思维方法 ——幂函数指对函数
相关知识：根式定义、幂的概念，积的幂、幂的积、幂的乘方；幂函数的图像（9种）；
对数概念，指对互化、对数运算性质（积、商、幂）和换底公式； 指对数数函数的图像和性质； 反函数的定义，原函数与反函数图像的对称性，原函数与反函数交点的分布，与但调性关系。
指数方程的四种类型：a
f (x )
=b 、a f (x ) =a g (x ) 、a f (x ) =b g (x ) (a ≠b ) 、a 2x +pa x +q =0；
对数方程的类型：log a x =b 、log a f (x ) =log a g (x ) 、log a 2x +p log a x +q =0。
【例题】
1. 已知log 189=a (a ≠2) ，18=5，求log 3645。
b
2x +1
2. 求函数f （x ）＝x 的反函数。（注意步骤）
2-1
3. 解不等式0.7
4. 已知函数f (x ) =()
5. 已知函数f (x ) =log a
x 2+x +1
>0.7-2x
13
2
+5x
。
x 2-2x +2
（x ∈R ），试讨论函数的单调性。
x +b
(a >0, a ≠1，b >0) ， x -b
（1） 求f (x ) 的定义域； （2） 判断f (x ) 的奇偶性； （3） 讨论f (x ) 的单调性； （4） 求f (x ) 的反函数。
6. 若函数f (x ) =
7. 解不等式x log a x
a
(a x -a -x )(0
a -2
>
x
。 a 2
92
8. 解下列方程： （1）x
lg x +2
=1000；
（2）2x ⋅5x =0.1⨯(102x -1) 3； （3）log 2(x +3) 2=4；
（4）log 2(x +1) 2+log 4(x +1) =5； （5）9
log 3x
-7log 49x -12=0；
2
（6）2(4x +4-x ) -7(2x +2-x ) +10=0 （7）6(4-9) =5⋅6
x
x
x
综合问题
9. 不等式log (3x +2) (x 2-3x +7)
（2） 求使A ⊂B 时，实数a 的取值范围。
10. 已知幂函数f (x ) =x
13-p 2+p +22
(p ∈Z ) 在（0，＋∞）上是增函数，且在定义域内为偶函数。
（1） 求p 的值，并写出f （x ）的解析式；
（2） 对于（1）中的函数（f x ），设g (x ) =-q f [f (x )]+(2q -1) f (x ) +1，问是否存在实数q （q
使得g （x ）在区间（－∞，－4）上是减函数，且在区间（－4，0）上是增函数，若存在，求
出来，若不存在，说明理由。
11. 设f (x ) =log 2
x +1
+log 2(x -1) +log 2(p -x ) 。 x -1
（1） 求f （x ）的定义域；
（2） f (x ) 是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出他们。
【此页备用】
12. 给定实数a ≠0, a ≠1，设函数y =
x -11
(x ∈R ，x ≠) ，证明： ax -1a
（1） 经过这个函数图像上任意两点的直线不平行于x 轴；
（2） 这个函数的图像关于直线y ＝x 对称。
13. 已知函数f (x ) =
12-x +log 3， x +1x
1
2
1。 2
（1） 判断f （x ）的单调性，并证明； （2） 解不等式f [x (x -)]>
2. 用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）
（A ）288个 （B ）240个 （C ）144个 （D ）126个
3. 在二项式(x -
2
15
) 的展开式中，含x 4的项的系数是( ) x
A ．-10 B ．10 C ．-5 D ．54. 甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至
多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（ ） A ．20种 B ．30种 C ．40种 D ．60种
5. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，
则不同排法的种数是
A. 360 B. 188 C. 216 D. 96
6. 从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为
(A)300 (B)216 (C) 180 (D)162
7. 从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选
法的种数位 [ ] A 85 B 56 C 49 D 28
9. 若(1-2x )
2009
=a 0+a 1x + +a 2009x 2009(x ∈R ) , 则
a a 1a 2
+2+ +2009的值为2222009
（A ）2 （B ）0 （C ）-1 (D) -2
10. 若C n x +C n x
1
22
n n
+ +C n x 能被7整除，则x , n 的值可能为
11.
(
的展开式中x 3y 3的系数为 。
4
2，3 ，9这几个数中任取4个数，使它们的和为奇数，则共有. 12. 以1，
13. 6个人坐在一排10个座位上, 问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2) 4个空位只有3个相邻的坐法有
多少种?(3) 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?
14. 一个口袋里有4个不同的红球，6个不同的白球（球的大小均一样）
（1）从中任取3个球，恰好为同色球的不同取法有多少种？
（2）取得一个红球记为2分，一个白球记为1分。从口袋中取出五个球，使总分不小于7分的不同取法共有多少种？
17. 已知a n
12n
=P n +P n + +P n
(n =1,2,3, )，当n ≥2时，求证：
⑴a n -1+1=⑵(1+
a n
； n
11111)(1+)(1+) (1+) ≤3- a 1a 2a 3a n n
（1+x）的展开式中，若第3项与第6项系数相等，且n 等于多少？18. （1）在
n
n
⎛
（2
） 的展开式奇数项的二项式系数之和为128，则求展开式中二项式系数最大项。 ⎝
19. (本小题满分12分) 某校高2010级数学培优学习小组有男生3人女生2人，这5人站成一排留影。
（1）求其中的甲乙两人必须相邻的站法有多少种? （2）求其中的甲乙两人不相邻的站法有多少种?
（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少种 ?
幂函数指对函数练习
一、 选择：
1. 函数f (x ) =log a x (a >0，a ≠1) ，已知f (25)=2，则f -1(log252) =________________。 2. 已知f (x ) =
1
+m 是奇函数，则f （－1）的值是_____________。 2x +1
3. f (x ) =1+log 2x (x ≥4) 的反函数的定义域为________________。
4. 函数y ＝（f x ）的图像与y ＝2x 的图像关于直线y ＝x 对称，则函数（f 4x －x 2）的递增区间是_________。 5. 已知点（a ，－1）在函数y ＝log 2x 的图像上，则函数y ＝x a 的定义域是__________________。 6. 定义一种运算“*”，对于自然数n 满足以下运算性质：（1）1*1＝1，（2）（n ＋1）*1=3（n*1），则n*1用含n 的代数式表示是_________________。
7. 定义在（－∞，＋∞）上的函数y ＝f （x ）在（－∞，2）上是增函数，且函数y ＝f （x ＋2）为偶函数，则f （－1），f （4），f （
11
）的大小关系是____________________________。 2
x
x ⎛1⎫-1
8. 设函数f (x ) 满足f () = ⎪，则函数f (x ) 的表达式是_______________________。
2⎝2⎭
9. 对于定义在R 上的函数f （x ），若实数x 0满足f （x 0）＝x 0，则称x 0是f （x ）的一个不动点。函数f （x ）＝6x －6x 的不动点是„„„„„（ ） A 、0或
2
5566
B、 C、或0 D、 6655
10. 函数f （x ）（x ∈R ），满足f （x ＋1）＝f （x －1）且x ∈[－1，1]时，f （x ）＝x 2，则y ＝f （x ）与y
＝log 5x 的图像的交点个数为„„„„„„„（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 11. 已知直线x ＝1是函数y ＝f （2x ）图像的一条对称轴，那么函数y ＝f （3－2x ）的图像关于„（ ） A 、直线x ＝
1133
对称 B 、直线x ＝-对称 C 、直线x ＝对称 D 、直线x ＝－对称 2222
12. 已知集合M ＝{(x，y) | y=x－a}，N ＝{(x，y) | y=loga x} ，如果M N 中含有两个元素，则实数a
的取值范围是______________。
2
13. 设函数f （x ）＝lg （x ＋ax －a －1），给出下述命题：①f （x ）有最小值；②当a ＝0时，f （x ）的值域为R ；③当a>0时，f （x ）在区间[2,+ ∞）上有反函数；④若f （x ）在区间[2,+ ∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是a ≥4。其中正确的命题序号是_______________________。
14. 已知函数f （x ）的图像与函数g （x ）＝2x 的图像关于直线y ＝x 对称，令h （x ）＝f （1－| x |），则关于函数h （x ）有下列命题：：① h（x ）有最小值为0；② h（x ）的图像关于原点对称；③h （x ）的图像关于y 轴对称；④（h x ）在区间（－1, 0）上单调递增。其中正确的命题序号是_________________。 15. 若关于x 的方程a 2x ＋（1＋lgm ）a x ＋1＝0（a>0，且a ≠1）有解，则m 的取值范围是„（ ）
A 、m ≥10 B 、0
－
-1
16. *已知x 1是方程x ＋2x ＝4的解，x 2是方程x ＋log 2x ＝4的解，则x 1＋x 2的值所在区间是„„„（ ）
A 、（0，1） B 、（1，3） C 、（3，5） D 、（5，＋∞） 三、解答题 17.
设函数y =
＋
A ，关于x 的不等式lg （2ax ）
18. 设a > 0，a ≠1为常数，函数f （x ）＝log a
x -5
， x +5
（1） 讨论函数f （x ）在区间（－∞，－5）上的单调性，并给予证明； （2） 设g （x ）＝1＋log a （x －3），如果方程f （x ）＝g （x ）有实数解，求a 的取值范围。
19. 已知函数f （x ）＝log 1 [x2－2(2a－1)x+8] （a ∈R ）
2
（1） 若函数f （x ）在[a，＋∞）上为减函数，求a 的取值范围；
（2） 若关于x 的方程log 1 [x2－2(2a－1)x+8]＝－1＋log 1（x ＋4）有且只有一解，求a 的值范围。
2
2
20. 已知函数f （x ）＝2x －1的反函数为f （1） 若f
-1
-1
（x ），g （x ）＝log 4（3x ＋1）。
（x ）≤g （x ），求x 的取值范围D ；
（2） 设函数H （x ）＝g （x ）－
1-1
f （x ），当x ∈D 时，求函数H （x ）的值域。 2
21. 若函数f （x ）是定义在（－∞，0）（0，＋∞）上的奇函数，且在（－∞，0）上是增函数，当f （1）＝0时，解不等式f [ loga (1－x 2) ＋1] > 0 ( 其中a > 1 ).
22. 已知关于z 的方程（lgz ）2－lgz 2＋3x ＝0（x ≠0）有两实根α、β，
y ＝log α
，并求定义域和值域。 β+log βα(α、β>0且α, β≠1) ，请把y 表示城函数y ＝f （x ）
23. 设a 为常数，试讨论方程lg （x －1）＋lg （3－x ）＝lg （a －x ）的解的个数。
24. （1）已知关于x 的方程2a
2x -2
-7a x -1+3=0有一个解是x ＝2，求a 的值和方程其余的解。
x
-x
（2）*设a > 0，a ≠1，解方程a +a =2a 。
25. 已知F （x ）＝f （x ）－g （x ），其中f （x ）＝2log a （4－x ）（a>0且a ≠1），并且当且仅当点（x 0，y 0）在f （x ）的图象上时，点（-
11
x 0，y 0）在y ＝g （x ）的图像上。 52
（1） 求y ＝g （x ）的解析式；
（2） 解关于x 的不等式F （x ）≥0。
a x -1
(a >0且a ≠1) ， 26. 已知f (x ) =x
a +1
（1） 求f (x ) 的反函数g (x ) ，并指出g (x ) 的单调性； （2） 用函数单调性的定义，讨论g (x ) 的单调性；
（-1,1) 时，F (x ) =g (x ) ，求当x ∈（1,3) （3） 若函数y =F (x ) 是以2为周期的奇函数，当x ∈
F (x ) 的表达式。
27. *设函数f (x ) =x +ax +lg |a +1|(a ≠-1, a ∈R ) ，
（1） 求证：f (x ) 能表示成一个奇函数g (x ) 和一个偶函数h (x ) 的和，并求出g (x ) 和h (x ) 的表达
式；
（2） 若f (x ) 和g (x ) 在区间[(a +1) ，a ]上均是减函数，求a 的取值范围。
28. 有一个受到污染的湖泊，其湖水容积为V 立方米，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为r 立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能立即混合，用g （t ）表示某一时刻t 每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为在时刻t 时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以
2
16
2
p
g (0) 每天p 克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g （t ）＝+[r
其中g （0）是湖水污染的初始质量分数。
（1） 当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数； （2） 求证：g （0）
p -]e r
-
r t V
（p ≥0） ，
p
时，湖泊的污染程度将越来越严重； r
（3） 如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么经过多少天才能使湖水污染水平下
降到开始时（即污染停时）污染水平的5％？
思维方法 ——幂函数指对函数
相关知识：根式定义、幂的概念，积的幂、幂的积、幂的乘方；幂函数的图像（9种）；
对数概念，指对互化、对数运算性质（积、商、幂）和换底公式； 指对数数函数的图像和性质； 反函数的定义，原函数与反函数图像的对称性，原函数与反函数交点的分布，与但调性关系。
指数方程的四种类型：a
f (x )
=b 、a f (x ) =a g (x ) 、a f (x ) =b g (x ) (a ≠b ) 、a 2x +pa x +q =0；
对数方程的类型：log a x =b 、log a f (x ) =log a g (x ) 、log a 2x +p log a x +q =0。
【例题】
1. 已知log 189=a (a ≠2) ，18=5，求log 3645。
b
2x +1
2. 求函数f （x ）＝x 的反函数。（注意步骤）
2-1
3. 解不等式0.7
4. 已知函数f (x ) =()
5. 已知函数f (x ) =log a
x 2+x +1
>0.7-2x
13
2
+5x
。
x 2-2x +2
（x ∈R ），试讨论函数的单调性。
x +b
(a >0, a ≠1，b >0) ， x -b
（1） 求f (x ) 的定义域； （2） 判断f (x ) 的奇偶性； （3） 讨论f (x ) 的单调性； （4） 求f (x ) 的反函数。
6. 若函数f (x ) =
7. 解不等式x log a x
a
(a x -a -x )(0
a -2
>
x
。 a 2
92
8. 解下列方程： （1）x
lg x +2
=1000；
（2）2x ⋅5x =0.1⨯(102x -1) 3； （3）log 2(x +3) 2=4；
（4）log 2(x +1) 2+log 4(x +1) =5； （5）9
log 3x
-7log 49x -12=0；
2
（6）2(4x +4-x ) -7(2x +2-x ) +10=0 （7）6(4-9) =5⋅6
x
x
x
综合问题
9. 不等式log (3x +2) (x 2-3x +7)
（2） 求使A ⊂B 时，实数a 的取值范围。
10. 已知幂函数f (x ) =x
13-p 2+p +22
(p ∈Z ) 在（0，＋∞）上是增函数，且在定义域内为偶函数。
（1） 求p 的值，并写出f （x ）的解析式；
（2） 对于（1）中的函数（f x ），设g (x ) =-q f [f (x )]+(2q -1) f (x ) +1，问是否存在实数q （q
使得g （x ）在区间（－∞，－4）上是减函数，且在区间（－4，0）上是增函数，若存在，求
出来，若不存在，说明理由。
11. 设f (x ) =log 2
x +1
+log 2(x -1) +log 2(p -x ) 。 x -1
（1） 求f （x ）的定义域；
（2） f (x ) 是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出他们。
【此页备用】
12. 给定实数a ≠0, a ≠1，设函数y =
x -11
(x ∈R ，x ≠) ，证明： ax -1a
（1） 经过这个函数图像上任意两点的直线不平行于x 轴；
（2） 这个函数的图像关于直线y ＝x 对称。
13. 已知函数f (x ) =
12-x +log 3， x +1x
1
2
1。 2
（1） 判断f （x ）的单调性，并证明； （2） 解不等式f [x (x -)]>
2. 用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）
（A ）288个 （B ）240个 （C ）144个 （D ）126个
3. 在二项式(x -
2
15
) 的展开式中，含x 4的项的系数是( ) x
A ．-10 B ．10 C ．-5 D ．54. 甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至
多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（ ） A ．20种 B ．30种 C ．40种 D ．60种
5. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，
则不同排法的种数是
A. 360 B. 188 C. 216 D. 96
6. 从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为
(A)300 (B)216 (C) 180 (D)162
7. 从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选
法的种数位 [ ] A 85 B 56 C 49 D 28
9. 若(1-2x )
2009
=a 0+a 1x + +a 2009x 2009(x ∈R ) , 则
a a 1a 2
+2+ +2009的值为2222009
（A ）2 （B ）0 （C ）-1 (D) -2
10. 若C n x +C n x
1
22
n n
+ +C n x 能被7整除，则x , n 的值可能为
11.
(
的展开式中x 3y 3的系数为 。
4
2，3 ，9这几个数中任取4个数，使它们的和为奇数，则共有. 12. 以1，
13. 6个人坐在一排10个座位上, 问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2) 4个空位只有3个相邻的坐法有
多少种?(3) 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?
14. 一个口袋里有4个不同的红球，6个不同的白球（球的大小均一样）
（1）从中任取3个球，恰好为同色球的不同取法有多少种？
（2）取得一个红球记为2分，一个白球记为1分。从口袋中取出五个球，使总分不小于7分的不同取法共有多少种？
17. 已知a n
12n
=P n +P n + +P n
(n =1,2,3, )，当n ≥2时，求证：
⑴a n -1+1=⑵(1+
a n
； n
11111)(1+)(1+) (1+) ≤3- a 1a 2a 3a n n
（1+x）的展开式中，若第3项与第6项系数相等，且n 等于多少？18. （1）在
n
n
⎛
（2
） 的展开式奇数项的二项式系数之和为128，则求展开式中二项式系数最大项。 ⎝
19. (本小题满分12分) 某校高2010级数学培优学习小组有男生3人女生2人，这5人站成一排留影。
（1）求其中的甲乙两人必须相邻的站法有多少种? （2）求其中的甲乙两人不相邻的站法有多少种?
（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少种 ?
幂函数指对函数练习
一、 选择：
1. 函数f (x ) =log a x (a >0，a ≠1) ，已知f (25)=2，则f -1(log252) =________________。 2. 已知f (x ) =
1
+m 是奇函数，则f （－1）的值是_____________。 2x +1
3. f (x ) =1+log 2x (x ≥4) 的反函数的定义域为________________。
4. 函数y ＝（f x ）的图像与y ＝2x 的图像关于直线y ＝x 对称，则函数（f 4x －x 2）的递增区间是_________。 5. 已知点（a ，－1）在函数y ＝log 2x 的图像上，则函数y ＝x a 的定义域是__________________。 6. 定义一种运算“*”，对于自然数n 满足以下运算性质：（1）1*1＝1，（2）（n ＋1）*1=3（n*1），则n*1用含n 的代数式表示是_________________。
7. 定义在（－∞，＋∞）上的函数y ＝f （x ）在（－∞，2）上是增函数，且函数y ＝f （x ＋2）为偶函数，则f （－1），f （4），f （
11
）的大小关系是____________________________。 2
x
x ⎛1⎫-1
8. 设函数f (x ) 满足f () = ⎪，则函数f (x ) 的表达式是_______________________。
2⎝2⎭
9. 对于定义在R 上的函数f （x ），若实数x 0满足f （x 0）＝x 0，则称x 0是f （x ）的一个不动点。函数f （x ）＝6x －6x 的不动点是„„„„„（ ） A 、0或
2
5566
B、 C、或0 D、 6655
10. 函数f （x ）（x ∈R ），满足f （x ＋1）＝f （x －1）且x ∈[－1，1]时，f （x ）＝x 2，则y ＝f （x ）与y
＝log 5x 的图像的交点个数为„„„„„„„（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 11. 已知直线x ＝1是函数y ＝f （2x ）图像的一条对称轴，那么函数y ＝f （3－2x ）的图像关于„（ ） A 、直线x ＝
1133
对称 B 、直线x ＝-对称 C 、直线x ＝对称 D 、直线x ＝－对称 2222
12. 已知集合M ＝{(x，y) | y=x－a}，N ＝{(x，y) | y=loga x} ，如果M N 中含有两个元素，则实数a
的取值范围是______________。
2
13. 设函数f （x ）＝lg （x ＋ax －a －1），给出下述命题：①f （x ）有最小值；②当a ＝0时，f （x ）的值域为R ；③当a>0时，f （x ）在区间[2,+ ∞）上有反函数；④若f （x ）在区间[2,+ ∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是a ≥4。其中正确的命题序号是_______________________。
14. 已知函数f （x ）的图像与函数g （x ）＝2x 的图像关于直线y ＝x 对称，令h （x ）＝f （1－| x |），则关于函数h （x ）有下列命题：：① h（x ）有最小值为0；② h（x ）的图像关于原点对称；③h （x ）的图像关于y 轴对称；④（h x ）在区间（－1, 0）上单调递增。其中正确的命题序号是_________________。 15. 若关于x 的方程a 2x ＋（1＋lgm ）a x ＋1＝0（a>0，且a ≠1）有解，则m 的取值范围是„（ ）
A 、m ≥10 B 、0
－
-1
16. *已知x 1是方程x ＋2x ＝4的解，x 2是方程x ＋log 2x ＝4的解，则x 1＋x 2的值所在区间是„„„（ ）
A 、（0，1） B 、（1，3） C 、（3，5） D 、（5，＋∞） 三、解答题 17.
设函数y =
＋
A ，关于x 的不等式lg （2ax ）
18. 设a > 0，a ≠1为常数，函数f （x ）＝log a
x -5
， x +5
（1） 讨论函数f （x ）在区间（－∞，－5）上的单调性，并给予证明； （2） 设g （x ）＝1＋log a （x －3），如果方程f （x ）＝g （x ）有实数解，求a 的取值范围。
19. 已知函数f （x ）＝log 1 [x2－2(2a－1)x+8] （a ∈R ）
2
（1） 若函数f （x ）在[a，＋∞）上为减函数，求a 的取值范围；
（2） 若关于x 的方程log 1 [x2－2(2a－1)x+8]＝－1＋log 1（x ＋4）有且只有一解，求a 的值范围。
2
2
20. 已知函数f （x ）＝2x －1的反函数为f （1） 若f
-1
-1
（x ），g （x ）＝log 4（3x ＋1）。
（x ）≤g （x ），求x 的取值范围D ；
（2） 设函数H （x ）＝g （x ）－
1-1
f （x ），当x ∈D 时，求函数H （x ）的值域。 2
21. 若函数f （x ）是定义在（－∞，0）（0，＋∞）上的奇函数，且在（－∞，0）上是增函数，当f （1）＝0时，解不等式f [ loga (1－x 2) ＋1] > 0 ( 其中a > 1 ).
22. 已知关于z 的方程（lgz ）2－lgz 2＋3x ＝0（x ≠0）有两实根α、β，
y ＝log α
，并求定义域和值域。 β+log βα(α、β>0且α, β≠1) ，请把y 表示城函数y ＝f （x ）
23. 设a 为常数，试讨论方程lg （x －1）＋lg （3－x ）＝lg （a －x ）的解的个数。
24. （1）已知关于x 的方程2a
2x -2
-7a x -1+3=0有一个解是x ＝2，求a 的值和方程其余的解。
x
-x
（2）*设a > 0，a ≠1，解方程a +a =2a 。
25. 已知F （x ）＝f （x ）－g （x ），其中f （x ）＝2log a （4－x ）（a>0且a ≠1），并且当且仅当点（x 0，y 0）在f （x ）的图象上时，点（-
11
x 0，y 0）在y ＝g （x ）的图像上。 52
（1） 求y ＝g （x ）的解析式；
（2） 解关于x 的不等式F （x ）≥0。
a x -1
(a >0且a ≠1) ， 26. 已知f (x ) =x
a +1
（1） 求f (x ) 的反函数g (x ) ，并指出g (x ) 的单调性； （2） 用函数单调性的定义，讨论g (x ) 的单调性；
（-1,1) 时，F (x ) =g (x ) ，求当x ∈（1,3) （3） 若函数y =F (x ) 是以2为周期的奇函数，当x ∈
F (x ) 的表达式。
27. *设函数f (x ) =x +ax +lg |a +1|(a ≠-1, a ∈R ) ，
（1） 求证：f (x ) 能表示成一个奇函数g (x ) 和一个偶函数h (x ) 的和，并求出g (x ) 和h (x ) 的表达
式；
（2） 若f (x ) 和g (x ) 在区间[(a +1) ，a ]上均是减函数，求a 的取值范围。
28. 有一个受到污染的湖泊，其湖水容积为V 立方米，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为r 立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能立即混合，用g （t ）表示某一时刻t 每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为在时刻t 时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以
2
16
2
p
g (0) 每天p 克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g （t ）＝+[r
其中g （0）是湖水污染的初始质量分数。
（1） 当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数； （2） 求证：g （0）
p -]e r
-
r t V
（p ≥0） ，
p
时，湖泊的污染程度将越来越严重； r
（3） 如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么经过多少天才能使湖水污染水平下
降到开始时（即污染停时）污染水平的5％？