1．有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．
⎧不等边三角形
2．三角形按边分类：三角形⎪⎧底边和腰不相等的等腰三角形 ⎨
⎪等腰三角形⎨等边三角形(正三角形)
⎩⎩
3．等腰三角形是轴对称图形，其性质是：
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
4．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 思考：
(1)．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． (2)．等腰三角形的两底角有什么关系？
(3)．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
(4)．底边上中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？ 2. 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．
3. 等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高． 等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
2．等腰△的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）． 例1、如图，在△ABC 中，AB=AC，点D 在AC 上，且BD=BC=AD，求：△ABC 各角的度数．
A
D C
思考：如图，位于在海上A 、B 两处的两艘救生船接到O 处遇险船只的报警，当时测得∠
A=∠B ．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，•能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
2. 在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ [例1]已知：在△ABC 中，∠B=∠C （如图）． 求证：AB=AC． 证明：
3. 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么 这个三角形是等腰三角形．
已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC ． 求证：AB=AC． 证明：
C
A
2
A
B
D C
E
D
例3如图（1），标杆AB 的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C •向地面上与点B 距离相等的D 、E 两点拉两条绳子，使得D 、B 、E 在一条直线上，量得DE=4米，•绳子CD 和CE 要多长？
A B
(1)
E
(2)
分析：这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模
型．
例：如图，五边形ABCDE 中AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED ，点F 是CD 的中点．•求证：AF ⊥CD.
分析：要证明AF ⊥CD ，而点F 是CD 的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，•于是连接AC 、AD ，证明AC=AD，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论．
证明：
8．等腰三角形的顶角是n °，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________．
13．△ABC 中，∠C=∠B ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，•AE=•2cm ，•且DE •∥BC ，•则AD=________．
15．如图，CD 是△ABC 的中线，且CD= 此你能得到一个什么结论？
1
AB ，你知道∠ACB 的度数是多少吗？由 2
A
C
17．如图，△ABC 中BA=BC，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，• 求证：△DBE 是等腰三角形．
D B
E
A
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 证明：三个角都相等的三角形是等边三角形． 已知：如图，在△ABC 中，∠A=∠B=∠C ． 求证：△ABC 是等边三角形．
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°； 三个角都相等的三角形是等边三角形．
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
F C
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=
A
1
AB ． 2
C D
2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A ．①②③ B ．①②④ C ．①③ D ．①②③④
3．如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF •的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．腰和底边不相等的等腰三角形
C ．直角三角形 D ．不等边三角形
A
F
D
A D
4．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB 的长度是（ ） A ．2cm B ．4cm C ．8cm D ．16cm
5．如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE 的形状最准备的判断是（ ）
A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．不等边三角形 D ．不能确定形状
11．如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC •于点D ， •求证：•BC=3AD.
A
B D C
1. 如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP ＝1，D 为AC 上一点，若∠APD ＝ 60°，则CD 的长为（ ）
B
P
第1题图 A ．
C
3 2
B．
2 3
C．
1 2
D．
3 4
2. 如图，已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高 AD ＝8， 则边BC 的长为（ ）
A
C
第2题图
A ．21
B．15
C．6
D．以上答案都不对
4. 如图，在边长为1的等边△ABC 中，中线AD 与中线BE 相交于点O ，则OA 长度为 ．
例1在△ABC 中，AB =AC =12cm ，BC =6cm ，D 为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒1cm 的速度沿B →A →C 的方向运动．设运动时间为t ，那么当t = 秒时，过D 、P 两点的直线将△ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．
【答案】7或17
【解析】本题考查等腰三角形中的动点问题，两种情况，①当点P 在BA 上时，BP ＝t ，AP ＝12-t ，2（t+3）＝12-t+12+3，解得t ＝7；②当点P 在AC 上时， PC ＝24-t ，t+3＝2（24-t+3），解得t ＝17，故填7或17.
一、选择题
1. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的
四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形 A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面 积是（ ）
A ．13 B．26 C．47 D．94 3. “赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个
小正方形拼成的大正方形．如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角 形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板 投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间
小正方形区域（含边线）的概率是（ ）
A ．
1111
B． C． D．
52410
-1
， 2
4. 如图，等腰△ABC 中，底边BC =a ，∠A ＝36°， ∠ABC 的平分线交AC 于D ，∠BCD 的平分线交BD 于E ，设k =则DE ＝（ ）
A ．k 2a
B．k 3a C．
a k 2
D．
a k 3
D
B C 第4题图
8. 如图，已知直线AB ∥CD ，∠DCF =110︒，且AE =AF ，则∠A 等于（ ）
A ．30︒ B．40︒ C．50︒ D．70︒ A
B
D
2. 已知Rt △ABC 的周长是4+43，斜边上的中线长是2，则S △ABC ＝___.
3. 已知：如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3, 则图 中阴影部分的面积为 ．
第12题图
4. 如图所示，△ABC 是等边三角形， D 点是AC 的中点，延长BC 到E ，使CE =CD ， （1）用尺规作图的方法，过D 点作DM ⊥
BE ，垂足是M （不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：BM =EM ．
4．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC,EF ⊥AB,FD
⊥BC ，则ΔDEF 的面积与ΔABC 的面积之比等于（ ） A ．1∶3
C D
如图，点A 的坐标是(2,2)，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可．． 能是（
） ．
A ．(4，0) B ．（1．0） C ．（-22，0） D ．（2，0）
y
B ．2∶3
C
∶2
D
∶3
28．在等腰△ABC 中，AB =AC ，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ） A ．7
B ．11
C ．7或11
D ．7或10
6．如图所示，∠BAC ＝∠ABD , AC ＝BD ，点O 是AD 、BC 的交点，点E 是AB 的中点．试判断OE 和AB 的位置关系, 并给出证明．
26
．
(2009
年
潍
坊
)
在
四
A ⊥B ，B ⊥C ，D =，C 结PB 、PC ．
（1）试判断三角形PBC 的形状；
A B
D
，B =C
ABCD 边形中，
，A =且a ≤+b ．取AD 的中点P ，连
解：在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，∴AB ∥DC ，
． ∴四边形ABCD 为直角梯形（或矩形）
过点P 作PQ ⊥BC ，垂足为Q ，∴PQ ∥AB ， 又点P 是AD 的中点，∴点Q 是BC 的中点， 又PQ =
111
(AB +CD ) =(a +b ) =BC ， 222
∴PQ =BQ =QC ，
∴△PQB 与△PQC 是全等的等腰直角三角形，
∴∠BPC =∠BPQ +∠QPC =90°，PB =PC ，
∴△PBC 是等腰直角三角形．
17．如图，△ABC 中BA=BC，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，• 求证：△DBE 是等腰三角形．
D B
E
A
F C
[例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高． 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高． 求：CD 的长．
分析：观察图形可以发现，在Rt △ADC 中，AC=2a，而∠DAC 是△ABC 的一个外角，•则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，•可求出CD ．
D
A
C
13．如图，点E 是等边△ABC 内一点，且EA=EB，△ABC 外一点D 满足BD=AC，且BE 平分∠DBC ，求∠BDE 的度数．（提示：连接CE ）
A
D
14（1）已知：如图a ，AB=AC，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，过D 作EF ∥BC 交AB 于E, 交AC 于F, 则图中有几个等腰三角形?
（2）如图b,AB=AC,BF 平分∠ABC 交AC 于F ，CE 平分∠ACB 交AB 于E ，BF 和BE 交于点D ，且EF ∥BC ，则图中有几个等腰三角形?
（3）等腰三角形ABC 中，AB=AC，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，过A 作EF ∥BC 交CD 延长线于E, 交BD 延长线于F, 则图中有几个等腰三角形? （自己画图）
（4）如图c, 若将第(1)题中的AB=AC去掉, 其他条件不变, 情况会如何? 还可证出哪些线段的和差关系?
1．有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．
⎧不等边三角形
2．三角形按边分类：三角形⎪⎧底边和腰不相等的等腰三角形 ⎨
⎪等腰三角形⎨等边三角形(正三角形)
⎩⎩
3．等腰三角形是轴对称图形，其性质是：
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
4．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 思考：
(1)．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． (2)．等腰三角形的两底角有什么关系？
(3)．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
(4)．底边上中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？ 2. 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．
3. 等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高． 等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
2．等腰△的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）． 例1、如图，在△ABC 中，AB=AC，点D 在AC 上，且BD=BC=AD，求：△ABC 各角的度数．
A
D C
思考：如图，位于在海上A 、B 两处的两艘救生船接到O 处遇险船只的报警，当时测得∠
A=∠B ．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，•能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
2. 在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ [例1]已知：在△ABC 中，∠B=∠C （如图）． 求证：AB=AC． 证明：
3. 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么 这个三角形是等腰三角形．
已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC ． 求证：AB=AC． 证明：
C
A
2
A
B
D C
E
D
例3如图（1），标杆AB 的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C •向地面上与点B 距离相等的D 、E 两点拉两条绳子，使得D 、B 、E 在一条直线上，量得DE=4米，•绳子CD 和CE 要多长？
A B
(1)
E
(2)
分析：这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模
型．
例：如图，五边形ABCDE 中AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED ，点F 是CD 的中点．•求证：AF ⊥CD.
分析：要证明AF ⊥CD ，而点F 是CD 的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，•于是连接AC 、AD ，证明AC=AD，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论．
证明：
8．等腰三角形的顶角是n °，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________．
13．△ABC 中，∠C=∠B ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，•AE=•2cm ，•且DE •∥BC ，•则AD=________．
15．如图，CD 是△ABC 的中线，且CD= 此你能得到一个什么结论？
1
AB ，你知道∠ACB 的度数是多少吗？由 2
A
C
17．如图，△ABC 中BA=BC，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，• 求证：△DBE 是等腰三角形．
D B
E
A
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 证明：三个角都相等的三角形是等边三角形． 已知：如图，在△ABC 中，∠A=∠B=∠C ． 求证：△ABC 是等边三角形．
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°； 三个角都相等的三角形是等边三角形．
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
F C
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=
A
1
AB ． 2
C D
2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A ．①②③ B ．①②④ C ．①③ D ．①②③④
3．如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF •的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．腰和底边不相等的等腰三角形
C ．直角三角形 D ．不等边三角形
A
F
D
A D
4．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB 的长度是（ ） A ．2cm B ．4cm C ．8cm D ．16cm
5．如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE 的形状最准备的判断是（ ）
A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．不等边三角形 D ．不能确定形状
11．如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC •于点D ， •求证：•BC=3AD.
A
B D C
1. 如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP ＝1，D 为AC 上一点，若∠APD ＝ 60°，则CD 的长为（ ）
B
P
第1题图 A ．
C
3 2
B．
2 3
C．
1 2
D．
3 4
2. 如图，已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高 AD ＝8， 则边BC 的长为（ ）
A
C
第2题图
A ．21
B．15
C．6
D．以上答案都不对
4. 如图，在边长为1的等边△ABC 中，中线AD 与中线BE 相交于点O ，则OA 长度为 ．
例1在△ABC 中，AB =AC =12cm ，BC =6cm ，D 为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒1cm 的速度沿B →A →C 的方向运动．设运动时间为t ，那么当t = 秒时，过D 、P 两点的直线将△ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．
【答案】7或17
【解析】本题考查等腰三角形中的动点问题，两种情况，①当点P 在BA 上时，BP ＝t ，AP ＝12-t ，2（t+3）＝12-t+12+3，解得t ＝7；②当点P 在AC 上时， PC ＝24-t ，t+3＝2（24-t+3），解得t ＝17，故填7或17.
一、选择题
1. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的
四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形 A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面 积是（ ）
A ．13 B．26 C．47 D．94 3. “赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个
小正方形拼成的大正方形．如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角 形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板 投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间
小正方形区域（含边线）的概率是（ ）
A ．
1111
B． C． D．
52410
-1
， 2
4. 如图，等腰△ABC 中，底边BC =a ，∠A ＝36°， ∠ABC 的平分线交AC 于D ，∠BCD 的平分线交BD 于E ，设k =则DE ＝（ ）
A ．k 2a
B．k 3a C．
a k 2
D．
a k 3
D
B C 第4题图
8. 如图，已知直线AB ∥CD ，∠DCF =110︒，且AE =AF ，则∠A 等于（ ）
A ．30︒ B．40︒ C．50︒ D．70︒ A
B
D
2. 已知Rt △ABC 的周长是4+43，斜边上的中线长是2，则S △ABC ＝___.
3. 已知：如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3, 则图 中阴影部分的面积为 ．
第12题图
4. 如图所示，△ABC 是等边三角形， D 点是AC 的中点，延长BC 到E ，使CE =CD ， （1）用尺规作图的方法，过D 点作DM ⊥
BE ，垂足是M （不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：BM =EM ．
4．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC,EF ⊥AB,FD
⊥BC ，则ΔDEF 的面积与ΔABC 的面积之比等于（ ） A ．1∶3
C D
如图，点A 的坐标是(2,2)，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可．． 能是（
） ．
A ．(4，0) B ．（1．0） C ．（-22，0） D ．（2，0）
y
B ．2∶3
C
∶2
D
∶3
28．在等腰△ABC 中，AB =AC ，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ） A ．7
B ．11
C ．7或11
D ．7或10
6．如图所示，∠BAC ＝∠ABD , AC ＝BD ，点O 是AD 、BC 的交点，点E 是AB 的中点．试判断OE 和AB 的位置关系, 并给出证明．
26
．
(2009
年
潍
坊
)
在
四
A ⊥B ，B ⊥C ，D =，C 结PB 、PC ．
（1）试判断三角形PBC 的形状；
A B
D
，B =C
ABCD 边形中，
，A =且a ≤+b ．取AD 的中点P ，连
解：在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，∴AB ∥DC ，
． ∴四边形ABCD 为直角梯形（或矩形）
过点P 作PQ ⊥BC ，垂足为Q ，∴PQ ∥AB ， 又点P 是AD 的中点，∴点Q 是BC 的中点， 又PQ =
111
(AB +CD ) =(a +b ) =BC ， 222
∴PQ =BQ =QC ，
∴△PQB 与△PQC 是全等的等腰直角三角形，
∴∠BPC =∠BPQ +∠QPC =90°，PB =PC ，
∴△PBC 是等腰直角三角形．
17．如图，△ABC 中BA=BC，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，• 求证：△DBE 是等腰三角形．
D B
E
A
F C
[例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高． 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高． 求：CD 的长．
分析：观察图形可以发现，在Rt △ADC 中，AC=2a，而∠DAC 是△ABC 的一个外角，•则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，•可求出CD ．
D
A
C
13．如图，点E 是等边△ABC 内一点，且EA=EB，△ABC 外一点D 满足BD=AC，且BE 平分∠DBC ，求∠BDE 的度数．（提示：连接CE ）
A
D
14（1）已知：如图a ，AB=AC，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，过D 作EF ∥BC 交AB 于E, 交AC 于F, 则图中有几个等腰三角形?
（2）如图b,AB=AC,BF 平分∠ABC 交AC 于F ，CE 平分∠ACB 交AB 于E ，BF 和BE 交于点D ，且EF ∥BC ，则图中有几个等腰三角形?
（3）等腰三角形ABC 中，AB=AC，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，过A 作EF ∥BC 交CD 延长线于E, 交BD 延长线于F, 则图中有几个等腰三角形? （自己画图）
（4）如图c, 若将第(1)题中的AB=AC去掉, 其他条件不变, 情况会如何? 还可证出哪些线段的和差关系?