不考虑出生与自然死亡等种群动力学因素,适宜于描述病程较短,从而在疾病流行期间内,种群的出生和自然死亡可以忽略不计的一些疾病.以
1
下均设疾病的平均潜伏期为SEIS(患病后可以治愈)模
型有些有疾病潜伏期的传染病,患病后可以治愈,但是康复的病人无免疫期,即康复的病人可以立即再次被感染。假设C是t时刻单位时间内移出者在病人中所占的比例。
由于疾病的传播机制如下面框图所示
:
于是我们很容易建立三种不同发生率下的传染病模型分别为:dSdSSdS=-BSI+C=-BI+C=-BNASI/N+CIdtdtNdtdEdESdE=BSI-XE=BI-XE=BNASI/N-XEdtdtNdtdIdIdI=XE-CI=XE-CI=XE-CIdtdtdt2.2添加种群动力学因素2.2.1总人口恒定
总人口恒定是指在疾病流行期间,考虑人口的出生与自然死亡等变化,但假定出生率系数(即单位时间内出生的人数在总人口数中的比例)与自然死亡率系数相等,且不考虑人口输入和输出以及因病死亡,从而总人口保持为一常数.假设出生率系数与死亡率系数均为b。
3
收稿日期:2005-09-10
基金项目:山西省自然科学基金项目资助(2005Z010)。作者简介:兰晓晶(1984-),女,山西夏县人,硕士研究生。
1)SEI模型
SEI(无垂直传染)模型有些有疾病潜伏期的传染病,母体患病,但母体的疾病不会先天传染给新生儿,故新生儿均为易感者,而且患病后难以治愈。
由于疾病的传播机制如下面框图所示
:
这里假定出生率系数为b;自然死亡率系数为d;因病死亡率系数为A;对时间的输入率为A,且均为易感者;输出率系数为B,且输出者关于易感者、潜伏者和患病者平均分配。
由于疾病的传播机制如下面框图所示:
从而可以得到三种发生率下的此类传染病模型为:dSdSS=bK-bS-BSI=bK-bS-BIdtdtNdEdES=BSI-(b+X)E =BI-(b+X)EdtdtNdIdI=X
E-bI=XE-bIdtdtdS=bK-bS-BNASI/NdtdE=BNASI/N-(b+X)EdtdI
=XE-bIdt
类似的可以建立SEIR(有垂直传染)模型。2)SEIR模型
SEIR(有垂直传染)模型有些有疾病潜伏期的传染病,母体患病,母体的疾病就会先天传染给新生儿,故新生儿均为染病者;患病后可以治愈,而且病人康复后具有永久免疫力。
因疾病的传播机制如下面框图所示:
于是可建立三种不同发生率下的这类传染病模型:dS
=A+b(S+E)-(d+B)S-BSI+CIdtdE=BSI-(d+B+X)EdtdI
=XE+(b-d-A-B-C)IdtdSS
=A+b(S+E)-(d+B)S-BI+CIdtN
SdE
=BI-(d+B+X)E
NdtdI
=XE+(b-d-A-B-C)IdtdS
=A+b(S+E)-(d+B)S-BNASI/N+CIdtdE=BNASI/N-(d+B+X)EdtdI
=XE+(b-d-A-B-C)Idt
3.结束语
本文所建立的有疾病潜伏期的传染病动力学模型的一般形式,在研究某种具体的传染病时,采用何种的发生率,应视具体疾病和环境等因素,根据所获得的数据而定。于是可以得到三种发生率下的传染病模型是:
关于有疾病潜伏期的传染病动力学模型的进一步研究,dSdSS
=b(E+R)-BSI=b(E+R)-BIdtdtN目前已取得一些成果。具有常数移民的SEIS模型(双线性dEdES发生率)的基本再生数、无病平衡点、地方性平衡点、全局渐=BSI-(b+X)E=BI-(b+X
)E[5]dtdtN近稳定性等。所用方法有构造Liapunov函数法、极限方 dIdI程理论、矩阵理论等.但本文建立的模型中大多数还没有作=XE-CI=XE-CIdtdt进一步的研究,有待于我们进一步研究.在本文的写作过程dRdR中,雒志学副教授提供了宝贵的意见,在此深表感谢!=CI-bR=CI-bRdtdt
参考文献:
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[1]彭文伟.传染病学[M].北京:人民卫生出版社,2001.=b(E+R)-BNSI/N
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[2]布鲁克史密斯.皮特著,马永波译.未来的灾难:瘟疫
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[3]靳祯,马知恩.具有连续和脉冲预防接种的传染病模型dI
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[4]马知恩.种群动力学与流行病动力学[M].西安:西安dR
=CI-bR
交通大学出版社,2000.dt
[5]马知恩,周义仓,王稳地等.传染病动力学的数学建模同理可以建立SEIR(无垂直传染)模型。
与研究[M].北京:科学出版社,2004.2.2.2总人口变动
.总人口变动是指考虑因病死亡、人口的输入和输出、出[6]F.R.Gantmacher.ApplicationoftheTheoryofMatrices
IntersciencePublisherInc,NewYork,1959.生率与自然死亡率不相等、密度制约等因素(从而总人口为
ministicAspectsofMathematical时间t的函数N(t)).总人口变动可根据总人口恒定作相应[7]JImpagliazzo.Deter
Demography.Biomathematics13.Berlin:Springer-的研究,只需假设相应的参数即可.下面举总人口变动的一
verlag,1985.个特例并建立其相应模型。
(英文摘要下转第30页)SEIS(有垂直传染且有人口输入输出)模型:有些有疾病
【责任编辑 胡运红】潜伏期的传染病,不仅有垂直传染,而且有人口输入和输出。
在以上几种证法中,证法一灵活应用了几何-算术平均值不等式
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(a1+a2+,+an)(ai>0,i=1,2,n
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总之,本文给出了第二重要极限的多种证明方法,以便大家学习或讲课时参考。
参考文献:
[1]匡继昌.常用不等式[M].长沙:湖南教育出版社,1990.[2]WalterRudin著.赵慈庚,蒋铎译.数学分析原理[M].北
京:机械工业出版社,2004.[3]何琛,史济怀,徐森林合编.数学分析[M].北京:高等教
育出版社,1985.[4]张筑生.数学分析新讲[M].北京:北京大学出版社,2003.[5]华东师范大学数学系编.数学分析[M].北京:高等教育
出版社,2001.
【责任编辑 张凤琴】
12n等式,大大地减少了计算量,不知不觉地就达到了胜利的彼
岸.证法三巧妙地利用了不等式的基本性质.这一证明方法,构思巧妙,证明该问题的思路和方法极大地调动了学生尤其是优生的求知欲望,达到了启迪思维,提高能力的目的.证法四中是用一个特殊的不等式来证明数列的单调性和有界性的,具有较高的技巧和机敏性.从思维的角度分析,它们不受某种固定逻辑模式的限制,具有鲜明的灵活性和创新性,属于灵感性的非常规方法.有利于鼓励学生进行/创新思维0和/求异思维0.采用这样的证法,对于丰富学生的思维和提高创造能力大有益处.另外,因证明过程简捷,既便于学生理解,也能节省时间.这两种方法的不妥之处主要表现在与教材前后缺乏逻辑上的必然联系.书中常用的多项式展开相对而言逻辑性强便于理解,只是过程繁琐。
n
OntheProvingoftheLimitof(1+)
n
ZHANGMin-zhen
(DepartmentofAppliedMathematics,YunchengUniversity,044000,Yuncheng,China)
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)isoneofthemostimportantlimits.Mosthighern
mathematicstextbooksusethetheoremofbinomialspreadingtoprovemonotoneandboundedproperty.Thisessayhasprovedmonotoneandboundedpropertythroughtheotherfourinequalityinordertomakeus
n
understandthe(1+)limitprovingbetter.
n
Keywords:Sepuentiallimi;tMonotoneandBoundedproperty;Bernoulliinequality
Abstract:TheLimitofsequential(1+
(上接第27页)
EpidemicDynamicsModelswithLatency
LANXiao-jing,ZHANGFeng-qin
①
②
(①LanzhoujiaotongUniversity,Gansu,Lanzhou730070;)
(DepartmentofAppliedMathematics,YunchengUniversity,044000,Yuncheng,China)
Abstract:Inthispaper,Isetsupdifferentepidemicaldynamicmodelsofdiseasewithlatencyfrom,
whichadoptbilinearincidence,standardincidenceandtheincidenceof(between0.03and0.07).
Keywords:epidemicalmodels;latency;incidence;verticaltransmission;differentialequations