勾股定理证明
欧几里得的证法
《几何原本》中的证明
在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。 设△ABC 为 一直角
三角形，其中A 为直角。从A 点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余 两个正方形相等。
在定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：
∙ 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS 定理）
∙ 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。
∙ 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。
∙ 任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。
证明的思路为：把上方的两个正方形，透过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。
证明辅助图2
其证明如下： 1. 设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB 。
2. 其边为BC 、AB 、和CA ，依序绘成四方形CBDE 、BAGF 和ACIH 。
3. 画出过点A 之BD 、CE 的平行线。此线将分别与BC 和DE 直角相交于
K 、L 。
4. 分别连接CF 、AD ，形成两个三角形BCF 、BDA 。
5. ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C 、A 和 G 都是线性对应的，同理可证
B 、A 和H 。
6. ∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。
7. 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。
8. 因为 A 与 K 和 L在同一直线上，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。
9. 因为C 、A 和G 在同一直线上，所以正方形BAGF 必须二倍面积于
△FBC。
10. 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²。
11. 同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC²。
12. 把这两个结果相加， AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC
13. 由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC
14. 由于CBDE 是个正方形，因此AB² + AC² = BC²。
此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的
美国总统Garfield 的证明法
证明 梯形的面积=1/2（上底+下底）×高
=1/2（a+b）×(a+b)
=1/2(a+2ab+b) 22
= 1/2a+ab+1/2b 22
梯形的面积： 三个三角形面积之和
=1/2ab×2+1/2c 2
=ab+1/2c 2
=1/2a+ab+1/2b 22
=ab+1/2c 2
∴a +b =c 222
(勾2+股2=弦2)
图 形重新排列证法
以面积减算法证明
此证明以图形重新排列证明。两个大正方形的面积皆为(a + b ) 。 把四个相等的三角形移除后，左方余下面积为a + b ， 右方余下面积为c ，两者相等。证毕。 2222
赵爽证明法
青朱出入图
三角形为直角三角 形，以勾a 为边的正方形为朱方，以股b 为边的正方形为青方。以盈补虚，将朱方、青方并成弦方。依其面积关系有a^2+b^2=c^2.由于朱方、青方各有 一部分在玄方内，那一部分就不动了。
以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。以盈补虚，只要把图中朱方（a2）的I 移 至I′，青方的II 移至II′，III 移至III′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形（c……2 ）．由此便可证得a^+b^2=c^2;
勾股定理证明
欧几里得的证法
《几何原本》中的证明
在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。 设△ABC 为 一直角
三角形，其中A 为直角。从A 点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余 两个正方形相等。
在定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：
∙ 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS 定理）
∙ 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。
∙ 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。
∙ 任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。
证明的思路为：把上方的两个正方形，透过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。
证明辅助图2
其证明如下： 1. 设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB 。
2. 其边为BC 、AB 、和CA ，依序绘成四方形CBDE 、BAGF 和ACIH 。
3. 画出过点A 之BD 、CE 的平行线。此线将分别与BC 和DE 直角相交于
K 、L 。
4. 分别连接CF 、AD ，形成两个三角形BCF 、BDA 。
5. ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C 、A 和 G 都是线性对应的，同理可证
B 、A 和H 。
6. ∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。
7. 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。
8. 因为 A 与 K 和 L在同一直线上，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。
9. 因为C 、A 和G 在同一直线上，所以正方形BAGF 必须二倍面积于
△FBC。
10. 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²。
11. 同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC²。
12. 把这两个结果相加， AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC
13. 由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC
14. 由于CBDE 是个正方形，因此AB² + AC² = BC²。
此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的
美国总统Garfield 的证明法
证明 梯形的面积=1/2（上底+下底）×高
=1/2（a+b）×(a+b)
=1/2(a+2ab+b) 22
= 1/2a+ab+1/2b 22
梯形的面积： 三个三角形面积之和
=1/2ab×2+1/2c 2
=ab+1/2c 2
=1/2a+ab+1/2b 22
=ab+1/2c 2
∴a +b =c 222
(勾2+股2=弦2)
图 形重新排列证法
以面积减算法证明
此证明以图形重新排列证明。两个大正方形的面积皆为(a + b ) 。 把四个相等的三角形移除后，左方余下面积为a + b ， 右方余下面积为c ，两者相等。证毕。 2222
赵爽证明法
青朱出入图
三角形为直角三角 形，以勾a 为边的正方形为朱方，以股b 为边的正方形为青方。以盈补虚，将朱方、青方并成弦方。依其面积关系有a^2+b^2=c^2.由于朱方、青方各有 一部分在玄方内，那一部分就不动了。
以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。以盈补虚，只要把图中朱方（a2）的I 移 至I′，青方的II 移至II′，III 移至III′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形（c……2 ）．由此便可证得a^+b^2=c^2;