不等式
【知识网络】
1．1 不等式的性质
【考点透视】
一、考纲指要
1．理解不等式的性质及其证明. 二、命题落点
1．不等式的性质主要以客观题形式出现往往融于其他问题之中，. 如例1，例2 2．利用不等式的性质结合已知条件比较大小、判断不等式有关结论是否成立或利用不等式研究变量的范围，求字母的取值或取值范围等.. 如练习9.
【典例精析】
例1 : 若a
11> a b
B ． 2>2 D ． () >()
a b
C ． a >b >0
1a 1b 22
1111
解析: 由 a 0, 因此a ⋅成立;
ab ab a b
由 a -b >0, 所以a >b >0成立;
x
a
b
⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫
由于 ⎪是减函数, 所以 ⎪> ⎪亦成立, 故一定不成立的是B ．
⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭
答案：B ． 例2：（2003•北京）设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是（ ） A ．a +c >b +d B ．a －c >b －d C ．ac >bd
D ．
a b
> d c
解析：∵a >b ，c >d ，∴a +c >b +D ． 答案：A ．
2x -1
>0的解集是（ ） 3x +1
1111
A ．{x |x B ．{x |-
323211
C ．{x |x > D ．{x |x >-
23
112x -1
解析:不等式>0的解是x>或x
233x +1
例3：（2005•福建）不等式答案：A ．
【常见误区】
1．不等式的“运算”只有加法法则和乘法法则，没有减法法则和除法法则，再利用数的性质进行转化时往往出错；
2．在运用不等式的性质是对不等式进行了非同解变形.
【基础演练】
1．（2004•北京）已知a 、b 、c 满足c 2．（2004•湖北) 若
④
A ．ab >ac
B ． c (b -a ) D ． ac (a -c )
11
D ．4个
（ ）
b a
+>2中，正确的不等式有 a b
A ．1个 B ．2个 C ．3个 3．（2004•辽宁）对于0
1+a
（ ）
1
) a
②log a (1+a ) >log a (1+④a
1+a
1) a
1+
1a
>a
1+
1a
D ．②与④
（ ）
其中成立的是 A ．①与③ B ．①与④ C ．②与③ 4. 对“a 、b 、c 是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a -b ) 2+(b -c ) 2+(c -a ) 2≠0； ②a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数为 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
2
（ ）
5．二次函数y =ax +bx +c (x ∈R ) 的部分对应值如下表：
2
则不等式ax +bx +c >0的解集是_________________． 6．若不等式0? ax
2
2x -5有且只有一个解，则实数a =b
a
7．比较大小：a b 与a b （a >0, b >0且a ≠b ）.
a b
1． 2
9．定义在R 上的函数f (x ) 满足: 如果对任意x 1, x2∈R, x 1, x 2∈R 都有
8．已知a >b >c , a +b +c =1, a +b +c =3, 求证b +c
2
2
2
x 1+x 21
) ≤[f (x 1) +f (x 2)], 22
则称函数 f (x ) 是R 上的凹函数．
2
已知二次函数 f (x ) =ax +x (a ∈R , a ≠0)求证: 当a >0时, 函数f (x ) 是凹函
f (
数．
1．2 算术平均数与几何平均数
【考点透视】
一、考纲指要
1．掌握两个(不扩展到三个) 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.
二、命题落点
1．以二元均值不等式的考查最为常见，命题形式往往在选择题或填空题中，如例1，例2，例3.
2．在解答题中常与最值问题结合在一起以及函数的值域等知识一起考查，试题解法突出常规方法，淡化特殊技巧，一般以求最值的形式来问如练习题9.
【典例精析】
1+cos 2x +8sin 2x
例1（:2005•全国1）当0
sin 2x 2
π
A ．2
B ．2
C ．4
D ．43
1+cos 2x +8sin 2x 2cos 2x +8sin 2x cos x 4sin x
解析：f (x ) = ==+
sin 2x 2sin x cos x sin x cos x
≥2
c o s x 4s i n x cos x 4sin x 1π
⋅=4，当且仅当，即a 取“=”，∵0
∴存在x 使tan x =
1
，这时f (x ) m ax =4， 2
答案：C ．
例2：(2005•福建) 下列结论正确的是（ ） A ．当x >0且x ≠1时, lg x +1≥2 B ．当x >0时, x +1≥2
lg x x C ．当x ≥2时, x +
1
的最小值为2 x
D ．当0
1
无最大值 x
1
当x=2x
解析：A 中lgx 不满足大于零,C 中的最小值为2的x 值取不到,D 0
3
, 选B ． 2
答案：B
⎛1⎫⎛1⎫
+y +例3：（2005•重庆）若 x , y 是正数，则 x +⎪ ⎪的最小值是（ ） 2y 2x ⎭⎝⎭⎝
A ．3 B ．
2
2
2
2
79
C ．4 D ． 22
⎛⎛1⎫⎛1⎫1⎫⎛1⎫
+y +≥2x +y +解析： x +⎪ ⎪ ⎪⎪ 2y 2x 2y 2x ⎭⎭⎝⎭⎝⎝⎭⎝
≥=4 11⎧x +=y +⎪2y 2x ⎪
1⎪
当且仅当 ⎨x =得x =y =时.
2y ⎪⎪1y =⎪
2x ⎩
答案：C
【常见误区】
1．在运用均值不等式时，对等号成立的条件不注意往往出错； 2．不注意各种不等式成立的条件，误用公式，特别是非负性的考虑.
【基础演练】
1a
1．(2006•陕西) 已知不等式(x+y)(x + y 对任意正实数x,y 恒成立, 则正实数a 的最小值为
A ．2
2
2
B ．4
2
2
2
C ．6
2
D ．8
（ ）
2．（2004•全国）a +b =1, b +c =2, c +a =2, 则ab +bc +ca 的最小值为 （ ）
1
+3 211-1-1-1x
3．已知函数f (x ) =2的反函数为f (x ), 若f (a ) +f (b ) =4, 则+的最小值为
a b
A ．－
B ．
C ．－
D ．
A ．1
B ．
（ ）
1 21
－3 21
－ 2
1 213
C ．
1 3
D ．
1 4
（ ）
4．函数y =x (1-3x ) (0
1 64
1 72
A ．
1 12
B ．
4 243
C ．D ．
5．（2005全国3）已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是a b
+≤λ的实数λ的取值范围是 ． 22
a +1b +1x y x y
7．是否存在常数c ，使得不等式对任意正实数x 、+≤c ≤+
2x +y x +2y x +2y 2x +y
y 恒成立？证明你的结论．
12
8．已知a >0, b >0，且+=1，求：
a b
（1）a +b 的最小值；
6．已知正数a , b 满足ab =1, 则满足不等式
（2）若直线l 与x 轴，y 轴分别交于A (a ,0), B (0, b )，求∆OAB 面积的最小值. 9．在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离d (米) 与车速v(千米/ 小时) 需遵循的关系是d ≥ （1）当d =
1a av 2(其中a (米) 是车身长，a 为常量) ，同时规定d ≥． 25002
a
时，求机动车车速的变化范围； 2
1000v
（2）设机动车每小时流量Q =，应规定怎样的车速，使机动车每小时流量Q 最大？
a +d
1．3 不等式的证明
【考点透视】 一、考纲指要
1．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式； 2．理解不等式│a │-│b │≤│a+b│≤│a │+│b │ 二、命题落点
1．不等式的证明的考查主要是与数列、函数、导数、向量等知识相结合考察不等式的证明方法特别是数学归纳法、综合法、比较法等方法的掌握，如例1.
2．考查不等式的基础知识、分类讨论的思想、综合思维能力，如例2，例3.
【典例精析】
例1：(2004•江苏) 已知函数f (x )(x ∈R ) 满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有 λ(x 1-x 2) 2≤(x 1-x 2)[f (x 1) -f (x 2)]
和f (x 1) -f (x 2) ≤x 1-x 2，其中λ是大于0的常数. 设实数a 0，a ，b 满足 f (a 0) =0和b =a -λf (a ) ．
（1）证明：λ≤1，并且不存在b 0≠a 0，使得f (b 0) =0； （2）证明：(b -a 0) 2≤(1-λ2)(a -a 0) 2；
（3）证明：[f (b )]2≤(1-λ2)[f (a )]2.
解析：（1）任取x 1, x 2⊂R , x 1≠x 2, 则由 λ(x 1-x 2) ≤(x 1-x 2)[f (x 1) -f (x 2)] 和|f (x 1) -f (x 2) |≤|x 1-x 2| ②
可知 λ(x 1-x 2) 2≤(x 1-x 2)[f (x 1) -f (x 2)]≤|x 1-x 2|⋅|f (x 1) -f (x 2) |≤|x 1-x 2|2， 从而
2
λ≤1. 假设有b 0≠a 0, 使得f (b 0) =0, 则由①式知
0
∴不存在b 0≠a 0, 使得f (b 0) =0.
（2）由b =a -λf (a ) ③
可知 (b -a 0) =[a -a 0-λf (a )]=(a -a 0) -2λ(a -a 0) f (a ) +λ[f (a )] ④ 由f (a 0) =0和①式，得(a -a 0) f (a ) =(a -a 0)[f (a ) -f (a 0)]≥λ(a -a 0) ⑤ 由f (a 0) =0和②式知，[f (a )]=[f (a ) -f (a 0)]≤(a -a 0) ⑥ 由⑤、⑥代入④式，得 (b -a 0) ≤(a -a 0) -2λ(a -a 0) +λ(a -a 0)
=(1-λ)(a -a 0) ． （3）由③式可知[f (b )]=[f (b ) -f (a ) +f (a )]
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=[f (b ) -f (a )]2+2f (a )[f (b ) -f (a )]+[f (a )]2
≤(b -a ) 2-2⋅=λ2[f (a )]2-≤λ2[f (a ) 2-
b -a
λ
2
[f (b ) -f (a )]+[f (a )]2 （用②式）
λ
2
(b -a )[f (b ) -f (a )]+[f (a )]2
λ
⋅λ⋅(b -a ) 2+[f (a )]2 （用①式）
=λ2[f (a )]2-2λ2[f (a )]2+[f (a )]2=(1-λ)[f (a )].
2
2
例2：(2003•北京) 设y =f (x ) 是定义在区间[-1, 1]上的函数，且满足条件： ①f (-1) =f (1) =0;
②对任意的u , v ∈[-1, 1],都有|f (u ) -f (v ) |≤|u -v |.
（1）证明：对任意的x ∈[-1, 1],都有x -1≤f (x ) ≤1-x ; （2）证明：对任意的u , v ∈[-1, 1],都有|f (u ) -f (v ) |≤1;
（3）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数y =f (x ) ，且使得
1⎧
|f (u ) -f (v ) |
⎨
⎪|f (u ) -f (v ) |=|u -v |,当u , v ∈[1, 1].⎪2⎩
若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.
解析：（1）由题设条件可知，当x ∈[-1, 1]时，有|f (x ) =|f (x ) -f (1) ≤|x -1|=1-x , 即x -1≤f (x ) ≤1-x .
（2）对任意的u , v ∈[-1, 1],当|u -v |≤1时, 有|f(u)-f(v)|≤|u -v |≤1. 当|u -v |>1时, u ⋅v 0且v -u >1,
所以，|f (u ) -f (v ) |≤|f (u ) -f (-1) |+|f (v ) -f (1) |≤|u +1|+|v -1|
=1+u +1-v =2-(v -u )
综上可知，对任意的u , v ∈[-1, 1],都有|f (u ) -f (v ) |≤1. 由（1）可得，当x ∈[0,1]时，f (x ) ≤1-x
当x ∈[-1,0]时,|f (x ) |=|f (x ) -f (-1) ≤1+x =1-|x |.
所以，当x ∈[-1,1]时,|f (x ) ≤1-|x |.因此，对任意的u , v ∈[-1, 1], 当|u -v |≤1时，|f (u ) -f (v ) |≤|u -v |≤1. 当|u -v |>1 时，有u ⋅v
所以|f (u ) -f (v ) |≤|f (u ) |+|f (v ) |≤1-|u |+1-|v |=2-(|u |+|v ) ≤1. 综上可知，对任意的u , v ∈[-1, 1],都有|f (u ) -f (v ) |≤1. （3）满足所述条件的函数不存在.
理由如下，假设存在函数f (x ) 满足条件，则由|f (u ) -f (v ) |=|u -v |,u , v ∈[, 1],
1
2
11111
得|f () -f (1) |=|-1|=. 又f (1) =0, 所以|f () |=. ①
22222
1
又因为f (x ) 为奇数，所以f (0) =0. 由条件|f (u ) -f (v ) |
2
111
得 |f () |=|f () -f (0) |
222
例3：正项数列{a n }满足a 1=1, na n +(n -1)a n a n -1-a n -1=0(n ≥2)．
2
2
（1）求a 2, a 3, a 4及a n ;
（2） 试确定一个正整数N, 使当n >N 时, 不等式
a 1+a 2+2a 3+3a 4+ +(n -1)a n >
（3）求证: (1+
241
成立; 121
1n
)
2
2
解析：（1）na n +(n -1)a n a n -1-a n -1=0⇒(n ⋅
a a n
－1)(n +1)=0,
a n -1a n -1
又∵a n -1>0, a n >0 ，故
a n 1
=, a 1=1， a n -1n
a 2=
11111=, a 3=, a 4=, …, a n = ． 22! 3! 4! n !
1k -11
=－(k ≥2), k ! (k -1)! k !
（2） 由(k -1)a k =
a 1+a 2+2a 3+3a 4+ +(n -1)a n
=1+(
1111111
－)+(－)+ … +(－)=2－
(n -1)! n ! 1! 2! 2! 3! n !
从而有2－
124111
>, ∴121． n ! 121n ! 121
∵5！=120, 6！=720, ∴n>5取N=5, n>N时, 原不等式成立.
1n
) 展开式通项: n
1r n n -1n -2n -r +111r
T r +1=Cn ·() =· … ·
n n n n n r ! r ! 1n 11111
(1+)
n 0! 1! 2! 3! n !
（3） (1+
【常见误区】
1．不注意挖掘隐含条件从而导致错误； 2．例用均值不等式时不注意非负性导致错误；
3．特别是在运用放缩法时可能会出现过大或过小的情形.
【基础演练】
1．若a ＞b ＞1，P ＝
A ．R ＜P ＜Q
a +b 1
lg a ⋅lg b ，Q ＝（lg a ＋lg b ），R ＝lg （），则
22
B ．P ＜Q ＜R
C ．Q ＜P ＜R
D ．P ＜R ＜Q
（ ）
2．若x>0，y>0，且x +
A ．22
y ≤a x +y 恒成立，则a 的最小值是 （ ）
B ．2
C ．2
B ．b 2-4ac ≤0 D ．b 2-4ac >0
（ ）
D ．1
（ ）
3．已知a >0, a -b +c
1
,0
B ． u
C ．u >1
A ． u ≤1 D ． u ≥1
5．给出下列3个命题：①若a 、b ∈
R ，则 x ∈R 且x ≠0，则x +
a +b
≥；②若x ∈R ，则x 2+1>x ；③若 2
1
≥2，其中真命题的序号为______________． x
14
+≥m 恒成立的实数m 的取值范围 x y
6．已知两个正数x , y 满足x +y =4，则使不等式 是
1x +11
（2）n ∈N n ≥2 求证 ++ +
23n 2n -1321111
8．已知函数f (x ) =ax -x 的最大值不大于，又当x ∈[, ]时, f (x ) ≥.
26428
7．（1）x ∈(0, +∞) 求证 （1）求a 的值； （2）设0
11, a n +1=f (a n ), n ∈N +. 证明a n
1⎛a ⎫
= x n +⎪, n ∈N * ⎪2⎝x n ⎭
9．数列x n 由下列条件确定：x 1=a >0, x n +1 （1）证明：对于n ≥2, 总有x n ≥
{}
a ,
（2）证明：对于n ≥2, 总有x n ≥x n +1．
1.4不等式的解法.
【考点透视】
一、考纲指要
1．掌握简单不等式的解法. 二、命题落点
1．主要考查一元二次不等式、对数不等式、指数不等式的解法主要考查非整式不等式的转化方法；如例1，例2；
2．考查含参分式不等式的解法以及分类讨论的思想方法. 如例3.
【典例精析】
例1：（2005•重庆）不等式组⎨A ．(0, )
⎧|x -2|1
2
的解集为（ ）
B ．(, 2) C ．(, 4) D ．(2, 4)
2
解析：∵x -2
1的解集为
()
+∞⋃-∞,
)(⎧⎪x -2
∴不等式⎨的解集为2
⎪⎩
log 2(x -1)>1
答案：C
4
)
1+a 2
例2：（2005•辽宁）若log 2a
1+a
111A ．(, +∞) B ．(1, +∞) C ．(, 1) D ．(0, )
222
解析：法一：代特殊值验证
1⎧
011+a ⎩⎪⎩1+a
1⎧a >⎧2a >1⎪1⎪⎪22②当⎨，即时，
1+a 2log
答案:C ．
x 2
例3：（2005•江西）已知函数f (x ) =（a ，b 为常数）且方程f (x ) －x +12=0有两个
ax +b
实根为x 1=3, x 2=4.
（1）求函数f (x ) 的解析式；
（2）设k >1，解关于x 的不等式；f (x )
(k +1) x -k
2-x
．
解析：（1）将x x 2
1=3, x 2=4分别代入方程ax +b -x +12=0，得
⎧⎪9
⎪⎨
3a +b
=-9解得⎧⎪16⎨a =-1b =2, 所以f (x ) =x 22-(x ≠2). ⎪⎩4a +b =-8⎩x
（2）不等式即为x 22-x
即(x -2)(x -1)(x -k ) >0.
①当1
②当k =2时, 不等式为(x -2) 2
(x -1) >0解集为x ∈(1, 2) ⋃(2, +∞); ③当k >2时, 解集为x ∈(1, 2) ⋃(k , +∞) ．
【常见误区】
1．解分式不等式时忘掉分式成立的条件或对函数的单调形运用错误； 2．解含参数不等式时对字母讨论不全面.
【基础演练】
1．(2004•天津) 不等式x -1
x
≥2的解集为 （ A ． [-1, 0) B ． [-1, +∞)
C ． (-∞, -1]
D ． (-∞, -1] (0, +∞)
2
≤的解集为{x |1≤x ≤2}, 则实数a 的取值集合为 （
A ． ⎨⎧1⎬⎫⎩2⎭
B ． {1 } C ． {a| a>1}
D ． {a |a ≥12
}
） ）
3．（2005•辽宁）在Ｒ上定义运算⊗：x ⊗y =x (1-y ) ．若不等式(x -a ) ⊗(x +a )
任意实数x 成立，则
A ．-1
B ．0
C ．-
（ ）
13
D ．-
31
2
⎧⎪(x +1) , x
4．设函数f (x ) =⎨ ，则使得f (x ) ≥1的自变量x 的取值范围为（ ）
⎪⎩4-x -1, x ≥1
A ．(-∞, -2] [0, 10] C ．(-∞, -2] [1, 10]
B ．(-∞, -2] [0, 1] D ．[-2, 0] [1, 10]
5．已知f (x ) =⎧⎨
1, x ≥0, 则不等式xf (x ) +x ≤2≤5的解集是. ⎩-1, x 〈0,
⎧1
x -1(x ≥0), ⎪⎪2
若f (a ) >a . 则实数a 的取值范围是6．( 2004•全国) 设函数f (x ) =⎨
1⎪(x
7．实系数方程x +ax +2b =0的一根大于0且小于1, 另一个根大于1且小于2, 求 取值范围. 8．解关于x 的不等式
2
b -2
的 a -1
x -a
＜0（a ∈R ）． 2
x -a
9．记函数f(x)=2-
x +3
的定义域为A, g(x )=lg[(x －a －1)(2a －x )](a
（1）求A ；
（2）若B ⊆A, 求实数a 的取值范围.
1．5 含有绝对值的不等式
【考点透视】
一、考纲指要
1．掌握绝对值不等式的概念及其性质.
2．理解不等式│a │-│b │≤│a+b│≤│a │+│b │. 二、命题落点
1．含绝对值不等式的解法主要出现在选择题、填空题中；如例1，例2； 2．证明主要出现在解答题中对能力要求较高. 如例3.
【典例精析】
例1： (2004•辽宁) 设全集U=R 解关于x 的不等式|x -1|+a -1>0(a ∈R ) ． 解析： 由|x -1|+a -1>0得|x -1|>1-a .
当a >1时，解集是R ；
当a ≤1时，解集是{x |x 2-a }.
例2:（2005•山东）0
A ．log (1+a ) (1-a ) +log (1-a ) (1+a ) >2 B ．log (1+a ) (1-a )
C ．log (1+a ) (1-a ) +log (1-a ) (1+a ) log (1+a ) (1-a ) -log (1-a ) (1+a )
解析：∵ 01，0
lg(1-a ) lg(1+a )
+]>2．
lg(1+a ) lg(1-a )
答案: A ．
2
例3：（2005•浙江）已知函数f (x ) 和g (x ) 的图象关于原点对称，且f (x ) ＝x ＝2x ． （1）求函数g (x ) 的解析式；
（2）解不等式g (x )≥f (x ) －|x －1|．
解析：（1）设函数y=f(x)的图象上任一点Q(xq ,y q 关于原点的对称点(x,y),
⎧x q +x
=0⎪⎧⎪x q =-x , ⎪2
则⎨即⎨∵点 Q (x q , x p )在函数f (x )的图象上, ⎪y q +y =0, ⎪⎩y q =-y . ⎪⎩2
2
∴ -y =-x +2x 故g (x )=-x +2x ．
2
（2）由g(x)≥f (x ) －|x －1|，可得2x 2-|x-1|≤0． 当x≥1时,2x 2-x+1≤0,此时不等式无解；
1． 21
因此，原不等式的解集为[-1,]．
2
当x
【常见误区】
1．运用不等式│a │-│b │≤│a+b│≤│a │+│b │时出现错误； 2．对绝对值的意义理解有误，分类不全面导致错误.
【基础演练】
1．不等式1
A ．(-1,3) C ．(-4, -3)
B ．(-3,1) (3,4) D ．(-4, -3) (-1,3)
（ ）
（ ）
x 2
A ． x -1
{}
B ．⎨x -
⎧⎩
3⎫
C ．⎨x -
⎧⎩5⎫
D ． x -2
{}
3．若不等式|ax +2|
（ ）
A ．8 B ．2 C ．－4 D ．－8
4．若a ，b ∈R ，则不等式|2+ax |≥|2x +b |的解集为R 的充要条件是
A ．a =±2
（ ）
B ．a =b =±2 C ．ab =4且|a |≤2 D ．ab =4且|a |≥2
5．不等式|x +2|≥|x |的解集是. 6．不等式(1+x )1-x >0的解集. 7．解不等式|
()
2x -1-x |
8．设a , b ∈R 且a ≠
b
9．某段城铁线路上依次有A 、B 、C 三站，AB=5km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A 站发车，8时07分到达B 站并停车1分钟，8时12分到达C 站. 在实际运行中，假设列车从A 站正点发车，在B 站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm /h 匀速行驶，列车从A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差.
（1）分别写出列车在B 、C 两站的运行误差;
（2）若要求列车在B ，C 两站的运行误差之和不超过2分钟，求v 的取值范围.
1．6 不等式的应用
【考点透视】
一、考纲指要
1．考查运用不等式在几何、函数，以及实际生活中的运用 二、命题落点
1．常结合函数、数列考查不等式的运用，特别是均值不等式的运用如例1，例2，例3.
【典例精析】
例1：（2004•广西卷）某村计划建造一个室内面积为800m 的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？
解析：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则 a b=800. 蔬菜的种植面积
2
S =(a -4)(b -2) =ab -4b -2a +8=808-2(a +2b ).
所以 S ≤808-42ab =648(m ).
当a =2b , 即a =40(m ), b =20(m ) 时, S 最大值=648(m ).
答：当矩形温室的左侧边长为40m ，后侧边长为20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m 2.
例2：（2004•上海）某单位用木料制作如图5-6-1所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y(单位：m) 的矩形. 上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8m 2. 问x 、y 分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?
图5-6-1
2
2
x 28-
12=8-x (0
x 4x 4
于是, 框架用料长度为 l =2x +2y+2(
32316
x )=(+2) x +≥≥2(+2) =46+42.
222x
当(
316
+2) x =, 即x =8－42时等号成立. 2x
此时, x ≈2.343,y=22≈2.828. 故当x 为2.343m,y 为2.828m 时, 用料最省.
例3：某厂家拟在2004年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（m ≥0) 满足x =3-
k
）（k 为常数），如果不搞促销m +1
活动，则该产品的年销售量只能是1万件。已知2004年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
（1）将2004年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2004年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解析：（1）由题意可知当m =0时, x =1(万件), 每件产品的销售价格为1. 5⨯
∴1=3-k ⇒k =2, ∴x =3-
2
, m +1
8+16x
(元) ， x
∴2004年的利润y =x ⋅[1. 5⨯ =-[（2） m ≥0时,
8+16x 2
]-(8+16x +m ) =4+8x -m =4+8(3-) -m x m +1
16
+(m +1)]+29m +1
(m ≥0) ．
16
+(m +1) ≥2=8， m +1
16
=m +1⇒m =3(万元) 时, y m ax =21（万元） ． m +1
∴y ≤-8+29=21, 当且仅当
【常见误区】
1．不能正确建立函数模型从而导致错误； 2．对实际情况考虑不够会产生多解或漏解
【基础演练】
1．王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费
. ）
若王先生每月拨打本地电的时间是拨打长途电话时间的5倍, 若要用联通130应最少打多 长时间的电话才合算 （ ） A ．300秒 B ．400秒 C ．500秒 D ．600秒 2．一批物品要用11辆汽车从甲地运到360km 外的乙地. 若车速为v km /时，且车的距离不能
⎛v ⎫
少于 ⎪km ，则运完这批物品至少需要
⎝10⎭
2
（ ）
A ．11小时 B ．10小时 C ．13小时 D ．12小时
3．现有一块长轴为10分米，短轴长为8分米的椭圆形玻璃镜子，欲从此镜子中划出一块面积尽可能大的矩形镜子，则可划出的矩形镜子的最大面积为 （ ）
A ．10平方分米
B ． 20平方分米
C ． 40平方分米
D ．
1600
平方分米 41
4．一种容积规定为500 ml 的圆柱形罐头盒，要使制造罐头盒所用的金属薄板材料最少，这种圆柱的高和半径的比应为 （ ） A ．1∶1 B ． 2∶1 C ．3∶1 D ．3∶2
5．用一张边长为30的正方形纸在它的四个角上剪去一个同样大小的正方形不用，做一个无盖的长方体纸盒，（剪贴处的厚度和损耗不计）则这个纸盒体积的最大值是 . 6．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2m 的倒置的正四棱锥形有盖容器，设容器高为h m ，盖子边长为a m . 记容器的容积为V ，当h = m 时， V 有最大 m ．
7．某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、
3
2
保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元. （1）写出y 与x 之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）； （3）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：
（i ）当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；
（ii ）当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请
说明你的理由. 8．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a
（140
9．一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度
l
a 成正比，与它的厚度d 的平方成正比，与它的长度l 的平 方成反比.
（1）枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷 d
a 变大吗？为什么？
（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R ）的木材，
用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全 负荷最大？
3
，为获得最大的经济4
本章测试题
一、选择题：（本题每小题5分，共60分．）
1．已知实数a 、b 、c 满足b +c =6-4a +3a 2，c -b =4-4a +a 2，则a 、b 、c 的大小关系是 （ ） A ．c ≥b ＞a B ．a ＞c ≥b C ．c ＞b ＞a D ．a ＞c ＞b 2．若0
A ．
1
2
1
，b ，2ab ，a 2+b2中最大的是 2
D ．a 2+b2
（ ）
B ．b
1
C ．2ab
3．不等式
（ ）
13A ．(,1) (1,)
22
13
B ．(-∞, ) (, +∞)
2213
D ． (,1) (, +∞)
22
3
C ．(-∞,1) (, +∞)
2
4．设实数x , y 满足x +y =4,
（ ）
A ．
B ．4
⎩
2
C ．
3⎭
D ．8
（ ）
11⎫5．若不等式ax 2+bx +2>0的解集为⎧⎨x -
A ．-10 B ． -14 C ． 10
6．关于x 的方程9x +(a+4)·3x +4=0有解，则实数a 的取值范围是 A ．（-∞，-8）∪[0，+∞+ B ．（-∞，-4）
C ．[-8，4]
1
4-x
D ． 14 （ ）
D ．（-∞，-8）
C ．有最大值—2 C ．R
D ．有最小值2
（ ） （ ）
7．若x >4，则函数y =-x +
A ．有最大值—6
B ．有最小值6
8．不等式|
x x
的解集是 |>
x +2x +2
A ．(-2,0) B ．(-2,0] D ．(-∞, -2) (0,+∞) D ．p≤q
（ ）
9．已知p =a +
21
，则 (a >2) ，q =2-a +4a -2（a>2）
a -2
A ．p>q B ．p
A ．h (x )
C ．p≥q
10．设a
>1，若f (x ) =a x ，g (x ) =x , h (x ) =log a x ，且x >1，则（ ）
C ．f (x )
2
B ．h (x )
11．若不等式(a -2)x +2(a -2)x -4
A ．[-2, 2]
B ．(-2,2]
C ．(2, +∞)
D ．-∞, 2]
（ ）
(
12．已知定义在R 上的函数y =f (x ) 满足下列三个条件：①对任意的x ∈R 都有
0≤x 1
轴对称，则下列结论中，正确的是 A ．f (4.5)
B ．f (4.5)
（ ）
二、填空题：（本题每小题４分，共１６分．） 13．若不等式
x +a
>0的解集为{x |-32}，则a = .
x 2+4x +3
y -3
=2, x 、y ∈R }，B ={(x , y ) |4x +ay =16, x 、y ∈R }，若A B =∅，x -1
x y
最大值是 . +
x 2+1y 2+1
14．已知集合A ={(x , y ) |
则实数a 的值为 . 15．已知正数x , y 满足xy =1，则
16．已知a 、b 、c 为某一直角三角形的三条边长，C 为斜边，若点(m , n ) 在直线ax +by +2c =0 上，则m
2
+n 2的最小值是.
三、解答题：（本题共７４分）
17．（本小题满分12分）已知a 、b 为不等式的正数，且b =
按从小到大的顺序排列，并证明你的结论． 18．（本小题满分12分）已知f (x ) =(
（1）若g (x ) =
a +b a +3
a 、b 四个数
2a +
1
x -12
) (x >1) ． x +1
1
+x +2，求g (x ) 的最小值；
f -1(x )
x ) ⋅f
-1
（2）若不等式(1-
m 的取值范围．
11
(x ) >m ⋅(m -x ) 对于一切x ∈[, ] 恒成立，求实数
42
|a 2-b 2||a ||b |
19．（本小题满分12分）已知a≠0，求证：≥ -
2|a |22
20．（本小题满分12分）（理）已知函数f (x ) =log a
x -3
, (a >0且a ≠1). x +3
（1）判定f(x)的单调性，并证明；
（2）设g(x)=1+loga (x -1)，若方程f(x)=g(x)有实根，求a 的取值范围；
x 2
（3）求函数h(x)=f(x)lna+ln(x+3)-在[4，6]上的最大值和最小值． 8
21．（本小题满分12分）某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10
元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n 次投入后，每只产
品的固定成本为g (n ) 第n 次投入后的年利润为f (n ) 万元．
（k >0, k 为常数, n ∈Z 且n ≥0），若产品销售价保持不变，
（1）求k 的值, 并求出f (n ) 的表达式；
（2）问从今年算起第几年利润最高? 最高利润为多少万元?
22．（本小题满分14分）△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边的长分别为a 、b 、c ，有下列
两个条件：（1）a 、b 、c 成等差数列; （2）a 、b 、c 成等比数列. 现给出三个结论：
（1）0
π3
;
2C +cos 2A =3b
;
2221+sin 2B
≤. （3
）1
cos B +sin B
请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件，三个结论中的两个为结论，组建一个你认为正确的命题，并证明之.
参考答案
1．1 不等式的性质
1.C 2. B 3. D．4. C 5. {x x 3}6. -
1． 5
a a b b ⎛a ⎫
7. 因为b a = ⎪
a b ⎝b ⎭⎛a ⎫ ⎪⎝b ⎭
a -b
a -b
且a >0, b >0, a ≠b . 若a >b ，则
a
>1, a -b >0，所以b
a -b
a ⎛a ⎫⎛a ⎫
> ⎪=1；若a
b ⎝b ⎭⎝b ⎭⎛a ⎫
> ⎪=1．因此⎝b ⎭
a a b b >a b b a .
8．由(a +b +c )=1, a +b +c =3, 得ab +bc +ca =-1. 由a >b >c , 知至少有
2
2
2
2
c 1．又∵a >b , ∴a +a >a +b >1⇒a >
9. 因为f (
11, ∴ b +c
x 1+x 2x +x 22x +x 2
) =a (1) +(1), 222112[f (x 1) +f (x 2)]=[ax 1+x 1+ax 22+x 2]， 22
所以，作差得到
x 1+x 21
) -[f (x 1) +f (x 2)]22 x 1+x 22x 1+x 2112
=a () +() -a (x 12+x 2) -(x 1+x 2)
2222
22
x 1+x 221x 12+2x 1x 2+x 22x 12+2x 222
=a () -a (x 1+x 2) =a (-)
2244
2
-x 12+2x 1x 2-x 2x -x =a =-a (12) 2≤0(a >0) ,
42x +x 21
即有f (1) ≤[f (x 1) +f (x 2)],
22f (
故知函数f (x ) 为凹函数． 1．2 算术平均数与几何平均数 1. B 2. B 3. B 4.A 5. 3 6.
λ≥1.
2
．下面分两部分给出证明： 3
7. 当x =y 时，由已知不等式得c =⑴先证
x y 2
+≤，此不等式
2x +y x +2y 3
⇔3x (x +2y ) +3y (2x +y ) ≤2(2x +y )(x +2y )
⇔2xy ≤x 2+y 2，此式显然成立；
⑵再证
x y 2
+≥，此不等式
x +2y 2x +y 3
⇔3x (2x +y ) +3y (x +2y ) ≥2(x +2y )(2x +y )
⇔x 2+y 2≥2xy ，此式显然成立．
综上可知，存在常数c =
2
，是对任意的整数x , y 题中的不等式成立． 3
8. （1
）3+（2）S min =4． 9. (1) 由
a 1
≥a v 2, 得 0
5000021000v
, Q 是v v 的一次函数，v =252，Q 最大为，当33a a 2
(2) 当v ≤252时, Q =
v >252时, Q =
[1**********]000
≤, ∴当v =50时Q 最大为.
1v a a a (+) v 25000
1．3 不等式的证明
9
1. B 2. C 3. D 4. B 5. ② 6. (-∞, ]
4
7. （1）令1+
11
．于是，原不等式等价于=t ， 由 x >0知t >1， x =
x t -1
11
一方面，令 f (t ) =t -1-ln t ， 则有f '(t ) =1-，当t ∈(1, +∞) ，1-
t t
有f '(t ) >0 从而可以知道，函数f (t ) 在t ∈(1, +∞) 上是递增函数，所以有
1
f (t ) >f (1) =0，即得 t -1>ln t ． 另一面，令 g (t ) =ln t -1+ ，则有
t
11t -1
g '(t ) =-2=2，当t ∈(1, +∞) 时，有g '(t ) >0，从而可以知道，函数g (t ) 在
t t t
1
t ∈(1, +∞) 上是递增函数，所以有g (t ) >g (1) =0 ，即得ln t >1-．
t
1x +11
综上可知
x +1x x
1x +11
（2）联系不等式（１）和（２），就会发现，令x =1, 2, , n -1 时，不等式
x +1x x
也成立，于是代入，将所得各不等式相加，得
11123n 11 ++ +
23n 12n -12n -1
11111即 ++ +
23n 2n -1
a a 21321
≤, 即a 2≤1. ① 8．（1）由于f (x ) =ax -x 的最大值不大于, 所以f () =
36626
⎧1f () ≥⎪111⎪2
又x ∈[, ]时f (x ) ≥, 所以⎨
428⎪f (1) ≥
⎪⎩4
由①②得a =1.
1⎧a 31
, ⎪-≥, 8⎪288即⎨解得a ≥1. ② 1⎪a 31, -≥. 8⎪⎩4328
11，不等式0
211
因f (x ) >0, x ∈(0, ), 所以0
363
1
（ii ）假设n =k (k ≥2) 时，不等式0
k +1
3211
因为f (x ) =x -x 的对称轴为x =, 知f (x ) 在[0, ]为增函数，
233111
所以由0
k +13k +1
（2）（i ）当n=1时，0
0
131111k +41-⋅+-=-
k +12(k +1) k +2k +2k +22(k +1) (k +2) k +2
所以当n =k +1时，不等式也成立.
根据（i ）（ii ）可知，对任何n ∈N ，不等式a n 0及x n +1=
*
1
成立. n +1
1a 1a a
(x n +) 知x n >0, 从而x n +1=(x n +) ≥x n ⋅=a (n ∈N *) 2x n 2x n x n
∴当n ≥2时x n ≥a 成立
2）当n ≥2时，x n ≥
a >0, x n +1=
1a 1a
(x n +), ∴x n +1-x n =(-x n ) 2x n 2x n
1a -x n 2
≤0. ∴n ≥2时, x n ≥x n +1成立 =⋅
2x n
1．4 不等式的解法
1. A 2. A 3. C 4. A 5. ⎨x |x ≤
⎧
⎩3⎫
⎬ 6. a
⎧x 1+x 2=-a
7. 设方程的两个根为x 1, x 2, 由根与系数关系的得 ⎨
x ⋅x =2b ⎩12
111⎧
2
41-a ⎩0
8. 原式⇒（x －a ）（x －a 2）＜0，∴x 1＝a ，x 2＝a 2
当a =a 2时，a =0或a =1，x ∈∅，当a ＜a 2时，a ＞1或a ＜0，a ＜x ＜a 2， 当a ＞a 2时0＜a ＜1，a 2＜x ＜a ，
．
∴当a ＜0时a ＜x ＜a 2，当0＜a ＜1时，a 2＜x ＜a ，当a ＞1时，a ＜x ＜a 2，当a =0或a =1时，x ∈∅． 9. (1)2－
x +3x -1
≥0, 得≥0, x
(2) 由(x －a －1)(2a －x )>0, 得(x －a －1)(x －2a )2a , ∴B=(2a , a +1).∵B ⊆A, ∴2
11
或a ≤－2, 而a
取值范围是 (－∞,－2) ∪[,1]．
2
a ≥1或a +1≤－1, 即a ≥1．5 含有绝对值的不等式
1. D2. D3. C4. D 5. {x |x ≥－1} 6. x x
{}
⎧⎪2x -1-x
7. 原不等式⇔⎨
⎪⎩2x -1-x >-2.
⎧2x -1≥0, 1⎧
x ≥⎪1⎪因为2x -1-x
2⎪x 2+2x +5>0⎪2
⎩⎩2x -1
又
⎧2x -1≥0, ⎧x ≥2, 1⎧2x -1≥0, ⇔⎨⎪或≤x -2⇔⎨x -2≥0, 或⎨2
2⎩x -6x +5
⎩2x -1>(x -2)
1⎧x ≥2, 11
⇔⎨或≤x
22⎩1
所以，原不等式组的解集为{x |8.
1
≤x
2
=
a -b a +b a +b
≤
=
a -b a +b a +b
=a +b
9. （1）列车在B ，C 两站的运行误差（单位：分钟）分别是|
300480
-7|和|-11|. v v
（2）由于列车在B ，C 两站的运行误差之和不超过2分钟，所以
300480
-7|+|-11|≤2. （*） v v
300480300
当0
v v 7
[**************]
解得39≤v ≤ ; 当时，（*）式变形为7-
7711v v
[**************]解得 ; 当v >时，（*）式变形为7-
71111v v 480195195解得. 综上所述，v 的取值范围是[39，]．
1144
|
1．6 不等式的应用
1. B 2. D 3. C 4. B． 5. 2000 6. h =1 ；V =7. （1）y =50x -[12x +
1
6
x (x -1)
⨯4]-98=-2x 2+40x -98. 2
2
（2）解不等式 -2x +40x -98＞0, 得 10-＜x ＜10+.
∵ x ∈N ， ∴ 3 ≤x ≤ 17.故从第3年工厂开始盈利.
（3）(i) ∵
y 9898
≤40-22⨯98=12 =-2x +40-=40-(2x +）
x x x 98
当且仅当2x =时，即x=7时，等号成立.
x
∴ 到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元. (ii) y =-2x +40x -98=-2(x -10)+102，∴x =10时，y max =102
2
2
故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元. 8. 设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元, 则 y =(2a -x )(b +0. 01bx ) -0. 4bx =-
依题意 2a -x ≥(1)当0
b
[x 2-2(a -70) x ]+2ab 100
3a
⋅2a ，∴0a
, 即70
(2)当a -70>, 即140
22
综上所述，当70
a
人. 2
ad 2da 2
9. （1）安全负荷y 1=k ⋅2(k 为正常数） 翻转90︒后, y 2=k ⋅2
l l
y 1d
安全负荷变大.…4分当 0
y 2a
小.
（2）如图，设截取的宽为a ，高为d ，则(a ) 2+d 2=R 2, 即a 2+4d 2=4R 2.
2
∵枕木长度不变，∴u =ad 2最大时，安全负荷最大. u =d 2a 2=d 24R 2-4d 2=2d 4(R 2-d 2)
⎡d 2d 222⎤++(R -d ) ⎥22⎢ d d 22224⋅⋅(R -d ) ≤4⎢⎥
223⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
3
d 243， =R 2-d 2，即取d ==R ，当且仅当R
923取a =2R 2-d 2=23R 时，u 最大， 即安全负荷最大.
3
本章测试题
一、选择题
1.A 2.B 3.B 4.C 5.A 6.A 7.A 8.A 9.B 10.B 11. A 12.B 二、填空题
13. －2; 14. －2; 15. 1 16. 4 三、解答题 17
. b =（1
）当
a +3 =a ) ． a +1a
0
a 得b >
，且
a +b
2
此时0
a +b
a +b
>
2
（2
）当a >
0，得b
且
此时b
（3
）当a =a =b 与题设矛盾. 18. （1）∵ f ∴g (x ) =
-1
(x ) =
1+x 1-x
(0
1-x
1+x 1+x
即x =3-22时取得．∴g (x ) 的最小值为22．
（2）不等式即为1+ 令u =
+x +2=
2
+1+x ≥22，等号当且仅当
21+x
=1+x ，
x >m (m -x ) ，也就是(1+m ) x +(1-m 2) >0，
12
x ，则F (u ) =(1+m ) u +(1-m 2) >0在[, ]上恒成立，
22
∴F () >0且F (
12232
. ) >0，解得
222
1
11
+
|a +b ||a -b |
1
11
+
|a |-|b ||a |-|b |
19. 当|a|≤|b|时，不等式显然成立．当|a|>|b|时， 左=
|a +b ||a -b ||a +b ||a -b |
≥=
|(a +b )(a -b ) ||a +b |+|a -b |
≥
=
|a |-|b |
． 2
20. （1） 由
x -3
>0, 得x 3，任取x 1
x -3x -3(x -3)(x 2+3)
-log a 2=log a 1则f (x 1) -f (x 2) =log a 1, x 1+3x 2+3(x 1+3)(x 2-3)
(x 1-3)(x 2+3)
1时，f(x1)-f(x2)(x 1+3)(x 2-3)
∵ (x1-3)(x2+3)-(x1+3)(x2-3)=10(x1-x 2)0 且(x1+3)(x2-3)>0 0
f(x1)-f(x2)>0,∴f(x)单调递减.
⎧x -3
>0x -3⎪
⇒x >3. （2）若f(x)=g(x)有实根，即：log a =1+log a (x -1) ．∴ ⎨x +3
x +3⎪⎩x -1>0
x -3
∴ 即方程：=a (x -1) 有大于3的实根．
x +3x -3x -3
= a = （∵ x>3）
(x -1)(x +3) (x -3+2)(x -3+6)
=
x -3
=2
(x -3) +8(x -3) +12
1
(x -3) +
12
+8(x -3)
≤
18+43
=
2-． 4
“=”当且仅当x-3=
2-312
即下＝3＋2时成立，∴a ∈（0，）
4x -3
x 2x 21x 1x
（3） h(x)=f(x)lna+ln(x+3)-=ln(x-3)-，（x ）=-, 由-＝0有x 2-3x-4=0,h '
88x -34x -34
解得x 1=4;x2=-1（舍去）．当x ∈[4,6]时，h ! (x)
小值为h(6)=ln3-4，最大值为h(4)=-2. 21. （1
）由g (n ) ，当n =0时，由题意，可得k =8，
所以f (n ) =(100+10n )(10-
8
-100n . f (n ) =(100+10n )(10-100n =1000-（2
）由
=1000-≤1000-80⨯=520．
当且仅当
n =8时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元.
2C
2A 3b
22. 可以组建如下命题： 命题一：△命题二：△
若a 、b ABC 中，
、c 成等差数列，求证：（1）0＜B≤π; （2）a cos 2+c cos 2=2；
3、c 成等差数列, 求证：（1）0＜B≤π;
3
ABC 中，若a 、b
1+sin 2B
（2）1＜cos B +
sin B ≤
、c 成等差数列, 求证：（1）a cos 2C +c cos 2A =3b ;
2
2
2
命题三：△ABC 中，若a 、b
（2）1＜cos B +
sin B ≤命题四：△
求证：（1）0＜B≤π;
3
1+sin 2B
、c 成等比数列,
ABC 中，若a 、b
（2）1＜cos B +
sin B ≤ ．
1+sin 2B
a +c
证明：（1）∵a , b , c 成等差数列∴b=2．
a 2+c 2-(a +c ) 23(a 2+c 2) -2ac a 2+c 2-b 2==∴cos B =
6ac -2ac 1
≥8ac =2，
且B ∈(0,π) ∴0＜B ≤π；
3
2
（2）a cos
C A 1+cos C 1+cos A a +c a cos C +c cos A a +c b 3b +c cos 2=a +c =+=+=222222222；
1+sin 2B (cosB +sin B ) 2π
（3
）cos B +sin B =cos B +sin B =cos B +sin B B -4) ．
π
∵0＜B≤π ，∴-4
∴cos(B -4) ≤1，
∴1B -4) ．
3
ππππ
（4）∵a 、b 、c 成等比数列，∴
b 2=a +c
a 2+c 2-b 2a 2+c 2-ac 2ac -ac 1
=≥=且，∴cos B =2ac 2ac 2ac 2
B ∈(0,π) ，∴0＜B ≤ ．
3
π
不等式
【知识网络】
1．1 不等式的性质
【考点透视】
一、考纲指要
1．理解不等式的性质及其证明. 二、命题落点
1．不等式的性质主要以客观题形式出现往往融于其他问题之中，. 如例1，例2 2．利用不等式的性质结合已知条件比较大小、判断不等式有关结论是否成立或利用不等式研究变量的范围，求字母的取值或取值范围等.. 如练习9.
【典例精析】
例1 : 若a
11> a b
B ． 2>2 D ． () >()
a b
C ． a >b >0
1a 1b 22
1111
解析: 由 a 0, 因此a ⋅成立;
ab ab a b
由 a -b >0, 所以a >b >0成立;
x
a
b
⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫
由于 ⎪是减函数, 所以 ⎪> ⎪亦成立, 故一定不成立的是B ．
⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭
答案：B ． 例2：（2003•北京）设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是（ ） A ．a +c >b +d B ．a －c >b －d C ．ac >bd
D ．
a b
> d c
解析：∵a >b ，c >d ，∴a +c >b +D ． 答案：A ．
2x -1
>0的解集是（ ） 3x +1
1111
A ．{x |x B ．{x |-
323211
C ．{x |x > D ．{x |x >-
23
112x -1
解析:不等式>0的解是x>或x
233x +1
例3：（2005•福建）不等式答案：A ．
【常见误区】
1．不等式的“运算”只有加法法则和乘法法则，没有减法法则和除法法则，再利用数的性质进行转化时往往出错；
2．在运用不等式的性质是对不等式进行了非同解变形.
【基础演练】
1．（2004•北京）已知a 、b 、c 满足c 2．（2004•湖北) 若
④
A ．ab >ac
B ． c (b -a ) D ． ac (a -c )
11
D ．4个
（ ）
b a
+>2中，正确的不等式有 a b
A ．1个 B ．2个 C ．3个 3．（2004•辽宁）对于0
1+a
（ ）
1
) a
②log a (1+a ) >log a (1+④a
1+a
1) a
1+
1a
>a
1+
1a
D ．②与④
（ ）
其中成立的是 A ．①与③ B ．①与④ C ．②与③ 4. 对“a 、b 、c 是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a -b ) 2+(b -c ) 2+(c -a ) 2≠0； ②a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数为 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
2
（ ）
5．二次函数y =ax +bx +c (x ∈R ) 的部分对应值如下表：
2
则不等式ax +bx +c >0的解集是_________________． 6．若不等式0? ax
2
2x -5有且只有一个解，则实数a =b
a
7．比较大小：a b 与a b （a >0, b >0且a ≠b ）.
a b
1． 2
9．定义在R 上的函数f (x ) 满足: 如果对任意x 1, x2∈R, x 1, x 2∈R 都有
8．已知a >b >c , a +b +c =1, a +b +c =3, 求证b +c
2
2
2
x 1+x 21
) ≤[f (x 1) +f (x 2)], 22
则称函数 f (x ) 是R 上的凹函数．
2
已知二次函数 f (x ) =ax +x (a ∈R , a ≠0)求证: 当a >0时, 函数f (x ) 是凹函
f (
数．
1．2 算术平均数与几何平均数
【考点透视】
一、考纲指要
1．掌握两个(不扩展到三个) 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.
二、命题落点
1．以二元均值不等式的考查最为常见，命题形式往往在选择题或填空题中，如例1，例2，例3.
2．在解答题中常与最值问题结合在一起以及函数的值域等知识一起考查，试题解法突出常规方法，淡化特殊技巧，一般以求最值的形式来问如练习题9.
【典例精析】
1+cos 2x +8sin 2x
例1（:2005•全国1）当0
sin 2x 2
π
A ．2
B ．2
C ．4
D ．43
1+cos 2x +8sin 2x 2cos 2x +8sin 2x cos x 4sin x
解析：f (x ) = ==+
sin 2x 2sin x cos x sin x cos x
≥2
c o s x 4s i n x cos x 4sin x 1π
⋅=4，当且仅当，即a 取“=”，∵0
∴存在x 使tan x =
1
，这时f (x ) m ax =4， 2
答案：C ．
例2：(2005•福建) 下列结论正确的是（ ） A ．当x >0且x ≠1时, lg x +1≥2 B ．当x >0时, x +1≥2
lg x x C ．当x ≥2时, x +
1
的最小值为2 x
D ．当0
1
无最大值 x
1
当x=2x
解析：A 中lgx 不满足大于零,C 中的最小值为2的x 值取不到,D 0
3
, 选B ． 2
答案：B
⎛1⎫⎛1⎫
+y +例3：（2005•重庆）若 x , y 是正数，则 x +⎪ ⎪的最小值是（ ） 2y 2x ⎭⎝⎭⎝
A ．3 B ．
2
2
2
2
79
C ．4 D ． 22
⎛⎛1⎫⎛1⎫1⎫⎛1⎫
+y +≥2x +y +解析： x +⎪ ⎪ ⎪⎪ 2y 2x 2y 2x ⎭⎭⎝⎭⎝⎝⎭⎝
≥=4 11⎧x +=y +⎪2y 2x ⎪
1⎪
当且仅当 ⎨x =得x =y =时.
2y ⎪⎪1y =⎪
2x ⎩
答案：C
【常见误区】
1．在运用均值不等式时，对等号成立的条件不注意往往出错； 2．不注意各种不等式成立的条件，误用公式，特别是非负性的考虑.
【基础演练】
1a
1．(2006•陕西) 已知不等式(x+y)(x + y 对任意正实数x,y 恒成立, 则正实数a 的最小值为
A ．2
2
2
B ．4
2
2
2
C ．6
2
D ．8
（ ）
2．（2004•全国）a +b =1, b +c =2, c +a =2, 则ab +bc +ca 的最小值为 （ ）
1
+3 211-1-1-1x
3．已知函数f (x ) =2的反函数为f (x ), 若f (a ) +f (b ) =4, 则+的最小值为
a b
A ．－
B ．
C ．－
D ．
A ．1
B ．
（ ）
1 21
－3 21
－ 2
1 213
C ．
1 3
D ．
1 4
（ ）
4．函数y =x (1-3x ) (0
1 64
1 72
A ．
1 12
B ．
4 243
C ．D ．
5．（2005全国3）已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是a b
+≤λ的实数λ的取值范围是 ． 22
a +1b +1x y x y
7．是否存在常数c ，使得不等式对任意正实数x 、+≤c ≤+
2x +y x +2y x +2y 2x +y
y 恒成立？证明你的结论．
12
8．已知a >0, b >0，且+=1，求：
a b
（1）a +b 的最小值；
6．已知正数a , b 满足ab =1, 则满足不等式
（2）若直线l 与x 轴，y 轴分别交于A (a ,0), B (0, b )，求∆OAB 面积的最小值. 9．在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离d (米) 与车速v(千米/ 小时) 需遵循的关系是d ≥ （1）当d =
1a av 2(其中a (米) 是车身长，a 为常量) ，同时规定d ≥． 25002
a
时，求机动车车速的变化范围； 2
1000v
（2）设机动车每小时流量Q =，应规定怎样的车速，使机动车每小时流量Q 最大？
a +d
1．3 不等式的证明
【考点透视】 一、考纲指要
1．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式； 2．理解不等式│a │-│b │≤│a+b│≤│a │+│b │ 二、命题落点
1．不等式的证明的考查主要是与数列、函数、导数、向量等知识相结合考察不等式的证明方法特别是数学归纳法、综合法、比较法等方法的掌握，如例1.
2．考查不等式的基础知识、分类讨论的思想、综合思维能力，如例2，例3.
【典例精析】
例1：(2004•江苏) 已知函数f (x )(x ∈R ) 满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有 λ(x 1-x 2) 2≤(x 1-x 2)[f (x 1) -f (x 2)]
和f (x 1) -f (x 2) ≤x 1-x 2，其中λ是大于0的常数. 设实数a 0，a ，b 满足 f (a 0) =0和b =a -λf (a ) ．
（1）证明：λ≤1，并且不存在b 0≠a 0，使得f (b 0) =0； （2）证明：(b -a 0) 2≤(1-λ2)(a -a 0) 2；
（3）证明：[f (b )]2≤(1-λ2)[f (a )]2.
解析：（1）任取x 1, x 2⊂R , x 1≠x 2, 则由 λ(x 1-x 2) ≤(x 1-x 2)[f (x 1) -f (x 2)] 和|f (x 1) -f (x 2) |≤|x 1-x 2| ②
可知 λ(x 1-x 2) 2≤(x 1-x 2)[f (x 1) -f (x 2)]≤|x 1-x 2|⋅|f (x 1) -f (x 2) |≤|x 1-x 2|2， 从而
2
λ≤1. 假设有b 0≠a 0, 使得f (b 0) =0, 则由①式知
0
∴不存在b 0≠a 0, 使得f (b 0) =0.
（2）由b =a -λf (a ) ③
可知 (b -a 0) =[a -a 0-λf (a )]=(a -a 0) -2λ(a -a 0) f (a ) +λ[f (a )] ④ 由f (a 0) =0和①式，得(a -a 0) f (a ) =(a -a 0)[f (a ) -f (a 0)]≥λ(a -a 0) ⑤ 由f (a 0) =0和②式知，[f (a )]=[f (a ) -f (a 0)]≤(a -a 0) ⑥ 由⑤、⑥代入④式，得 (b -a 0) ≤(a -a 0) -2λ(a -a 0) +λ(a -a 0)
=(1-λ)(a -a 0) ． （3）由③式可知[f (b )]=[f (b ) -f (a ) +f (a )]
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=[f (b ) -f (a )]2+2f (a )[f (b ) -f (a )]+[f (a )]2
≤(b -a ) 2-2⋅=λ2[f (a )]2-≤λ2[f (a ) 2-
b -a
λ
2
[f (b ) -f (a )]+[f (a )]2 （用②式）
λ
2
(b -a )[f (b ) -f (a )]+[f (a )]2
λ
⋅λ⋅(b -a ) 2+[f (a )]2 （用①式）
=λ2[f (a )]2-2λ2[f (a )]2+[f (a )]2=(1-λ)[f (a )].
2
2
例2：(2003•北京) 设y =f (x ) 是定义在区间[-1, 1]上的函数，且满足条件： ①f (-1) =f (1) =0;
②对任意的u , v ∈[-1, 1],都有|f (u ) -f (v ) |≤|u -v |.
（1）证明：对任意的x ∈[-1, 1],都有x -1≤f (x ) ≤1-x ; （2）证明：对任意的u , v ∈[-1, 1],都有|f (u ) -f (v ) |≤1;
（3）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数y =f (x ) ，且使得
1⎧
|f (u ) -f (v ) |
⎨
⎪|f (u ) -f (v ) |=|u -v |,当u , v ∈[1, 1].⎪2⎩
若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.
解析：（1）由题设条件可知，当x ∈[-1, 1]时，有|f (x ) =|f (x ) -f (1) ≤|x -1|=1-x , 即x -1≤f (x ) ≤1-x .
（2）对任意的u , v ∈[-1, 1],当|u -v |≤1时, 有|f(u)-f(v)|≤|u -v |≤1. 当|u -v |>1时, u ⋅v 0且v -u >1,
所以，|f (u ) -f (v ) |≤|f (u ) -f (-1) |+|f (v ) -f (1) |≤|u +1|+|v -1|
=1+u +1-v =2-(v -u )
综上可知，对任意的u , v ∈[-1, 1],都有|f (u ) -f (v ) |≤1. 由（1）可得，当x ∈[0,1]时，f (x ) ≤1-x
当x ∈[-1,0]时,|f (x ) |=|f (x ) -f (-1) ≤1+x =1-|x |.
所以，当x ∈[-1,1]时,|f (x ) ≤1-|x |.因此，对任意的u , v ∈[-1, 1], 当|u -v |≤1时，|f (u ) -f (v ) |≤|u -v |≤1. 当|u -v |>1 时，有u ⋅v
所以|f (u ) -f (v ) |≤|f (u ) |+|f (v ) |≤1-|u |+1-|v |=2-(|u |+|v ) ≤1. 综上可知，对任意的u , v ∈[-1, 1],都有|f (u ) -f (v ) |≤1. （3）满足所述条件的函数不存在.
理由如下，假设存在函数f (x ) 满足条件，则由|f (u ) -f (v ) |=|u -v |,u , v ∈[, 1],
1
2
11111
得|f () -f (1) |=|-1|=. 又f (1) =0, 所以|f () |=. ①
22222
1
又因为f (x ) 为奇数，所以f (0) =0. 由条件|f (u ) -f (v ) |
2
111
得 |f () |=|f () -f (0) |
222
例3：正项数列{a n }满足a 1=1, na n +(n -1)a n a n -1-a n -1=0(n ≥2)．
2
2
（1）求a 2, a 3, a 4及a n ;
（2） 试确定一个正整数N, 使当n >N 时, 不等式
a 1+a 2+2a 3+3a 4+ +(n -1)a n >
（3）求证: (1+
241
成立; 121
1n
)
2
2
解析：（1）na n +(n -1)a n a n -1-a n -1=0⇒(n ⋅
a a n
－1)(n +1)=0,
a n -1a n -1
又∵a n -1>0, a n >0 ，故
a n 1
=, a 1=1， a n -1n
a 2=
11111=, a 3=, a 4=, …, a n = ． 22! 3! 4! n !
1k -11
=－(k ≥2), k ! (k -1)! k !
（2） 由(k -1)a k =
a 1+a 2+2a 3+3a 4+ +(n -1)a n
=1+(
1111111
－)+(－)+ … +(－)=2－
(n -1)! n ! 1! 2! 2! 3! n !
从而有2－
124111
>, ∴121． n ! 121n ! 121
∵5！=120, 6！=720, ∴n>5取N=5, n>N时, 原不等式成立.
1n
) 展开式通项: n
1r n n -1n -2n -r +111r
T r +1=Cn ·() =· … ·
n n n n n r ! r ! 1n 11111
(1+)
n 0! 1! 2! 3! n !
（3） (1+
【常见误区】
1．不注意挖掘隐含条件从而导致错误； 2．例用均值不等式时不注意非负性导致错误；
3．特别是在运用放缩法时可能会出现过大或过小的情形.
【基础演练】
1．若a ＞b ＞1，P ＝
A ．R ＜P ＜Q
a +b 1
lg a ⋅lg b ，Q ＝（lg a ＋lg b ），R ＝lg （），则
22
B ．P ＜Q ＜R
C ．Q ＜P ＜R
D ．P ＜R ＜Q
（ ）
2．若x>0，y>0，且x +
A ．22
y ≤a x +y 恒成立，则a 的最小值是 （ ）
B ．2
C ．2
B ．b 2-4ac ≤0 D ．b 2-4ac >0
（ ）
D ．1
（ ）
3．已知a >0, a -b +c
1
,0
B ． u
C ．u >1
A ． u ≤1 D ． u ≥1
5．给出下列3个命题：①若a 、b ∈
R ，则 x ∈R 且x ≠0，则x +
a +b
≥；②若x ∈R ，则x 2+1>x ；③若 2
1
≥2，其中真命题的序号为______________． x
14
+≥m 恒成立的实数m 的取值范围 x y
6．已知两个正数x , y 满足x +y =4，则使不等式 是
1x +11
（2）n ∈N n ≥2 求证 ++ +
23n 2n -1321111
8．已知函数f (x ) =ax -x 的最大值不大于，又当x ∈[, ]时, f (x ) ≥.
26428
7．（1）x ∈(0, +∞) 求证 （1）求a 的值； （2）设0
11, a n +1=f (a n ), n ∈N +. 证明a n
1⎛a ⎫
= x n +⎪, n ∈N * ⎪2⎝x n ⎭
9．数列x n 由下列条件确定：x 1=a >0, x n +1 （1）证明：对于n ≥2, 总有x n ≥
{}
a ,
（2）证明：对于n ≥2, 总有x n ≥x n +1．
1.4不等式的解法.
【考点透视】
一、考纲指要
1．掌握简单不等式的解法. 二、命题落点
1．主要考查一元二次不等式、对数不等式、指数不等式的解法主要考查非整式不等式的转化方法；如例1，例2；
2．考查含参分式不等式的解法以及分类讨论的思想方法. 如例3.
【典例精析】
例1：（2005•重庆）不等式组⎨A ．(0, )
⎧|x -2|1
2
的解集为（ ）
B ．(, 2) C ．(, 4) D ．(2, 4)
2
解析：∵x -2
1的解集为
()
+∞⋃-∞,
)(⎧⎪x -2
∴不等式⎨的解集为2
⎪⎩
log 2(x -1)>1
答案：C
4
)
1+a 2
例2：（2005•辽宁）若log 2a
1+a
111A ．(, +∞) B ．(1, +∞) C ．(, 1) D ．(0, )
222
解析：法一：代特殊值验证
1⎧
011+a ⎩⎪⎩1+a
1⎧a >⎧2a >1⎪1⎪⎪22②当⎨，即时，
1+a 2log
答案:C ．
x 2
例3：（2005•江西）已知函数f (x ) =（a ，b 为常数）且方程f (x ) －x +12=0有两个
ax +b
实根为x 1=3, x 2=4.
（1）求函数f (x ) 的解析式；
（2）设k >1，解关于x 的不等式；f (x )
(k +1) x -k
2-x
．
解析：（1）将x x 2
1=3, x 2=4分别代入方程ax +b -x +12=0，得
⎧⎪9
⎪⎨
3a +b
=-9解得⎧⎪16⎨a =-1b =2, 所以f (x ) =x 22-(x ≠2). ⎪⎩4a +b =-8⎩x
（2）不等式即为x 22-x
即(x -2)(x -1)(x -k ) >0.
①当1
②当k =2时, 不等式为(x -2) 2
(x -1) >0解集为x ∈(1, 2) ⋃(2, +∞); ③当k >2时, 解集为x ∈(1, 2) ⋃(k , +∞) ．
【常见误区】
1．解分式不等式时忘掉分式成立的条件或对函数的单调形运用错误； 2．解含参数不等式时对字母讨论不全面.
【基础演练】
1．(2004•天津) 不等式x -1
x
≥2的解集为 （ A ． [-1, 0) B ． [-1, +∞)
C ． (-∞, -1]
D ． (-∞, -1] (0, +∞)
2
≤的解集为{x |1≤x ≤2}, 则实数a 的取值集合为 （
A ． ⎨⎧1⎬⎫⎩2⎭
B ． {1 } C ． {a| a>1}
D ． {a |a ≥12
}
） ）
3．（2005•辽宁）在Ｒ上定义运算⊗：x ⊗y =x (1-y ) ．若不等式(x -a ) ⊗(x +a )
任意实数x 成立，则
A ．-1
B ．0
C ．-
（ ）
13
D ．-
31
2
⎧⎪(x +1) , x
4．设函数f (x ) =⎨ ，则使得f (x ) ≥1的自变量x 的取值范围为（ ）
⎪⎩4-x -1, x ≥1
A ．(-∞, -2] [0, 10] C ．(-∞, -2] [1, 10]
B ．(-∞, -2] [0, 1] D ．[-2, 0] [1, 10]
5．已知f (x ) =⎧⎨
1, x ≥0, 则不等式xf (x ) +x ≤2≤5的解集是. ⎩-1, x 〈0,
⎧1
x -1(x ≥0), ⎪⎪2
若f (a ) >a . 则实数a 的取值范围是6．( 2004•全国) 设函数f (x ) =⎨
1⎪(x
7．实系数方程x +ax +2b =0的一根大于0且小于1, 另一个根大于1且小于2, 求 取值范围. 8．解关于x 的不等式
2
b -2
的 a -1
x -a
＜0（a ∈R ）． 2
x -a
9．记函数f(x)=2-
x +3
的定义域为A, g(x )=lg[(x －a －1)(2a －x )](a
（1）求A ；
（2）若B ⊆A, 求实数a 的取值范围.
1．5 含有绝对值的不等式
【考点透视】
一、考纲指要
1．掌握绝对值不等式的概念及其性质.
2．理解不等式│a │-│b │≤│a+b│≤│a │+│b │. 二、命题落点
1．含绝对值不等式的解法主要出现在选择题、填空题中；如例1，例2； 2．证明主要出现在解答题中对能力要求较高. 如例3.
【典例精析】
例1： (2004•辽宁) 设全集U=R 解关于x 的不等式|x -1|+a -1>0(a ∈R ) ． 解析： 由|x -1|+a -1>0得|x -1|>1-a .
当a >1时，解集是R ；
当a ≤1时，解集是{x |x 2-a }.
例2:（2005•山东）0
A ．log (1+a ) (1-a ) +log (1-a ) (1+a ) >2 B ．log (1+a ) (1-a )
C ．log (1+a ) (1-a ) +log (1-a ) (1+a ) log (1+a ) (1-a ) -log (1-a ) (1+a )
解析：∵ 01，0
lg(1-a ) lg(1+a )
+]>2．
lg(1+a ) lg(1-a )
答案: A ．
2
例3：（2005•浙江）已知函数f (x ) 和g (x ) 的图象关于原点对称，且f (x ) ＝x ＝2x ． （1）求函数g (x ) 的解析式；
（2）解不等式g (x )≥f (x ) －|x －1|．
解析：（1）设函数y=f(x)的图象上任一点Q(xq ,y q 关于原点的对称点(x,y),
⎧x q +x
=0⎪⎧⎪x q =-x , ⎪2
则⎨即⎨∵点 Q (x q , x p )在函数f (x )的图象上, ⎪y q +y =0, ⎪⎩y q =-y . ⎪⎩2
2
∴ -y =-x +2x 故g (x )=-x +2x ．
2
（2）由g(x)≥f (x ) －|x －1|，可得2x 2-|x-1|≤0． 当x≥1时,2x 2-x+1≤0,此时不等式无解；
1． 21
因此，原不等式的解集为[-1,]．
2
当x
【常见误区】
1．运用不等式│a │-│b │≤│a+b│≤│a │+│b │时出现错误； 2．对绝对值的意义理解有误，分类不全面导致错误.
【基础演练】
1．不等式1
A ．(-1,3) C ．(-4, -3)
B ．(-3,1) (3,4) D ．(-4, -3) (-1,3)
（ ）
（ ）
x 2
A ． x -1
{}
B ．⎨x -
⎧⎩
3⎫
C ．⎨x -
⎧⎩5⎫
D ． x -2
{}
3．若不等式|ax +2|
（ ）
A ．8 B ．2 C ．－4 D ．－8
4．若a ，b ∈R ，则不等式|2+ax |≥|2x +b |的解集为R 的充要条件是
A ．a =±2
（ ）
B ．a =b =±2 C ．ab =4且|a |≤2 D ．ab =4且|a |≥2
5．不等式|x +2|≥|x |的解集是. 6．不等式(1+x )1-x >0的解集. 7．解不等式|
()
2x -1-x |
8．设a , b ∈R 且a ≠
b
9．某段城铁线路上依次有A 、B 、C 三站，AB=5km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A 站发车，8时07分到达B 站并停车1分钟，8时12分到达C 站. 在实际运行中，假设列车从A 站正点发车，在B 站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm /h 匀速行驶，列车从A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差.
（1）分别写出列车在B 、C 两站的运行误差;
（2）若要求列车在B ，C 两站的运行误差之和不超过2分钟，求v 的取值范围.
1．6 不等式的应用
【考点透视】
一、考纲指要
1．考查运用不等式在几何、函数，以及实际生活中的运用 二、命题落点
1．常结合函数、数列考查不等式的运用，特别是均值不等式的运用如例1，例2，例3.
【典例精析】
例1：（2004•广西卷）某村计划建造一个室内面积为800m 的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？
解析：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则 a b=800. 蔬菜的种植面积
2
S =(a -4)(b -2) =ab -4b -2a +8=808-2(a +2b ).
所以 S ≤808-42ab =648(m ).
当a =2b , 即a =40(m ), b =20(m ) 时, S 最大值=648(m ).
答：当矩形温室的左侧边长为40m ，后侧边长为20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m 2.
例2：（2004•上海）某单位用木料制作如图5-6-1所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y(单位：m) 的矩形. 上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8m 2. 问x 、y 分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?
图5-6-1
2
2
x 28-
12=8-x (0
x 4x 4
于是, 框架用料长度为 l =2x +2y+2(
32316
x )=(+2) x +≥≥2(+2) =46+42.
222x
当(
316
+2) x =, 即x =8－42时等号成立. 2x
此时, x ≈2.343,y=22≈2.828. 故当x 为2.343m,y 为2.828m 时, 用料最省.
例3：某厂家拟在2004年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（m ≥0) 满足x =3-
k
）（k 为常数），如果不搞促销m +1
活动，则该产品的年销售量只能是1万件。已知2004年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
（1）将2004年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2004年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解析：（1）由题意可知当m =0时, x =1(万件), 每件产品的销售价格为1. 5⨯
∴1=3-k ⇒k =2, ∴x =3-
2
, m +1
8+16x
(元) ， x
∴2004年的利润y =x ⋅[1. 5⨯ =-[（2） m ≥0时,
8+16x 2
]-(8+16x +m ) =4+8x -m =4+8(3-) -m x m +1
16
+(m +1)]+29m +1
(m ≥0) ．
16
+(m +1) ≥2=8， m +1
16
=m +1⇒m =3(万元) 时, y m ax =21（万元） ． m +1
∴y ≤-8+29=21, 当且仅当
【常见误区】
1．不能正确建立函数模型从而导致错误； 2．对实际情况考虑不够会产生多解或漏解
【基础演练】
1．王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费
. ）
若王先生每月拨打本地电的时间是拨打长途电话时间的5倍, 若要用联通130应最少打多 长时间的电话才合算 （ ） A ．300秒 B ．400秒 C ．500秒 D ．600秒 2．一批物品要用11辆汽车从甲地运到360km 外的乙地. 若车速为v km /时，且车的距离不能
⎛v ⎫
少于 ⎪km ，则运完这批物品至少需要
⎝10⎭
2
（ ）
A ．11小时 B ．10小时 C ．13小时 D ．12小时
3．现有一块长轴为10分米，短轴长为8分米的椭圆形玻璃镜子，欲从此镜子中划出一块面积尽可能大的矩形镜子，则可划出的矩形镜子的最大面积为 （ ）
A ．10平方分米
B ． 20平方分米
C ． 40平方分米
D ．
1600
平方分米 41
4．一种容积规定为500 ml 的圆柱形罐头盒，要使制造罐头盒所用的金属薄板材料最少，这种圆柱的高和半径的比应为 （ ） A ．1∶1 B ． 2∶1 C ．3∶1 D ．3∶2
5．用一张边长为30的正方形纸在它的四个角上剪去一个同样大小的正方形不用，做一个无盖的长方体纸盒，（剪贴处的厚度和损耗不计）则这个纸盒体积的最大值是 . 6．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2m 的倒置的正四棱锥形有盖容器，设容器高为h m ，盖子边长为a m . 记容器的容积为V ，当h = m 时， V 有最大 m ．
7．某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、
3
2
保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元. （1）写出y 与x 之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）； （3）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：
（i ）当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；
（ii ）当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请
说明你的理由. 8．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a
（140
9．一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度
l
a 成正比，与它的厚度d 的平方成正比，与它的长度l 的平 方成反比.
（1）枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷 d
a 变大吗？为什么？
（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R ）的木材，
用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全 负荷最大？
3
，为获得最大的经济4
本章测试题
一、选择题：（本题每小题5分，共60分．）
1．已知实数a 、b 、c 满足b +c =6-4a +3a 2，c -b =4-4a +a 2，则a 、b 、c 的大小关系是 （ ） A ．c ≥b ＞a B ．a ＞c ≥b C ．c ＞b ＞a D ．a ＞c ＞b 2．若0
A ．
1
2
1
，b ，2ab ，a 2+b2中最大的是 2
D ．a 2+b2
（ ）
B ．b
1
C ．2ab
3．不等式
（ ）
13A ．(,1) (1,)
22
13
B ．(-∞, ) (, +∞)
2213
D ． (,1) (, +∞)
22
3
C ．(-∞,1) (, +∞)
2
4．设实数x , y 满足x +y =4,
（ ）
A ．
B ．4
⎩
2
C ．
3⎭
D ．8
（ ）
11⎫5．若不等式ax 2+bx +2>0的解集为⎧⎨x -
A ．-10 B ． -14 C ． 10
6．关于x 的方程9x +(a+4)·3x +4=0有解，则实数a 的取值范围是 A ．（-∞，-8）∪[0，+∞+ B ．（-∞，-4）
C ．[-8，4]
1
4-x
D ． 14 （ ）
D ．（-∞，-8）
C ．有最大值—2 C ．R
D ．有最小值2
（ ） （ ）
7．若x >4，则函数y =-x +
A ．有最大值—6
B ．有最小值6
8．不等式|
x x
的解集是 |>
x +2x +2
A ．(-2,0) B ．(-2,0] D ．(-∞, -2) (0,+∞) D ．p≤q
（ ）
9．已知p =a +
21
，则 (a >2) ，q =2-a +4a -2（a>2）
a -2
A ．p>q B ．p
A ．h (x )
C ．p≥q
10．设a
>1，若f (x ) =a x ，g (x ) =x , h (x ) =log a x ，且x >1，则（ ）
C ．f (x )
2
B ．h (x )
11．若不等式(a -2)x +2(a -2)x -4
A ．[-2, 2]
B ．(-2,2]
C ．(2, +∞)
D ．-∞, 2]
（ ）
(
12．已知定义在R 上的函数y =f (x ) 满足下列三个条件：①对任意的x ∈R 都有
0≤x 1
轴对称，则下列结论中，正确的是 A ．f (4.5)
B ．f (4.5)
（ ）
二、填空题：（本题每小题４分，共１６分．） 13．若不等式
x +a
>0的解集为{x |-32}，则a = .
x 2+4x +3
y -3
=2, x 、y ∈R }，B ={(x , y ) |4x +ay =16, x 、y ∈R }，若A B =∅，x -1
x y
最大值是 . +
x 2+1y 2+1
14．已知集合A ={(x , y ) |
则实数a 的值为 . 15．已知正数x , y 满足xy =1，则
16．已知a 、b 、c 为某一直角三角形的三条边长，C 为斜边，若点(m , n ) 在直线ax +by +2c =0 上，则m
2
+n 2的最小值是.
三、解答题：（本题共７４分）
17．（本小题满分12分）已知a 、b 为不等式的正数，且b =
按从小到大的顺序排列，并证明你的结论． 18．（本小题满分12分）已知f (x ) =(
（1）若g (x ) =
a +b a +3
a 、b 四个数
2a +
1
x -12
) (x >1) ． x +1
1
+x +2，求g (x ) 的最小值；
f -1(x )
x ) ⋅f
-1
（2）若不等式(1-
m 的取值范围．
11
(x ) >m ⋅(m -x ) 对于一切x ∈[, ] 恒成立，求实数
42
|a 2-b 2||a ||b |
19．（本小题满分12分）已知a≠0，求证：≥ -
2|a |22
20．（本小题满分12分）（理）已知函数f (x ) =log a
x -3
, (a >0且a ≠1). x +3
（1）判定f(x)的单调性，并证明；
（2）设g(x)=1+loga (x -1)，若方程f(x)=g(x)有实根，求a 的取值范围；
x 2
（3）求函数h(x)=f(x)lna+ln(x+3)-在[4，6]上的最大值和最小值． 8
21．（本小题满分12分）某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10
元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n 次投入后，每只产
品的固定成本为g (n ) 第n 次投入后的年利润为f (n ) 万元．
（k >0, k 为常数, n ∈Z 且n ≥0），若产品销售价保持不变，
（1）求k 的值, 并求出f (n ) 的表达式；
（2）问从今年算起第几年利润最高? 最高利润为多少万元?
22．（本小题满分14分）△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边的长分别为a 、b 、c ，有下列
两个条件：（1）a 、b 、c 成等差数列; （2）a 、b 、c 成等比数列. 现给出三个结论：
（1）0
π3
;
2C +cos 2A =3b
;
2221+sin 2B
≤. （3
）1
cos B +sin B
请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件，三个结论中的两个为结论，组建一个你认为正确的命题，并证明之.
参考答案
1．1 不等式的性质
1.C 2. B 3. D．4. C 5. {x x 3}6. -
1． 5
a a b b ⎛a ⎫
7. 因为b a = ⎪
a b ⎝b ⎭⎛a ⎫ ⎪⎝b ⎭
a -b
a -b
且a >0, b >0, a ≠b . 若a >b ，则
a
>1, a -b >0，所以b
a -b
a ⎛a ⎫⎛a ⎫
> ⎪=1；若a
b ⎝b ⎭⎝b ⎭⎛a ⎫
> ⎪=1．因此⎝b ⎭
a a b b >a b b a .
8．由(a +b +c )=1, a +b +c =3, 得ab +bc +ca =-1. 由a >b >c , 知至少有
2
2
2
2
c 1．又∵a >b , ∴a +a >a +b >1⇒a >
9. 因为f (
11, ∴ b +c
x 1+x 2x +x 22x +x 2
) =a (1) +(1), 222112[f (x 1) +f (x 2)]=[ax 1+x 1+ax 22+x 2]， 22
所以，作差得到
x 1+x 21
) -[f (x 1) +f (x 2)]22 x 1+x 22x 1+x 2112
=a () +() -a (x 12+x 2) -(x 1+x 2)
2222
22
x 1+x 221x 12+2x 1x 2+x 22x 12+2x 222
=a () -a (x 1+x 2) =a (-)
2244
2
-x 12+2x 1x 2-x 2x -x =a =-a (12) 2≤0(a >0) ,
42x +x 21
即有f (1) ≤[f (x 1) +f (x 2)],
22f (
故知函数f (x ) 为凹函数． 1．2 算术平均数与几何平均数 1. B 2. B 3. B 4.A 5. 3 6.
λ≥1.
2
．下面分两部分给出证明： 3
7. 当x =y 时，由已知不等式得c =⑴先证
x y 2
+≤，此不等式
2x +y x +2y 3
⇔3x (x +2y ) +3y (2x +y ) ≤2(2x +y )(x +2y )
⇔2xy ≤x 2+y 2，此式显然成立；
⑵再证
x y 2
+≥，此不等式
x +2y 2x +y 3
⇔3x (2x +y ) +3y (x +2y ) ≥2(x +2y )(2x +y )
⇔x 2+y 2≥2xy ，此式显然成立．
综上可知，存在常数c =
2
，是对任意的整数x , y 题中的不等式成立． 3
8. （1
）3+（2）S min =4． 9. (1) 由
a 1
≥a v 2, 得 0
5000021000v
, Q 是v v 的一次函数，v =252，Q 最大为，当33a a 2
(2) 当v ≤252时, Q =
v >252时, Q =
[1**********]000
≤, ∴当v =50时Q 最大为.
1v a a a (+) v 25000
1．3 不等式的证明
9
1. B 2. C 3. D 4. B 5. ② 6. (-∞, ]
4
7. （1）令1+
11
．于是，原不等式等价于=t ， 由 x >0知t >1， x =
x t -1
11
一方面，令 f (t ) =t -1-ln t ， 则有f '(t ) =1-，当t ∈(1, +∞) ，1-
t t
有f '(t ) >0 从而可以知道，函数f (t ) 在t ∈(1, +∞) 上是递增函数，所以有
1
f (t ) >f (1) =0，即得 t -1>ln t ． 另一面，令 g (t ) =ln t -1+ ，则有
t
11t -1
g '(t ) =-2=2，当t ∈(1, +∞) 时，有g '(t ) >0，从而可以知道，函数g (t ) 在
t t t
1
t ∈(1, +∞) 上是递增函数，所以有g (t ) >g (1) =0 ，即得ln t >1-．
t
1x +11
综上可知
x +1x x
1x +11
（2）联系不等式（１）和（２），就会发现，令x =1, 2, , n -1 时，不等式
x +1x x
也成立，于是代入，将所得各不等式相加，得
11123n 11 ++ +
23n 12n -12n -1
11111即 ++ +
23n 2n -1
a a 21321
≤, 即a 2≤1. ① 8．（1）由于f (x ) =ax -x 的最大值不大于, 所以f () =
36626
⎧1f () ≥⎪111⎪2
又x ∈[, ]时f (x ) ≥, 所以⎨
428⎪f (1) ≥
⎪⎩4
由①②得a =1.
1⎧a 31
, ⎪-≥, 8⎪288即⎨解得a ≥1. ② 1⎪a 31, -≥. 8⎪⎩4328
11，不等式0
211
因f (x ) >0, x ∈(0, ), 所以0
363
1
（ii ）假设n =k (k ≥2) 时，不等式0
k +1
3211
因为f (x ) =x -x 的对称轴为x =, 知f (x ) 在[0, ]为增函数，
233111
所以由0
k +13k +1
（2）（i ）当n=1时，0
0
131111k +41-⋅+-=-
k +12(k +1) k +2k +2k +22(k +1) (k +2) k +2
所以当n =k +1时，不等式也成立.
根据（i ）（ii ）可知，对任何n ∈N ，不等式a n 0及x n +1=
*
1
成立. n +1
1a 1a a
(x n +) 知x n >0, 从而x n +1=(x n +) ≥x n ⋅=a (n ∈N *) 2x n 2x n x n
∴当n ≥2时x n ≥a 成立
2）当n ≥2时，x n ≥
a >0, x n +1=
1a 1a
(x n +), ∴x n +1-x n =(-x n ) 2x n 2x n
1a -x n 2
≤0. ∴n ≥2时, x n ≥x n +1成立 =⋅
2x n
1．4 不等式的解法
1. A 2. A 3. C 4. A 5. ⎨x |x ≤
⎧
⎩3⎫
⎬ 6. a
⎧x 1+x 2=-a
7. 设方程的两个根为x 1, x 2, 由根与系数关系的得 ⎨
x ⋅x =2b ⎩12
111⎧
2
41-a ⎩0
8. 原式⇒（x －a ）（x －a 2）＜0，∴x 1＝a ，x 2＝a 2
当a =a 2时，a =0或a =1，x ∈∅，当a ＜a 2时，a ＞1或a ＜0，a ＜x ＜a 2， 当a ＞a 2时0＜a ＜1，a 2＜x ＜a ，
．
∴当a ＜0时a ＜x ＜a 2，当0＜a ＜1时，a 2＜x ＜a ，当a ＞1时，a ＜x ＜a 2，当a =0或a =1时，x ∈∅． 9. (1)2－
x +3x -1
≥0, 得≥0, x
(2) 由(x －a －1)(2a －x )>0, 得(x －a －1)(x －2a )2a , ∴B=(2a , a +1).∵B ⊆A, ∴2
11
或a ≤－2, 而a
取值范围是 (－∞,－2) ∪[,1]．
2
a ≥1或a +1≤－1, 即a ≥1．5 含有绝对值的不等式
1. D2. D3. C4. D 5. {x |x ≥－1} 6. x x
{}
⎧⎪2x -1-x
7. 原不等式⇔⎨
⎪⎩2x -1-x >-2.
⎧2x -1≥0, 1⎧
x ≥⎪1⎪因为2x -1-x
2⎪x 2+2x +5>0⎪2
⎩⎩2x -1
又
⎧2x -1≥0, ⎧x ≥2, 1⎧2x -1≥0, ⇔⎨⎪或≤x -2⇔⎨x -2≥0, 或⎨2
2⎩x -6x +5
⎩2x -1>(x -2)
1⎧x ≥2, 11
⇔⎨或≤x
22⎩1
所以，原不等式组的解集为{x |8.
1
≤x
2
=
a -b a +b a +b
≤
=
a -b a +b a +b
=a +b
9. （1）列车在B ，C 两站的运行误差（单位：分钟）分别是|
300480
-7|和|-11|. v v
（2）由于列车在B ，C 两站的运行误差之和不超过2分钟，所以
300480
-7|+|-11|≤2. （*） v v
300480300
当0
v v 7
[**************]
解得39≤v ≤ ; 当时，（*）式变形为7-
7711v v
[**************]解得 ; 当v >时，（*）式变形为7-
71111v v 480195195解得. 综上所述，v 的取值范围是[39，]．
1144
|
1．6 不等式的应用
1. B 2. D 3. C 4. B． 5. 2000 6. h =1 ；V =7. （1）y =50x -[12x +
1
6
x (x -1)
⨯4]-98=-2x 2+40x -98. 2
2
（2）解不等式 -2x +40x -98＞0, 得 10-＜x ＜10+.
∵ x ∈N ， ∴ 3 ≤x ≤ 17.故从第3年工厂开始盈利.
（3）(i) ∵
y 9898
≤40-22⨯98=12 =-2x +40-=40-(2x +）
x x x 98
当且仅当2x =时，即x=7时，等号成立.
x
∴ 到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元. (ii) y =-2x +40x -98=-2(x -10)+102，∴x =10时，y max =102
2
2
故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元. 8. 设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元, 则 y =(2a -x )(b +0. 01bx ) -0. 4bx =-
依题意 2a -x ≥(1)当0
b
[x 2-2(a -70) x ]+2ab 100
3a
⋅2a ，∴0a
, 即70
(2)当a -70>, 即140
22
综上所述，当70
a
人. 2
ad 2da 2
9. （1）安全负荷y 1=k ⋅2(k 为正常数） 翻转90︒后, y 2=k ⋅2
l l
y 1d
安全负荷变大.…4分当 0
y 2a
小.
（2）如图，设截取的宽为a ，高为d ，则(a ) 2+d 2=R 2, 即a 2+4d 2=4R 2.
2
∵枕木长度不变，∴u =ad 2最大时，安全负荷最大. u =d 2a 2=d 24R 2-4d 2=2d 4(R 2-d 2)
⎡d 2d 222⎤++(R -d ) ⎥22⎢ d d 22224⋅⋅(R -d ) ≤4⎢⎥
223⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
3
d 243， =R 2-d 2，即取d ==R ，当且仅当R
923取a =2R 2-d 2=23R 时，u 最大， 即安全负荷最大.
3
本章测试题
一、选择题
1.A 2.B 3.B 4.C 5.A 6.A 7.A 8.A 9.B 10.B 11. A 12.B 二、填空题
13. －2; 14. －2; 15. 1 16. 4 三、解答题 17
. b =（1
）当
a +3 =a ) ． a +1a
0
a 得b >
，且
a +b
2
此时0
a +b
a +b
>
2
（2
）当a >
0，得b
且
此时b
（3
）当a =a =b 与题设矛盾. 18. （1）∵ f ∴g (x ) =
-1
(x ) =
1+x 1-x
(0
1-x
1+x 1+x
即x =3-22时取得．∴g (x ) 的最小值为22．
（2）不等式即为1+ 令u =
+x +2=
2
+1+x ≥22，等号当且仅当
21+x
=1+x ，
x >m (m -x ) ，也就是(1+m ) x +(1-m 2) >0，
12
x ，则F (u ) =(1+m ) u +(1-m 2) >0在[, ]上恒成立，
22
∴F () >0且F (
12232
. ) >0，解得
222
1
11
+
|a +b ||a -b |
1
11
+
|a |-|b ||a |-|b |
19. 当|a|≤|b|时，不等式显然成立．当|a|>|b|时， 左=
|a +b ||a -b ||a +b ||a -b |
≥=
|(a +b )(a -b ) ||a +b |+|a -b |
≥
=
|a |-|b |
． 2
20. （1） 由
x -3
>0, 得x 3，任取x 1
x -3x -3(x -3)(x 2+3)
-log a 2=log a 1则f (x 1) -f (x 2) =log a 1, x 1+3x 2+3(x 1+3)(x 2-3)
(x 1-3)(x 2+3)
1时，f(x1)-f(x2)(x 1+3)(x 2-3)
∵ (x1-3)(x2+3)-(x1+3)(x2-3)=10(x1-x 2)0 且(x1+3)(x2-3)>0 0
f(x1)-f(x2)>0,∴f(x)单调递减.
⎧x -3
>0x -3⎪
⇒x >3. （2）若f(x)=g(x)有实根，即：log a =1+log a (x -1) ．∴ ⎨x +3
x +3⎪⎩x -1>0
x -3
∴ 即方程：=a (x -1) 有大于3的实根．
x +3x -3x -3
= a = （∵ x>3）
(x -1)(x +3) (x -3+2)(x -3+6)
=
x -3
=2
(x -3) +8(x -3) +12
1
(x -3) +
12
+8(x -3)
≤
18+43
=
2-． 4
“=”当且仅当x-3=
2-312
即下＝3＋2时成立，∴a ∈（0，）
4x -3
x 2x 21x 1x
（3） h(x)=f(x)lna+ln(x+3)-=ln(x-3)-，（x ）=-, 由-＝0有x 2-3x-4=0,h '
88x -34x -34
解得x 1=4;x2=-1（舍去）．当x ∈[4,6]时，h ! (x)
小值为h(6)=ln3-4，最大值为h(4)=-2. 21. （1
）由g (n ) ，当n =0时，由题意，可得k =8，
所以f (n ) =(100+10n )(10-
8
-100n . f (n ) =(100+10n )(10-100n =1000-（2
）由
=1000-≤1000-80⨯=520．
当且仅当
n =8时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元.
2C
2A 3b
22. 可以组建如下命题： 命题一：△命题二：△
若a 、b ABC 中，
、c 成等差数列，求证：（1）0＜B≤π; （2）a cos 2+c cos 2=2；
3、c 成等差数列, 求证：（1）0＜B≤π;
3
ABC 中，若a 、b
1+sin 2B
（2）1＜cos B +
sin B ≤
、c 成等差数列, 求证：（1）a cos 2C +c cos 2A =3b ;
2
2
2
命题三：△ABC 中，若a 、b
（2）1＜cos B +
sin B ≤命题四：△
求证：（1）0＜B≤π;
3
1+sin 2B
、c 成等比数列,
ABC 中，若a 、b
（2）1＜cos B +
sin B ≤ ．
1+sin 2B
a +c
证明：（1）∵a , b , c 成等差数列∴b=2．
a 2+c 2-(a +c ) 23(a 2+c 2) -2ac a 2+c 2-b 2==∴cos B =
6ac -2ac 1
≥8ac =2，
且B ∈(0,π) ∴0＜B ≤π；
3
2
（2）a cos
C A 1+cos C 1+cos A a +c a cos C +c cos A a +c b 3b +c cos 2=a +c =+=+=222222222；
1+sin 2B (cosB +sin B ) 2π
（3
）cos B +sin B =cos B +sin B =cos B +sin B B -4) ．
π
∵0＜B≤π ，∴-4
∴cos(B -4) ≤1，
∴1B -4) ．
3
ππππ
（4）∵a 、b 、c 成等比数列，∴
b 2=a +c
a 2+c 2-b 2a 2+c 2-ac 2ac -ac 1
=≥=且，∴cos B =2ac 2ac 2ac 2
B ∈(0,π) ，∴0＜B ≤ ．
3
π