第五节 电场强度与电势差的关系
1．电场强度与电势差的区别 (1)物理意义不同：电场强度 E 描述电场_______的特征，电势差 U 描述电场________的特征．
(2)E 是________量，U 是_______量．
(3)表达式不同：E ＝________，U ＝_______. (4)单位不同：E 为________，U 为________． 2．电场强度与电势差的关系 (1)在匀强电场中 E ＝________.
说明：①U 表示 A 、B 两点间的电势差，d 表示 A 、B 两点________方向的距离，或两点____________________间的距离． ②此式只适用于________电场．
(2)电场中，电势降落最快的方向为________________．
(3)在匀强电场中，场强在数值上等于____________每单位距离上的电势差．
知识点 1 电场强度和电势差的关系
1．若沿场强方向移动电荷
如图 1－5－1 表示某一匀强电场的等势面和电场线．沿场强方向把正电荷 q 由 A 点移动到 B 点，设 A 、B 两点间的距离为 d ，电势差为 U ，场强为 E . 则电场力所做的功：
从力的角度： W ＝________＝________① 从能的角度： W ＝________②
由 ① ② 两 式 得 ： U ＝ ________ 或 E ＝ ________(d 为____________________) 结论：(1)在匀强电场中，沿场强方向的两点间的电势差等于___________________________ (2)在匀强电场中，场强在数值上等于
_____________________________________.
(4)单位关系：1 V/m ＝1 N/C. 2．若不是沿场强方向移动电荷
如图 1－5－2，在匀强电场 E 中，有相距为 L 的 A 、B 两点，两点连线与场强方向成α角．则 A 、B 两点间的电势差为 U ＝EL ，对不对？
答案：把正电荷从 B ′点移动到 B 点的过程中，与电场力方向垂直，故在此方向上电场力不做功，因此把正电荷从 A 点移动到 B 点电场力所做的功相当于把正电荷从 A 点移动到 B ′点电场力所做的功．
1．电势差和电场强度的关系的三种说法
(1)在匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场线方向的距离的乘积，即 U ＝Ed .
(2)在匀强电场中电场强度的大小等于某两点间的电势差与这两点沿电场线方向的距离的比值，即
(3)电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势． 2．对公式 U ＝Ed 的理解
(1)公式 U ＝Ed 中 d 必须是沿场强方向的距离，如果电场中两点不沿场强方向，d 的取值应为在场强方向的投影，即为电场中该两点所在的等势面的垂直距离． (2)由 U ＝Ed 推出的三个结论． ①在匀强电场中，与电场方向不垂直的任意一条直线上两点间的电势差大小之比等于直线上相应间距之比．结合图 1－5－3，
此结论可用公式表达如下：
②在匀强电场中，在与电场方向不垂直的任意两条平行直线上分别取间距相等的两点 A 、B 和 C 、D ，则有 U AB ＝U CD ，如图 1－5－4 所示．
③如图1－5－5所示，若 AB cos α＝CD cos β，即AB 和CD 在匀强电场方向的投影长度相等，则 UAB ＝UCD .
【例 1】平行的带电金属板 A 、B 间是匀强电场，如图 1－5－6 所示，两板间距离是 5 cm，两板间的电压是 60 V. (1)两板间的场强是多大？
(2)电场中有 P 1 和 P 2 两点，P 1 点离 A 板 0.5 cm，P 2 点离 B 板也是 0.5 cm，P 1 和 P 2 两点间的电势差多大？ (3)若 B 板接地，p 1 和 p 2 两点的电势各是多少伏？
思维总结：应用 U ＝Ed 求两点间的电势差，一定要正确理解 d 是两点间沿电场线方向的距离，而求某点的电势，我们是通过求这点与电势零点的电势差实现的，由 U ＝Ed 计算其数值，电势的正负由该点与电势零点的电势高低比较而定．
【例 2】(双选) 如图 1－5－7 所示，实线为电场线，虚线为等势线，且 AB ＝BC ，电场中的 A 、B 、C 三点的场强分别为 E A 、E B 、E C ，电势分别为φA 、φB 、φC ，AB 、BC 间的电势差分别为U AB 、U BC ，则下列关系中正确的有(
)
思路点拨：公式 U ＝Ed 在非匀强电场中可用于定性分析．
解析：由题图中电场线的分布规律可知，电场不是匀强电场，C 附近稠
密，A 附近稀疏，C 附近的场强大于 A 附近的场强，选项 B 正确；由公式 U ＝Ed 知：U BC >U AB ，选项 CD 错；
由电场线的方向是电势降低的方向可得，选项 A 正确． 答案：AB 【触类旁通】
1．如图 1－5－8 所示，匀强电场场强 E ＝100 V/m，A 、B 两点相距 10 cm，A 、B 连线与电场线夹角为 60°，则 U BA 的值为(
)
2．如图 1－5－9 所示，在一匀强电场区域中，有 A 、B 、C 、D 四点恰好位于一平行四边形的四个顶点上，已知 A 、B 、C 三点电势分别为φA ＝1 V，φB ＝4 V，φC ＝0，则 D 点电势φD 的大小为(
)
解析：在匀强电场中，由于 AD 与 BC 平行且相等，故 U AD ＝U BC ，即φA －φD ＝φB －φC ，代入数据解得φD ＝－3 V.
3．图 1－5－10 中的实线为电场线，虚线为等势线，a 、b 两点的电势分别为φa ＝－50 V，φb ＝－20 V，则 a 、b 连线的中点 c 的电势φc 应为( ) A ．φc ＝－35 V B ．φc >－35 V C ．φc
35 V
D ．条件不足，无法判断φc 的高低 解析：由图可知 E b φb －15 V ＝ －35 V，故 B 项正确． 知识点 2 等势面和电场线的关系
1．匀强电场中，等势面和电场线关系如何？
答案：电场线和等势面垂直，电场线是等间距的一组直线，等势面也是等间距的一簇平面，电场线指向电势降低最快的方向．
2．非匀强电场中，等势面和电场线关系如何？等差等势面之间的距离相等吗？
答案：电场线和等势面垂直，电场线指向电势降低的方向，等差等势面之间距离不等，电场强度大，电场线密集，等势面密集；电场强度小，电场线稀疏，等势面稀疏．如点电荷电场 中的等势面．
结论：等差等势面密处场强________ ，等势面疏处场强________．
(1)匀强电场的场强为多大？方向如何？ (2)A 、B 两点间的电势差为多大？
解：根据电势差的定义式得
－6
2.0×10W U AB ＝
q －1.0×10－V ＝－2 V
设A 、B 两点所在等势面间的距离为d ，则 d ＝AB cos 60°＝2×0.5 cm＝1 cm
|－2||U |
所以E ＝d 1×10－V/m＝200 V/m
因为U AB ＝φA －φB ＝－2 V
所以φA ＜φB ，而电场线方向是由高电势指向低电势，因而 电场方向沿直线由下而上．
【触类旁通】
4．(双选) 如图 1－5－12 所示，平行直线 AA ′、BB ′、CC ′、DD ′、EE ′，分别表示电势－4 V、－2 V、0、2 V、4 V 的等势线，若 AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝2 cm，且与直线 MN 成 30°角，则(
)
电场强度三个公式的对比
【例 4】以下关于与电场强度有关的几个公式的说法，其中不正确的是( )
A ．公式U ＝Ed 只适用于匀强电场
B ．只要电场中电场线是直线，公式U ＝Ed 就适用
F
C ．公式E ＝是定义式，适用于任何电场
q Q
D ．公式E ＝k
r
解析：在点电荷电场中电场线是直线，但公式 U ＝Ed 不成立，故 B 错． 答案：B
【触类旁通】
5．电场中有一点 P ，下列说法正确的是( )
A ．若放在 P 点的点电荷的电荷量减半，则 P 点场强减半
B ．若该电场是由某点电荷 Q 产生，当 Q 电荷量减半，放到 P
点的电荷的电荷量增加一
半时，P 点的场强不变
C ．若 P 点的场强增大一倍，放到 P 点的电荷的电荷量减半，则该电荷在 P 点受到的静电力不变
D ．P 点的场强方向为试探电荷在该点的受力方向
第五节 电场强度与电势差的关系
1．电场强度与电势差的区别 (1)物理意义不同：电场强度 E 描述电场_______的特征，电势差 U 描述电场________的特征．
(2)E 是________量，U 是_______量．
(3)表达式不同：E ＝________，U ＝_______. (4)单位不同：E 为________，U 为________． 2．电场强度与电势差的关系 (1)在匀强电场中 E ＝________.
说明：①U 表示 A 、B 两点间的电势差，d 表示 A 、B 两点________方向的距离，或两点____________________间的距离． ②此式只适用于________电场．
(2)电场中，电势降落最快的方向为________________．
(3)在匀强电场中，场强在数值上等于____________每单位距离上的电势差．
知识点 1 电场强度和电势差的关系
1．若沿场强方向移动电荷
如图 1－5－1 表示某一匀强电场的等势面和电场线．沿场强方向把正电荷 q 由 A 点移动到 B 点，设 A 、B 两点间的距离为 d ，电势差为 U ，场强为 E . 则电场力所做的功：
从力的角度： W ＝________＝________① 从能的角度： W ＝________②
由 ① ② 两 式 得 ： U ＝ ________ 或 E ＝ ________(d 为____________________) 结论：(1)在匀强电场中，沿场强方向的两点间的电势差等于___________________________ (2)在匀强电场中，场强在数值上等于
_____________________________________.
(4)单位关系：1 V/m ＝1 N/C. 2．若不是沿场强方向移动电荷
如图 1－5－2，在匀强电场 E 中，有相距为 L 的 A 、B 两点，两点连线与场强方向成α角．则 A 、B 两点间的电势差为 U ＝EL ，对不对？
答案：把正电荷从 B ′点移动到 B 点的过程中，与电场力方向垂直，故在此方向上电场力不做功，因此把正电荷从 A 点移动到 B 点电场力所做的功相当于把正电荷从 A 点移动到 B ′点电场力所做的功．
1．电势差和电场强度的关系的三种说法
(1)在匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场线方向的距离的乘积，即 U ＝Ed .
(2)在匀强电场中电场强度的大小等于某两点间的电势差与这两点沿电场线方向的距离的比值，即
(3)电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势． 2．对公式 U ＝Ed 的理解
(1)公式 U ＝Ed 中 d 必须是沿场强方向的距离，如果电场中两点不沿场强方向，d 的取值应为在场强方向的投影，即为电场中该两点所在的等势面的垂直距离． (2)由 U ＝Ed 推出的三个结论． ①在匀强电场中，与电场方向不垂直的任意一条直线上两点间的电势差大小之比等于直线上相应间距之比．结合图 1－5－3，
此结论可用公式表达如下：
②在匀强电场中，在与电场方向不垂直的任意两条平行直线上分别取间距相等的两点 A 、B 和 C 、D ，则有 U AB ＝U CD ，如图 1－5－4 所示．
③如图1－5－5所示，若 AB cos α＝CD cos β，即AB 和CD 在匀强电场方向的投影长度相等，则 UAB ＝UCD .
【例 1】平行的带电金属板 A 、B 间是匀强电场，如图 1－5－6 所示，两板间距离是 5 cm，两板间的电压是 60 V. (1)两板间的场强是多大？
(2)电场中有 P 1 和 P 2 两点，P 1 点离 A 板 0.5 cm，P 2 点离 B 板也是 0.5 cm，P 1 和 P 2 两点间的电势差多大？ (3)若 B 板接地，p 1 和 p 2 两点的电势各是多少伏？
思维总结：应用 U ＝Ed 求两点间的电势差，一定要正确理解 d 是两点间沿电场线方向的距离，而求某点的电势，我们是通过求这点与电势零点的电势差实现的，由 U ＝Ed 计算其数值，电势的正负由该点与电势零点的电势高低比较而定．
【例 2】(双选) 如图 1－5－7 所示，实线为电场线，虚线为等势线，且 AB ＝BC ，电场中的 A 、B 、C 三点的场强分别为 E A 、E B 、E C ，电势分别为φA 、φB 、φC ，AB 、BC 间的电势差分别为U AB 、U BC ，则下列关系中正确的有(
)
思路点拨：公式 U ＝Ed 在非匀强电场中可用于定性分析．
解析：由题图中电场线的分布规律可知，电场不是匀强电场，C 附近稠
密，A 附近稀疏，C 附近的场强大于 A 附近的场强，选项 B 正确；由公式 U ＝Ed 知：U BC >U AB ，选项 CD 错；
由电场线的方向是电势降低的方向可得，选项 A 正确． 答案：AB 【触类旁通】
1．如图 1－5－8 所示，匀强电场场强 E ＝100 V/m，A 、B 两点相距 10 cm，A 、B 连线与电场线夹角为 60°，则 U BA 的值为(
)
2．如图 1－5－9 所示，在一匀强电场区域中，有 A 、B 、C 、D 四点恰好位于一平行四边形的四个顶点上，已知 A 、B 、C 三点电势分别为φA ＝1 V，φB ＝4 V，φC ＝0，则 D 点电势φD 的大小为(
)
解析：在匀强电场中，由于 AD 与 BC 平行且相等，故 U AD ＝U BC ，即φA －φD ＝φB －φC ，代入数据解得φD ＝－3 V.
3．图 1－5－10 中的实线为电场线，虚线为等势线，a 、b 两点的电势分别为φa ＝－50 V，φb ＝－20 V，则 a 、b 连线的中点 c 的电势φc 应为( ) A ．φc ＝－35 V B ．φc >－35 V C ．φc
35 V
D ．条件不足，无法判断φc 的高低 解析：由图可知 E b φb －15 V ＝ －35 V，故 B 项正确． 知识点 2 等势面和电场线的关系
1．匀强电场中，等势面和电场线关系如何？
答案：电场线和等势面垂直，电场线是等间距的一组直线，等势面也是等间距的一簇平面，电场线指向电势降低最快的方向．
2．非匀强电场中，等势面和电场线关系如何？等差等势面之间的距离相等吗？
答案：电场线和等势面垂直，电场线指向电势降低的方向，等差等势面之间距离不等，电场强度大，电场线密集，等势面密集；电场强度小，电场线稀疏，等势面稀疏．如点电荷电场 中的等势面．
结论：等差等势面密处场强________ ，等势面疏处场强________．
(1)匀强电场的场强为多大？方向如何？ (2)A 、B 两点间的电势差为多大？
解：根据电势差的定义式得
－6
2.0×10W U AB ＝
q －1.0×10－V ＝－2 V
设A 、B 两点所在等势面间的距离为d ，则 d ＝AB cos 60°＝2×0.5 cm＝1 cm
|－2||U |
所以E ＝d 1×10－V/m＝200 V/m
因为U AB ＝φA －φB ＝－2 V
所以φA ＜φB ，而电场线方向是由高电势指向低电势，因而 电场方向沿直线由下而上．
【触类旁通】
4．(双选) 如图 1－5－12 所示，平行直线 AA ′、BB ′、CC ′、DD ′、EE ′，分别表示电势－4 V、－2 V、0、2 V、4 V 的等势线，若 AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝2 cm，且与直线 MN 成 30°角，则(
)
电场强度三个公式的对比
【例 4】以下关于与电场强度有关的几个公式的说法，其中不正确的是( )
A ．公式U ＝Ed 只适用于匀强电场
B ．只要电场中电场线是直线，公式U ＝Ed 就适用
F
C ．公式E ＝是定义式，适用于任何电场
q Q
D ．公式E ＝k
r
解析：在点电荷电场中电场线是直线，但公式 U ＝Ed 不成立，故 B 错． 答案：B
【触类旁通】
5．电场中有一点 P ，下列说法正确的是( )
A ．若放在 P 点的点电荷的电荷量减半，则 P 点场强减半
B ．若该电场是由某点电荷 Q 产生，当 Q 电荷量减半，放到 P
点的电荷的电荷量增加一
半时，P 点的场强不变
C ．若 P 点的场强增大一倍，放到 P 点的电荷的电荷量减半，则该电荷在 P 点受到的静电力不变
D ．P 点的场强方向为试探电荷在该点的受力方向