排列组合典型题大全
一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看
作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数
【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）3（2）4 （3）4
【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，
第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有7种不同方案. 【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A 、8 B、3 C、A 8 D、C 8 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠 军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有8种 不同的结果。所以选A
1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？
2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？ 3、4个同学参加3项不同的比赛
（1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？ （2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？
4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？
5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？
6、（全国II 文）5位同学报名参加两个课外活动小组, 每位同学限报其中的一个小组, 则不同的报名方法共 (A)10种
(B) 20种
(C) 25种
(D) 32种
3
6
433
3833
7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，则不同的负责方法有多少种？
8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，不同的分法有多少种？
思考：4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有多少种？
二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
【例1】A , B , C , D , E 五人并排站成一排，如果A , B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 【解析】：把A , B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，A 4 24种
4
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进
行自排。由分步计数原理可得共有
522A 5A 2A 2=480种不同的排法
【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 288 C. 216 D. 96
2222【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，C 3A 2A 4A 2=432 种2222其中男生甲站两端的有A 12C 3A 2A 3A 2=144，符合条件的排法故共有288
例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（ C ）种。 A ）720 B ）360 C ）240 D ）120
三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几
个元素插入上述几个元素的空位和两端.
【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
52【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为A 5种，再用甲乙去插6个空位有A 6种，不同的排法种数是A 5A 6=3600种
5
2
【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）
11【解析】： A 1或分类 A A 4789=50
【例3】 高三（一）班学要安=排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的 演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
52
【解析】：不同排法的种数为A 5A 6＝3600
【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工 程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6 项工程的不同排法种数是
2【解析】：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有A 5＝20种不同排法。
【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目， 但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变， 则该晚会的节目单的编排总数为 种. 【解析】：A 9A 10A 11=990
【例6】. 马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的
1
1
1
二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
3
【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C 5种方
法, 所以满足条件的关灯方案有10种.
说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒 模型可使问题容易解决.
【例7】 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？ 【解析】： 解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A 33，○*○*○*○，在四个空 中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A 4种，所以每个人左右两边都空位的排法有
3A 1A 43=24种.
1
解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A 4=24种.
【例8】 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放. 要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？ 【解析】：先排好8辆车有A 88种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9
18个空档中任选一个，将空车位置插入有C 19种方法，所以共有C 9A 8种方法.
3
注：题中*表示元素，○表示空.
例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱, 舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有
4
第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种A 6不A 55种，
4A 55A 6 种
同的方法, 由分步计数原理, 节目的不同顺序共有
四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元 素；再排其它的元素。
【例1】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四 人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作， 其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）
A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种 【解析】：方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。A 3A 3=36
23
方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法C 2C 2A 3=24；若小张、小赵都入选，则有 选法A 2A 3=12，共有选法36种，选A.
113
22
【例2】 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
【解析】：老师在中间三个位置上选一个有A 3种，4名同学在其余4个位置上有A 4种方法；所以共有A 3A 4=72种。.
1414
【例3】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？
【解析】 法一：A 5A 6=3600 法二： A 6A 5=3600 法三：A
7-A 6-A 6=3600
1
6
2
5
766
A 、36种 B 、120种 C 、720种 D 、1440种 （2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为
55（A ）A 15A 10
155553
（B ）A （C ）A A A A 15 151053
5553
（D ）A 15A 10A 5÷A 3
（3）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
6
【解析】：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共A 6=720种，选C .
（2）答案：C
（3）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A 4种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有A 4
125种，其余5个元素任排5个位置上有A 5种，故共有A 4A 4A 5=5760种排法.
5
2
1
例7.8人排成前后两排, 每排4人, 其中甲乙在前排, 丙在后排, 共有多少排法
解:8人排前后两排, 相当于8人坐8把椅子, 可以把椅子排成一排. 个特殊元素有
余的5人在5个位置上任意排列有
215
A 55种, 则共有A A A 种
1
A 24种, 再排后4个位置上的特殊元素丙有A 4种, 其
一般地, 元素分成多排的排列问题, 可归结为一排考虑, 再分段研究.
练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12
个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么
不同排法的种数是 346
六. 环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐, 共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人
排法即7！
！种A 44并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）
1
一般地,n 个不同元素作圆形排列, 共有(n-1)!种排法. 如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有
n
练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120
A m n
五．定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.
【例1】. A , B , C , D , E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（A , B 可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）
【解析】：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即
15
A 5=602
种
996A 6
【例3】将A 、B 、C 、D 、E 、F 这6个字母排成一排，若A 、B 、C 必须按A 在前，B 居中，C 在后的原则（A 、B 、C 允
3
许不相邻），有多少种不同的排法？ 【解析】：法一：A 6 法二：
16
A 6 3A 3
例4. 7人排队, 其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法) 对于某几个元素顺序一定的排列问题, 可先把这几个元素与其他元素一起进行排列, 然后用总排列数除以这几个元素之间的全
排列数, 则共有不同排法种数是：
3
A 7/A 73
44
种方法，其余的三个位置甲乙丙共有A 7种方法。 A 7
(空位法) 设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法) 先排甲乙丙三个人, 共有1种排法, 再把其余4四人依次插入共有 方法
练习题:10人身高各不相等, 排成前后排，每排5人, 要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ C 10
5
六．标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排
入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
【例1】 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个 方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种
【解析】：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填 入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9 种填法，选B .
【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中 有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ） A 10种 B 20种 C 30种 D 60种 答案：B 【例3】：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡， 则4张贺年卡不同的分配方式共有( ) （A ）6种 （B ）9种 （C ）11种 （D ）23种 【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a 、b 、c 、d 。 第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式； 第二步，假设甲取b ，则乙的取法可分两类： （1）乙取a ，则接下来丙、丁取法都是唯一的， （2）乙取c 或d （2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。 根据加法原理和乘法原理，一共有3种分配方式。 故选（B ） ⨯(1+2) =9【例4】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有( )（A ）60种 （B ）44种 （C ）36种 （D ）24种 答案：B 4*2+4*3*3
六．不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法
【例1】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
（1） 分成1本、2本、3本三组；
（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本； （3） 分成每组都是2本的三个组； （4） 分给甲、乙、丙三人，每个人2本； （5） 分给5人每人至少1本。
222211111C 6C 4C 2C 5C 5C 4C 3C 2C 15222
【解析】：（1）C C C （2）C C C A （3） （4） （5）A 5 C C C 64243
A A 34
1
62533 16253333
【例2】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．
211
C 4⋅C 2⋅C 1
【解析】：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有; 2
A 2
211C 4⋅C 2⋅C 13
⋅A 3=362
A 2
第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A
3
3所以满足条件得分配的方案有
说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
【例3】 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有 （A ）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种
311C 5C 2C 13
⨯A 3【解析】：人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有＝60种， 2
A 2
若是1,1,3，
122C 5C 4C 23
⨯A 则有＝90种，所以共有150种，选A 32
A 2
【例4】 将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ） A ．70 B ．140 C ．280 D ．840 答案：（ A ）
【例5】 将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（ ）
（A ）３０种 （B ）９０种 （C ）１８０种 （D ）２７０种
【解析】：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5
12
C 5⋅C 4
名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有=15种方法，再将3组分到3个班， 2
A 23
共有15⋅A 3=90种不同的分配方案，选B.
【例6】 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超 过2个, 则该外商不同的投资方案有（ ）种 A ．16种 B ．36种 C ．42种 D ．60种
22233【解析】：按条件项目可分配为2,1,0,0与1,1,1,0的结构，∴C 4C 3A 2+C 4A 3=36+24=60 故选D ；
【例7】（1）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ） A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 答案：B .
（2）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有多少种？
44C 12C 84C 4
答案：A 333
A 3
【例8】 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担 这三项任务，不同的选法种数是（ ）
A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种
【解析】：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第
211三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有C 10C 8C 7=2520种，选C .
【例9】. 某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发 建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
【解析】：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
①若甲乙都不参加，则有派遣方案A 8种；
②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A 8方法，所以共有3A 8；
③若乙参加而甲不参加同理也有3A 8种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人
到另
4332
两个城市有A 8种，共有7A 8方法. 所以共有不同的派遣方法总数为A 8+3A 8+3A 8+7A 8=4088种
2
2
3
3
3
4
或者：8*8*A82+1*9*A 82
【例10】 四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
【解析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C 4种，再排：在四个盒中每次排3个有A 4种，故共有
23
C 4A 4=144种.
2
3
1、有6本不同的书
(1)平均分成三份有多少种不同的分法？ (2)平均分配给三个人有多少种不同的分法？
(3)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本，有多少种不同的分法？ (4)分配给三个人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分法？ (5)分成三份，两分各1本，一份4本，有多少种不同的分法？
(6)分配给三个人，两个人各1本，另外一个人4本，有多少种不同的分法？ 2、30名同学分成3个小组，每组10人，共有多少种不同的分组方法？
3、有15本不同的小说、送给5名学生，每人3本，共有多少种不同的分送方法？
4、（三校联考）4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有（ ） A ．144种
B ．72种
C ．36种
D ．24种
5、（重庆理）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 6、（宁夏 理）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有
种．（用数字作答）
7、（ 全国II ）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有( ) A ．150种
B ．180种
C ．200种
D ．280种
8、（西宁模拟 理）3名乒乓国手参加“希望工程”献爱心活动，他们准备赞助7名失学儿童，其中把他们分成1人，3人，3人三组后，再分给3名国手，则这样的方案有____种。
9、（包头模拟 理）将4名曾参加过奥运会的运动员分配到三个城市进行奥运知识宣传，每个城市至少分配一名运动员，则不同的分配方法有（） Ａ．36
Ｂ．48
Ｃ．72
Ｄ．24
10、（陕西 理）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有. （用数字作答） 11、（贵阳模拟 理）3本不同的书分给6个人，每个人至多2本，则不同的分配方案有 _种。（用数字做答）
七．相同元素的分配问题隔板法：
【例1】：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多
少种不同的放法？
【解析】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17 个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有C 16=120种。
2
【例2】 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆 至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，
6故共有不同的分配方案为C 9=84种.
【例3】：将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个 中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？
【解析】： 1、先从4个盒子中选三个放置小球有C 4种方法。
2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有C 3、C 4、C 5种方法。 3、由分步计数原理可得C 4C 3C 4C 5=720种
例10. 有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个, 有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，
对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C 9种分法。
6
3
222
3222
二班三
班
七班
将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）, 每份至少一个元素, 可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为C n -1
m -1
练习题：
1． 10个相同的球装5个盒中, 每盒至少一有多少装法？ C 9 2 .x +
3
y +z +w =100求这个方程组的自然数解的组数 C 103
4
八．多面手问题（ 分类法---选定标准）
【例1】： 有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、 日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日 语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？
[**************]3
C 5C 4+C 5C 2C 4+C 5C 2C 4+C 5C 4+C 5C 4+C 5C 2C 1C 4
十．排数问题（注意数字“0”）
【例1】（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）
A 、210种 B 、300种 C 、464种 D 、600种
【解析】 ：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有A 5个，
[1**********]
A 4A 3A 3, A 3A 3A 3, A 2A 3A 3, A 3A 3个，合并总计300个, 选B .
5
（2）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？
【解析】 ：将I ={1,2,3 ,100}分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A ={4,8,12, 100}；能被4除余1的
数集B ={1,5,9, 97}，能被4除余2的数集C ={2,6, ,98}，能被4除余3的数集D ={3,7,11, 99}，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从B , D 中各取一个数也符合要求；从C
2112中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有C 25种. +C 25C 25+C 25
例2. 由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求, 应该优先安排,
先排末位共有C 3 然后排首位共有C 4 最后排其它位置共有
3 A 411
4
3
4
由分步计数原理得C 4C 3A 4
11
3
=288
十一．染色问题：涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;
（2）根据相对区域是否同色分类讨论;
（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。
【例1】 将一个四棱锥S -ABCD 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使
用，那么不同的染色方法的总数是_______.
【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
(1)若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种涂A 、B 、C 、D 四点，此时
只能A 与C 、B 与D 分别同色，故有C 5A 4=60种方法。
(2)若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种染A 与B ，由于A 、B 颜色可以交换，故有A 4种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D 或C ，而D 与C ，而D 与C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有C 5A 4C 2C 2=240种方法。
1
2
1
1
2
12
5
(3)若恰用五种颜色染色，有A 5=120种染色法
综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。【答案】420. [规律小结] 涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论; （2）根据相对区域是否同色分类讨论;
（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。 1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
2、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
3、把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成4块扇形呢？
4、（全国Ⅰ）将1，2，3填入3⨯3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ） A ．6种
5、（全国I ）如图，一环形花坛分成A ，B ，C ，D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96
6、（全国）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？
B ．84
C ．60
D ．48
B ．12种
C ．24种
D ．48种
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十三． 几何中的排列组合问题:
x y 【例1】 已知直线+=1（a ，b 是非零常数）与圆x 2+y 2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，a b
那么这样的直线共有 条
【解析】： 圆上的整点有：(±6, ±8) ,(±8, ±6),(±10,0),(0±10) 12 个
2 C 12=66 其中关于原点对称的有4 条 不满则条件 切线有C 1
12=12 ，
其中平行于坐标轴的有14条 不满则条件 66-4+12-14=60
答案:60
排列组合典型题大全
一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看
作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数
【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）3（2）4 （3）4
【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，
第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有7种不同方案. 【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A 、8 B、3 C、A 8 D、C 8 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠 军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有8种 不同的结果。所以选A
1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？
2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？ 3、4个同学参加3项不同的比赛
（1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？ （2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？
4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？
5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？
6、（全国II 文）5位同学报名参加两个课外活动小组, 每位同学限报其中的一个小组, 则不同的报名方法共 (A)10种
(B) 20种
(C) 25种
(D) 32种
3
6
433
3833
7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，则不同的负责方法有多少种？
8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，不同的分法有多少种？
思考：4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有多少种？
二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
【例1】A , B , C , D , E 五人并排站成一排，如果A , B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 【解析】：把A , B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，A 4 24种
4
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进
行自排。由分步计数原理可得共有
522A 5A 2A 2=480种不同的排法
【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 288 C. 216 D. 96
2222【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，C 3A 2A 4A 2=432 种2222其中男生甲站两端的有A 12C 3A 2A 3A 2=144，符合条件的排法故共有288
例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（ C ）种。 A ）720 B ）360 C ）240 D ）120
三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几
个元素插入上述几个元素的空位和两端.
【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
52【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为A 5种，再用甲乙去插6个空位有A 6种，不同的排法种数是A 5A 6=3600种
5
2
【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）
11【解析】： A 1或分类 A A 4789=50
【例3】 高三（一）班学要安=排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的 演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
52
【解析】：不同排法的种数为A 5A 6＝3600
【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工 程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6 项工程的不同排法种数是
2【解析】：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有A 5＝20种不同排法。
【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目， 但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变， 则该晚会的节目单的编排总数为 种. 【解析】：A 9A 10A 11=990
【例6】. 马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的
1
1
1
二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
3
【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C 5种方
法, 所以满足条件的关灯方案有10种.
说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒 模型可使问题容易解决.
【例7】 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？ 【解析】： 解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A 33，○*○*○*○，在四个空 中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A 4种，所以每个人左右两边都空位的排法有
3A 1A 43=24种.
1
解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A 4=24种.
【例8】 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放. 要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？ 【解析】：先排好8辆车有A 88种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9
18个空档中任选一个，将空车位置插入有C 19种方法，所以共有C 9A 8种方法.
3
注：题中*表示元素，○表示空.
例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱, 舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有
4
第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种A 6不A 55种，
4A 55A 6 种
同的方法, 由分步计数原理, 节目的不同顺序共有
四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元 素；再排其它的元素。
【例1】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四 人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作， 其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）
A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种 【解析】：方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。A 3A 3=36
23
方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法C 2C 2A 3=24；若小张、小赵都入选，则有 选法A 2A 3=12，共有选法36种，选A.
113
22
【例2】 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
【解析】：老师在中间三个位置上选一个有A 3种，4名同学在其余4个位置上有A 4种方法；所以共有A 3A 4=72种。.
1414
【例3】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？
【解析】 法一：A 5A 6=3600 法二： A 6A 5=3600 法三：A
7-A 6-A 6=3600
1
6
2
5
766
A 、36种 B 、120种 C 、720种 D 、1440种 （2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为
55（A ）A 15A 10
155553
（B ）A （C ）A A A A 15 151053
5553
（D ）A 15A 10A 5÷A 3
（3）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
6
【解析】：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共A 6=720种，选C .
（2）答案：C
（3）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A 4种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有A 4
125种，其余5个元素任排5个位置上有A 5种，故共有A 4A 4A 5=5760种排法.
5
2
1
例7.8人排成前后两排, 每排4人, 其中甲乙在前排, 丙在后排, 共有多少排法
解:8人排前后两排, 相当于8人坐8把椅子, 可以把椅子排成一排. 个特殊元素有
余的5人在5个位置上任意排列有
215
A 55种, 则共有A A A 种
1
A 24种, 再排后4个位置上的特殊元素丙有A 4种, 其
一般地, 元素分成多排的排列问题, 可归结为一排考虑, 再分段研究.
练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12
个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么
不同排法的种数是 346
六. 环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐, 共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人
排法即7！
！种A 44并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）
1
一般地,n 个不同元素作圆形排列, 共有(n-1)!种排法. 如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有
n
练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120
A m n
五．定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.
【例1】. A , B , C , D , E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（A , B 可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）
【解析】：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即
15
A 5=602
种
996A 6
【例3】将A 、B 、C 、D 、E 、F 这6个字母排成一排，若A 、B 、C 必须按A 在前，B 居中，C 在后的原则（A 、B 、C 允
3
许不相邻），有多少种不同的排法？ 【解析】：法一：A 6 法二：
16
A 6 3A 3
例4. 7人排队, 其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法) 对于某几个元素顺序一定的排列问题, 可先把这几个元素与其他元素一起进行排列, 然后用总排列数除以这几个元素之间的全
排列数, 则共有不同排法种数是：
3
A 7/A 73
44
种方法，其余的三个位置甲乙丙共有A 7种方法。 A 7
(空位法) 设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法) 先排甲乙丙三个人, 共有1种排法, 再把其余4四人依次插入共有 方法
练习题:10人身高各不相等, 排成前后排，每排5人, 要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ C 10
5
六．标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排
入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
【例1】 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个 方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种
【解析】：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填 入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9 种填法，选B .
【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中 有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ） A 10种 B 20种 C 30种 D 60种 答案：B 【例3】：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡， 则4张贺年卡不同的分配方式共有( ) （A ）6种 （B ）9种 （C ）11种 （D ）23种 【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a 、b 、c 、d 。 第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式； 第二步，假设甲取b ，则乙的取法可分两类： （1）乙取a ，则接下来丙、丁取法都是唯一的， （2）乙取c 或d （2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。 根据加法原理和乘法原理，一共有3种分配方式。 故选（B ） ⨯(1+2) =9【例4】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有( )（A ）60种 （B ）44种 （C ）36种 （D ）24种 答案：B 4*2+4*3*3
六．不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法
【例1】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
（1） 分成1本、2本、3本三组；
（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本； （3） 分成每组都是2本的三个组； （4） 分给甲、乙、丙三人，每个人2本； （5） 分给5人每人至少1本。
222211111C 6C 4C 2C 5C 5C 4C 3C 2C 15222
【解析】：（1）C C C （2）C C C A （3） （4） （5）A 5 C C C 64243
A A 34
1
62533 16253333
【例2】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．
211
C 4⋅C 2⋅C 1
【解析】：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有; 2
A 2
211C 4⋅C 2⋅C 13
⋅A 3=362
A 2
第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A
3
3所以满足条件得分配的方案有
说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
【例3】 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有 （A ）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种
311C 5C 2C 13
⨯A 3【解析】：人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有＝60种， 2
A 2
若是1,1,3，
122C 5C 4C 23
⨯A 则有＝90种，所以共有150种，选A 32
A 2
【例4】 将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ） A ．70 B ．140 C ．280 D ．840 答案：（ A ）
【例5】 将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（ ）
（A ）３０种 （B ）９０种 （C ）１８０种 （D ）２７０种
【解析】：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5
12
C 5⋅C 4
名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有=15种方法，再将3组分到3个班， 2
A 23
共有15⋅A 3=90种不同的分配方案，选B.
【例6】 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超 过2个, 则该外商不同的投资方案有（ ）种 A ．16种 B ．36种 C ．42种 D ．60种
22233【解析】：按条件项目可分配为2,1,0,0与1,1,1,0的结构，∴C 4C 3A 2+C 4A 3=36+24=60 故选D ；
【例7】（1）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ） A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 答案：B .
（2）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有多少种？
44C 12C 84C 4
答案：A 333
A 3
【例8】 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担 这三项任务，不同的选法种数是（ ）
A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种
【解析】：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第
211三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有C 10C 8C 7=2520种，选C .
【例9】. 某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发 建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
【解析】：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
①若甲乙都不参加，则有派遣方案A 8种；
②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A 8方法，所以共有3A 8；
③若乙参加而甲不参加同理也有3A 8种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人
到另
4332
两个城市有A 8种，共有7A 8方法. 所以共有不同的派遣方法总数为A 8+3A 8+3A 8+7A 8=4088种
2
2
3
3
3
4
或者：8*8*A82+1*9*A 82
【例10】 四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
【解析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C 4种，再排：在四个盒中每次排3个有A 4种，故共有
23
C 4A 4=144种.
2
3
1、有6本不同的书
(1)平均分成三份有多少种不同的分法？ (2)平均分配给三个人有多少种不同的分法？
(3)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本，有多少种不同的分法？ (4)分配给三个人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分法？ (5)分成三份，两分各1本，一份4本，有多少种不同的分法？
(6)分配给三个人，两个人各1本，另外一个人4本，有多少种不同的分法？ 2、30名同学分成3个小组，每组10人，共有多少种不同的分组方法？
3、有15本不同的小说、送给5名学生，每人3本，共有多少种不同的分送方法？
4、（三校联考）4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有（ ） A ．144种
B ．72种
C ．36种
D ．24种
5、（重庆理）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 6、（宁夏 理）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有
种．（用数字作答）
7、（ 全国II ）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有( ) A ．150种
B ．180种
C ．200种
D ．280种
8、（西宁模拟 理）3名乒乓国手参加“希望工程”献爱心活动，他们准备赞助7名失学儿童，其中把他们分成1人，3人，3人三组后，再分给3名国手，则这样的方案有____种。
9、（包头模拟 理）将4名曾参加过奥运会的运动员分配到三个城市进行奥运知识宣传，每个城市至少分配一名运动员，则不同的分配方法有（） Ａ．36
Ｂ．48
Ｃ．72
Ｄ．24
10、（陕西 理）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有. （用数字作答） 11、（贵阳模拟 理）3本不同的书分给6个人，每个人至多2本，则不同的分配方案有 _种。（用数字做答）
七．相同元素的分配问题隔板法：
【例1】：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多
少种不同的放法？
【解析】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17 个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有C 16=120种。
2
【例2】 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆 至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，
6故共有不同的分配方案为C 9=84种.
【例3】：将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个 中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？
【解析】： 1、先从4个盒子中选三个放置小球有C 4种方法。
2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有C 3、C 4、C 5种方法。 3、由分步计数原理可得C 4C 3C 4C 5=720种
例10. 有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个, 有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，
对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C 9种分法。
6
3
222
3222
二班三
班
七班
将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）, 每份至少一个元素, 可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为C n -1
m -1
练习题：
1． 10个相同的球装5个盒中, 每盒至少一有多少装法？ C 9 2 .x +
3
y +z +w =100求这个方程组的自然数解的组数 C 103
4
八．多面手问题（ 分类法---选定标准）
【例1】： 有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、 日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日 语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？
[**************]3
C 5C 4+C 5C 2C 4+C 5C 2C 4+C 5C 4+C 5C 4+C 5C 2C 1C 4
十．排数问题（注意数字“0”）
【例1】（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）
A 、210种 B 、300种 C 、464种 D 、600种
【解析】 ：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有A 5个，
[1**********]
A 4A 3A 3, A 3A 3A 3, A 2A 3A 3, A 3A 3个，合并总计300个, 选B .
5
（2）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？
【解析】 ：将I ={1,2,3 ,100}分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A ={4,8,12, 100}；能被4除余1的
数集B ={1,5,9, 97}，能被4除余2的数集C ={2,6, ,98}，能被4除余3的数集D ={3,7,11, 99}，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从B , D 中各取一个数也符合要求；从C
2112中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有C 25种. +C 25C 25+C 25
例2. 由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求, 应该优先安排,
先排末位共有C 3 然后排首位共有C 4 最后排其它位置共有
3 A 411
4
3
4
由分步计数原理得C 4C 3A 4
11
3
=288
十一．染色问题：涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;
（2）根据相对区域是否同色分类讨论;
（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。
【例1】 将一个四棱锥S -ABCD 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使
用，那么不同的染色方法的总数是_______.
【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
(1)若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种涂A 、B 、C 、D 四点，此时
只能A 与C 、B 与D 分别同色，故有C 5A 4=60种方法。
(2)若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种染A 与B ，由于A 、B 颜色可以交换，故有A 4种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D 或C ，而D 与C ，而D 与C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有C 5A 4C 2C 2=240种方法。
1
2
1
1
2
12
5
(3)若恰用五种颜色染色，有A 5=120种染色法
综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。【答案】420. [规律小结] 涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论; （2）根据相对区域是否同色分类讨论;
（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。 1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
2、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
3、把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成4块扇形呢？
4、（全国Ⅰ）将1，2，3填入3⨯3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ） A ．6种
5、（全国I ）如图，一环形花坛分成A ，B ，C ，D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96
6、（全国）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？
B ．84
C ．60
D ．48
B ．12种
C ．24种
D ．48种
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十三． 几何中的排列组合问题:
x y 【例1】 已知直线+=1（a ，b 是非零常数）与圆x 2+y 2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，a b
那么这样的直线共有 条
【解析】： 圆上的整点有：(±6, ±8) ,(±8, ±6),(±10,0),(0±10) 12 个
2 C 12=66 其中关于原点对称的有4 条 不满则条件 切线有C 1
12=12 ，
其中平行于坐标轴的有14条 不满则条件 66-4+12-14=60
答案:60