《解方程》典型例题
例1 解方程：-10x +2=-9x +8
例2 解方程：2(x -3) =3(x +2)
例3 解方程：1-
例4 解方程：
例5 解方程：
例6 下面解题过程正确吗？如果正确，请指出每一步的依据；如果不正确，请指出错在哪里，并给出正确的解答．
（1）解方程x x =1+ 34
1x +32-3x =- 248x -22x =-7 217x +4x +3x -2-(x -5) =- 5360. 4x +2. 10. 5-0. 2x 3-= 0. 50. 035两边都乘以12，得 4x -3x =1 ∴x =1 （2）解方程2
去分母，得 20=2x +6-2-3x
移项，得 3x -2x =6-2-20
合并同类项，得 x =-16
例7 如果一个正整数的2倍加上18等于这个正整数与3之和的n 倍，试求正整数n 的值．
例8 解方程x -4+x -3=2
例9 解方程x -2+x -3=1.
参考答案
例1 分析 这个方程可以先移项，再合并同类项．
解 移项，得-10x +9x =8-2.
合并同类项，得-x =6
把系数化为1，得x =-6
说明：初学解方程者应该进行检验，就是把求得的方程的解代入原方程中，看方程的左右两边是否相等，如果相等则是方程的解，否则就不是方程的解．则说明我们的解题过程有误．当熟练之后可以不进行检验，以后我们会知道一元二次方程不会产生增根．
例2 分析 这个方程含有括号，我们应先去掉括号，然后再进行合并同类项等．
解 去括号，得2x -6=3x +6.
移项，得2x -3x =6+6
合并同类项，得-x =12
把系数化为1，得x =-12.
说明：在去括号时要注意符号的变化，同时还应该注意要用括号前的数去乘括号内的每一项，避免出现漏乘的现象．
例3 分析 该方程中含有分母，一般我们是要先去掉分母，然后再按其他步骤进行．
解 去分母，得21-(x -2) =3⨯(2x ) -7⨯21
去括号，得21-x +2=6x -147
移项，得-x -6x =-147-21-2
合并同类项，得-7x =-170
2把系数化为1，得x =24. 7
说明：初学者在去括号时，如果分子是两项的，应该用括号把分子括上以避免出现符号的错误．
例4 分析 在这个方程中既有括号又有分母，先做哪一步这应因题而定．
解 去分母，得6(x +4) -30(x -5) =10(x +3) -5(x -2)
去括号，得6x +24-30x +150=10x +30-5x +10
移项，得6x -30x -10x +5x =30+10-24-150
合并同类项，得-29x =-134
把系数化为1，得x =418. 29
说明：要灵活应用解方程的步骤，在熟练之后这些解方程的步骤可以省略不写．
例5 分析 在这个方程中既有小数又有分数，一般是先把分子分母中的小数都化成整数再进行计算．
解 原方程可化为：4x +2150-20x 3-= 535
去分母，得3(4x +21) -5(50-20x ) =9
去括号，得12x +63-250+100x =9
移项并合并同类项，得112x =196
3把系数化为1，得x =1 4
说明：在解方程时解方程的步骤可以灵活使用，如在去括号后发现项比较多时，并有同类项可以合并，也可以先合并一次同类项然后再移项．
例6 分析 第（1）小题方程中有两项有分母，另一项没有分母，在去分母时应注意不要漏
乘没有分母的项．
第（2）小题的各项，尤其是右边两项比较复杂，去分母时必须小心谨慎，防止出错．
解 （1）错，错在去分母时漏乘了方程中间的“1”，正确解答如下： 去分母，得 4x =12+3x
移项 4x -3x =12 x =12
（2）错，错在将方程的两边乘以8后，-2-3x 这一项应化为-(2-3x ) 而不8
是-2-3x ，正确解答如下：
去分母，得 20=2(x +3) -(2-3x )
去括号，得 20=2x +6-2+3x
移项，得 -5x =-16 x =16 5
说明 对于比较复杂的方程，求出解后要检验一下看是不是原方程的解，这样有利于减少解方程的错误．
在解方程的过程中，认真、细致是解题的关键．
例7 解 设已知的正整数为a ，依题意得
2a +18=n (a +3) ，
即(n -2) a =18-3n ， ∴a =3(6-n ) . n -2
因为a 和n 都是正整数，所以2
当n =3时，a =9，
2⨯9+18=3⨯(9+3) =36；
当n =4时，a =3，
2⨯3+18=4⨯(3+3) =24；
当n =5时，a =1，
2⨯1+18=5⨯(1+3) =20.
答：n =3，或n =4，或n =5.
说明： 本例的解法用到了分类讨论．
例8 分析 对于x -4来说，当x >4x -4=x -4，当x 3时与在x
注意到以上情况，是因为我们感到只有把题目中的绝对值符号去掉，才能解
3≤x ≤4和x 4、
号来解．
解 当x >4时，原方程可化为(x -4) +(x -3) =2， 9解得x =. 2
当3≤x ≤4时，原方程可化为(4-x ) +(x -3) =2，
这个方程无解．
当x
所以，原方程的解是x =95，或x =. 22
说明：①从上面解题过程可以看出，带绝对值符号的方程，可以转化为不带绝对值符号的方程来解，而分类思想是实现这样的转化的法宝．
②上面解题过程有读者不易察觉的一步，这就是检验．本题检验的具体做法
99之后，要看一看是否与x >4相符．在以x
55为前提，解出x =之后，再看一看与x 4为前提，求得x =
③解带有绝对值符号的方程，检验一步不要求书写，但不能以为这一步可有可无．
例9 分析 对这类方程的常规解法，用分类讨论去绝对值． 从绝对值的几何意义出发，x -2和x -3分别表示数轴上表示x 的点到表示2的点与表示3的点之间的距离．
如图所示，设数轴上表示2的点为A ，表示3的点为B ，那么示x 的点不会在点A 的左边或点B 的右边．
解 方程x -2+x -3=1的几何意义是数轴上表示x 的点到表示2的点的距离与表示3的点的距离之和为1．
《解方程》典型例题
例1 解方程：-10x +2=-9x +8
例2 解方程：2(x -3) =3(x +2)
例3 解方程：1-
例4 解方程：
例5 解方程：
例6 下面解题过程正确吗？如果正确，请指出每一步的依据；如果不正确，请指出错在哪里，并给出正确的解答．
（1）解方程x x =1+ 34
1x +32-3x =- 248x -22x =-7 217x +4x +3x -2-(x -5) =- 5360. 4x +2. 10. 5-0. 2x 3-= 0. 50. 035两边都乘以12，得 4x -3x =1 ∴x =1 （2）解方程2
去分母，得 20=2x +6-2-3x
移项，得 3x -2x =6-2-20
合并同类项，得 x =-16
例7 如果一个正整数的2倍加上18等于这个正整数与3之和的n 倍，试求正整数n 的值．
例8 解方程x -4+x -3=2
例9 解方程x -2+x -3=1.
参考答案
例1 分析 这个方程可以先移项，再合并同类项．
解 移项，得-10x +9x =8-2.
合并同类项，得-x =6
把系数化为1，得x =-6
说明：初学解方程者应该进行检验，就是把求得的方程的解代入原方程中，看方程的左右两边是否相等，如果相等则是方程的解，否则就不是方程的解．则说明我们的解题过程有误．当熟练之后可以不进行检验，以后我们会知道一元二次方程不会产生增根．
例2 分析 这个方程含有括号，我们应先去掉括号，然后再进行合并同类项等．
解 去括号，得2x -6=3x +6.
移项，得2x -3x =6+6
合并同类项，得-x =12
把系数化为1，得x =-12.
说明：在去括号时要注意符号的变化，同时还应该注意要用括号前的数去乘括号内的每一项，避免出现漏乘的现象．
例3 分析 该方程中含有分母，一般我们是要先去掉分母，然后再按其他步骤进行．
解 去分母，得21-(x -2) =3⨯(2x ) -7⨯21
去括号，得21-x +2=6x -147
移项，得-x -6x =-147-21-2
合并同类项，得-7x =-170
2把系数化为1，得x =24. 7
说明：初学者在去括号时，如果分子是两项的，应该用括号把分子括上以避免出现符号的错误．
例4 分析 在这个方程中既有括号又有分母，先做哪一步这应因题而定．
解 去分母，得6(x +4) -30(x -5) =10(x +3) -5(x -2)
去括号，得6x +24-30x +150=10x +30-5x +10
移项，得6x -30x -10x +5x =30+10-24-150
合并同类项，得-29x =-134
把系数化为1，得x =418. 29
说明：要灵活应用解方程的步骤，在熟练之后这些解方程的步骤可以省略不写．
例5 分析 在这个方程中既有小数又有分数，一般是先把分子分母中的小数都化成整数再进行计算．
解 原方程可化为：4x +2150-20x 3-= 535
去分母，得3(4x +21) -5(50-20x ) =9
去括号，得12x +63-250+100x =9
移项并合并同类项，得112x =196
3把系数化为1，得x =1 4
说明：在解方程时解方程的步骤可以灵活使用，如在去括号后发现项比较多时，并有同类项可以合并，也可以先合并一次同类项然后再移项．
例6 分析 第（1）小题方程中有两项有分母，另一项没有分母，在去分母时应注意不要漏
乘没有分母的项．
第（2）小题的各项，尤其是右边两项比较复杂，去分母时必须小心谨慎，防止出错．
解 （1）错，错在去分母时漏乘了方程中间的“1”，正确解答如下： 去分母，得 4x =12+3x
移项 4x -3x =12 x =12
（2）错，错在将方程的两边乘以8后，-2-3x 这一项应化为-(2-3x ) 而不8
是-2-3x ，正确解答如下：
去分母，得 20=2(x +3) -(2-3x )
去括号，得 20=2x +6-2+3x
移项，得 -5x =-16 x =16 5
说明 对于比较复杂的方程，求出解后要检验一下看是不是原方程的解，这样有利于减少解方程的错误．
在解方程的过程中，认真、细致是解题的关键．
例7 解 设已知的正整数为a ，依题意得
2a +18=n (a +3) ，
即(n -2) a =18-3n ， ∴a =3(6-n ) . n -2
因为a 和n 都是正整数，所以2
当n =3时，a =9，
2⨯9+18=3⨯(9+3) =36；
当n =4时，a =3，
2⨯3+18=4⨯(3+3) =24；
当n =5时，a =1，
2⨯1+18=5⨯(1+3) =20.
答：n =3，或n =4，或n =5.
说明： 本例的解法用到了分类讨论．
例8 分析 对于x -4来说，当x >4x -4=x -4，当x 3时与在x
注意到以上情况，是因为我们感到只有把题目中的绝对值符号去掉，才能解
3≤x ≤4和x 4、
号来解．
解 当x >4时，原方程可化为(x -4) +(x -3) =2， 9解得x =. 2
当3≤x ≤4时，原方程可化为(4-x ) +(x -3) =2，
这个方程无解．
当x
所以，原方程的解是x =95，或x =. 22
说明：①从上面解题过程可以看出，带绝对值符号的方程，可以转化为不带绝对值符号的方程来解，而分类思想是实现这样的转化的法宝．
②上面解题过程有读者不易察觉的一步，这就是检验．本题检验的具体做法
99之后，要看一看是否与x >4相符．在以x
55为前提，解出x =之后，再看一看与x 4为前提，求得x =
③解带有绝对值符号的方程，检验一步不要求书写，但不能以为这一步可有可无．
例9 分析 对这类方程的常规解法，用分类讨论去绝对值． 从绝对值的几何意义出发，x -2和x -3分别表示数轴上表示x 的点到表示2的点与表示3的点之间的距离．
如图所示，设数轴上表示2的点为A ，表示3的点为B ，那么示x 的点不会在点A 的左边或点B 的右边．
解 方程x -2+x -3=1的几何意义是数轴上表示x 的点到表示2的点的距离与表示3的点的距离之和为1．