高考数学专题导学五(空间几何体)
一、思考与感悟:1.若某几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的直观图可以是( ) 。2. 一个正三棱柱的侧棱长和
(1题) 底面边长相等,
体积为它 (2题) 的三视图中的
俯视图如图所 正(主) 视图 侧(左) 视图 俯视图 A B C D 示, 若侧(左) 视图是一个矩形, 则这个矩形的面积是 。
3. 已知某一几何体的正(主) 视图与侧(左) 视图如图所示, 则下列图形中, 可以是该几何体的俯视图的图形有( )
A. ①②③⑤,B. ②③④⑤,C. ①②④⑤,D. ①②③④。4. 设球的体积为V 1, 它的内接正方体的体积为V 2, 下列说法中最合适的是( )A. V 1比V 2大约多一半,B. V 1比V 2大约多两倍半,C. V 1比V 2大约多一倍,D. V 1比V 2大约多一倍半。 (3题)
5. 某四棱锥的三视图如图所示, 该四棱锥的表面积是 。6. 已知球的直径SC =4, A , B 是该球球面上的两点, AB =2, ∠ASC =∠BSC =45︒, 则棱锥S -ABC 的体积为
7. 图2中的实线围成的部 (5题)
分是长方体(图1) 的平
面展开图, 其中四边形
ABCD 是边长为1的正方
形, 若向虚线围成的矩形内任
意抛掷一质点, 它落在长方体的平面展形图内的概率是
8. 如图, 正方体ABCD -A 1BC 11D 1中,
点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点, 则
三棱锥P -ABC 的正(主) 视图与侧
(左) 视图的面积的比值为 。
9. 一个几何体的三视图如图所示, 已知
正(主) 视图是底边长为1的平行四边 (图1) (6题) 1, 则此长方体的体积是 。 4(图2)
(8题) (7题) 形, 侧(左)
宽为1的矩形, 俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形, 则该几何体的体积V = 。
10. 一个多面 (9题
) (10题) 体的直观图及
三视图如图
所示(其中 俯视图 M , N 分 正(主) 视图 侧(左) 视图
别是AF , BC 的中点),(1)求证:MN ∥平面CDEF , 正(主) 视图 侧(左) 视图 俯视图
(2)求二面角A -CF -B 的余弦值,(3)求多面体A -CDEF 的体积。
11. 若∆ABC 的直观图∆A 'B 'C '是边长为a 的正 (11题) 三角形, 则S ∆ABC =。12. 某高速公路收 (12题)
费站入口处的安全标识墩如右图(1)所示, 墩的上
半部分是正四棱锥P -EFGH , 下半部分是长方
体ABCD -EFGH , 图(2)(3)分别是该标识墩
的正视图和俯视图,(1)请画出该安全标识墩的侧视图,(2)求该安全标识墩
的体积,(3)求证:直线BD ⊥面PEG 。13. 如图, E , F 分别是正方体的面ADD 1A 1, 面BCC 1B 1的中心, 四边形BFD 1E 在该正方体的面上的正投影可能是 (把
可能的图的序号都填上) 。14. 一个正四棱柱的
各个顶点在一个直径为2cm 的球面上, 若正四 (15题)
(13题) 棱柱的底面边长为1cm , 则该棱柱的表面积为 。15. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图, 则图中三角形(正 四面体的截面) 的面积为 。16. 过棱锥一条棱的两个三等分点, 分别作平行于底面的平面, 这两个平面把棱锥分成三部分, 则这三部分的体积之比(自上而下) 为( ) A.1:2:3, B.1:7:19, C.1:5:21, D.1:9:27。
2⋅a ⋅a =, ∴a 3=8, ∴a =2, 由俯视4
图知, 该正三棱柱如图ABC -A 1B 1C 1, 其侧(左) 视图即为矩形CDD 1C 1,
2=3. D , 二、参考答案:1.B 。
2. 设该正三棱柱侧棱长和底面边长为a ,
则
根据给出的正(主) 视图和侧(左) 视图可知, 该组合体由上, 中, 下三个几何体组合而成, 由于正(主) 视图和
侧(左) 视图中三层均为矩形, 所以这些几何体可能是一些长方体, 底面为直角三角形的直三棱柱以及圆柱
组合而成的, 而第⑤个俯视图中, 有两处与已知不符, 一是上层几何体的俯视图不正确, 由于上层几何体的
正(主) 视图与侧(左) 视图为两个相同的矩形, 所以其俯视图中矩形的两边长应该相等, 二是下层几何体的 (2题) 俯视图不正确, 如果下层几何体的底面为俯视图所示的三角形, 则在正(主) 视图中底层的矩形应有一条中位线, 这与已知不符合, 所以⑤不可能。4. D , 设球的内接正方体的边长为a , 球的半径为R ,
∴2R =,
∴R =, ∴V 1=
43433πR =π⋅a =a , V 2=a 3,
∴V 1=V 2≈2.7V 2, ∴V 1-V 2≈1.7V 2。
5. 16+由三视图可知, 33822
1该四棱锥为正四棱锥, S 底
=4⨯4=16, S 侧=4⨯⨯4⨯=
∴S 表面积=S 底+S 侧=16+
6. , 23
∠ASC =∠BSC =45︒, OS =OB =OA =OC =2, ∴∆SOB , ∆SOA 为全等的等腰直角三角形, SC ⊥OB , SC ⊥OA , 又OA OB =O , ∴SC ⊥平面AOB , ∵AB =OB =OA =2, ∴∆AOB 为等边三角形, ∴V S -ABC =V S -AOB +V C -AOB =
117. 3, 设长方体的高为h , 则图2中虚线围成的矩形长为2+2h , 宽为1+2h , 面积为⋅S ∆AOB ⋅SC =4=332+4h 1(2+2h )(1+2h ) , 展开图的面积为2+4h , 由几何概型的概率公式知=, 得h =3, 所以长方体的体积 (2+2h )(1+2h ) 4
是V =1⨯3=3。8. 1, 依题意得三棱锥P -ABC 的正(主) 视图与侧(左) 视图分别是一个三角形, 且这两个三角形的底边 长都等于正方体的棱长, 底边上的高也都相等, 因此三棱锥P -ABC 的正视图与侧视图的面积之比等于1。
由三 视图可知, 该几何体是一个平行六面体(如图), 其底面是边长为1的正方形,
∴V =。
10. 解:由三视图知, 该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE -BCF , AB =BC =BF =
4,
,(1)证明:连接BE , 易知BE 通过点M , 连接CE , 则EM =BM , DE =CF =∠CBF =2(9题) CN =BN , ∴MN ∥CE , 又CE ⊂平面CDEF , MN ⊄平面CDEF , ∴MN ∥平面CDEF ,
(2)作BQ ⊥CF 于Q , 连接AQ , ∵平面BFC ⊥平面ABFE , 平面ABFE 平面BCF =BF ,
AB ⊂面ABFE , ∵AB ⊥BF , ∴AB ⊥面BCF , 又CF ⊂平面BCF , ∴AB ⊥CF , 又BQ ⊥CF , AB BQ =B , ∴CF ⊥面ABQ , ∵AQ ⊂面ABQ , ∴AQ ⊥CF , ∴∠AQB 为所求二 (10题) (10题) 面角的平面角, 在Rt ∆ABQ 中,
∵AB =4, BQ =,
∴AQ =则
∴所求二面角的余弦值为(3)多面体A -CDEF 的 33
1642体积V =2V A -CEF =2V C -ABF =2⨯⋅S ∆ABF ⋅BC =。
11. , 建立如图所示的xoy 坐标系, ∆ABC 的顶点C 在y 332
轴上, AB 边在x 轴上, OC 为∆ABC 的高, 把y 轴绕原点顺时针旋转45︒得y '轴, 则点C 变为点C ', 且OC =2OC ', A , B 点即为A ', B '点, AB =A 'B ', ∵A 'B '=A 'C '=a , 在∆OA 'C '中, (12题) (11题) OC 'A 'C 'sin 120︒=a =a , 由正弦定理得,
∴OC '=''sin ∠OA C sin 45︒sin 45︒2cos ∠AQB =
∴原∆
ABC 高OC =,
∴S ∆ABC =12⨯a =。 22
1⨯402⨯60+402⨯20 3
=32000+32000=64000(cm 3), (3)证明:如图, 连接HF , EG , 由题设知四边形ABCD 和四边形EFGH 均为正方形, ∴FH ⊥EG , ∵ABCD -EFGH 为长方体, ∴BD ∥FH , 设点O 是正方形EFGH 的中心, 连接PO , ∵P -EFGH 是正四棱锥, ∴PO ⊥面EFGH , 而FH ⊂平面EFGH , ∴PO ⊥FH , ∵FH ⊥PO , FH ⊥EG , PO EG =O , PO ⊂面PEG , EG ⊂面PEG , ∴FH ⊥面PEG , ∵BD ∥FH , ∴BD ⊥面PEG 。 (15题)
13. ②③。
14. 2+。
如图, ∆ABE 为题中的三角形,
∵AB =2, BE =
12. 解:(1)该安全标识墩侧(左) 视图如图,(2)该安全标识墩的体积V =V P -EFGH +V ABCD -EFGH =
BF =AF =
∴S ∆ABE =2⨯BE ⨯AF =2=16. B 。
高考数学专题导学五(空间几何体)
一、思考与感悟:1.若某几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的直观图可以是( ) 。2. 一个正三棱柱的侧棱长和
(1题) 底面边长相等,
体积为它 (2题) 的三视图中的
俯视图如图所 正(主) 视图 侧(左) 视图 俯视图 A B C D 示, 若侧(左) 视图是一个矩形, 则这个矩形的面积是 。
3. 已知某一几何体的正(主) 视图与侧(左) 视图如图所示, 则下列图形中, 可以是该几何体的俯视图的图形有( )
A. ①②③⑤,B. ②③④⑤,C. ①②④⑤,D. ①②③④。4. 设球的体积为V 1, 它的内接正方体的体积为V 2, 下列说法中最合适的是( )A. V 1比V 2大约多一半,B. V 1比V 2大约多两倍半,C. V 1比V 2大约多一倍,D. V 1比V 2大约多一倍半。 (3题)
5. 某四棱锥的三视图如图所示, 该四棱锥的表面积是 。6. 已知球的直径SC =4, A , B 是该球球面上的两点, AB =2, ∠ASC =∠BSC =45︒, 则棱锥S -ABC 的体积为
7. 图2中的实线围成的部 (5题)
分是长方体(图1) 的平
面展开图, 其中四边形
ABCD 是边长为1的正方
形, 若向虚线围成的矩形内任
意抛掷一质点, 它落在长方体的平面展形图内的概率是
8. 如图, 正方体ABCD -A 1BC 11D 1中,
点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点, 则
三棱锥P -ABC 的正(主) 视图与侧
(左) 视图的面积的比值为 。
9. 一个几何体的三视图如图所示, 已知
正(主) 视图是底边长为1的平行四边 (图1) (6题) 1, 则此长方体的体积是 。 4(图2)
(8题) (7题) 形, 侧(左)
宽为1的矩形, 俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形, 则该几何体的体积V = 。
10. 一个多面 (9题
) (10题) 体的直观图及
三视图如图
所示(其中 俯视图 M , N 分 正(主) 视图 侧(左) 视图
别是AF , BC 的中点),(1)求证:MN ∥平面CDEF , 正(主) 视图 侧(左) 视图 俯视图
(2)求二面角A -CF -B 的余弦值,(3)求多面体A -CDEF 的体积。
11. 若∆ABC 的直观图∆A 'B 'C '是边长为a 的正 (11题) 三角形, 则S ∆ABC =。12. 某高速公路收 (12题)
费站入口处的安全标识墩如右图(1)所示, 墩的上
半部分是正四棱锥P -EFGH , 下半部分是长方
体ABCD -EFGH , 图(2)(3)分别是该标识墩
的正视图和俯视图,(1)请画出该安全标识墩的侧视图,(2)求该安全标识墩
的体积,(3)求证:直线BD ⊥面PEG 。13. 如图, E , F 分别是正方体的面ADD 1A 1, 面BCC 1B 1的中心, 四边形BFD 1E 在该正方体的面上的正投影可能是 (把
可能的图的序号都填上) 。14. 一个正四棱柱的
各个顶点在一个直径为2cm 的球面上, 若正四 (15题)
(13题) 棱柱的底面边长为1cm , 则该棱柱的表面积为 。15. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图, 则图中三角形(正 四面体的截面) 的面积为 。16. 过棱锥一条棱的两个三等分点, 分别作平行于底面的平面, 这两个平面把棱锥分成三部分, 则这三部分的体积之比(自上而下) 为( ) A.1:2:3, B.1:7:19, C.1:5:21, D.1:9:27。
2⋅a ⋅a =, ∴a 3=8, ∴a =2, 由俯视4
图知, 该正三棱柱如图ABC -A 1B 1C 1, 其侧(左) 视图即为矩形CDD 1C 1,
2=3. D , 二、参考答案:1.B 。
2. 设该正三棱柱侧棱长和底面边长为a ,
则
根据给出的正(主) 视图和侧(左) 视图可知, 该组合体由上, 中, 下三个几何体组合而成, 由于正(主) 视图和
侧(左) 视图中三层均为矩形, 所以这些几何体可能是一些长方体, 底面为直角三角形的直三棱柱以及圆柱
组合而成的, 而第⑤个俯视图中, 有两处与已知不符, 一是上层几何体的俯视图不正确, 由于上层几何体的
正(主) 视图与侧(左) 视图为两个相同的矩形, 所以其俯视图中矩形的两边长应该相等, 二是下层几何体的 (2题) 俯视图不正确, 如果下层几何体的底面为俯视图所示的三角形, 则在正(主) 视图中底层的矩形应有一条中位线, 这与已知不符合, 所以⑤不可能。4. D , 设球的内接正方体的边长为a , 球的半径为R ,
∴2R =,
∴R =, ∴V 1=
43433πR =π⋅a =a , V 2=a 3,
∴V 1=V 2≈2.7V 2, ∴V 1-V 2≈1.7V 2。
5. 16+由三视图可知, 33822
1该四棱锥为正四棱锥, S 底
=4⨯4=16, S 侧=4⨯⨯4⨯=
∴S 表面积=S 底+S 侧=16+
6. , 23
∠ASC =∠BSC =45︒, OS =OB =OA =OC =2, ∴∆SOB , ∆SOA 为全等的等腰直角三角形, SC ⊥OB , SC ⊥OA , 又OA OB =O , ∴SC ⊥平面AOB , ∵AB =OB =OA =2, ∴∆AOB 为等边三角形, ∴V S -ABC =V S -AOB +V C -AOB =
117. 3, 设长方体的高为h , 则图2中虚线围成的矩形长为2+2h , 宽为1+2h , 面积为⋅S ∆AOB ⋅SC =4=332+4h 1(2+2h )(1+2h ) , 展开图的面积为2+4h , 由几何概型的概率公式知=, 得h =3, 所以长方体的体积 (2+2h )(1+2h ) 4
是V =1⨯3=3。8. 1, 依题意得三棱锥P -ABC 的正(主) 视图与侧(左) 视图分别是一个三角形, 且这两个三角形的底边 长都等于正方体的棱长, 底边上的高也都相等, 因此三棱锥P -ABC 的正视图与侧视图的面积之比等于1。
由三 视图可知, 该几何体是一个平行六面体(如图), 其底面是边长为1的正方形,
∴V =。
10. 解:由三视图知, 该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE -BCF , AB =BC =BF =
4,
,(1)证明:连接BE , 易知BE 通过点M , 连接CE , 则EM =BM , DE =CF =∠CBF =2(9题) CN =BN , ∴MN ∥CE , 又CE ⊂平面CDEF , MN ⊄平面CDEF , ∴MN ∥平面CDEF ,
(2)作BQ ⊥CF 于Q , 连接AQ , ∵平面BFC ⊥平面ABFE , 平面ABFE 平面BCF =BF ,
AB ⊂面ABFE , ∵AB ⊥BF , ∴AB ⊥面BCF , 又CF ⊂平面BCF , ∴AB ⊥CF , 又BQ ⊥CF , AB BQ =B , ∴CF ⊥面ABQ , ∵AQ ⊂面ABQ , ∴AQ ⊥CF , ∴∠AQB 为所求二 (10题) (10题) 面角的平面角, 在Rt ∆ABQ 中,
∵AB =4, BQ =,
∴AQ =则
∴所求二面角的余弦值为(3)多面体A -CDEF 的 33
1642体积V =2V A -CEF =2V C -ABF =2⨯⋅S ∆ABF ⋅BC =。
11. , 建立如图所示的xoy 坐标系, ∆ABC 的顶点C 在y 332
轴上, AB 边在x 轴上, OC 为∆ABC 的高, 把y 轴绕原点顺时针旋转45︒得y '轴, 则点C 变为点C ', 且OC =2OC ', A , B 点即为A ', B '点, AB =A 'B ', ∵A 'B '=A 'C '=a , 在∆OA 'C '中, (12题) (11题) OC 'A 'C 'sin 120︒=a =a , 由正弦定理得,
∴OC '=''sin ∠OA C sin 45︒sin 45︒2cos ∠AQB =
∴原∆
ABC 高OC =,
∴S ∆ABC =12⨯a =。 22
1⨯402⨯60+402⨯20 3
=32000+32000=64000(cm 3), (3)证明:如图, 连接HF , EG , 由题设知四边形ABCD 和四边形EFGH 均为正方形, ∴FH ⊥EG , ∵ABCD -EFGH 为长方体, ∴BD ∥FH , 设点O 是正方形EFGH 的中心, 连接PO , ∵P -EFGH 是正四棱锥, ∴PO ⊥面EFGH , 而FH ⊂平面EFGH , ∴PO ⊥FH , ∵FH ⊥PO , FH ⊥EG , PO EG =O , PO ⊂面PEG , EG ⊂面PEG , ∴FH ⊥面PEG , ∵BD ∥FH , ∴BD ⊥面PEG 。 (15题)
13. ②③。
14. 2+。
如图, ∆ABE 为题中的三角形,
∵AB =2, BE =
12. 解:(1)该安全标识墩侧(左) 视图如图,(2)该安全标识墩的体积V =V P -EFGH +V ABCD -EFGH =
BF =AF =
∴S ∆ABE =2⨯BE ⨯AF =2=16. B 。