分类讨论思想
（1）有理数的分类
有理数按不同的目的标准有不同的分类方法，我们常见的两种是：
注意：确定统一的分类标准，按照标准分类要做到既不重复又不遗漏。我们对有理数的相反数、绝对值及倒数的讨论往往建立在有理数分类的基础上。
（2）相反数、绝对值、倒数
（A ）相反数
数的相反数表示为
类讨论。 ，不一定是负数。对于的符号的确定需要分
（B ）绝对值
数的绝对值表示为，对于的化简要有具体分类讨论的思想，把可能出现的情况都想到，做到解题准确。一般是对绝对值里面的式子按正数、负数、0进行分类，确定为哪一类，再根据其性质讨论。
如：
（C ）倒数
数的倒数表示为，与的符号相同，即
对于一个数的倒数大小的讨论有四种情况：
①时，
②时，
③时，
④时，
2、加法与乘法的法则
加法法则：（1）同号的两个数相加，符号不变，并把两个加数的绝对值相加。（2）异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数和为0。（3）0和任何一个有理数相加，仍得这个有理数。
乘法法则：同号两个数相乘得正，异号两个数相乘得负，并把绝对值相乘，任何有理数和0相乘都得0。
加法与乘法法则都要对进行运算的两个数分类讨论，对每类的运算结果进行规定，进行计算时首先要确定进行运算的两个数属于哪一类，特别地，除法与减法可以转化为乘法和加法进行。
通过分析几种情况利用法则可准确判断结果，而不出现漏掉最大值的现象。
3、比较大小
对于一些没有具体数值而比较大小的问题，需要分情况讨论其结果。如与比较，
①
②
③时，时，时，
，则与比较。、都有三种情况：正数、0、负数，分别讨论。
①时有三种可能，，此时
②
③时有三种可能，，此时 时不可能，因为最小的绝对值为0。
综合 ，当时，；当时。
4、
有两种情况，
如化简
。
为偶数，为奇数，如
另外，由于为正偶数时，
则可知，互为相反数的偶数次幂相等，则偶数次幂为一个正数的数有两个，如，则。由乘法法则可知，任何数的偶次幂都为正数。
5、应用题
在现实生活中存在一些问题需要分不同情况讨论，总结结论。
6、几何方面
在几何中分情况讨论的问题也相当普遍，同学们往往看不到分类的必要性。 如过平面上三点，两两画一条直线，可有几条直线。
分两种情况：三点在一条直线上，则可画一条直线；三点不在一条直线上，则可以画三条直线。
例题分析
【例2】计算(+26) +(-14) +(+18) +(-16)
【例3】 一个数的平方与它的绝对值相比较，能够确定它们之间的大小关系吗？
【例4】 点A 在数轴上距原点2个单位，将A 点向右移动5个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时A 点表示的数是.
【例5】如果a 、b 、c 是非零有理数，求
【例6】|a|＝5，|b|=3,求a+b的值
【例7】如果a =(-3) ，则a =.
【例8】平面内有三条直线, 它们可能有几个交点?
22 a b c ++的值 a b c
练习1
一、填空
1、将下列各数填入相应的括号内。
正数集合｛ ｝
负整数集合｛ ｝
整数集合 ｛ ｝ 有理数集合 ｛ ｝
2、已知，，则的最大值
为 。 3、若，则 （填>、
4、，则 0（填或＝）。
5、若，且，那么 0（填或＝）。
6、若，则 （填或＝）
7、化简
＝
8、，则 0。
9、三条直线两两相交有 个交点。
10、的倒数是 ，相反数是
绝对值是 。
二、选择
1、两个数的积是负数，则（ ）
A. 两个数都是负数 B. 一个数是负数，一个数是正数
C. 至少有一个数是负数 D. A或B
2、如果有理数的倒数的绝对值分别是3和2，那么的值是（ ）
A. 是 B. C. 是
D. 或
3、两个数的积是零，下列判断中正确的是（ ）
A. 两个数都是零 B. 其中只有一个数是零
C. 至少有一个数是零 D. 一个数不小于零，另一个数不大于零
4、若为正整数，那么
A. 0 B.
的结果是（ ） C. D. 或
三、化简
1、 2、
四．解答题
1. 在直线AB 上取点C ，已知AB ＝8㎝，BC ＝2㎝，求AC 。
2. 已知
3. 表示有理数，那么一定小于
吗？ 互为相反数，互为倒数，，求的值。
4. 比较
与的大小。
5. 已知4条线段，长度分别是5㎝、6㎝、11㎝、16㎝，任取三条可组成几个三角形。
练习2
1．若|a |=7，|b |=3，
（1）若ab ＞0，求a +b 的值．
（2）若|a +b |=a+b ，求a ﹣b 的值．
2．某牛奶加工厂现有鲜奶8吨，若市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元．该工厂的生产能力是：如制成酸奶每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案： 方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；
方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成． 你认为选择哪种方案获利最多？为什么？
3．甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价的八折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价的九折优惠．设顾客预计累计购物x 元（x ＞300）．
（1）请用含x 的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用．
（2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．
4．我国邮政部门规定：国内平信100克以内（包括100克）每20克需贴邮票0.80元，不足20克重的以20克计算；超过100克的，超过部分每100克需加贴2.00元，不足100克的以100克计算．
（1）寄一封重41克的国内平信，需贴邮票多少元？
（2）某人寄一封国内平信贴了6.00元邮票，此信重约多少克？
（3）有9人参加一次数学竞赛，每份答卷重14克，每个信封重5克，将这9份答卷分装两个信封寄出，怎样装才能使所贴邮票金额最少？
5．某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，x （x ≥20）个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A 、B 两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：
A 超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；
B 超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．
（1）在A 超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 ，在B 超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 ．（用含x 的代数式表示）
（2）该活动中心决定只在一家超市购买10副球拍和 100个羽毛球，你认为在哪家超市购买划算？为什么？
6．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，还可按如下方案获得相应金额的奖券：
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×（1﹣80%）+30=110（元）．
购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额÷商品的标价．
试问：（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
（2）对于标价在500元与800元之间（含500元和800元）的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可以得到的优惠率？
7．认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．
（1）一般地，点A 、B 、C 在数轴上分别表示有理数x 、﹣2、1，那么A 到B 的距离与A 到C 的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）．
（2）利用数轴探究：
①满足|x ﹣3|+|x +1|=6的x 的所有值是 ．
②|x ﹣3|+|x +1|的最小值是 ．
8．数轴上点A 对应的数为a ，点B 对应的数为b ，点A 在负半轴，且|a |=3，b 是最小的正整数．
（Ⅰ）求线段AB 的长；
（Ⅱ）若点C 在数轴上对应的数为x ，且x 是方程2x +1=3x﹣4的根，在数轴上是否存在点P 使PA +PB=BC +AB ，若存在，求出点P 对应的数，若不存在，说明理由．
（Ⅲ）如图，若Q 是B 点右侧一点，QA 的中点为M ，N 为QB 的四等分点且靠近于Q 点，当Q 在B 的右侧运动时，有两个结论：①QM +BN 的值不变，②QM ﹣BN 的值不变，其中只有一个结论正确，请你判断正确的结论，并求出其值．
分类讨论思想
（1）有理数的分类
有理数按不同的目的标准有不同的分类方法，我们常见的两种是：
注意：确定统一的分类标准，按照标准分类要做到既不重复又不遗漏。我们对有理数的相反数、绝对值及倒数的讨论往往建立在有理数分类的基础上。
（2）相反数、绝对值、倒数
（A ）相反数
数的相反数表示为
类讨论。 ，不一定是负数。对于的符号的确定需要分
（B ）绝对值
数的绝对值表示为，对于的化简要有具体分类讨论的思想，把可能出现的情况都想到，做到解题准确。一般是对绝对值里面的式子按正数、负数、0进行分类，确定为哪一类，再根据其性质讨论。
如：
（C ）倒数
数的倒数表示为，与的符号相同，即
对于一个数的倒数大小的讨论有四种情况：
①时，
②时，
③时，
④时，
2、加法与乘法的法则
加法法则：（1）同号的两个数相加，符号不变，并把两个加数的绝对值相加。（2）异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数和为0。（3）0和任何一个有理数相加，仍得这个有理数。
乘法法则：同号两个数相乘得正，异号两个数相乘得负，并把绝对值相乘，任何有理数和0相乘都得0。
加法与乘法法则都要对进行运算的两个数分类讨论，对每类的运算结果进行规定，进行计算时首先要确定进行运算的两个数属于哪一类，特别地，除法与减法可以转化为乘法和加法进行。
通过分析几种情况利用法则可准确判断结果，而不出现漏掉最大值的现象。
3、比较大小
对于一些没有具体数值而比较大小的问题，需要分情况讨论其结果。如与比较，
①
②
③时，时，时，
，则与比较。、都有三种情况：正数、0、负数，分别讨论。
①时有三种可能，，此时
②
③时有三种可能，，此时 时不可能，因为最小的绝对值为0。
综合 ，当时，；当时。
4、
有两种情况，
如化简
。
为偶数，为奇数，如
另外，由于为正偶数时，
则可知，互为相反数的偶数次幂相等，则偶数次幂为一个正数的数有两个，如，则。由乘法法则可知，任何数的偶次幂都为正数。
5、应用题
在现实生活中存在一些问题需要分不同情况讨论，总结结论。
6、几何方面
在几何中分情况讨论的问题也相当普遍，同学们往往看不到分类的必要性。 如过平面上三点，两两画一条直线，可有几条直线。
分两种情况：三点在一条直线上，则可画一条直线；三点不在一条直线上，则可以画三条直线。
例题分析
【例2】计算(+26) +(-14) +(+18) +(-16)
【例3】 一个数的平方与它的绝对值相比较，能够确定它们之间的大小关系吗？
【例4】 点A 在数轴上距原点2个单位，将A 点向右移动5个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时A 点表示的数是.
【例5】如果a 、b 、c 是非零有理数，求
【例6】|a|＝5，|b|=3,求a+b的值
【例7】如果a =(-3) ，则a =.
【例8】平面内有三条直线, 它们可能有几个交点?
22 a b c ++的值 a b c
练习1
一、填空
1、将下列各数填入相应的括号内。
正数集合｛ ｝
负整数集合｛ ｝
整数集合 ｛ ｝ 有理数集合 ｛ ｝
2、已知，，则的最大值
为 。 3、若，则 （填>、
4、，则 0（填或＝）。
5、若，且，那么 0（填或＝）。
6、若，则 （填或＝）
7、化简
＝
8、，则 0。
9、三条直线两两相交有 个交点。
10、的倒数是 ，相反数是
绝对值是 。
二、选择
1、两个数的积是负数，则（ ）
A. 两个数都是负数 B. 一个数是负数，一个数是正数
C. 至少有一个数是负数 D. A或B
2、如果有理数的倒数的绝对值分别是3和2，那么的值是（ ）
A. 是 B. C. 是
D. 或
3、两个数的积是零，下列判断中正确的是（ ）
A. 两个数都是零 B. 其中只有一个数是零
C. 至少有一个数是零 D. 一个数不小于零，另一个数不大于零
4、若为正整数，那么
A. 0 B.
的结果是（ ） C. D. 或
三、化简
1、 2、
四．解答题
1. 在直线AB 上取点C ，已知AB ＝8㎝，BC ＝2㎝，求AC 。
2. 已知
3. 表示有理数，那么一定小于
吗？ 互为相反数，互为倒数，，求的值。
4. 比较
与的大小。
5. 已知4条线段，长度分别是5㎝、6㎝、11㎝、16㎝，任取三条可组成几个三角形。
练习2
1．若|a |=7，|b |=3，
（1）若ab ＞0，求a +b 的值．
（2）若|a +b |=a+b ，求a ﹣b 的值．
2．某牛奶加工厂现有鲜奶8吨，若市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元．该工厂的生产能力是：如制成酸奶每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案： 方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；
方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成． 你认为选择哪种方案获利最多？为什么？
3．甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价的八折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价的九折优惠．设顾客预计累计购物x 元（x ＞300）．
（1）请用含x 的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用．
（2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．
4．我国邮政部门规定：国内平信100克以内（包括100克）每20克需贴邮票0.80元，不足20克重的以20克计算；超过100克的，超过部分每100克需加贴2.00元，不足100克的以100克计算．
（1）寄一封重41克的国内平信，需贴邮票多少元？
（2）某人寄一封国内平信贴了6.00元邮票，此信重约多少克？
（3）有9人参加一次数学竞赛，每份答卷重14克，每个信封重5克，将这9份答卷分装两个信封寄出，怎样装才能使所贴邮票金额最少？
5．某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，x （x ≥20）个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A 、B 两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：
A 超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；
B 超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．
（1）在A 超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 ，在B 超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 ．（用含x 的代数式表示）
（2）该活动中心决定只在一家超市购买10副球拍和 100个羽毛球，你认为在哪家超市购买划算？为什么？
6．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，还可按如下方案获得相应金额的奖券：
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×（1﹣80%）+30=110（元）．
购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额÷商品的标价．
试问：（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
（2）对于标价在500元与800元之间（含500元和800元）的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可以得到的优惠率？
7．认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．
（1）一般地，点A 、B 、C 在数轴上分别表示有理数x 、﹣2、1，那么A 到B 的距离与A 到C 的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）．
（2）利用数轴探究：
①满足|x ﹣3|+|x +1|=6的x 的所有值是 ．
②|x ﹣3|+|x +1|的最小值是 ．
8．数轴上点A 对应的数为a ，点B 对应的数为b ，点A 在负半轴，且|a |=3，b 是最小的正整数．
（Ⅰ）求线段AB 的长；
（Ⅱ）若点C 在数轴上对应的数为x ，且x 是方程2x +1=3x﹣4的根，在数轴上是否存在点P 使PA +PB=BC +AB ，若存在，求出点P 对应的数，若不存在，说明理由．
（Ⅲ）如图，若Q 是B 点右侧一点，QA 的中点为M ，N 为QB 的四等分点且靠近于Q 点，当Q 在B 的右侧运动时，有两个结论：①QM +BN 的值不变，②QM ﹣BN 的值不变，其中只有一个结论正确，请你判断正确的结论，并求出其值．