（2005北京文）
（20）（共14分）
解：（I ）W 1={(x , y )| kx 0}， （II ）直线l 1：k x －y ＝0，直线l 2：k x ＋y ＝0，由题意得
|k 2x 2-y 2|22
=d
， =d , 即2k +1 由P (x , y ) ∈W ，知k 2x 2－y 2>0，
k 2x 2-y 2
=d 2，即k 2x 2-y 2-(k 2+1) d 2=0, 所以 2
k +1
所以动点P 的轨迹C 的方程为k 2x 2-y 2-(k 2+1) d 2=0；
（III ）当直线l 与x 轴垂直时，可设直线l 的方程为x ＝a （a ≠0）．由于直线l ，曲线C 关于x 轴对称，且l 1与l 2关于x 轴对称，于是M 1M 2，M 3M 4的中点坐标都为（a ，0），所以△OM 1M 2，△OM 3M 4的重心坐标都为（
2
a ，0），即它们的重心重合， 3
当直线l 1与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =mx +n （n ≠0）．
⎧k 2x 2-y 2-(k 2+1) d 2=0 由⎨，得(k 2-m 2) x 2-2mnx -n 2-k 2d 2-d 2=0
y =mx +n ⎩
由直线l 与曲线C 有两个不同交点，可知k 2－m 2≠0且
△=(2mn ) +4(k -m ) ⨯(n +k d +d ) >0 设M 1，M 2的坐标分别为(x 1, y 1) ，(x 2, y 2) ， 则x 1+x 2=
2
2
2
2
2
2
2
2mn
, y 1+y 2=m (x 1+x 2) +2n ,
k 2-m 2
设M 3，M 4的坐标分别为(x 3, y 3) ，(x 4, y 4) ， 由⎨
⎧y =kx
⎧y =-kx n -n
, x 4=得x 3= 及⎨
k -m k +m ⎩y =mx +n ⎩y =mx +n
2mn
=x 1+x 2，
k 2-m 2
从而x 3+x 4=
所以y 3+y 4=m (x 3+x 4)+2n ＝m (x 1+x 2)+2n ＝y 1+y 2, 于是△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心也重合．
（2005北京理） （2006北京文）
(19)(共14分) 解法一：
(Ⅰ) 因为点P 在椭圆C 上，所以2a =PF 1+PF 2=6，a=3. 在Rt △PF 1F 2中，F 1F 2=从而b 2=a －c 2=4,
2
PF 2-PF 1
22
=2, 故椭圆的半焦距c =,
x 2y 2
+ 所以椭圆C 的方程为＝1. 94
(Ⅱ) 设A ，B 的坐标分别为（x 1, y 1）、（x 2, y 2）.
已知圆的方程为（x +2）2+(y －1) 2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l 的方程为 y =k (x +2)+1,
代入椭圆C 的方程得
（4+9k 2）x 2+(36k 2+18k ) x +36k 2+36k －27=0. 因为A ，B 关于点M 对称.
x 1+x 218k 2+9k
=-=-2. 所以2
24+9k
解得k =
8， 9
8
(x +2) +1, 9
所以直线l 的方程为y =
即8x -9y +25=0.
(经检验，所求直线方程符合题意) 解法二： (Ⅰ) 同解法一.
(Ⅱ) 已知圆的方程为（x +2）2+(y －1) 2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 设A ，B 的坐标分别为（x 1, y 1）,(x 2, y 2). 由题意x 1≠x 2且
x y
1+1=1,
94x y
2+2=1,
94
由①－②得
2
2
22
①
②
(x 1-x 2)(x 1+x 2) (y 1-y 2)(y 1+y 2)
+=0.
94
③
因为A 、B 关于点M 对称，
所以x 1+ x2=－4, y1+ y2=2, 代入③得
y 1-y 28
＝， 9x 1-x 2
8， 9
即直线l 的斜率为
所以直线l 的方程为y －1＝
8
（x+2）， 9
即8x －9y +25=0.
(经检验，所求直线方程符合题意.)
（2006北京理）
（19）（共14分）
解法一：
（Ⅰ）由PM -PN =22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a =
2
又半焦距c=2，故虚半轴长b =c 2-a 2=2
x 2y 2
-=1, x ≥2 所以W 的方程为22
（Ⅱ）设A ，B 的坐标分别为（x 1, y 1），（x 2, y 2）
2
当AB ⊥x 轴时, x 1=x 2, y 1=-y 2, 从而, =x 1x 2+y 1y 2=x 1-y 12=2
当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y=kx+m，与W 的方程联立，消去y 得：
(1-k )x
2
2
-2kmx -m 2-2=0
2km m 2+2
, x 1x 2=2故x 1+x 2= 1-k 2k -1
所以⋅=x 1x 2+y 1y 2
()
=(1+k )(m
2
=x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=1+k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2
2
+2
k 2-11-k 2
2k 2+24=2=2+2
k -1k -1
)+2k m
2
2
+m 2
又因为x 1x 2>0, 所以k 2-1>0, 从而0A ⋅0B >2 综上，当AB ⊥x 轴时, ⋅取得最小值2。 解法二： （Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）设A ，B 的坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2)，则
x i 2-y i 2=(x i +y i )(x i -y i )=2(i =1, 2)
令s i =x i +y i , t i =x i -y i
则s i t i =2, 且s i >0, t i >0(i =1, 2)，所以
⋅=x 1x 2+y 1y 2
1
(s 1+t 1)(s 2+t 2)+1(s 1-t 1)(s 2-t 2) 4411
=s 1s 2+t 1t 2≥s 1s 2t 1t 2=222=
⎧x 1=x 2
当且仅当s 1s 2=t 1t 2, 即⎨时，“=”成立
y =-y 2⎩1
所以⋅的最小值是2。
（2007北京文）
19．（共14分）
解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为x -3y -6=0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的
斜率为-3．
，在直线AD 上， 又因为点T (-11)
所以AD 边所在直线的方程为y -1=-3(x +1) ．
3x +y +2=0．
（II ）由⎨
⎧x -3y -6=0，
解得点A 的坐标为(0，-2) ，
⎩3x +y +2=0
0) ． 因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2，
所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．
又AM =
=
从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x -2) 2+y 2=8．
（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，
所以PM =PN +
即PM -PN =
故点P 的轨迹是以M ，
N 为焦点，实轴长为
因为实半轴长a =
c =2．
所以虚半轴长b ==
x 2y 2
-=1(x ≤． 从而动圆P
的圆心的轨迹方程为
22
（2007北京理）
17．（共14分）
解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为x -3y -6=0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为-3．
，在直线AD 上， 又因为点T (-11)
所以AD 边所在直线的方程为y -1=-3(x +1) ，
即 3x +y +2=0．
（II ）由⎨
⎧x -3y -6=0，
解得点A 的坐标为(0，-2) ，
⎩3x +y +2=0
0) ． 因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2，
所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．
又AM =
=
从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x -2) 2+y 2=8．
（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，
所以PM =PN +
即PM -PN =
故点P 的轨迹是以M ，
N 为焦点，实轴长为
因为实半轴长a =c =2．
所以虚半轴长b ． 从而19．（共13分）
解：（I ）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O -xy （如图），则点C 的横坐标为x ．
x 2y 2
点C 的纵坐标y 满足方程2+2=1(y ≥0) ，
r 4r
解得y =
r )
S =
1
(2x +2r )
2
=2(x +r )
其定义域为x 0
{}
（II ）记f (x ) =4(x +r ) 2(r 2-x 2) ，0
1
r ． 2
因为当0
r r
时，f '(x ) >0；当
⎛1⎫
f r ⎪是f (x ) 的⎝2⎭
因此，当x =
1
r 时，S
2
2=．
即梯形面积S
2
．
x 2y 2
-=1(x ≤． 动圆P
的圆心的轨迹方程为
22
（2008北京文）
19．（共14分）
0) ，所以AB 所在直线的方程为y =x ． 解：（Ⅰ）因为AB //l ，且AB 边通过点(0，
设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1) ，(x 2，y 2) ．
⎧x 2+3y 2=4，由⎨ 得x =±1．
⎩y =x
所以AB =
1-x 2=
1
AB h =2． 2
又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离．
所以h =
S △ABC =
（Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y =x +m ，
⎧x 2+3y 2=4，22由⎨得4x +6mx +3m -4=0． ⎩y =x +m
因为A ，B 在椭圆上， 所以∆=-12m +64>0．
设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1) ，(x 2，y 2) ，
2
3m 3m 2-4则x 1+x 2=-，x 1x 2=，
24
所以AB =1-x 2=．
又因为BC 的长等于点(0，m ) 到直线l
的距离，即BC =
2
2
2
．
22
所以AC =AB +BC =-m -2m +10=-(m +1) +11．
所以当m =-1时，AC 边最长，（这时∆=-12+64>0） 此时AB 所在直线的方程为y =x -1．
（2008北京理）
19．（共14分）
解：（Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为y =x +1． 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ． 于是可设直线AC 的方程为y =-x +n ．
⎧x 2+3y 2=4，22由⎨得4x -6nx +3n -4=0． ⎩y =-x +n
因为A ，C 在椭圆上，
所以∆=-12n +64>
0，解得-
2
．
33
设A ，C 两点坐标分别为(x 1，y 1) ，(x 2，y 2) ，
3n 3n 2-4
则x 1+x 2=，x 1x 2=，y 1=-x 1+n ，y 2=-x 2+n ．
24
所以y 1+y 2=
n
． 2
所以AC 的中点坐标为
⎛3n n ⎫
⎪． 44⎭⎝
⎛3n n ⎫
⎪在直线y =x +1上， ⎝44⎭
由四边形ABCD 为菱形可知，点 所以
n 3n =+1，解得n =-2． 44
所以直线AC 的方程为y =-x -2，即x +y +2=0． （Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且∠ABC =60， 所以AB =BC =CA ．
所以菱形ABCD
的面积S =
2
． 2
2
-3n 2+16
由（Ⅰ）可得AC =(x 1-x 2) +(y 1-y 2) =，
2
2
⎛2
-3n +16) 所以S =
所以当n =0时，菱形ABCD
的面积取得最大值
（2009北京文）
19【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
⎧a 2=⎪⎪3，解得a =1, c = （Ⅰ）由题意，得⎨c
⎪c =⎪⎩
a
y 2
=1. ∴b =c -a =2，∴所求双曲线C 的方程为x -2
2
2
2
2
（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2)，线段AB 的中点为M (x 0, y 0)，
⎧x -y +m =0⎪22由⎨2y 2得x -2mx -m -2=0（判别式∆>0）,
=1⎪x -
⎩2
∴x 0=
x 1+x 2
=m , y 0=x 0+m =2m , 2
∵点M (x 0, y 0)在圆x 2+y 2=5上，
2
∴m +(2m )=5，∴m =±1.
2
（2009北京理）
19【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
⎧a 2=⎪⎪，
（Ⅰ）由题意，得⎨c
⎪c =⎪⎩a
解得a =1, c = ∴b =c -a =2，
2
2
2
y 2
=1. ∴所求双曲线C 的方程为x -2
2
（Ⅱ）点P (x 0, y 0)(x 0y 0≠0)在圆x 2+y 2=2上，
圆在点P (x 0, y 0)处的切线方程为y -y 0=-化简得x 0x +y 0y =2
x 0
(x -x 0)， y 0
⎧2y 2
=1⎪x -2222
-4)x 2-4x 0x +8-2x 0=0， 由⎨ 及x 0+y 0=2得(3x 02
⎪x x +y y =2
0⎩0
2
∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且0
2222
-43x 0-48-2x 0>0， ∴3x 0-4≠0，且∆=16x 0
()()
设A 、B 两点的坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2)，
2
4x 08-2x 0
则x 1+x 2=2， , x 1x 2=2
3x 0-43x 0-4
OA ⋅OB
∵cos ∠AOB =，
OA ⋅OB
1
且OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+2(2-x 0x 1)(2-x 0x 2)，
y 0
=x 1x 2+
12
⎡ 4-2x x +x +x x 1x 2⎤()01202⎣⎦2-x 0
2222⎤x 08-2x 0()8-2x 08x 01⎡
⎢4-2⎥ =2++22
3x 0-42-x 0⎢3x 0-43x 0-4⎥
⎣⎦
22
8-2x 02x 0-8=2+2=0. 3x 0-43x 0-4︒
∴ ∠AOB 的大小为90.
【解法2】
（Ⅰ）同解法1
（Ⅱ）点P (x 0, y 0)(x 0y 0≠0)在圆x 2+y 2=2上，
圆在点P (x 0, y 0)处的切线方程为y -y 0=-化简得x 0x +y 0y =2.
x 0
(x -x 0)， y 0
⎧2y 2
=1⎪x -22
由⎨ 及x 0+y 0=2得 2
⎪x x +y y =2
0⎩0
(3x
2
020
2
-4)x 2-4x 0x +8-2x 0=0 ① 2-4)y 2-8y 0x -8+2x 0=0 ②
(3x
∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，∴3x 0-4≠0， 设A 、B 两点的坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2)，
2
22
8-2x 02x 0-8
则x 1x 2=2， , y 1y 2=2
3x 0-43x 0-4
∴OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=0，
︒
∴ ∠AOB 的大小为90.
22222
（∵x 0
方程①和方程②的判别式均大于零）.
（2010北京文）
19解：
（Ⅰ）因为
c ，且c =
a =b ==1 =
a x 2
+y 2=1 所以椭圆C 的方程为3
（Ⅱ）由题意知p (0,t )(-1
⎧y =t ⎪x =由⎨x 2
得2
⎪+y =1⎩3
所以圆P
解得t =所以点P 的坐标是（0
， 2
2
2
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P 的方程x +(y -t ) =3(1-t ) 。因为点Q (x , y ) 在圆P
上。所以
y =t ±t 设t =cos θ, θ∈
(0,π) ，则t +=cos θ+θ=2sin(θ+当θ=
π
6
)
π
3
，即t =
1
，且x =0，y 取最大值2. 2
【命题意图】本题考查了椭圆方程、直线与圆的位置关系以及应用参数法求最值等问题. 问题的设置由浅入深，符合学生的思维能力的生成过程，问题的设置也兼顾考查了应用代数的思想解决几何问题的能力.
【试题点评】圆锥曲线问题是每年的必考题型，其试题的难度会有所增加，但是其试题一般都是有梯度的，且此类问题的设置时基于对基础知识、基本能力的考查基础上能力的拔高. 求解此类问题往往要应用到代数的方法和思想来求解，故此在平时的学习中要注意对圆锥曲
线的标准方程、参数关系、基本方法、基本题型的掌握和熟练.
（2010北京理）
（19）（共14分）
（I ）解：因为点B 与A (-1,1) 关于原点O 对称，所以点B 得坐标为(1,-1) . 设点P 的坐标为(x , y ) 由题意得
y -1y +11
=- x +1x -13
化简得 x 2+3y 2=4(x ≠±1) .
故动点P 的轨迹方程为x 2+3y 2=4(x ≠±1)
（II ）解法一：设点P 的坐标为(x 0, y 0) ，点M ，N 得坐标分别为(3,y M ) , (3,y N ) . 则直线AP 的方程为y -1=
y 0-1y +1
直线BP 的方程为y +1=0(x +1) ，(x -1)
x 0+1x 0-1
令x =3得y M =
4y 0+x 0-32y 0-x 0+3，y N =.
x 0+1x 0-1
于是 PMN 得面积
|x 0+y 0|(-3x 02) 1
S P M N =|y M -y N |(-30x =) 2
2|x 0-1|
又直线AB 的方程为x +y =
0，|AB |= 点P 到直线AB
的距离d =于是 PAB 的面积 S PAB =当S PAB
.
1
|AB | d =|x 0+y 0| 2
|x 0+y 0|(3-x 0) 2
=S PMN 时，得|x 0+y 0|=2
|x 0-1|
又|x 0+y 0|≠0，
2
所以(3-x 0) 2=|x 0-1|，解得|x 0=
5。 3
因为x 02+3y 02=
4，所以y 0=
故存在点P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等，此时点P
的坐标为(, ±
53. 9
解法二：若存在点P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等，设点P 的坐标为(x 0, y 0)
11|PA | |PB |sin ∠APB =|PM | |PN |sin ∠MPN . 22
因为sin ∠APB =sin ∠MPN ,
则 所以
|PA ||PN |
=
|PM ||PB |
所以
|x 0+1||3-x 0|
=
|3-x 0||x -1|
5 3
即 (3-x 0) 2=|x 02-1|，解得x 0= 因为x 02+3y 02=
4，所以y 0= 故存在点P S 使得 PAB 与 PMN 的面积相等，此时点P 的坐标
为
5(, ±. 39
（2011北京文）
（19）（共14分）
解：（Ⅰ
）由已知得c =解得a = 又b 2=a 2-c 2=4.
c
=a
x 2y 2+=1. 所以椭圆G 的方程为
124
（Ⅱ）设直线l 的方程为y =x +m .
⎧y =x +m ⎪由⎨x 2得 y 2
=1⎪+
⎩124
4x 2+6mx +3m 2-12=0.
设A 、B 的坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2)(x 1
则x 0=
x 1+x 23m
=-, 24
m
4
y 0=x 0+m =
因为AB 是等腰△PAB 的底边， 所以PE ⊥AB.
m
=-1. 所以PE 的斜率k =
3m -3+
4
2-
解得m=2。
此时方程①为4x +12x =0. 解得x 1=-3, x 2=0. 所以y 1=-1, y 2=2. 所以|AB|=32.
此时，点P （—3，2）到直线AB ：x -y +2=0的距离d =
2
|-3-2+2|
2
=
32
, 2
所以△PAB 的面积S=
19|AB |⋅d =. 22
（2011北京理）
19．命题意图：本题主要考察椭圆基本性质，包括焦点，离心率，基本量的运算，直线和椭圆的位置关系，，突出的是如何用代数方法来研究几何问题，在这个转化过程中考察对函数的相关知识，包括函数解析式如何建立，如何求函数的最值等等. 应该说对对理科学生分析问题和转化问题，代数变形，计算能力的要求较高.
解题思路：
（I ）这问是求椭圆的焦点坐标，离心率，只要学生明白相关定义，知道几个基本量之间的关系，即可解决.
（II ）对这一问，应该分成两步：第一步：建立函数关系，即找到|AB |与m 的函数关系式. 首先注意|AB |是一条动直线，其斜率k 未知，同时横截距m 也是变化的，这样初步确定
|AB |和两个变量有关，而要想最终把|AB |表示成m 的函数，还要消掉变量k ，这样，还
寻求变量
m ，k 之间的一个关系，注意到直线AB 是圆x 2+y 2=1的切线，从而圆心到直
线AB 的距离等于1，这样直线的斜率k ，m 要受限于一个等式，从而得到二者之间的转化
关系式，最终可以求得到|AB |与m 的函数关系式.
第二步:求函数的最大值，一般两讲，求函数的最值可以利用导数，均值定理等方法.
参考答案： 解：（Ⅰ）
x 2
+y 2=1中：a 2=4、b 2=1、c 2=3⇒a =2、b =
1、c =椭圆G :4
椭圆G
的焦点坐标为
和
()
；离心率为e =
)
c =
a 2
（Ⅱ）解法一：
注意到：|m |≥1
当|m |=1时，直线AB 方程为x =
m ，与椭圆方程联立，得|AB |= 当|m |>1时，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y =k (x -m )
⎧x 22
⎪+y =1
⇒(4k 2+1)x 2-8k 2my +(4k 2m 2-4)=0 ⎨4
⎪y =k (x -m )⎩
由韦达定理：
8k 2m 4k 2m 2-4x 1+x 2=2；x 1⋅x 2= 2
4k +14k +1
但另一方面由直线AB 与单位圆相切：
=1⇒k 2=
1
m 2-1
代入到：
|x 1-x 2|=
|AB |=x 1-x 2=2
进而，将k
=
1|m |
代入整理有： |AB |=m 2-1m 2+3
当|m |=1
时，
|AB |==
也满足上述表达式
综上：|AB |=
|m |
（其中|m |≥1）2
m +3
|AB |=
|m |+
|m |
≤
=2
当且仅当|m |=
3
，即m = |m |
|AB |的最大值为2
解法一：
设直线AB 的方程为x =ky +m ，其中|m |≥1，
⎧x 2
⎪+y 2=1
⇒(k 2+4)y 2+2kmy +(m 2-4)=0 ⎨4
⎪x =ky +m ⎩
由韦达定理：
m 2-42km
y 1+y 2=-2；y 1⋅y 2=2
k +4k +4
但另一方面：
=1⇒m 2=1+k 2
代入到：
|y 1-y 2|=
整理得：
|AB |=y 1-y 2=
22
进而，将k =m
-1代入整理有：|AB |=
|AB |=
|m |+
|m |
≤
=2
当且仅当|m |=
3
，即m = |m |
|AB |的最大值为2
规律总结:
解析几何的思维特征就是要用代数的方法解决几何问题. 思维的要点是：通过分析
几何元素的几何特征进行有效的代数化，并通过代数的运算得出代数的结果，从而得到几何的结论. 理科的19题关注于解析几何基本思想的考查，学科的思维特征显著. 全面考查了学生用代数方法研究几何问题的意识和能力，对平面解析几何教学中准确把握学科的基本思想，在平面解析几何学习中体会学科的思维特征进行了正确的导向.
（2012北京文）
（2012北京理）
x 2y 2
19解：（1）原曲线方程可化简得：+=1
885-m m -2
8⎧8>⎪5-m m -2⎪⎪87
>0由题意可得：⎨，解得：
2⎪5-m
⎪8
⎪m -2>0⎩
（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：(2k 2+1) x 2+16kx +24=0，
∆=32(2k 2-3) ，解得：k 2>
3 2
由韦达定理得：x M +x N =
16k 24
①，，② x x =M N
2k 2+12k 2+1
设N (x N , k x N +4) ，M (x M , kx M +4) ，G (x G ，1)
MB 方程为：y =
⎛3x M ⎫kx M +6
x -2，则G ，1⎪， x M
⎝kx M +6⎭
⎛3x M ⎫
，-1⎪，AN =(x N ，x N k +2)， ∴AG =
x k +6⎝M ⎭
欲证A ，G ，N 三点共线，只需证AG ，AN 共线
即
3x M
(x N k +2) =-x N 成立，化简得：(3k +k ) x M x N =-6(x M +x N )
x M k +6
G ，N 三点共线得证。 将①②代入易知等式成立，则A ，
（2005北京文）
（20）（共14分）
解：（I ）W 1={(x , y )| kx 0}， （II ）直线l 1：k x －y ＝0，直线l 2：k x ＋y ＝0，由题意得
|k 2x 2-y 2|22
=d
， =d , 即2k +1 由P (x , y ) ∈W ，知k 2x 2－y 2>0，
k 2x 2-y 2
=d 2，即k 2x 2-y 2-(k 2+1) d 2=0, 所以 2
k +1
所以动点P 的轨迹C 的方程为k 2x 2-y 2-(k 2+1) d 2=0；
（III ）当直线l 与x 轴垂直时，可设直线l 的方程为x ＝a （a ≠0）．由于直线l ，曲线C 关于x 轴对称，且l 1与l 2关于x 轴对称，于是M 1M 2，M 3M 4的中点坐标都为（a ，0），所以△OM 1M 2，△OM 3M 4的重心坐标都为（
2
a ，0），即它们的重心重合， 3
当直线l 1与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =mx +n （n ≠0）．
⎧k 2x 2-y 2-(k 2+1) d 2=0 由⎨，得(k 2-m 2) x 2-2mnx -n 2-k 2d 2-d 2=0
y =mx +n ⎩
由直线l 与曲线C 有两个不同交点，可知k 2－m 2≠0且
△=(2mn ) +4(k -m ) ⨯(n +k d +d ) >0 设M 1，M 2的坐标分别为(x 1, y 1) ，(x 2, y 2) ， 则x 1+x 2=
2
2
2
2
2
2
2
2mn
, y 1+y 2=m (x 1+x 2) +2n ,
k 2-m 2
设M 3，M 4的坐标分别为(x 3, y 3) ，(x 4, y 4) ， 由⎨
⎧y =kx
⎧y =-kx n -n
, x 4=得x 3= 及⎨
k -m k +m ⎩y =mx +n ⎩y =mx +n
2mn
=x 1+x 2，
k 2-m 2
从而x 3+x 4=
所以y 3+y 4=m (x 3+x 4)+2n ＝m (x 1+x 2)+2n ＝y 1+y 2, 于是△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心也重合．
（2005北京理） （2006北京文）
(19)(共14分) 解法一：
(Ⅰ) 因为点P 在椭圆C 上，所以2a =PF 1+PF 2=6，a=3. 在Rt △PF 1F 2中，F 1F 2=从而b 2=a －c 2=4,
2
PF 2-PF 1
22
=2, 故椭圆的半焦距c =,
x 2y 2
+ 所以椭圆C 的方程为＝1. 94
(Ⅱ) 设A ，B 的坐标分别为（x 1, y 1）、（x 2, y 2）.
已知圆的方程为（x +2）2+(y －1) 2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l 的方程为 y =k (x +2)+1,
代入椭圆C 的方程得
（4+9k 2）x 2+(36k 2+18k ) x +36k 2+36k －27=0. 因为A ，B 关于点M 对称.
x 1+x 218k 2+9k
=-=-2. 所以2
24+9k
解得k =
8， 9
8
(x +2) +1, 9
所以直线l 的方程为y =
即8x -9y +25=0.
(经检验，所求直线方程符合题意) 解法二： (Ⅰ) 同解法一.
(Ⅱ) 已知圆的方程为（x +2）2+(y －1) 2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 设A ，B 的坐标分别为（x 1, y 1）,(x 2, y 2). 由题意x 1≠x 2且
x y
1+1=1,
94x y
2+2=1,
94
由①－②得
2
2
22
①
②
(x 1-x 2)(x 1+x 2) (y 1-y 2)(y 1+y 2)
+=0.
94
③
因为A 、B 关于点M 对称，
所以x 1+ x2=－4, y1+ y2=2, 代入③得
y 1-y 28
＝， 9x 1-x 2
8， 9
即直线l 的斜率为
所以直线l 的方程为y －1＝
8
（x+2）， 9
即8x －9y +25=0.
(经检验，所求直线方程符合题意.)
（2006北京理）
（19）（共14分）
解法一：
（Ⅰ）由PM -PN =22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a =
2
又半焦距c=2，故虚半轴长b =c 2-a 2=2
x 2y 2
-=1, x ≥2 所以W 的方程为22
（Ⅱ）设A ，B 的坐标分别为（x 1, y 1），（x 2, y 2）
2
当AB ⊥x 轴时, x 1=x 2, y 1=-y 2, 从而, =x 1x 2+y 1y 2=x 1-y 12=2
当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y=kx+m，与W 的方程联立，消去y 得：
(1-k )x
2
2
-2kmx -m 2-2=0
2km m 2+2
, x 1x 2=2故x 1+x 2= 1-k 2k -1
所以⋅=x 1x 2+y 1y 2
()
=(1+k )(m
2
=x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=1+k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2
2
+2
k 2-11-k 2
2k 2+24=2=2+2
k -1k -1
)+2k m
2
2
+m 2
又因为x 1x 2>0, 所以k 2-1>0, 从而0A ⋅0B >2 综上，当AB ⊥x 轴时, ⋅取得最小值2。 解法二： （Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）设A ，B 的坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2)，则
x i 2-y i 2=(x i +y i )(x i -y i )=2(i =1, 2)
令s i =x i +y i , t i =x i -y i
则s i t i =2, 且s i >0, t i >0(i =1, 2)，所以
⋅=x 1x 2+y 1y 2
1
(s 1+t 1)(s 2+t 2)+1(s 1-t 1)(s 2-t 2) 4411
=s 1s 2+t 1t 2≥s 1s 2t 1t 2=222=
⎧x 1=x 2
当且仅当s 1s 2=t 1t 2, 即⎨时，“=”成立
y =-y 2⎩1
所以⋅的最小值是2。
（2007北京文）
19．（共14分）
解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为x -3y -6=0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的
斜率为-3．
，在直线AD 上， 又因为点T (-11)
所以AD 边所在直线的方程为y -1=-3(x +1) ．
3x +y +2=0．
（II ）由⎨
⎧x -3y -6=0，
解得点A 的坐标为(0，-2) ，
⎩3x +y +2=0
0) ． 因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2，
所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．
又AM =
=
从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x -2) 2+y 2=8．
（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，
所以PM =PN +
即PM -PN =
故点P 的轨迹是以M ，
N 为焦点，实轴长为
因为实半轴长a =
c =2．
所以虚半轴长b ==
x 2y 2
-=1(x ≤． 从而动圆P
的圆心的轨迹方程为
22
（2007北京理）
17．（共14分）
解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为x -3y -6=0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为-3．
，在直线AD 上， 又因为点T (-11)
所以AD 边所在直线的方程为y -1=-3(x +1) ，
即 3x +y +2=0．
（II ）由⎨
⎧x -3y -6=0，
解得点A 的坐标为(0，-2) ，
⎩3x +y +2=0
0) ． 因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2，
所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．
又AM =
=
从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x -2) 2+y 2=8．
（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，
所以PM =PN +
即PM -PN =
故点P 的轨迹是以M ，
N 为焦点，实轴长为
因为实半轴长a =c =2．
所以虚半轴长b ． 从而19．（共13分）
解：（I ）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O -xy （如图），则点C 的横坐标为x ．
x 2y 2
点C 的纵坐标y 满足方程2+2=1(y ≥0) ，
r 4r
解得y =
r )
S =
1
(2x +2r )
2
=2(x +r )
其定义域为x 0
{}
（II ）记f (x ) =4(x +r ) 2(r 2-x 2) ，0
1
r ． 2
因为当0
r r
时，f '(x ) >0；当
⎛1⎫
f r ⎪是f (x ) 的⎝2⎭
因此，当x =
1
r 时，S
2
2=．
即梯形面积S
2
．
x 2y 2
-=1(x ≤． 动圆P
的圆心的轨迹方程为
22
（2008北京文）
19．（共14分）
0) ，所以AB 所在直线的方程为y =x ． 解：（Ⅰ）因为AB //l ，且AB 边通过点(0，
设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1) ，(x 2，y 2) ．
⎧x 2+3y 2=4，由⎨ 得x =±1．
⎩y =x
所以AB =
1-x 2=
1
AB h =2． 2
又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离．
所以h =
S △ABC =
（Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y =x +m ，
⎧x 2+3y 2=4，22由⎨得4x +6mx +3m -4=0． ⎩y =x +m
因为A ，B 在椭圆上， 所以∆=-12m +64>0．
设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1) ，(x 2，y 2) ，
2
3m 3m 2-4则x 1+x 2=-，x 1x 2=，
24
所以AB =1-x 2=．
又因为BC 的长等于点(0，m ) 到直线l
的距离，即BC =
2
2
2
．
22
所以AC =AB +BC =-m -2m +10=-(m +1) +11．
所以当m =-1时，AC 边最长，（这时∆=-12+64>0） 此时AB 所在直线的方程为y =x -1．
（2008北京理）
19．（共14分）
解：（Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为y =x +1． 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ． 于是可设直线AC 的方程为y =-x +n ．
⎧x 2+3y 2=4，22由⎨得4x -6nx +3n -4=0． ⎩y =-x +n
因为A ，C 在椭圆上，
所以∆=-12n +64>
0，解得-
2
．
33
设A ，C 两点坐标分别为(x 1，y 1) ，(x 2，y 2) ，
3n 3n 2-4
则x 1+x 2=，x 1x 2=，y 1=-x 1+n ，y 2=-x 2+n ．
24
所以y 1+y 2=
n
． 2
所以AC 的中点坐标为
⎛3n n ⎫
⎪． 44⎭⎝
⎛3n n ⎫
⎪在直线y =x +1上， ⎝44⎭
由四边形ABCD 为菱形可知，点 所以
n 3n =+1，解得n =-2． 44
所以直线AC 的方程为y =-x -2，即x +y +2=0． （Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且∠ABC =60， 所以AB =BC =CA ．
所以菱形ABCD
的面积S =
2
． 2
2
-3n 2+16
由（Ⅰ）可得AC =(x 1-x 2) +(y 1-y 2) =，
2
2
⎛2
-3n +16) 所以S =
所以当n =0时，菱形ABCD
的面积取得最大值
（2009北京文）
19【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
⎧a 2=⎪⎪3，解得a =1, c = （Ⅰ）由题意，得⎨c
⎪c =⎪⎩
a
y 2
=1. ∴b =c -a =2，∴所求双曲线C 的方程为x -2
2
2
2
2
（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2)，线段AB 的中点为M (x 0, y 0)，
⎧x -y +m =0⎪22由⎨2y 2得x -2mx -m -2=0（判别式∆>0）,
=1⎪x -
⎩2
∴x 0=
x 1+x 2
=m , y 0=x 0+m =2m , 2
∵点M (x 0, y 0)在圆x 2+y 2=5上，
2
∴m +(2m )=5，∴m =±1.
2
（2009北京理）
19【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
⎧a 2=⎪⎪，
（Ⅰ）由题意，得⎨c
⎪c =⎪⎩a
解得a =1, c = ∴b =c -a =2，
2
2
2
y 2
=1. ∴所求双曲线C 的方程为x -2
2
（Ⅱ）点P (x 0, y 0)(x 0y 0≠0)在圆x 2+y 2=2上，
圆在点P (x 0, y 0)处的切线方程为y -y 0=-化简得x 0x +y 0y =2
x 0
(x -x 0)， y 0
⎧2y 2
=1⎪x -2222
-4)x 2-4x 0x +8-2x 0=0， 由⎨ 及x 0+y 0=2得(3x 02
⎪x x +y y =2
0⎩0
2
∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且0
2222
-43x 0-48-2x 0>0， ∴3x 0-4≠0，且∆=16x 0
()()
设A 、B 两点的坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2)，
2
4x 08-2x 0
则x 1+x 2=2， , x 1x 2=2
3x 0-43x 0-4
OA ⋅OB
∵cos ∠AOB =，
OA ⋅OB
1
且OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+2(2-x 0x 1)(2-x 0x 2)，
y 0
=x 1x 2+
12
⎡ 4-2x x +x +x x 1x 2⎤()01202⎣⎦2-x 0
2222⎤x 08-2x 0()8-2x 08x 01⎡
⎢4-2⎥ =2++22
3x 0-42-x 0⎢3x 0-43x 0-4⎥
⎣⎦
22
8-2x 02x 0-8=2+2=0. 3x 0-43x 0-4︒
∴ ∠AOB 的大小为90.
【解法2】
（Ⅰ）同解法1
（Ⅱ）点P (x 0, y 0)(x 0y 0≠0)在圆x 2+y 2=2上，
圆在点P (x 0, y 0)处的切线方程为y -y 0=-化简得x 0x +y 0y =2.
x 0
(x -x 0)， y 0
⎧2y 2
=1⎪x -22
由⎨ 及x 0+y 0=2得 2
⎪x x +y y =2
0⎩0
(3x
2
020
2
-4)x 2-4x 0x +8-2x 0=0 ① 2-4)y 2-8y 0x -8+2x 0=0 ②
(3x
∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，∴3x 0-4≠0， 设A 、B 两点的坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2)，
2
22
8-2x 02x 0-8
则x 1x 2=2， , y 1y 2=2
3x 0-43x 0-4
∴OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=0，
︒
∴ ∠AOB 的大小为90.
22222
（∵x 0
方程①和方程②的判别式均大于零）.
（2010北京文）
19解：
（Ⅰ）因为
c ，且c =
a =b ==1 =
a x 2
+y 2=1 所以椭圆C 的方程为3
（Ⅱ）由题意知p (0,t )(-1
⎧y =t ⎪x =由⎨x 2
得2
⎪+y =1⎩3
所以圆P
解得t =所以点P 的坐标是（0
， 2
2
2
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P 的方程x +(y -t ) =3(1-t ) 。因为点Q (x , y ) 在圆P
上。所以
y =t ±t 设t =cos θ, θ∈
(0,π) ，则t +=cos θ+θ=2sin(θ+当θ=
π
6
)
π
3
，即t =
1
，且x =0，y 取最大值2. 2
【命题意图】本题考查了椭圆方程、直线与圆的位置关系以及应用参数法求最值等问题. 问题的设置由浅入深，符合学生的思维能力的生成过程，问题的设置也兼顾考查了应用代数的思想解决几何问题的能力.
【试题点评】圆锥曲线问题是每年的必考题型，其试题的难度会有所增加，但是其试题一般都是有梯度的，且此类问题的设置时基于对基础知识、基本能力的考查基础上能力的拔高. 求解此类问题往往要应用到代数的方法和思想来求解，故此在平时的学习中要注意对圆锥曲
线的标准方程、参数关系、基本方法、基本题型的掌握和熟练.
（2010北京理）
（19）（共14分）
（I ）解：因为点B 与A (-1,1) 关于原点O 对称，所以点B 得坐标为(1,-1) . 设点P 的坐标为(x , y ) 由题意得
y -1y +11
=- x +1x -13
化简得 x 2+3y 2=4(x ≠±1) .
故动点P 的轨迹方程为x 2+3y 2=4(x ≠±1)
（II ）解法一：设点P 的坐标为(x 0, y 0) ，点M ，N 得坐标分别为(3,y M ) , (3,y N ) . 则直线AP 的方程为y -1=
y 0-1y +1
直线BP 的方程为y +1=0(x +1) ，(x -1)
x 0+1x 0-1
令x =3得y M =
4y 0+x 0-32y 0-x 0+3，y N =.
x 0+1x 0-1
于是 PMN 得面积
|x 0+y 0|(-3x 02) 1
S P M N =|y M -y N |(-30x =) 2
2|x 0-1|
又直线AB 的方程为x +y =
0，|AB |= 点P 到直线AB
的距离d =于是 PAB 的面积 S PAB =当S PAB
.
1
|AB | d =|x 0+y 0| 2
|x 0+y 0|(3-x 0) 2
=S PMN 时，得|x 0+y 0|=2
|x 0-1|
又|x 0+y 0|≠0，
2
所以(3-x 0) 2=|x 0-1|，解得|x 0=
5。 3
因为x 02+3y 02=
4，所以y 0=
故存在点P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等，此时点P
的坐标为(, ±
53. 9
解法二：若存在点P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等，设点P 的坐标为(x 0, y 0)
11|PA | |PB |sin ∠APB =|PM | |PN |sin ∠MPN . 22
因为sin ∠APB =sin ∠MPN ,
则 所以
|PA ||PN |
=
|PM ||PB |
所以
|x 0+1||3-x 0|
=
|3-x 0||x -1|
5 3
即 (3-x 0) 2=|x 02-1|，解得x 0= 因为x 02+3y 02=
4，所以y 0= 故存在点P S 使得 PAB 与 PMN 的面积相等，此时点P 的坐标
为
5(, ±. 39
（2011北京文）
（19）（共14分）
解：（Ⅰ
）由已知得c =解得a = 又b 2=a 2-c 2=4.
c
=a
x 2y 2+=1. 所以椭圆G 的方程为
124
（Ⅱ）设直线l 的方程为y =x +m .
⎧y =x +m ⎪由⎨x 2得 y 2
=1⎪+
⎩124
4x 2+6mx +3m 2-12=0.
设A 、B 的坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2)(x 1
则x 0=
x 1+x 23m
=-, 24
m
4
y 0=x 0+m =
因为AB 是等腰△PAB 的底边， 所以PE ⊥AB.
m
=-1. 所以PE 的斜率k =
3m -3+
4
2-
解得m=2。
此时方程①为4x +12x =0. 解得x 1=-3, x 2=0. 所以y 1=-1, y 2=2. 所以|AB|=32.
此时，点P （—3，2）到直线AB ：x -y +2=0的距离d =
2
|-3-2+2|
2
=
32
, 2
所以△PAB 的面积S=
19|AB |⋅d =. 22
（2011北京理）
19．命题意图：本题主要考察椭圆基本性质，包括焦点，离心率，基本量的运算，直线和椭圆的位置关系，，突出的是如何用代数方法来研究几何问题，在这个转化过程中考察对函数的相关知识，包括函数解析式如何建立，如何求函数的最值等等. 应该说对对理科学生分析问题和转化问题，代数变形，计算能力的要求较高.
解题思路：
（I ）这问是求椭圆的焦点坐标，离心率，只要学生明白相关定义，知道几个基本量之间的关系，即可解决.
（II ）对这一问，应该分成两步：第一步：建立函数关系，即找到|AB |与m 的函数关系式. 首先注意|AB |是一条动直线，其斜率k 未知，同时横截距m 也是变化的，这样初步确定
|AB |和两个变量有关，而要想最终把|AB |表示成m 的函数，还要消掉变量k ，这样，还
寻求变量
m ，k 之间的一个关系，注意到直线AB 是圆x 2+y 2=1的切线，从而圆心到直
线AB 的距离等于1，这样直线的斜率k ，m 要受限于一个等式，从而得到二者之间的转化
关系式，最终可以求得到|AB |与m 的函数关系式.
第二步:求函数的最大值，一般两讲，求函数的最值可以利用导数，均值定理等方法.
参考答案： 解：（Ⅰ）
x 2
+y 2=1中：a 2=4、b 2=1、c 2=3⇒a =2、b =
1、c =椭圆G :4
椭圆G
的焦点坐标为
和
()
；离心率为e =
)
c =
a 2
（Ⅱ）解法一：
注意到：|m |≥1
当|m |=1时，直线AB 方程为x =
m ，与椭圆方程联立，得|AB |= 当|m |>1时，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y =k (x -m )
⎧x 22
⎪+y =1
⇒(4k 2+1)x 2-8k 2my +(4k 2m 2-4)=0 ⎨4
⎪y =k (x -m )⎩
由韦达定理：
8k 2m 4k 2m 2-4x 1+x 2=2；x 1⋅x 2= 2
4k +14k +1
但另一方面由直线AB 与单位圆相切：
=1⇒k 2=
1
m 2-1
代入到：
|x 1-x 2|=
|AB |=x 1-x 2=2
进而，将k
=
1|m |
代入整理有： |AB |=m 2-1m 2+3
当|m |=1
时，
|AB |==
也满足上述表达式
综上：|AB |=
|m |
（其中|m |≥1）2
m +3
|AB |=
|m |+
|m |
≤
=2
当且仅当|m |=
3
，即m = |m |
|AB |的最大值为2
解法一：
设直线AB 的方程为x =ky +m ，其中|m |≥1，
⎧x 2
⎪+y 2=1
⇒(k 2+4)y 2+2kmy +(m 2-4)=0 ⎨4
⎪x =ky +m ⎩
由韦达定理：
m 2-42km
y 1+y 2=-2；y 1⋅y 2=2
k +4k +4
但另一方面：
=1⇒m 2=1+k 2
代入到：
|y 1-y 2|=
整理得：
|AB |=y 1-y 2=
22
进而，将k =m
-1代入整理有：|AB |=
|AB |=
|m |+
|m |
≤
=2
当且仅当|m |=
3
，即m = |m |
|AB |的最大值为2
规律总结:
解析几何的思维特征就是要用代数的方法解决几何问题. 思维的要点是：通过分析
几何元素的几何特征进行有效的代数化，并通过代数的运算得出代数的结果，从而得到几何的结论. 理科的19题关注于解析几何基本思想的考查，学科的思维特征显著. 全面考查了学生用代数方法研究几何问题的意识和能力，对平面解析几何教学中准确把握学科的基本思想，在平面解析几何学习中体会学科的思维特征进行了正确的导向.
（2012北京文）
（2012北京理）
x 2y 2
19解：（1）原曲线方程可化简得：+=1
885-m m -2
8⎧8>⎪5-m m -2⎪⎪87
>0由题意可得：⎨，解得：
2⎪5-m
⎪8
⎪m -2>0⎩
（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：(2k 2+1) x 2+16kx +24=0，
∆=32(2k 2-3) ，解得：k 2>
3 2
由韦达定理得：x M +x N =
16k 24
①，，② x x =M N
2k 2+12k 2+1
设N (x N , k x N +4) ，M (x M , kx M +4) ，G (x G ，1)
MB 方程为：y =
⎛3x M ⎫kx M +6
x -2，则G ，1⎪， x M
⎝kx M +6⎭
⎛3x M ⎫
，-1⎪，AN =(x N ，x N k +2)， ∴AG =
x k +6⎝M ⎭
欲证A ，G ，N 三点共线，只需证AG ，AN 共线
即
3x M
(x N k +2) =-x N 成立，化简得：(3k +k ) x M x N =-6(x M +x N )
x M k +6
G ，N 三点共线得证。 将①②代入易知等式成立，则A ，