cccccccccccccccccccccccccccccc
cccccccccccccccccccccc
cccccccccccccccccccccccccccccccc
《 概率统计A 》
ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc ； 所需时间： 120 分钟
一．选择题 (本大题共__8__题，每题2分共__16 分)
1．设事件A , B 相互独立，且P (A ) =1/3, P (B ) =1/5，则P (A |B ) =（ D ）
A ．
315
B．
215
C．
15
D ．
13
2．若随机事件A 和B 互不相容，则下列式子中正确的是（ D ）
A ．A =B B． P (AB ) =P (A ) P (B ) C ． P (A |B ) =P (A ) D． P (A B ) =P (A )
3．设随机变量X 服从区间[-1, 5]上的均匀分布，用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件(X >2) 出现的次数，则Y 服从（ C ）
A ．N (3, 0. 5) B．B (3, 0. 6) C．B (3, 0. 5) D． B (3, 0. 4)
4．设X 服从参数为
1/10的指数分布，P (X ≥20|X ≥10) =（ A ） A．e -1 B．e -2 C．1-e -1 D．1-e -2
5．设离散型随机变量X , Y 的联合概率分布律为
记(X , Y )的联合分布函数为F (x , y ) ，则F (1, 0) =（ C ） A ．
1212
B．
16
C．
3
D．
12
6
若X 和Y 不相关，则a =（ A ） A ．
7．设总体X ~N (μ, σ
2
16
B．0 C．
19
D ．
3
1
)，其中μ未知，X
1323
1
, X 2, X 3为来自总体X 的一个样本，则以下
12
(X 1+X 2) ，
ˆ2=ˆ1=(X 1+X 2+X 3) ， μ关于μ的三个无偏估计：μ
ˆ3=μ
16X 1+
16X 2+
X 3中，哪一个方差最小？（ A ）
ˆ1 B． μˆ2 C．μˆ3 A ．μ
D ． 无法比较
8．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E (XY ) =E (X ) ⋅E (Y ) ，则A . D (XY ) =D (X ) ⋅D (Y ) B . D (X +Y ) =D (X ) +D (Y )
C . X 和Y 独立 D . X 和Y 不独立
二、填空题 (本大题共__9_空格，每格2分共___18____分) 1．一袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从中任取3个球， 记A ={恰有一个红球}。若不放回取球，则P (A ) =__ 3/5 __；
若放回取球，则P (A ) =__ 4/9 ____.
2．已知随机变量X ~B (6, p )，已知P (X =1)=P (X =5)，则p P (X =2)⎧1,
3．设二维随机变量(X , Y )的概率密度函数为f (x , y ) =⎨
⎩0,
则P (X >2Y ) =__ 1/4 ____.
0≤x ≤1, 0≤y ≤1;
其他,
4．设X ~N (0, 4), Y ~N (1, 1), 相关系数ρXY =0. 5，则D (X -2Y ) = 5．设总体X 服从参数为λ=2的泊松分布，X 1, X 2, X 3为X 的一个样本，则
Cov (X 1+X 2, X 2) =；E (X 1X
2
+X 3)
2
6．设X 1, X 2, , X
n
是来自总体X ~N (μ, σ) 的样本，则X ~N (μ,
2
σ
2
n
)
三．综合题 (本大题共__6__题，共 66分)
0
1、设随机变量X 的概率密度函数f (x ) =⎨，求
⎩0， 其他
（1）常数A ；(2)计算概率P {X >E (X ) }。（12分）
由⎰A (1-x )dx =1得A =2 ---- 4分
1
E (X ) =
⎰
1
2x (1-x )dx =1/3------4分
P {X >E (X )
}=⎰2(1-x )dx
1/3
1
=4/9------------4分
2、甲乙两电影院在竞争1000名观众，假设每位观众在选择时是随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于1%。（10分） 备用数据：
5=2.236=3.162，Φ(2.33)=0.9901，Φ(1)=0.8413，Φ(0.99
)=
0.8389
设X 为1000人中去甲电影院的人数，甲电影院应设n 个座位，则 X ~B (1000, 1/2) ---------3分
由中心极限定理，得X ~N (500, 250) -------------3分
要使 P (X ≤n ) ≥99%
⎛n -500⎫
⎪⎪≥99%----------2分 250⎭⎝
n -500
则有≥2. 33 从而n ≥537-------2分
250
即使 Φ
⎧2ye -x , 0
3、设(X , Y )的联合密度函数为f (x , y ) =⎨
其它⎩0,
求（1）X 与Y 的边缘概率密度函数；
（2）X 与Y 是否相互独立，请说明理由； （3）计算E (X +Y ), D (2X -3Y ) 。（１2分） f X (x ) =f Y (y ) =
⎰
+∞
-∞
⎧e -x , 0
--------------3分 f (x , y ) dy =⎨
0, 其他⎩
⎧2y , 0
-------------3分 f (x , y ) dx =⎨⎰-∞
0, 其他⎩
由f (x , y ) =f X (x ) f Y (y ) 得X 与Y 相互独立。
+∞
E (X ) =
2
⎰⎰
+∞
xe
-x
dx =1
-x
E (X ) =
⎰
1
+∞
x e
2
2
dx =2
E (Y ) =
2
2y dy =2/3
1
E (Y ) =
⎰
2y dy =1/2-----------------------------------3分
3
E (X +Y ) =1+2/3=5/3D (2X -3Y ) =9/2
-------------------3分
22
4、用金球测定引力常数（单位略），设测定值总体为正态分布N (μ, σ) ，μ, σ均未知。 现共测量了6次，测得样本均值为=6. 6782和样本标准差为s =0. 003869。 （1）求μ的置信度为0.95的置信区间； （2）检验假设 H 0:σ
2
2
2
=0. 002; H 1:σ
22
≠0. 002 。（取α=0. 1) （10分）
2
2
2
（备用数据： t 0. 025(5) =2. 571, t 0. 05(5) =2. 015 χ0. 9(5) =1. 61, χ0. 95(5) =1. 145, χ0. 1(5) =9. 236, χ0. 05(5) =11. 071）
（1
）取W =
~t (n -1)
设P (|W |
即P (X -t α/2(n -1) S /
=1-α
⎛⎫S S
μ的置信度为0.95的置信区间为 X -t (5) , X +t (5) ⎪0. 0250. 025 ⎪
n n ⎝⎭
由=6. 6782和样本标准差为s =0. 003869及n =6 得置信区间为(-6. 6741, 6. 6822)--------------5分
2222
（2）检验假设 H 0:σ=0. 002; H 1:σ≠0. 002
取检验统计量为
(n -1)S 2
σ
2
~χ
2
(5) -----------------2分
H 0的拒绝域为
(n -1)S 2
σ
2
>χ0. 05(5) 和
2
(n -1)S 2
σ
22
2
计算得检验统计量的观测值为
5⨯0.003869
0.002
2
=18.7115>11. 071
落入拒绝域，则认为σ2≠0. 0022-------1分
5、设随机变量X 和Y 独立且同分布，且X 的概率分布律为
记U =max {X , Y }，V =min {X , Y } （1）求(U , V )的联合概率分布律； （2）计算U 与V 的相关系数。（10分）
（1）
（2）
E (U ) =14/9 E (U ) =24/9 E (V ) =10/9 E (V ) =12/9 D (U ) =20/81 D (V ) =8/81 E (UV ) =16/9-------------------3分
E (UV ) -E (U ) E (V )
D (U )
D (V )
22
ρUV =
=1/-----2分
⎧3x 2⎪3,
6、已知总体X 的密度函数为f (x ; θ) =⎨θ
⎪0, ⎩
0
，θ>0为未知常数，
X 1, X 2, , X n 为从总体X 抽取的一个简单随机样本，x 1, x 2, x n 为其观测值。
(1) 试求参数θ的矩估计量θˆ1与极大似然估计量θˆ2； (2) 问估计量θˆ1是否是θ的无偏估计量？说明理由。(12分）
（1）μ1=E (X ) =
⎰
θ
3x
3
θ
3
dx =
34
θ, θ=
4μ13
，用X 代替μ1
4
得θ的矩估计量θˆ1=X ------------4分
3
似然函数L (θ) =由dL (θ) d θ
3
n
(x 1x 2 x n )2
θ
3n
（θ≥x 1, θ≥x n ) ---------------3分
n
)-------------2分
4
（2）由E θˆ1=E (X ) =θ得θˆ1是否是θ的无偏估计量。---------------3分
()
3
cccccccccccccccccccccccccccccc
cccccccccccccccccccccc
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《 概率统计A 》
ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc ； 所需时间： 120 分钟
一．选择题 (本大题共__8__题，每题2分共__16 分)
1．设事件A , B 相互独立，且P (A ) =1/3, P (B ) =1/5，则P (A |B ) =（ D ）
A ．
315
B．
215
C．
15
D ．
13
2．若随机事件A 和B 互不相容，则下列式子中正确的是（ D ）
A ．A =B B． P (AB ) =P (A ) P (B ) C ． P (A |B ) =P (A ) D． P (A B ) =P (A )
3．设随机变量X 服从区间[-1, 5]上的均匀分布，用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件(X >2) 出现的次数，则Y 服从（ C ）
A ．N (3, 0. 5) B．B (3, 0. 6) C．B (3, 0. 5) D． B (3, 0. 4)
4．设X 服从参数为
1/10的指数分布，P (X ≥20|X ≥10) =（ A ） A．e -1 B．e -2 C．1-e -1 D．1-e -2
5．设离散型随机变量X , Y 的联合概率分布律为
记(X , Y )的联合分布函数为F (x , y ) ，则F (1, 0) =（ C ） A ．
1212
B．
16
C．
3
D．
12
6
若X 和Y 不相关，则a =（ A ） A ．
7．设总体X ~N (μ, σ
2
16
B．0 C．
19
D ．
3
1
)，其中μ未知，X
1323
1
, X 2, X 3为来自总体X 的一个样本，则以下
12
(X 1+X 2) ，
ˆ2=ˆ1=(X 1+X 2+X 3) ， μ关于μ的三个无偏估计：μ
ˆ3=μ
16X 1+
16X 2+
X 3中，哪一个方差最小？（ A ）
ˆ1 B． μˆ2 C．μˆ3 A ．μ
D ． 无法比较
8．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E (XY ) =E (X ) ⋅E (Y ) ，则A . D (XY ) =D (X ) ⋅D (Y ) B . D (X +Y ) =D (X ) +D (Y )
C . X 和Y 独立 D . X 和Y 不独立
二、填空题 (本大题共__9_空格，每格2分共___18____分) 1．一袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从中任取3个球， 记A ={恰有一个红球}。若不放回取球，则P (A ) =__ 3/5 __；
若放回取球，则P (A ) =__ 4/9 ____.
2．已知随机变量X ~B (6, p )，已知P (X =1)=P (X =5)，则p P (X =2)⎧1,
3．设二维随机变量(X , Y )的概率密度函数为f (x , y ) =⎨
⎩0,
则P (X >2Y ) =__ 1/4 ____.
0≤x ≤1, 0≤y ≤1;
其他,
4．设X ~N (0, 4), Y ~N (1, 1), 相关系数ρXY =0. 5，则D (X -2Y ) = 5．设总体X 服从参数为λ=2的泊松分布，X 1, X 2, X 3为X 的一个样本，则
Cov (X 1+X 2, X 2) =；E (X 1X
2
+X 3)
2
6．设X 1, X 2, , X
n
是来自总体X ~N (μ, σ) 的样本，则X ~N (μ,
2
σ
2
n
)
三．综合题 (本大题共__6__题，共 66分)
0
1、设随机变量X 的概率密度函数f (x ) =⎨，求
⎩0， 其他
（1）常数A ；(2)计算概率P {X >E (X ) }。（12分）
由⎰A (1-x )dx =1得A =2 ---- 4分
1
E (X ) =
⎰
1
2x (1-x )dx =1/3------4分
P {X >E (X )
}=⎰2(1-x )dx
1/3
1
=4/9------------4分
2、甲乙两电影院在竞争1000名观众，假设每位观众在选择时是随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于1%。（10分） 备用数据：
5=2.236=3.162，Φ(2.33)=0.9901，Φ(1)=0.8413，Φ(0.99
)=
0.8389
设X 为1000人中去甲电影院的人数，甲电影院应设n 个座位，则 X ~B (1000, 1/2) ---------3分
由中心极限定理，得X ~N (500, 250) -------------3分
要使 P (X ≤n ) ≥99%
⎛n -500⎫
⎪⎪≥99%----------2分 250⎭⎝
n -500
则有≥2. 33 从而n ≥537-------2分
250
即使 Φ
⎧2ye -x , 0
3、设(X , Y )的联合密度函数为f (x , y ) =⎨
其它⎩0,
求（1）X 与Y 的边缘概率密度函数；
（2）X 与Y 是否相互独立，请说明理由； （3）计算E (X +Y ), D (2X -3Y ) 。（１2分） f X (x ) =f Y (y ) =
⎰
+∞
-∞
⎧e -x , 0
--------------3分 f (x , y ) dy =⎨
0, 其他⎩
⎧2y , 0
-------------3分 f (x , y ) dx =⎨⎰-∞
0, 其他⎩
由f (x , y ) =f X (x ) f Y (y ) 得X 与Y 相互独立。
+∞
E (X ) =
2
⎰⎰
+∞
xe
-x
dx =1
-x
E (X ) =
⎰
1
+∞
x e
2
2
dx =2
E (Y ) =
2
2y dy =2/3
1
E (Y ) =
⎰
2y dy =1/2-----------------------------------3分
3
E (X +Y ) =1+2/3=5/3D (2X -3Y ) =9/2
-------------------3分
22
4、用金球测定引力常数（单位略），设测定值总体为正态分布N (μ, σ) ，μ, σ均未知。 现共测量了6次，测得样本均值为=6. 6782和样本标准差为s =0. 003869。 （1）求μ的置信度为0.95的置信区间； （2）检验假设 H 0:σ
2
2
2
=0. 002; H 1:σ
22
≠0. 002 。（取α=0. 1) （10分）
2
2
2
（备用数据： t 0. 025(5) =2. 571, t 0. 05(5) =2. 015 χ0. 9(5) =1. 61, χ0. 95(5) =1. 145, χ0. 1(5) =9. 236, χ0. 05(5) =11. 071）
（1
）取W =
~t (n -1)
设P (|W |
即P (X -t α/2(n -1) S /
=1-α
⎛⎫S S
μ的置信度为0.95的置信区间为 X -t (5) , X +t (5) ⎪0. 0250. 025 ⎪
n n ⎝⎭
由=6. 6782和样本标准差为s =0. 003869及n =6 得置信区间为(-6. 6741, 6. 6822)--------------5分
2222
（2）检验假设 H 0:σ=0. 002; H 1:σ≠0. 002
取检验统计量为
(n -1)S 2
σ
2
~χ
2
(5) -----------------2分
H 0的拒绝域为
(n -1)S 2
σ
2
>χ0. 05(5) 和
2
(n -1)S 2
σ
22
2
计算得检验统计量的观测值为
5⨯0.003869
0.002
2
=18.7115>11. 071
落入拒绝域，则认为σ2≠0. 0022-------1分
5、设随机变量X 和Y 独立且同分布，且X 的概率分布律为
记U =max {X , Y }，V =min {X , Y } （1）求(U , V )的联合概率分布律； （2）计算U 与V 的相关系数。（10分）
（1）
（2）
E (U ) =14/9 E (U ) =24/9 E (V ) =10/9 E (V ) =12/9 D (U ) =20/81 D (V ) =8/81 E (UV ) =16/9-------------------3分
E (UV ) -E (U ) E (V )
D (U )
D (V )
22
ρUV =
=1/-----2分
⎧3x 2⎪3,
6、已知总体X 的密度函数为f (x ; θ) =⎨θ
⎪0, ⎩
0
，θ>0为未知常数，
X 1, X 2, , X n 为从总体X 抽取的一个简单随机样本，x 1, x 2, x n 为其观测值。
(1) 试求参数θ的矩估计量θˆ1与极大似然估计量θˆ2； (2) 问估计量θˆ1是否是θ的无偏估计量？说明理由。(12分）
（1）μ1=E (X ) =
⎰
θ
3x
3
θ
3
dx =
34
θ, θ=
4μ13
，用X 代替μ1
4
得θ的矩估计量θˆ1=X ------------4分
3
似然函数L (θ) =由dL (θ) d θ
3
n
(x 1x 2 x n )2
θ
3n
（θ≥x 1, θ≥x n ) ---------------3分
n
)-------------2分
4
（2）由E θˆ1=E (X ) =θ得θˆ1是否是θ的无偏估计量。---------------3分
()
3