府成教育同步辅导 电话[1**********] 2015年5月1日 课题：三角函数的图像和性质 主讲人：林老师 姓名：＿＿＿＿＿ 三角函数的图像和性质【考点分类】
热点一 、 三角函数的图像
1. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】函
数
f (x ) =sin x cos x +
2x 的最小正周期和振幅分别是（ ）
A π,1 B 、π,1 C 、π,1 D 、π,1
2. 【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】若函数
y =sin (ωx +ϕ)(ω>0)
的部分图像如图，则ω=（ ）
（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2
3. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】函数
f (x ) =2sin(ωx +ϕ)(ω>0, -
值分别是（ ）
π
2
π
2的部分图象如图所示，则ω, ϕ的
)
2, -
（A ）
π
3 （B ）
2, -
π
6 （C ）
4, -
π
6 （D ）
4,
π
3
4、【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】函数
f (x ) =2sin(ωx +ϕ)(ω>0, -
π
2
π
2的部分图象如图所示，
)
则ω, ϕ的值分别是（ ）
2, -
（A ）
π
3 （B ）
2, -
π
6 （C ）
4, -
π
6 （D ）3
4,
π
5. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 理】
将函数y =x +sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m >0) 个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）
π
A ．12
π
B ．6 π
C ．3 5πD ．6
6. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】将函数
y =sin (2x +ϕ)
的图象
π
沿轴向左平移8个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为（ ）
3πππ
-
A. 4 B. 4 C. 0 D. 4
7. （2012年高考（浙江理））把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 然后向左平移1个单位长度, 再向下平移1个单位长度, 得到的图像是（ ）
5ππ
8．（2012年高考（课标文））已知ω>0,0
f (x ) =sin(ωx +ϕ) 图像的两条相邻的对称轴, 则ϕ= （ ）
πA ．4πB ．3πC ．23πD ．4
9. 【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】 函数y =cos(2x +ϕ)(-π≤ϕ
y =sin(2x +)
3的图像重合，则ϕ=___________. 移2个单位后，与函数
f (x ) =sin x +sin(x +) 3. 10. 设函数
（Ⅰ）求f (x ) 的最小值，并求使f (x ) 取得最小值的x 的集合；
（Ⅱ）不画图，说明函数y =f (x ) 的图像可由y =sin x 的图象经过怎样的变化得到.
ππ
π
f (x ) =6cos 2
11．（2012年高考（四川理）
）函数
ωx
2
+ωx -3(ω>0)
在一个周期内
的图象如图所示, A 为图象的最高点, B 、C 为图象与x 轴的交点, 且∆ABC 为正三角形. (Ⅰ) 求ω的值及函数f (x ) 的值域;
(Ⅱ)
若
f (x 0) =
102x 0∈(-, )
33, 求f (x 0+1) 的值. , 且
f (x ) =A sin(ωx -) +1
612. （2012年高考（陕西文））函数(A >0, ω>0) 的最大值为3, 其
π
π
图像相邻两条对称轴之间的距离为2, (1)求函数f (x ) 的解析式;
π
α∈(0,)
(2)设
f () =22, 则2, 求α的值.
α
【方法总结】
1．用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为y ＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0) 或y ＝Acos(ωx2π
＋φ)(A＞0，ω＞0) 的形式；②求出周期T ＝ω；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．
π
2.y ＝Asin(ωx＋φ)的图象有无穷多条对称轴，可由方程ωx＋φ＝kπ＋2(k∈Z) 解出；它还有无kπ－φ
穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z) ，解得x ＝ω(k∈Z) ，kπ－φ
即其对称中心为(ω，0)(k∈Z) ．
T T
3. 相邻两对称轴间的距离为22
4. 根据y ＝As in(ωx＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： 最高点－最低点
(1)A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝； 2最高点＋最低点(2)k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝； 22π
(3)ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝ω来确定ω；
φ
(4)φ的确定：由函数y ＝Asin(ωx＋φ)＋k 最开始与x ω即令ωx＋φ＝0，φ
x ＝－ω) 确定φ.
热点二、 三角函数的最值
π⎫⎛⎡π⎤
f (x ) =sin 2x -⎪⎢0, 2⎥4⎝⎭⎦上13. 【2013年全国高考统一考试天津数学（文）卷】函数在区间⎣
的最小值是（ ）
(C)
(A) -1
(B) (D) 0
14. 【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】已知函数f (x ) =cos x sin 2x ，下列结论中错误的是（ ）
A ．y =f (x ) 的图像关于点(π,0) 中心对称 B ．y =f (x ) 的图像关于直线
x =
π
2对称
C ．f (x
) D ．f (x ) 既是奇函数，又是周期函数
f (x ) =sin x -cos(x +)
6的值域为（ ） 15．（2012年高考（湖南理））函数
B ．
] C ．[-1,1 ] D ．
, π
A ．[ -2 ,2]
16. 【2013年全国高考新课标（I ）理科】设当x=θ时，函数f(x)＝sinx －2cosx 取得最大值，则cosθ=______.
17（2012年高考（大纲理）
）当函数y =sin x x (0≤x
x =_______________.
f (x ) =cos 2
18. （2012年高考（四川文））已知函数
x x x 1
-sin cos -2222. , 求sin 2α的值.
(Ⅰ) 求函数f (x ) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)
若
f (α) =
19. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文】
1
f (x ) =(2cos2x -1)sin 2x +cos 4x
2已知函数
（Ⅰ）求f (x ) 的最小正周期及最大值；
π
α∈
(, π)
（Ⅱ）若
2
f (α) =
，且
，求α的值.
f (x ) =
20．【（山东卷）文科】
设函数
2ωx -sin ωx cos ωx (ω>0) ，且y =f (x )
π
的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4，
(Ⅰ) 求ω的值； (Ⅱ) 求f (x ) 在区间
[π,
3π
]
2上的最大值和最小值.
【方法总结】
求解涉及三角函数的值域(最值) 的题目一般常用以下方法： (1)利用sin x、cos x的值域；
(2)形式复杂的函数应化为y ＝Asin(ωx ＋φ) ＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值) 问题. 热点三 、 三角函数的性质
21. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】
π⎫⎛π
f (x )=sin (2x +θ) -1)个单位长度
2⎭⎝2将函数后得到函
⎛g (x )的图像, 若f (x ), g (
x )的图像都经过点P 0 ，则ϕ的值可以是
⎝数（ ）
5π5πππ
A ．3 B ．6 C ．2 D ．6
f (x ) =sin(ωx +) (, π)
ω>04在222．（2012年高考（新课标理））已知, 函数上单调递减.
则ω的取值范
围是（ ）
ππ
15[, ]A ．24 13[, ]B ．24 1(0,]2 C ．
D ．(0,2]
y =3sin(2x +)
4的最小正周期为 23. 【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】函数
______.
2
y =sin 2x +x 的最24. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)
理】函数
π
小正周期T 为_______.
25【2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】
π⎫⎛
f (x ) = 2x +⎪+6sin x cos x -2cos 2x +1, x ∈R
4⎭⎝已知函数.
(Ⅰ) 求f (x ) 的最小正周期;
⎡π⎤
⎢0, 2⎥f (x ) ⎦上的最大值和最小值. (Ⅱ) 求在区间⎣
f (x ) =
26. （2012年高考（北京理））已知函数
(sinx -cos x )sin 2x
sin x .
(1)求f (x ) 的定义域及最小正周期; (2)求f (x ) 的单调递增区间.
【方法总结】
求形如y ＝Asin(ωx ＋φ) 或y ＝Acos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ(ω>0)”视为一个“整体”；②A>0(A
三角函数的图像和性质 答案
热点一 三角函数的图像
1. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】函
数
f (x ) =sin x cos x +
2x 的最小正周期和振幅分别是（ ）
A π,1 B 、π,1 C 、π,1 D 、π
,1
2. 【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】若函数
y =sin (ωx +ϕ)(ω>0)
的部分图像如图，则ω=（ ）
（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 A π,1 B 、π,1 C 、π,1D 、π,1
【解析】∵由题中图像可知
x 0+
π
4
-x 0=
T π2ππ
T ==2. ∴2. ∴ω2. ∴ω=4. 故选B.
3. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】函数
f (x ) =2sin(ωx +ϕ)(ω>0, -
值分别是（ ）
π
2
π
2的部分图象如图所示，则ω, ϕ的
)
2, -
2, -
（A ）
π
3 （B ）
π
6
4, -
（C ）
π
6 （D ）
4,
π
3
4、【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】函数
f (x ) =2sin(ωx +ϕ)(ω>0, -
（ ）
π
2
π
2的部分图象如图所示，则ω, ϕ的值分别是
)
2, -
（A ）
π
3 （B ）
2, -
π
6 （C ）
4, -
π
6 （D ）
4,
π
3
5. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 理】
将函数y =x +sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m >0) 个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）
π
A ．12
π
B ．6 π
C ．3 5πD ．6
6. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】将函数
y =sin (2x +ϕ)
的图象
π
沿轴向左平移8个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为（ ）
3πππ
-
A. 4 B. 4 C. 0 D. 4
7. （2012年高考（浙江理））把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 然后向左平移1个单位长度, 再向下平移1个单位长度, 得到的图像是（ ）
5ππ
8．（2012年高考（课标文））已知ω>0,0
f (x ) =sin(ωx +ϕ) 图像的两条相邻的对称轴, 则ϕ= （ ）
πA ．4πB ．3πC ．23πD ．4
9. 【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】 函数y =cos(2x +ϕ)(-π≤ϕ
y =sin(2x +)
23的图像重合，则ϕ
=___________. 移个单位后，与函数
ππ
f (x ) =sin x +sin(x +)
3. 10. 设函数
（Ⅰ）求f (x ) 的最小值，并求使f (x ) 取得最小值的x 的集合；
（Ⅱ）不画图，说明函数y =f (x ) 的图像可由y =sin x 的图象经过怎样的变化得到
.
π
f (x ) =6cos 2
11．（2012年高考（四川理）
）函数
ωx
2
+ωx -3(ω>0)
在一个周期内
的图象如图所示, A 为图象的最高点, B 、C 为图象与x 轴的交点, 且∆ABC 为正三角形. (Ⅰ) 求ω的值及函数f (x ) 的值域;
(Ⅱ)
若
f (x 0) =
102x 0∈(-, )
33, 求f (x 0+1) 的值
. , 且
f (x ) =A sin(ωx -) +1
612. （2012年高考（陕西文））函数(A >0, ω>0) 的最大值为3, 其
π
π
图像相邻两条对称轴之间的距离为2, (1)求函数f (x ) 的解析式;
π
α∈(0,)
(2)设
f () =22, 则2, 求α的值.
α
0
∵
π
2，∴6
-
π
π
6
π
3，∴
α-
π
6
=
π
6，故
α=
π
3．
【方法总结】
1．用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为y ＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0) 或y ＝Acos(ωx2π
＋φ)(A＞0，ω＞0) 的形式；②求出周期T ＝ω；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．
π
2.y ＝Asin(ωx＋φ)的图象有无穷多条对称轴，可由方程ωx＋φ＝kπ＋2(k∈Z) 解出；它还有无kπ－φ
穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z) ，解得x ＝ω(k∈Z) ，kπ－φ
即其对称中心为(ω，0)(k∈Z) ．
T T
3. 相邻两对称轴间的距离为224. 根据y ＝Asin(ωx＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： 最高点－最低点
(1)A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝； 2最高点＋最低点(2)k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝； 22π
(3)ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝ω来确定ω；
φ
(4)φ的确定：由函数y ＝Asin(ωx＋φ)＋k 最开始与x ω即令ωx＋φ＝0，φ
x ＝－ω) 确定φ. 热点二 三角函数的最值
π⎫⎛⎡π⎤
f (x ) =sin 2x -⎪0, ⎥⎢4⎝⎭在区间⎣2⎦上13. 【2013年全国高考统一考试天津数学（文）卷】函数
的最小值是（ ）
(C)
(A) -1
(B) (D) 0
14. 【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】已知函数f (x ) =cos x sin 2x ，下列结论中错误的是（ ）
A ．y =f (x ) 的图像关于点(π,0) 中心对称 B ．y =f (x ) 的图像关于直线
x =
π
2对称
C ．f (x
) D ．f (x ) 既是奇函数，又是周期函数
f (x ) =sin x -cos(x +)
6的值域为（ ） 15．（2012年高考（湖南理））函数
B ．
] C ．[-1,1 ] D ．
,
π
A ．[ -2 ,2]
16. 【2013年全国高考新课标（I ）理科】设当x=θ时，函数f(x)＝sinx －2cosx 取得最大值，则cosθ=______.
cos θ=
【解析】
=17（2012年高考（大纲理）
）当函数y =sin x x (0≤x
x =
_______________.
f (x ) =cos 2
18. （2012年高考（四川文））已知函数
x x x 1
-sin cos -2222. , 求sin 2α的值
.
(Ⅰ) 求函数f (x ) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)
若
f (α) =
19. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文】
1
f (x ) =(2cos2x -1)sin 2x +cos 4x
2已知函数
（Ⅰ）求f (x ) 的最小正周期及最大值；
π
α∈
(, π)
（Ⅱ）若
2
f (α) =
，且
，求α的值.
20．【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科】
f (x ) =
设函数
2ωx -sin ωx cos ωx (ω>0) ，且y =f (x ) 的图象的一个对称
π
中心到最近的对称轴的距离为4，
(Ⅰ) 求ω的值； (Ⅱ) 求f (x ) 在区间
[π,
3π
]
2上的最大值和最小值
.
【方法总结】
求解涉及三角函数的值域(最值) 的题目一般常用以下方法： (1)利用sin x、cos x的值域；
(2)形式复杂的函数应化为y ＝Asin(ωx ＋φ) ＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值) 问题. 热点三 三角函数的性质
21. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】
π⎫⎛π
f (x )=sin (2x +θ) -1)个单位长度
2⎭⎝2将函数后得到函
⎛g (x )的图像, 若f (x ), g (
x )的图像都经过点P 0，则ϕ的值可以是
⎝数（ ）
5π5πππ
A ．3 B ．6 C ．2 D ．6
f (x ) =sin(ωx +) (, π)
4在222．（2012年高考（新课标理））已知ω>0, 函数上单调递减.
则ω的取值范
围是（ ）
ππ
15[, ]A ．24
【答案】A
13[, ]B ．24 1(0,]2 C ．
D ．(0,2]
y =3sin(2x +)
4的最小正周期23. 【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】函数
为
.
π
2
y =sin 2x +x 的最24. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)
理】函数
小正周期T 为
_______.
25【2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】
π⎫⎛
f (x ) = 2x +⎪+6sin x cos x -2cos 2x +1, x ∈R
4⎭⎝已知函数.
(Ⅰ) 求f (x ) 的最小正周期;
⎡π⎤
⎢0, 2⎥f (x ) ⎦上的最大值和最小值. (Ⅱ) 求在区间⎣
⎡π⎤⎢0, 2⎥f (x ) ⎦
上的最大值为，最小值为-2. 故函数在区间⎣
f (x ) =
26. （2012年高考（北京理））已知函数(1)求f (x ) 的定义域及最小正周期; (2)求f (x ) 的单调递增区间.
(sinx -cos x )sin 2x
sin x .
{x x ≠k π, k ∈Z }
解（1）：sin x ≠0⇔x ≠k π(k ∈Z ) 得：函数f (x ) 的定义域为
【方法总结】
求形如y ＝Asin(ωx ＋φ) 或y ＝Acos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ(ω>0)”视为一个“整体”；②A>0(A
府成教育同步辅导 电话[1**********] 2015年5月1日 课题：三角函数的图像和性质 主讲人：林老师 姓名：＿＿＿＿＿ 三角函数的图像和性质【考点分类】
热点一 、 三角函数的图像
1. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】函
数
f (x ) =sin x cos x +
2x 的最小正周期和振幅分别是（ ）
A π,1 B 、π,1 C 、π,1 D 、π,1
2. 【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】若函数
y =sin (ωx +ϕ)(ω>0)
的部分图像如图，则ω=（ ）
（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2
3. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】函数
f (x ) =2sin(ωx +ϕ)(ω>0, -
值分别是（ ）
π
2
π
2的部分图象如图所示，则ω, ϕ的
)
2, -
（A ）
π
3 （B ）
2, -
π
6 （C ）
4, -
π
6 （D ）
4,
π
3
4、【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】函数
f (x ) =2sin(ωx +ϕ)(ω>0, -
π
2
π
2的部分图象如图所示，
)
则ω, ϕ的值分别是（ ）
2, -
（A ）
π
3 （B ）
2, -
π
6 （C ）
4, -
π
6 （D ）3
4,
π
5. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 理】
将函数y =x +sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m >0) 个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）
π
A ．12
π
B ．6 π
C ．3 5πD ．6
6. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】将函数
y =sin (2x +ϕ)
的图象
π
沿轴向左平移8个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为（ ）
3πππ
-
A. 4 B. 4 C. 0 D. 4
7. （2012年高考（浙江理））把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 然后向左平移1个单位长度, 再向下平移1个单位长度, 得到的图像是（ ）
5ππ
8．（2012年高考（课标文））已知ω>0,0
f (x ) =sin(ωx +ϕ) 图像的两条相邻的对称轴, 则ϕ= （ ）
πA ．4πB ．3πC ．23πD ．4
9. 【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】 函数y =cos(2x +ϕ)(-π≤ϕ
y =sin(2x +)
3的图像重合，则ϕ=___________. 移2个单位后，与函数
f (x ) =sin x +sin(x +) 3. 10. 设函数
（Ⅰ）求f (x ) 的最小值，并求使f (x ) 取得最小值的x 的集合；
（Ⅱ）不画图，说明函数y =f (x ) 的图像可由y =sin x 的图象经过怎样的变化得到.
ππ
π
f (x ) =6cos 2
11．（2012年高考（四川理）
）函数
ωx
2
+ωx -3(ω>0)
在一个周期内
的图象如图所示, A 为图象的最高点, B 、C 为图象与x 轴的交点, 且∆ABC 为正三角形. (Ⅰ) 求ω的值及函数f (x ) 的值域;
(Ⅱ)
若
f (x 0) =
102x 0∈(-, )
33, 求f (x 0+1) 的值. , 且
f (x ) =A sin(ωx -) +1
612. （2012年高考（陕西文））函数(A >0, ω>0) 的最大值为3, 其
π
π
图像相邻两条对称轴之间的距离为2, (1)求函数f (x ) 的解析式;
π
α∈(0,)
(2)设
f () =22, 则2, 求α的值.
α
【方法总结】
1．用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为y ＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0) 或y ＝Acos(ωx2π
＋φ)(A＞0，ω＞0) 的形式；②求出周期T ＝ω；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．
π
2.y ＝Asin(ωx＋φ)的图象有无穷多条对称轴，可由方程ωx＋φ＝kπ＋2(k∈Z) 解出；它还有无kπ－φ
穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z) ，解得x ＝ω(k∈Z) ，kπ－φ
即其对称中心为(ω，0)(k∈Z) ．
T T
3. 相邻两对称轴间的距离为22
4. 根据y ＝As in(ωx＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： 最高点－最低点
(1)A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝； 2最高点＋最低点(2)k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝； 22π
(3)ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝ω来确定ω；
φ
(4)φ的确定：由函数y ＝Asin(ωx＋φ)＋k 最开始与x ω即令ωx＋φ＝0，φ
x ＝－ω) 确定φ.
热点二、 三角函数的最值
π⎫⎛⎡π⎤
f (x ) =sin 2x -⎪⎢0, 2⎥4⎝⎭⎦上13. 【2013年全国高考统一考试天津数学（文）卷】函数在区间⎣
的最小值是（ ）
(C)
(A) -1
(B) (D) 0
14. 【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】已知函数f (x ) =cos x sin 2x ，下列结论中错误的是（ ）
A ．y =f (x ) 的图像关于点(π,0) 中心对称 B ．y =f (x ) 的图像关于直线
x =
π
2对称
C ．f (x
) D ．f (x ) 既是奇函数，又是周期函数
f (x ) =sin x -cos(x +)
6的值域为（ ） 15．（2012年高考（湖南理））函数
B ．
] C ．[-1,1 ] D ．
, π
A ．[ -2 ,2]
16. 【2013年全国高考新课标（I ）理科】设当x=θ时，函数f(x)＝sinx －2cosx 取得最大值，则cosθ=______.
17（2012年高考（大纲理）
）当函数y =sin x x (0≤x
x =_______________.
f (x ) =cos 2
18. （2012年高考（四川文））已知函数
x x x 1
-sin cos -2222. , 求sin 2α的值.
(Ⅰ) 求函数f (x ) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)
若
f (α) =
19. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文】
1
f (x ) =(2cos2x -1)sin 2x +cos 4x
2已知函数
（Ⅰ）求f (x ) 的最小正周期及最大值；
π
α∈
(, π)
（Ⅱ）若
2
f (α) =
，且
，求α的值.
f (x ) =
20．【（山东卷）文科】
设函数
2ωx -sin ωx cos ωx (ω>0) ，且y =f (x )
π
的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4，
(Ⅰ) 求ω的值； (Ⅱ) 求f (x ) 在区间
[π,
3π
]
2上的最大值和最小值.
【方法总结】
求解涉及三角函数的值域(最值) 的题目一般常用以下方法： (1)利用sin x、cos x的值域；
(2)形式复杂的函数应化为y ＝Asin(ωx ＋φ) ＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值) 问题. 热点三 、 三角函数的性质
21. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】
π⎫⎛π
f (x )=sin (2x +θ) -1)个单位长度
2⎭⎝2将函数后得到函
⎛g (x )的图像, 若f (x ), g (
x )的图像都经过点P 0 ，则ϕ的值可以是
⎝数（ ）
5π5πππ
A ．3 B ．6 C ．2 D ．6
f (x ) =sin(ωx +) (, π)
ω>04在222．（2012年高考（新课标理））已知, 函数上单调递减.
则ω的取值范
围是（ ）
ππ
15[, ]A ．24 13[, ]B ．24 1(0,]2 C ．
D ．(0,2]
y =3sin(2x +)
4的最小正周期为 23. 【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】函数
______.
2
y =sin 2x +x 的最24. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)
理】函数
π
小正周期T 为_______.
25【2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】
π⎫⎛
f (x ) = 2x +⎪+6sin x cos x -2cos 2x +1, x ∈R
4⎭⎝已知函数.
(Ⅰ) 求f (x ) 的最小正周期;
⎡π⎤
⎢0, 2⎥f (x ) ⎦上的最大值和最小值. (Ⅱ) 求在区间⎣
f (x ) =
26. （2012年高考（北京理））已知函数
(sinx -cos x )sin 2x
sin x .
(1)求f (x ) 的定义域及最小正周期; (2)求f (x ) 的单调递增区间.
【方法总结】
求形如y ＝Asin(ωx ＋φ) 或y ＝Acos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ(ω>0)”视为一个“整体”；②A>0(A
三角函数的图像和性质 答案
热点一 三角函数的图像
1. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】函
数
f (x ) =sin x cos x +
2x 的最小正周期和振幅分别是（ ）
A π,1 B 、π,1 C 、π,1 D 、π
,1
2. 【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】若函数
y =sin (ωx +ϕ)(ω>0)
的部分图像如图，则ω=（ ）
（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 A π,1 B 、π,1 C 、π,1D 、π,1
【解析】∵由题中图像可知
x 0+
π
4
-x 0=
T π2ππ
T ==2. ∴2. ∴ω2. ∴ω=4. 故选B.
3. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】函数
f (x ) =2sin(ωx +ϕ)(ω>0, -
值分别是（ ）
π
2
π
2的部分图象如图所示，则ω, ϕ的
)
2, -
2, -
（A ）
π
3 （B ）
π
6
4, -
（C ）
π
6 （D ）
4,
π
3
4、【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】函数
f (x ) =2sin(ωx +ϕ)(ω>0, -
（ ）
π
2
π
2的部分图象如图所示，则ω, ϕ的值分别是
)
2, -
（A ）
π
3 （B ）
2, -
π
6 （C ）
4, -
π
6 （D ）
4,
π
3
5. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 理】
将函数y =x +sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m >0) 个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）
π
A ．12
π
B ．6 π
C ．3 5πD ．6
6. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】将函数
y =sin (2x +ϕ)
的图象
π
沿轴向左平移8个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为（ ）
3πππ
-
A. 4 B. 4 C. 0 D. 4
7. （2012年高考（浙江理））把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 然后向左平移1个单位长度, 再向下平移1个单位长度, 得到的图像是（ ）
5ππ
8．（2012年高考（课标文））已知ω>0,0
f (x ) =sin(ωx +ϕ) 图像的两条相邻的对称轴, 则ϕ= （ ）
πA ．4πB ．3πC ．23πD ．4
9. 【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】 函数y =cos(2x +ϕ)(-π≤ϕ
y =sin(2x +)
23的图像重合，则ϕ
=___________. 移个单位后，与函数
ππ
f (x ) =sin x +sin(x +)
3. 10. 设函数
（Ⅰ）求f (x ) 的最小值，并求使f (x ) 取得最小值的x 的集合；
（Ⅱ）不画图，说明函数y =f (x ) 的图像可由y =sin x 的图象经过怎样的变化得到
.
π
f (x ) =6cos 2
11．（2012年高考（四川理）
）函数
ωx
2
+ωx -3(ω>0)
在一个周期内
的图象如图所示, A 为图象的最高点, B 、C 为图象与x 轴的交点, 且∆ABC 为正三角形. (Ⅰ) 求ω的值及函数f (x ) 的值域;
(Ⅱ)
若
f (x 0) =
102x 0∈(-, )
33, 求f (x 0+1) 的值
. , 且
f (x ) =A sin(ωx -) +1
612. （2012年高考（陕西文））函数(A >0, ω>0) 的最大值为3, 其
π
π
图像相邻两条对称轴之间的距离为2, (1)求函数f (x ) 的解析式;
π
α∈(0,)
(2)设
f () =22, 则2, 求α的值.
α
0
∵
π
2，∴6
-
π
π
6
π
3，∴
α-
π
6
=
π
6，故
α=
π
3．
【方法总结】
1．用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为y ＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0) 或y ＝Acos(ωx2π
＋φ)(A＞0，ω＞0) 的形式；②求出周期T ＝ω；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．
π
2.y ＝Asin(ωx＋φ)的图象有无穷多条对称轴，可由方程ωx＋φ＝kπ＋2(k∈Z) 解出；它还有无kπ－φ
穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z) ，解得x ＝ω(k∈Z) ，kπ－φ
即其对称中心为(ω，0)(k∈Z) ．
T T
3. 相邻两对称轴间的距离为224. 根据y ＝Asin(ωx＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： 最高点－最低点
(1)A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝； 2最高点＋最低点(2)k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝； 22π
(3)ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝ω来确定ω；
φ
(4)φ的确定：由函数y ＝Asin(ωx＋φ)＋k 最开始与x ω即令ωx＋φ＝0，φ
x ＝－ω) 确定φ. 热点二 三角函数的最值
π⎫⎛⎡π⎤
f (x ) =sin 2x -⎪0, ⎥⎢4⎝⎭在区间⎣2⎦上13. 【2013年全国高考统一考试天津数学（文）卷】函数
的最小值是（ ）
(C)
(A) -1
(B) (D) 0
14. 【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】已知函数f (x ) =cos x sin 2x ，下列结论中错误的是（ ）
A ．y =f (x ) 的图像关于点(π,0) 中心对称 B ．y =f (x ) 的图像关于直线
x =
π
2对称
C ．f (x
) D ．f (x ) 既是奇函数，又是周期函数
f (x ) =sin x -cos(x +)
6的值域为（ ） 15．（2012年高考（湖南理））函数
B ．
] C ．[-1,1 ] D ．
,
π
A ．[ -2 ,2]
16. 【2013年全国高考新课标（I ）理科】设当x=θ时，函数f(x)＝sinx －2cosx 取得最大值，则cosθ=______.
cos θ=
【解析】
=17（2012年高考（大纲理）
）当函数y =sin x x (0≤x
x =
_______________.
f (x ) =cos 2
18. （2012年高考（四川文））已知函数
x x x 1
-sin cos -2222. , 求sin 2α的值
.
(Ⅰ) 求函数f (x ) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)
若
f (α) =
19. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文】
1
f (x ) =(2cos2x -1)sin 2x +cos 4x
2已知函数
（Ⅰ）求f (x ) 的最小正周期及最大值；
π
α∈
(, π)
（Ⅱ）若
2
f (α) =
，且
，求α的值.
20．【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科】
f (x ) =
设函数
2ωx -sin ωx cos ωx (ω>0) ，且y =f (x ) 的图象的一个对称
π
中心到最近的对称轴的距离为4，
(Ⅰ) 求ω的值； (Ⅱ) 求f (x ) 在区间
[π,
3π
]
2上的最大值和最小值
.
【方法总结】
求解涉及三角函数的值域(最值) 的题目一般常用以下方法： (1)利用sin x、cos x的值域；
(2)形式复杂的函数应化为y ＝Asin(ωx ＋φ) ＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值) 问题. 热点三 三角函数的性质
21. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】
π⎫⎛π
f (x )=sin (2x +θ) -1)个单位长度
2⎭⎝2将函数后得到函
⎛g (x )的图像, 若f (x ), g (
x )的图像都经过点P 0，则ϕ的值可以是
⎝数（ ）
5π5πππ
A ．3 B ．6 C ．2 D ．6
f (x ) =sin(ωx +) (, π)
4在222．（2012年高考（新课标理））已知ω>0, 函数上单调递减.
则ω的取值范
围是（ ）
ππ
15[, ]A ．24
【答案】A
13[, ]B ．24 1(0,]2 C ．
D ．(0,2]
y =3sin(2x +)
4的最小正周期23. 【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】函数
为
.
π
2
y =sin 2x +x 的最24. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)
理】函数
小正周期T 为
_______.
25【2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】
π⎫⎛
f (x ) = 2x +⎪+6sin x cos x -2cos 2x +1, x ∈R
4⎭⎝已知函数.
(Ⅰ) 求f (x ) 的最小正周期;
⎡π⎤
⎢0, 2⎥f (x ) ⎦上的最大值和最小值. (Ⅱ) 求在区间⎣
⎡π⎤⎢0, 2⎥f (x ) ⎦
上的最大值为，最小值为-2. 故函数在区间⎣
f (x ) =
26. （2012年高考（北京理））已知函数(1)求f (x ) 的定义域及最小正周期; (2)求f (x ) 的单调递增区间.
(sinx -cos x )sin 2x
sin x .
{x x ≠k π, k ∈Z }
解（1）：sin x ≠0⇔x ≠k π(k ∈Z ) 得：函数f (x ) 的定义域为
【方法总结】
求形如y ＝Asin(ωx ＋φ) 或y ＝Acos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ(ω>0)”视为一个“整体”；②A>0(A