专题复习 实数和二次根式
知识点归纳：
一．实数：
1. 数的分类：
⎧实数⎪正
⎧整数⎧⎪理数⎨⎪有⎪
实数（定义分）⎨数 实数（大小分）⎨0⎩分
⎪无⎪数⎩理⎪负实数
⎪⎩
2. 平方根的性质：
有理数⎧正
⎨无理数⎩负
有理数⎧负⎨无理数⎩负
（1） 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （2） 算术平方根a 具有双重非负性，即：a ≥0, a ≥0.
（3）
⎧a (a ≥0)
(a ) 2=a (a ≥0) a =a =⎨
⎩-a (a
2
3. 立方根的性质：
（1） 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. （2）
a 3=a (a ) 3=a
二．二次根式：
1. 二次根式的概念：式子a (a ≥0, ) 叫做二次根式，具有双重非负性。
2. 最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数不含开的尽方的整数和整式。
3. 同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同。
4. 分母有理化：把分母化为有理数的过程，即去分母中的根号的过程。 5. 二次根式运算法则： 加减法：合并同类二次根式； 乘法：a ⋅b =
ab (a ≥0, b ≥0)
除法：
a =
a
(a ≥0, b >0) b
(a >0)
2⎧(a ≥0) a 1a ⎪a b
6. 常见化简：a =⎨ a =或=
2a a a ⎪⎩-a b (a
典型例题讲解及变式练习：
例1 若一个数的平方根是2a-1和-a+2，求这个正数的平方。
练习：
1. 已知某数有两个平方根，分别为a+3和2a-15，求这个数平方的倒数。
2. 已知A =m +3n 为m+3n的算术平方根，B =n -m 2为1-m 的立方根，求A+B
2
的值。
3．已知2a -1的平方根是±3，3a+b-1的立方根是4，求a+2b的值。
练习：
1. a +3+b ++(c -2) 2=0，求a +b -1的算术平方根。
2
c
2. 若a -b +2a +b -1互为相反数，求322a +2b 的值。
3. 已知a +b -2+(a +2b -1) 2=5-x x -5，求b -x 的值。
a
a
-m 2+7(2n +m ) 2
4. 。 =0m n =_________
|m +4|
5. 已知y =
例3 已知3+的小数部分是a ，3-的小数部分为b ，求a +b 和a -b 的值。
练习：已知7+的小数部分是a ，7-的小数部分为b ，求a +b 和(a -b ) 的值。
2
2x -1+-2x +6x ，求x +3y -1的平方根。
练习：
a 2-1+-a 2
1. 化简=。
1+a
2. 已知x =
3. 已知1
例5 最简二次根式+2a 与a 2+2是同类二次根式，则a 的值是_______. 练习： 1. 若
2．若2n 3m +2n 6是同类最简二次根式，则n=_______,m=_______。
例6 已知实数a 满足|2009-a |+a -2010=a ，则a -2009=_________。
2
1a
-a (0
x -2x -4x +4
2
+
x 2-2x +1
=_________。
x -1
a+b
已化成最简二次根式，且被开方数相同，则。
例7 计算： 练习： 1.
++1
+
6+23+1
52+235++
3-34-222+2++ 2. -3-12-12+1
例8 较下列每组数里两个数的大小
:
;
的大小
例9 化简求值：已知x = 练习： 1. (
2-1, y =2+1，求
x +y +3y x +y x +3xy
的值。
x +2xy +y
x +y
+
1x -y +1) ÷，其中x =2+3，y =2-3
x -y x
1-2+31+2-3⎛x 2-y 2, y =, 求 2. 设x = 222⎝
⎫
⎪⎪+xy 的值。 ⎭
2
3．已知：x =
4．已知a =
120-4
，求x 2+2的值． 2x
1-1
, b =
13+1
ab (
a b
+) 的值。 b a
巩固训练：
一．选择题：
1．下列式子中最简二次根式的个数有 （ ） ⑴
11
；⑵-3；⑶-x 2+1；⑷8；⑸(-) 2；⑹-x (x >1) ；⑺x 2+2x +3.
33
A ．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列计算正确的有 （ ）
①(-4)(-9) =-4⋅-9=6；②(-4)(-9) =4⋅9=6； ③52-42=+4⋅5-4=3；④52-42=52-42=1； A ．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．把
3a ab
分母有理化后得 （ ）
A ．4b B．2 C．
1
D． 2b 2
6. 已知25-x 2--x 2=2，则25-x 2 +-x 2=（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
7
．式子
中, 无论x 为何值, 一定有意义的式子的个数是
（ ）个.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
8. 如果最简根式b -3b 和2b -a +2是同类二次根式，那么a ，b 的值是（ ） A. a＝0，b ＝2 C. a＝－1，b ＝1 9. 化简二次根式a -
B. a＝2，b ＝0
D. a＝1，b ＝－2
a +1
的结果是（ ） a 2
B. --a -1
C. +1
D. --a +1
A. -a -1
a 3c 3
10. 已知：ab>0，bc
b
A.
ac
2
b
B.
ac
-abc 2
b
C. -
ac
-abc 2
b
D. -
ac
abc 2
b
11. 已知：a =A. 3
11
，b =，则a 2+b 2+7的值。 5-2+2
B. 4
C. 5
D. 6
12. 已知a
） A
、- B
、- C
、 D
、13. 如果
y +x
y x x 3，那么+的值等于（ ） =
x y y 2
B.
A.
3
25 2
C.
7 2
D.
9 2
14. 若a =
1
，b =+1，则a 、b 的关系是（ ） -1
B. 互为相反数 D. 互为有理化因式
A. 互为倒数
C. 相等 二. 填空题：
1. 若a 的算术平方根是
1
，则a ＝________ 2
2. 64的平方根为__________；--272=_________ 3. 若x ≤0时，则|1-x |-x 2=_______
a 2-2a +1
4. 当a
a -a
5. 请你观察思考下列计算过程： 112=121，∴=11； 同样 1112=12321，∴=111， 由此猜想=_________ 6. 已知xy ＝3，那么x
y x
的值为_________ +y
x y
2
7. 实数a 在数轴上的位置如图所示，化简|a -1|+(a -2) =________
8. 计算
11
+27-6=_______
32+ 9. 若y =
3x -6+-3x +x 3，则10x ＋2y 的平方根为_________
2
2xy mn 2a 2223322
10. 根式：y ，，，6(a -b ) ，75x y ，x +y ，中，
23a
最简根式有__________个 11．. 代数式
x -1
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__________ x -2
12. 3-2的相反数是__________，倒数是__________
14. 当
x +2
=9-x
x +2
时，x 的取值范围是_________ -x
15.
6
分母有理化的结果是___________
27-3
17. 已知(x -2) 2+|x +y -5|+x -y -3z =0，则xy -z =_________
18. 在
111
中，与是同类二次根式的是________ ，，，2
50276
b
19. 如果最简二次根式b -3b 和b -a +2是同类二次根式，那么a =_______
20. 已知：xy ＝3，那么x
y x +y
x
y
的值是_________ 21. 已知：a +b =5，ab =4，则
-+=_________
22. 在实数范围内分解因式：a 5
-5a 3
-6a =________ 23. 已知x>0，y>0，且x -xy -6y =0，则
x -2xy +y x +xy -2y
=________
24. 若式子
x -2
x 2
-2x -3
有意义，则x 的取值范围是__________ 25. 当0
1
x
-2=_______ 26. 观察下列各式：1+
13=213；2+1111
4=34；3+5=45
； 将你猜想到的规律用含自然数n （n ≥1）的代数式表示出来是____________ 三．解答题
1. 化简-a 3
b
（b>0）
2. 计算：a +b a 1a +⋅(ab -b -a +b
) ÷a -b
3. 用简便方法计算：
已知x =+1
2
，求x 3x 3+x +1的值。
四．中考链接
1. （08
遵义）若a -2+=0，则a -b =．
8．(08宁波) 若实数x ，
y (y 2=0，则xy 的值是． 9．（08自贡）写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数 。 10．（08中山）已知等边三角形ABC 的边长为3+，则ΔABC 的周长是__________
2
11．（2007
===
请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1) 的等式表示出来__________________________． 12. （08云南）下列计算正确的是（ ）
A ．a 3⋅a 2=a 6
B ．(π-3.14) 0=1 C．(
1-1
) =-2 D
±3 2
13. (08郴州) 下列计算错误的是（ ）
A ．－（－2）=2 B
．2x +3x =5x D．(a ) =a 14．（08聊城）下列计算正确的是（ ）
A
．= B
= C
=3 15．（08重庆）计算8-2的结果是（ ）
A 、6 B、 C、2 D、2
24．（08湖北荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ）
D
=-3
222235
25．（08广东中山市）下列根式中不是最简二次根式的是（ ） A
B
C
D
26．(08桂林) 在下列实数中，无理数是（ ）
5 B、 π C、 -4 D、A 、 0. 1
27．(08常州) 下列实数中, 无理数是( )
B.
22
7
π 2
C.
1 3
D.
1 2
28．(08宜昌）从实数－2，－
A. －
1
，0，л，4中，挑选出的两个数都是无理数的为（ ） 3
1
，0 B. л，4 C. －2，4 D. －2，л 3
29．(08宁波)
）
A ．-5 B ．0 C ．3 D
31.(08永州) 下列判断正确的是（ ）
A ． 3＜3＜2 2B ． 2＜2＋＜3 C． 1＜－＜2 D． 4＜＜5
332．(08益阳) 一个正方体的水晶砖，体积为100cm ，它的棱长大约在
A. 4cm~5cm之间 B. 5cm~6cm之间 C. 6cm~7cm之间 D. 7cm~8cm之间
33．（08芜湖）
Ａ．6到7之间
38．（08大连）若x =． ）Ｃ．8到9之间 Ｄ．9到10之间 Ｂ．7到8之间 a -b , y =a +b ，则xy 的值为 ( )
A ．2a B．2 C．a +b D．a -b
39.(08常州)
, 则x 的取值范围是（ ）
A. x >-5 B. x
0D. x ≥-5 -1⎛1⎫⎛1⎫40.(08常州) 化简
（08
苏州）计算：(-3) 2 ⎪． ⎪ 41。⎝2⎭⎝2⎭
42．（08广东湛江） 计算：(-1)
2008－(π－3) ＋4． 0⎛1⎫43．（08
沈阳）计算：(π-1) 0+ -⎪+5- ⎝2⎭
45．(08宁夏) 先化简，再求值：(2-1) ⨯(a 2-1) ，其中a =3-3。 a -1a +1
-1
11
专题复习 实数和二次根式
知识点归纳：
一．实数：
1. 数的分类：
⎧实数⎪正
⎧整数⎧⎪理数⎨⎪有⎪
实数（定义分）⎨数 实数（大小分）⎨0⎩分
⎪无⎪数⎩理⎪负实数
⎪⎩
2. 平方根的性质：
有理数⎧正
⎨无理数⎩负
有理数⎧负⎨无理数⎩负
（1） 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （2） 算术平方根a 具有双重非负性，即：a ≥0, a ≥0.
（3）
⎧a (a ≥0)
(a ) 2=a (a ≥0) a =a =⎨
⎩-a (a
2
3. 立方根的性质：
（1） 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. （2）
a 3=a (a ) 3=a
二．二次根式：
1. 二次根式的概念：式子a (a ≥0, ) 叫做二次根式，具有双重非负性。
2. 最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数不含开的尽方的整数和整式。
3. 同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同。
4. 分母有理化：把分母化为有理数的过程，即去分母中的根号的过程。 5. 二次根式运算法则： 加减法：合并同类二次根式； 乘法：a ⋅b =
ab (a ≥0, b ≥0)
除法：
a =
a
(a ≥0, b >0) b
(a >0)
2⎧(a ≥0) a 1a ⎪a b
6. 常见化简：a =⎨ a =或=
2a a a ⎪⎩-a b (a
典型例题讲解及变式练习：
例1 若一个数的平方根是2a-1和-a+2，求这个正数的平方。
练习：
1. 已知某数有两个平方根，分别为a+3和2a-15，求这个数平方的倒数。
2. 已知A =m +3n 为m+3n的算术平方根，B =n -m 2为1-m 的立方根，求A+B
2
的值。
3．已知2a -1的平方根是±3，3a+b-1的立方根是4，求a+2b的值。
练习：
1. a +3+b ++(c -2) 2=0，求a +b -1的算术平方根。
2
c
2. 若a -b +2a +b -1互为相反数，求322a +2b 的值。
3. 已知a +b -2+(a +2b -1) 2=5-x x -5，求b -x 的值。
a
a
-m 2+7(2n +m ) 2
4. 。 =0m n =_________
|m +4|
5. 已知y =
例3 已知3+的小数部分是a ，3-的小数部分为b ，求a +b 和a -b 的值。
练习：已知7+的小数部分是a ，7-的小数部分为b ，求a +b 和(a -b ) 的值。
2
2x -1+-2x +6x ，求x +3y -1的平方根。
练习：
a 2-1+-a 2
1. 化简=。
1+a
2. 已知x =
3. 已知1
例5 最简二次根式+2a 与a 2+2是同类二次根式，则a 的值是_______. 练习： 1. 若
2．若2n 3m +2n 6是同类最简二次根式，则n=_______,m=_______。
例6 已知实数a 满足|2009-a |+a -2010=a ，则a -2009=_________。
2
1a
-a (0
x -2x -4x +4
2
+
x 2-2x +1
=_________。
x -1
a+b
已化成最简二次根式，且被开方数相同，则。
例7 计算： 练习： 1.
++1
+
6+23+1
52+235++
3-34-222+2++ 2. -3-12-12+1
例8 较下列每组数里两个数的大小
:
;
的大小
例9 化简求值：已知x = 练习： 1. (
2-1, y =2+1，求
x +y +3y x +y x +3xy
的值。
x +2xy +y
x +y
+
1x -y +1) ÷，其中x =2+3，y =2-3
x -y x
1-2+31+2-3⎛x 2-y 2, y =, 求 2. 设x = 222⎝
⎫
⎪⎪+xy 的值。 ⎭
2
3．已知：x =
4．已知a =
120-4
，求x 2+2的值． 2x
1-1
, b =
13+1
ab (
a b
+) 的值。 b a
巩固训练：
一．选择题：
1．下列式子中最简二次根式的个数有 （ ） ⑴
11
；⑵-3；⑶-x 2+1；⑷8；⑸(-) 2；⑹-x (x >1) ；⑺x 2+2x +3.
33
A ．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列计算正确的有 （ ）
①(-4)(-9) =-4⋅-9=6；②(-4)(-9) =4⋅9=6； ③52-42=+4⋅5-4=3；④52-42=52-42=1； A ．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．把
3a ab
分母有理化后得 （ ）
A ．4b B．2 C．
1
D． 2b 2
6. 已知25-x 2--x 2=2，则25-x 2 +-x 2=（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
7
．式子
中, 无论x 为何值, 一定有意义的式子的个数是
（ ）个.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
8. 如果最简根式b -3b 和2b -a +2是同类二次根式，那么a ，b 的值是（ ） A. a＝0，b ＝2 C. a＝－1，b ＝1 9. 化简二次根式a -
B. a＝2，b ＝0
D. a＝1，b ＝－2
a +1
的结果是（ ） a 2
B. --a -1
C. +1
D. --a +1
A. -a -1
a 3c 3
10. 已知：ab>0，bc
b
A.
ac
2
b
B.
ac
-abc 2
b
C. -
ac
-abc 2
b
D. -
ac
abc 2
b
11. 已知：a =A. 3
11
，b =，则a 2+b 2+7的值。 5-2+2
B. 4
C. 5
D. 6
12. 已知a
） A
、- B
、- C
、 D
、13. 如果
y +x
y x x 3，那么+的值等于（ ） =
x y y 2
B.
A.
3
25 2
C.
7 2
D.
9 2
14. 若a =
1
，b =+1，则a 、b 的关系是（ ） -1
B. 互为相反数 D. 互为有理化因式
A. 互为倒数
C. 相等 二. 填空题：
1. 若a 的算术平方根是
1
，则a ＝________ 2
2. 64的平方根为__________；--272=_________ 3. 若x ≤0时，则|1-x |-x 2=_______
a 2-2a +1
4. 当a
a -a
5. 请你观察思考下列计算过程： 112=121，∴=11； 同样 1112=12321，∴=111， 由此猜想=_________ 6. 已知xy ＝3，那么x
y x
的值为_________ +y
x y
2
7. 实数a 在数轴上的位置如图所示，化简|a -1|+(a -2) =________
8. 计算
11
+27-6=_______
32+ 9. 若y =
3x -6+-3x +x 3，则10x ＋2y 的平方根为_________
2
2xy mn 2a 2223322
10. 根式：y ，，，6(a -b ) ，75x y ，x +y ，中，
23a
最简根式有__________个 11．. 代数式
x -1
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__________ x -2
12. 3-2的相反数是__________，倒数是__________
14. 当
x +2
=9-x
x +2
时，x 的取值范围是_________ -x
15.
6
分母有理化的结果是___________
27-3
17. 已知(x -2) 2+|x +y -5|+x -y -3z =0，则xy -z =_________
18. 在
111
中，与是同类二次根式的是________ ，，，2
50276
b
19. 如果最简二次根式b -3b 和b -a +2是同类二次根式，那么a =_______
20. 已知：xy ＝3，那么x
y x +y
x
y
的值是_________ 21. 已知：a +b =5，ab =4，则
-+=_________
22. 在实数范围内分解因式：a 5
-5a 3
-6a =________ 23. 已知x>0，y>0，且x -xy -6y =0，则
x -2xy +y x +xy -2y
=________
24. 若式子
x -2
x 2
-2x -3
有意义，则x 的取值范围是__________ 25. 当0
1
x
-2=_______ 26. 观察下列各式：1+
13=213；2+1111
4=34；3+5=45
； 将你猜想到的规律用含自然数n （n ≥1）的代数式表示出来是____________ 三．解答题
1. 化简-a 3
b
（b>0）
2. 计算：a +b a 1a +⋅(ab -b -a +b
) ÷a -b
3. 用简便方法计算：
已知x =+1
2
，求x 3x 3+x +1的值。
四．中考链接
1. （08
遵义）若a -2+=0，则a -b =．
8．(08宁波) 若实数x ，
y (y 2=0，则xy 的值是． 9．（08自贡）写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数 。 10．（08中山）已知等边三角形ABC 的边长为3+，则ΔABC 的周长是__________
2
11．（2007
===
请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1) 的等式表示出来__________________________． 12. （08云南）下列计算正确的是（ ）
A ．a 3⋅a 2=a 6
B ．(π-3.14) 0=1 C．(
1-1
) =-2 D
±3 2
13. (08郴州) 下列计算错误的是（ ）
A ．－（－2）=2 B
．2x +3x =5x D．(a ) =a 14．（08聊城）下列计算正确的是（ ）
A
．= B
= C
=3 15．（08重庆）计算8-2的结果是（ ）
A 、6 B、 C、2 D、2
24．（08湖北荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ）
D
=-3
222235
25．（08广东中山市）下列根式中不是最简二次根式的是（ ） A
B
C
D
26．(08桂林) 在下列实数中，无理数是（ ）
5 B、 π C、 -4 D、A 、 0. 1
27．(08常州) 下列实数中, 无理数是( )
B.
22
7
π 2
C.
1 3
D.
1 2
28．(08宜昌）从实数－2，－
A. －
1
，0，л，4中，挑选出的两个数都是无理数的为（ ） 3
1
，0 B. л，4 C. －2，4 D. －2，л 3
29．(08宁波)
）
A ．-5 B ．0 C ．3 D
31.(08永州) 下列判断正确的是（ ）
A ． 3＜3＜2 2B ． 2＜2＋＜3 C． 1＜－＜2 D． 4＜＜5
332．(08益阳) 一个正方体的水晶砖，体积为100cm ，它的棱长大约在
A. 4cm~5cm之间 B. 5cm~6cm之间 C. 6cm~7cm之间 D. 7cm~8cm之间
33．（08芜湖）
Ａ．6到7之间
38．（08大连）若x =． ）Ｃ．8到9之间 Ｄ．9到10之间 Ｂ．7到8之间 a -b , y =a +b ，则xy 的值为 ( )
A ．2a B．2 C．a +b D．a -b
39.(08常州)
, 则x 的取值范围是（ ）
A. x >-5 B. x
0D. x ≥-5 -1⎛1⎫⎛1⎫40.(08常州) 化简
（08
苏州）计算：(-3) 2 ⎪． ⎪ 41。⎝2⎭⎝2⎭
42．（08广东湛江） 计算：(-1)
2008－(π－3) ＋4． 0⎛1⎫43．（08
沈阳）计算：(π-1) 0+ -⎪+5- ⎝2⎭
45．(08宁夏) 先化简，再求值：(2-1) ⨯(a 2-1) ，其中a =3-3。 a -1a +1
-1
11